【全套解析】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 109 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布課件 （理） 新人教A

第九節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念．2．能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題．3．利用實(shí)際問(wèn)題的直方圖，了解正態(tài)分布的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差(1)均值若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…則ξ的數(shù)學(xué)期望(或平均數(shù)、均值，簡(jiǎn)稱期望)為Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)方差如果離散型隨機(jī)變量ξ所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn，…那么D(ξ)＝(x1－Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…叫做ξ的方差．隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度．(標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位)(3)若ξ服從二項(xiàng)分布，即ξ～B(n，p)，則Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)．兩點(diǎn)分布，則Eξ＝p，Dξ＝p(1－p)．2．均值、方差的性質(zhì)及應(yīng)用(1)EC＝C(C為常數(shù))；(2)E(aξ＋b)＝aEξ＋b(a、b為常數(shù))；(3)D(aξ＋b)＝a2Dξ.3．正態(tài)分布(1)函數(shù)(2)正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生．1．設(shè)隨機(jī)變量ξ～B(n，p)，且Eξ＝1.6，Dξ＝1.28，則(

)A．n＝8，p＝0.2

B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45答案：A2．如果ξ是離散型隨機(jī)變量，η＝3ξ＋2，那么(

)A．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9DξB．Eη＝3Eξ，Dη＝3Dξ＋2C．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9Eξ＋4D．Eη＝3Eξ＋4，Dη＝3Dξ＋2答案：A解析：∵Eξ＝μ＝－2，∴E(2ξ－1)＝2Eξ－1＝－5.答案：D4．一個(gè)均勻勻小正方體體的六個(gè)面面中，三個(gè)個(gè)面上標(biāo)以以數(shù)0，兩個(gè)面上上標(biāo)以數(shù)1，一個(gè)面上上標(biāo)以數(shù)2.將這個(gè)小正正方體拋擲擲2次，則向上上的數(shù)之積積的數(shù)學(xué)期期望________．熱點(diǎn)之一求離散型隨隨機(jī)變量的的期望與方方差求離散型隨隨機(jī)變量X的均值與方方差的步驟驟：1．理解X的意義，寫寫出Y的所有可能能取值；2．求X取每個(gè)值的的概率；3．寫出X的分布列；；4．由均值的的定義求EX；5．由方差的的定義求DX.[例1]袋中有20個(gè)大小相同同的球，其其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中中任取一個(gè)個(gè)，ξ表示所取球球的標(biāo)號(hào)．．(1)求ξ的分布列、、期望和方方差；(2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，試求a，b的值．(2)由Dη＝a2Dξ，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又Eη＝aEξ＋b，∴當(dāng)a＝2時(shí)，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；當(dāng)a＝－2時(shí)，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.[思維拓展]在計(jì)算離散散型隨機(jī)變變量的期望望與方差時(shí)時(shí)，首先要要弄清其分分布特征，，正確求出出分布列，，這是求均均值和方差差的前提，，然后準(zhǔn)確確應(yīng)用公式式，特別是是充分利用用期望和方方差的性質(zhì)質(zhì)解題，善善于使用公公式E(aX＋b)＝aEX＋b，D(aX＋b)＝a2DX，能避免免繁瑣的的運(yùn)算過(guò)過(guò)程，提提高運(yùn)算算速度和和準(zhǔn)確度度．即時(shí)訓(xùn)練練某商場(chǎng)舉舉行抽獎(jiǎng)獎(jiǎng)促銷活活動(dòng)，抽抽獎(jiǎng)規(guī)則則是：從從裝有9個(gè)白球，，1個(gè)紅球的的箱子中中每次隨隨機(jī)地摸摸出1個(gè)球，記記下顏色色后放回回，摸出出1個(gè)紅球可可獲得獎(jiǎng)獎(jiǎng)金10元；摸出出2個(gè)紅球可可獲得獎(jiǎng)獎(jiǎng)金50元，現(xiàn)有有甲、乙乙兩位顧顧客，規(guī)規(guī)定：甲甲摸一次次，乙摸摸兩次，，令X表示甲，，乙摸球球后獲得得的獎(jiǎng)金金總額．．求：(1)X的概率分分布；(2)X的數(shù)學(xué)期期望．解：摸球的情情形有以以下5種：甲1白，乙2白(0元)；甲1紅，乙2白或甲1白，乙1紅1白(10元)；甲1紅，乙1紅1白(20元)；甲1白，乙2紅(50元)；甲1紅，乙2紅(60元)．(1)X的所有可可能的取取值為0,10,20,50,60，熱點(diǎn)之二期望與方差的的性質(zhì)及應(yīng)用用利用均值和方方差的性質(zhì)，，可以避免復(fù)復(fù)雜的運(yùn)算．．常用性質(zhì)有有：(1)EC＝C(C為常數(shù))；(2)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b為常數(shù))；(3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2；E(aX1＋bX2)＝aE(X1)＋bE(X2)；[思維拓展]1.要掌握簡(jiǎn)單的的方差與期望望計(jì)算．2．公式運(yùn)用要要嚴(yán)密準(zhǔn)確．．即時(shí)訓(xùn)練如果X是離散型隨機(jī)機(jī)變量，EX＝6，DX＝0.5，X1＝2X－5，那么EX1和DX1分別是()A．12,1B．7,1C．12,2D．7,2解析：因?yàn)镋(aX＋b)＝aEX＋b，D(aX＋b)＝a2DX，由已知可可得EX1＝7，DX1＝2，應(yīng)選D.答案：D熱點(diǎn)之三與二項(xiàng)分布布有關(guān)的期期望與方差差當(dāng)隨機(jī)變量量X服從兩點(diǎn)分分布或二項(xiàng)項(xiàng)分布時(shí)，，可不用列列出分布列列，直接由由公式求出出EX和DX.[思路探究]解答該5個(gè)問(wèn)題可以以認(rèn)為是5次獨(dú)立重復(fù)復(fù)試驗(yàn)，答答對(duì)問(wèn)題的的個(gè)數(shù)ξ服從二項(xiàng)分分布，求η的期望與方方差可通過(guò)過(guò)ξ與η的線性關(guān)系系間接求出出．[思維拓展](1)當(dāng)求隨機(jī)變變量ξ的期望與方方差時(shí)，可可首先分析析ξ是否服從二二項(xiàng)分布，，如果服從從，則用公公式求解，，可大大減減少運(yùn)算量量．(2)注意利用E(aξ＋b)＝aEξ＋b及D(aξ＋b)＝a2Dξ求期望與方方差．即時(shí)訓(xùn)練某運(yùn)動(dòng)員投投籃命中率率為p＝0.6.(1)求一次投籃籃時(shí)命中次次數(shù)X的期望與方方差；(2)求重復(fù)5次投籃時(shí)，，命中次數(shù)數(shù)η的期望與方方差．X01P0.40.62．要記住正態(tài)態(tài)變量的取取值位于三三個(gè)區(qū)間內(nèi)內(nèi)的概率值值．在求解解實(shí)際問(wèn)題題時(shí)，先求求出正態(tài)分分布的兩個(gè)個(gè)重要參數(shù)數(shù)μ和σ的值，然后后結(jié)合三個(gè)個(gè)區(qū)間對(duì)應(yīng)應(yīng)的概率值值進(jìn)行解答答．即時(shí)訓(xùn)練把一正態(tài)曲曲線C1沿著橫軸方方向向右移移動(dòng)2個(gè)單位，得得到一條新新的曲線C2，下列說(shuō)法法不正確的的是()A．曲線C2仍是正態(tài)曲曲線B．曲線C1，C2的最高點(diǎn)的的縱坐標(biāo)相相等C．以曲線C2為概率密度度曲線的總總體的方差差比以曲線線C1為概率密度度曲線的總總體的方差差大2D．以曲線C2為概率密度度曲線的總總體的期望望比以曲線線C1為概率密度度曲線的總總體的期望望大2答案：C本節(jié)是理科科高考中的的重點(diǎn)內(nèi)容容之一，題題型以解答答題為主，，考查隨機(jī)機(jī)變量的概概率、分布布列、期望望和方差等等，大多以以實(shí)際問(wèn)題題為背景，，涉及排列列組合、互互斥事件的的概率、相相互獨(dú)立事事件的概率率、條件概概率等，考考查利用所所學(xué)知識(shí)解解決實(shí)際問(wèn)問(wèn)題的能力力．[例5](2010·全國(guó)國(guó)Ⅱ)如圖圖，，由由M到N的電電路路中中有有4個(gè)元元件件，，分分別別標(biāo)標(biāo)為為T1，T2，T3，T4，電電流流能能通通過(guò)過(guò)T1，T2，T3的概概率率都都是是p，電電流流能能通通過(guò)過(guò)T4的概概率率是是0.9，電電流流能能否否通通過(guò)過(guò)各各元元件件相相互互獨(dú)獨(dú)立立．．已已知知T1，T2，T3中至至少少有有一一個(gè)個(gè)能能通通過(guò)過(guò)電電流流的的概概率率為為0.999.(1)求p；(2)求電電流流能能在在M與N之間間通通過(guò)過(guò)的的概概率率；；(3)ξ表示示T1，T2，T3，T4中能能通通過(guò)過(guò)電電流流的的元元件件個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)，，求求ξ的期期望望．．[解]記Ai表示示事事件件：：電電流流能能通通過(guò)過(guò)Ti，i＝1,2,3,4.A表示示事事件件：：T1，T2，T3中至至少少有有一一個(gè)個(gè)能能通通過(guò)過(guò)電電流流．．B表示事事件：：電流流能在在M與N之間通通過(guò)．．＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.9891.(3)由于電電流能能通過(guò)過(guò)各元元件的的概率率都是是0.9，且電電流能能否通通過(guò)各各元件件相互互獨(dú)立立，ξ～B(4,0.9)，Eξ＝4×0.9＝3.6.1．(2010·課標(biāo)全全國(guó))某種種種子每每粒發(fā)發(fā)芽的的概率率都為為0.9，現(xiàn)播播種了了1000粒，對(duì)對(duì)于沒沒有發(fā)發(fā)芽的的種子子，每每粒需需再補(bǔ)補(bǔ)種2粒，補(bǔ)補(bǔ)種的的種子子數(shù)記記為X，則X的