充要條件教案（Word版）

《充要條件》教學設(shè)計教學目標教學目標1．通過研究大量的實例抽象出充要條件的概念，能利用充要條件對具體的例子進行分析表述，在這個過程中提升數(shù)學抽象素養(yǎng)．2．通過探索充要條件與數(shù)學定義的關(guān)系，進一步理解充要條件，能進行充要條件的判斷與證明，在這個過程提升邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．教學重難點教學重難點教學重點：充要條件的意義；教學難點：充要條件和數(shù)學定義之間關(guān)系．課前準備課前準備PPT課件教學過程教學過程（一）確定方案問題1：類比“充分條件與必要條件”的研究過程，你能試著寫出“充要條件”的研究過程嗎？師生活動：學生獨立思考，寫出研究過程，展示交流．預設(shè)的答案：具體實例（命題真假判斷）——抽象概念——概念辨析——應用概念．抽象概念：什么是充要條件？概念辨析：充要條件和數(shù)學中定義、公理、定理哪個有關(guān)？應用概念：如何判斷充要條件？設(shè)計意圖：通過類比所學知識，猜想新知識的研究過程．首先讓學生對本節(jié)的內(nèi)容有一個初步的整體認識和把握，同時有利于提高學生研究問題的能力和抽象概括能力．（二）問題導入問題2：閱讀教科書第20頁右下角的邊框內(nèi)容，完成下列問題：（1）對于“若p，則q”形式的命題，什么是它的逆命題？（2）請分別寫出下列命題的逆命題．①若兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等，則這兩個三角形全等；②若兩個三角形全等，則這兩個三角形的周長相等；③若一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則；④若A∪B是空集，則A與B均是空集．師生活動：學生獨立思考，寫出結(jié)果，展示交流，教師幫助學生規(guī)范表達．預設(shè)的答案：（1）“若p，則q”的逆命題為“若q，則p”，而且它們是互逆的；（2）①若兩個三角形全等，則這兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等；②若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；③若，則一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；④若與B均是空集，則是空集．設(shè)計意圖：逆命題對學生來說是一個新概念，首先通過舉例讓學生認識它，為后續(xù)學習做好鋪墊．（三）新知探究1．形成概念問題3：對于下列“若p，則q”形式的命題，請判斷它們及它們逆命題的真假．（1）若兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等，則這兩個三角形全等；（2）若兩個三角形全等，則這兩個三角形的周長相等；（3）若一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則；（4）若是空集，則與B均是空集．師生活動：在問題1的基礎(chǔ)上，學生獨立思考，給出判斷，展示交流，互相更正．追問1：根據(jù)以上命題及其逆命題的真假，那么p是否為q的充分條件或必要條件？為什么？師生活動：學生獨立思考，回答問題，互相更正．預設(shè)的答案：（1）原命題為真，所以p是q的充分條件；逆命題為真，所以p是q的必要條件；（2）原命題為真，所以p是q的充分條件；逆命題為假，所以p不是q的必要條件；（3）原命題為假，所以p不是q的充分條件；逆命題為真，所以p是q的必要條件；（4）原命題為真，所以p是q的充分條件；逆命題為真，所以p是q的必要條件．追問2：閱讀教科書第20頁最后一段到第21頁第一段完，你能說說什么是充要條件嗎？師生活動：學生獨立思考，回答問題．老師板書．預設(shè)的答案：如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，則記作．此時p既是q的充分條件，又是q的必要條件，我們說p是q充分必要條件，簡稱為充要條件．設(shè)計意圖：從學生熟悉的具體命題出發(fā)，通過分析命題及其逆命題的真假，引出充要條件的概念．2．辨析概念問題4：根據(jù)定義，上述四個命題中，哪些p是q的充要條件？類比“充分必要條件”的名稱，其余的命題中，你認為p應該稱為q的什么條件？你認為如何判斷p是q的什么條件？師生活動：學生獨立思考，回答問題，老師更正并板書．預設(shè)的答案：上述命題（1）（4）中的p是q充要條件．對于命題（2），p是q的充分條件，p不是q的必要條件，稱p是q的充分不必要條件；對于命題（3），p不是q的充分條件，p是q的必要條件，稱p是q的必要不充分條件．如果p不是q的充分條件，也不是q的必要條件，稱p是q的既不充分又不必要條件．如果“若p，則q”為真命題，且“若q，則p”為真命題，則p是q充要條件；如果“若p，則q”為真命題，且“若q，則p”為假命題，則p是q充分不必要條件；如果“若p，則q”為假命題，且“若q，則p”為真命題，則p是q必要不充分條件；如果“若p，則q”為假命題，且“若q，則p”為假命題，則p是q即不充分又不必要條件．設(shè)計意圖：借助學生熟悉的命題，說明p是q的充要、充分不必要等條件與p是q的充分條件、p是q的必要條件之間的關(guān)系．同時利用定義解決問題，形成方法．3．應用概念例3下列各題中，p是q的什么條件？（請用“充要條件”“充分不必要條件”“必要不充分條件”“既不充分又不必要條件”回答）并寫出理由．（1）p：兩個三角形全等，q：兩個三角形三邊成比例；（2）p：四邊形是平行四邊形，q：四邊形的對角線互相平分；（3）p：，q：；（4）p：是一元二次方程的一個根，q：．追問1：判斷p是q的什么條件的依據(jù)與方法是什么？（答案略）師生活動：學生獨立完成，要求寫出判斷過程和結(jié)果，然后展示交流，教師幫助學生規(guī)范過程．如果學生只寫出命題的真假，而沒有給出理由，老師要進行追問．例如：學生在（1）中寫出“若q，則p為假命題”，老師追問“為什么”，直到學生給出反例為止．設(shè)計意圖：進一步熟悉利用判斷命題真假來判定充要條件、充分不必要等條件的方法．追問2：例3（2）中給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充要條件，即“四邊形的對角線互相平分”，你還能寫出不同的充要條件嗎？（答案略）師生活動：學生回答，教師將學生的回答板書在黑板上．追問3：這些充要條件從不同角度刻畫了“平行四邊形”這個概念，據(jù)此我們可以給出平行四邊形的不同定義．例如：“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”、“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”等等．再回憶你學過的其他數(shù)學定義，你發(fā)現(xiàn)充要條件和數(shù)學定義之間有什么關(guān)系？師生活動：學生獨立思考，小組討論，展示交流．預設(shè)的答案：例如：相似三角形；菱形；子集等定義．數(shù)學定義和充要條件的關(guān)系：數(shù)學定義給出了數(shù)學對象成立的充要條件，它是從充分性和必要性兩個方面刻畫數(shù)學對象的，它既是這個數(shù)學對象的判定定理又是性質(zhì)定理．設(shè)計意圖：借助具體的數(shù)學命題，理解數(shù)學定義和充要條件的關(guān)系，進一步深化對充要條件的理解．例4已知：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，求證：d=r是直線l與⊙O相切的充要條件．追問：依據(jù)充要條件定義，證明“d=r是直線l與⊙O相切的充要條件”，應該證明哪些命題為真命題？并嘗試給出證明思路．師生活動：學生獨立思考，分析題意，嘗試寫出要證的命題以及證明思路，展示交流，老師幫忙完善．在此基礎(chǔ)上，學生完成證明，老師幫助訂正并規(guī)范學生的表達，并指出哪一步是“充分性”，哪一步是“必要性”．或者也可以讓學生閱讀教科書，并說明哪一步是充分性，哪一步是必要性．預設(shè)的答案：需要證明的命題以及證明思路：（1）若d=r，則直線l與⊙O相切；思路：要證“直線l與⊙O相切”“直線l與⊙O有且只有一個公共點”先根據(jù)條件“d=r”證明“有公共點”，然后再證明“只有一個公共點”．（2）若直線l與⊙O相切，則d=r．思路：由“直線l與⊙O相切”“直線l與⊙O有且只有一個公共點P”“”“d=r”．證明：（1）如圖，作OPl于點P，則OP=d．若d=r，則點P在⊙O上，在直線l上任取一點Q（異于點P），連接OQ．在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r．所以，除點P外直線l上的點都在⊙O的外部，即直線l與⊙O僅有一個公共點P．所以直線l與⊙O相切．（2）若直線l與⊙O相切，不防設(shè)切點為P，則OPl．因此d=OP=r．由（1）（2）得，d=r是直線l與⊙O相切的充要條件．證明命題（1）成立，即說明d=r是直線l與⊙O相切的充分條件，這一步稱為“充分性”；證明命題（2）成立，即說明d=r是直線l與⊙O相切的必要條件，這一步稱為“必要性”．設(shè)計意圖：通過充要條件的證明，進一步加深學生對充要條件的理解．另外，這個題目推理過程有一定難度，所以在推理之前，分清條件和結(jié)論，理清證明思路很重要．（四）梳理總結(jié)問題5：本節(jié)課我們學習了充要條件，充要條件的含義是什么？對于“若p，則q”命題，判斷p是q的什么條件的方法是什么？充要條件與數(shù)學定義有什么關(guān)系？師生活動：師生一起總結(jié)．預設(shè)的答案：如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，則記作．此時p既是q的充分條件，又是q的必要條件，我們說p是q充分必要條件，簡稱為充要條件．判斷方法：通過判斷“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”的真假，從而得出p是q的充要或充分不必要或必要不充分或既不充分也不必要條件．數(shù)學定義和充要條件的關(guān)系：數(shù)學定義給出了數(shù)學對象成立的充要條件，它是從充分性和必要性兩個方面刻畫數(shù)學對象的，它既是這個數(shù)學對象的判定定理又是性質(zhì)定理．設(shè)計意圖：通過梳理本節(jié)課的內(nèi)容，讓學生進一步明確充要條件的含義以及它在數(shù)學中的地位和價值．作業(yè)布置：教科書第22頁練習第1，2，3題；習題第1到6題．（五）目標檢測設(shè)計1．（浙江）設(shè)，是實數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件設(shè)計意圖：考查充要條件的判斷方法．2．已知集合A，B，則“A∩B=B”的一個充分不必要條件是（）A．A=B．A?BC．B