【學(xué)海導(dǎo)航】高考數(shù)學(xué)第1輪總復(fù)習(xí) 全國(guó)統(tǒng)編教材 6.3不等式的證明(第3課時(shí))課件 理_第1頁(yè)
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第六章不等式不等式的證明第講3(第三課時(shí))1題型6用反證法證不等式1.已知a、b、c∈(0,1),求證:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時(shí)大于.證法1:假設(shè)三式同時(shí)大于,即有(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c>.2又(1-a)a≤()2=,同理,(1-b)b≤,(1-c)c≤,所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤,因此與假設(shè)矛盾,故結(jié)論正確.

證法2:假設(shè)三式同時(shí)大于.

因?yàn)?<a<1,所以1-a>0,3點(diǎn)評(píng):證明有關(guān)“至少”“最多”“唯一”或含有其他否定詞的命題,可采用反證法.反證法的證題步驟是:反設(shè)——推理——導(dǎo)出矛盾(得出結(jié)論).所以同理,都大于.

三式相加得>,矛盾.

故假設(shè)不成立,從而原命題成立.

4已知a,b,c∈R,求證:a2-2c,b2-2a,c2-2b三個(gè)式子中至少有一個(gè)不小于-1.

證明:假設(shè)三式都同時(shí)小于-1,即a2-2c<-1,b2-2a<-1,c2-2b<-1,三式相加,

得a2-2c+b2-2a+c2-2b<-3,

所以a2-2c+b2-2a+c2-2b+3<0,

即有(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2<0,

這與(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0,矛盾.

故結(jié)論成立.5題型7用換元證不等式2.已知a、b∈R,a2+b2≤4,求證:|3a2-8ab-3b2|≤20.

證明:因?yàn)閍、b∈R,a2+b2≤4,所以可設(shè)a=rcosθ,b=rsinθ,其中0≤r≤2,所以|3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2θ-4sin2θ|=r2|5cos(2θ+arctan)|≤5r2≤20.

所以原不等式成立.6點(diǎn)評(píng):換元法一般有代數(shù)式的整體換元、三角換元等換元方式.換元時(shí)要注意新變?cè)娜≈捣秶约皳Q元后的式子的意義.常用的換元有:若x2+y2=a2,可設(shè)x=acosθ,y=asinθ;若可設(shè)x=acosθ,y=bsinθ;若x2+y2≤1,可設(shè)x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1).7已知1≤x2+y2≤2,求證:≤x2-xy+y2≤3.

證明:設(shè)x=rcosθ,y=rsinθ,且1≤r≤2,θ∈R,則

由-1≤sin2θ≤1,得≤1-sin2θ≤.

又1≤r2≤2,所以≤r2(1-sin2θ)≤3,即≤x2-xy+y2≤3.83.求證:

證明:令x∈R,則yx2+yx+y=x2-x+1.

于是(y-1)x2+(y+1)x+y-1=0.①(1)若y=1,則x=0,符合題意;

(2)若y≠1,則①式是關(guān)于x的一元二次方程.題型8判別式法證不等式9由x∈R,知Δ=(y+1)2-4(y-1)2≥0,解得≤y≤3且y≠1.

綜合(1)(2),得≤y≤3,即點(diǎn)評(píng):與二次式有關(guān)的不等式證明,可通過(guò)構(gòu)造二次方程,然后利用方程有實(shí)數(shù)解的充要條件得出式子的取值范圍,就是所要證明的不等式.10求證證::證明明::令則yx2-(y+1)x+y+1=0,①①(1)當(dāng)y=0時(shí),,得得x=1,符符合合題題意意;;(2)當(dāng)y≠0時(shí),,則則①①式式是是關(guān)關(guān)于于x的一一元元二二次次方方程程.由x∈R,得得Δ=(y+1)2-4y(y+1)≥≥0,解得得-1≤≤y≤,且y≠0.綜合合(1)(2),得-1≤≤y≤,所以以11已知知函函數(shù)數(shù)f(x)=ln(x+1)-x,若若x>-1,證證明明:≤ln(x+1)≤≤x.證明明::令f′(x)=0,得得x=0.當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),,f′(x)>0;當(dāng)x∈(0,+∞∞)時(shí),,f′(x)<0.題型型不不等等式式與與函函數(shù)數(shù)的的綜綜合合應(yīng)應(yīng)用用12所以以f(x)在區(qū)區(qū)間間(-1,0)上是是增增函函數(shù)數(shù),,在區(qū)區(qū)間間(0,+∞∞)上是是減減函函數(shù)數(shù).所以以當(dāng)當(dāng)x>-1時(shí),,f(x)≤≤f(0)=0,即ln(x+1)-x≤0,故故ln(x+1)≤≤x.令則令g′′(x)=0,得得x=0.當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),,g′(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞∞)時(shí),,g′′(x)>0.13所以以g(x)在(-1,0)上是是減減函函數(shù)數(shù),,在(0,+∞∞)上是是增增函函數(shù)數(shù),,故當(dāng)當(dāng)x>-1時(shí),,g(x)≥≥g(0)=0,即故故綜上上知知,,141.在已已知知中中如如果果出出現(xiàn)現(xiàn)兩兩數(shù)數(shù)相相加加等等于于一一個(gè)個(gè)正正常常數(shù)數(shù),,可可聯(lián)聯(lián)想想到到公公式式sin2α+cos2α=1,進(jìn)進(jìn)行行三三角角換換元元.2.含有有字字母母的的不不等等式式證證明明

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