中學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中的函數(shù)及其思想 3300字

中學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中的函數(shù)及其思想3300字摘要：代數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容，而函數(shù)又是代數(shù)的核心知識，也是學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的難點(diǎn)。從中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中關(guān)于函數(shù)概念的幾種定義出發(fā)，討論了函數(shù)的本質(zhì)和學(xué)習(xí)函數(shù)的要點(diǎn)以及課程設(shè)計(jì)的原那么。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；課程；教學(xué)；函數(shù)

20世紀(jì)以來，世界各國中學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于代數(shù)的內(nèi)容逐漸從以解方程為中心轉(zhuǎn)到以研究函數(shù)為中心。［1］現(xiàn)在，函數(shù)概念已經(jīng)成為中學(xué)數(shù)學(xué)中最為重要的概念之一。因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革中，理解函數(shù)思想，把握函數(shù)本質(zhì)，處理好函數(shù)的教學(xué)是很重要的。針對上述問題，我對史寧中教授進(jìn)行了訪談，下面是經(jīng)過整理后的訪談?dòng)涗洝?/p>

一、函數(shù)及其思想

《問：函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，函數(shù)定義的形成經(jīng)歷了較長的演變過程，您可以談?wù)労瘮?shù)定義的開展歷史嗎？

▲史教授：是的，函數(shù)定義的形成的確經(jīng)歷了較長的時(shí)間。即使在今天，在我們數(shù)學(xué)教科書中，函數(shù)的定義在初中、高中、大學(xué)還是有所不同的，這也從一個(gè)側(cè)面反映了函數(shù)定義的開展歷史。

最初，是德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨〔Leibniz〕在他的一部手稿中，用到了Function一詞。是用來表示任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的量，示例，切線、法線、次切線等的長度和縱坐標(biāo)等，那是在17世紀(jì)〔1673年〕。［2］

到了18世紀(jì)〔1718年〕，貝努利〔Bernoulli〕給出了函數(shù)的解析定義：是由變量x和常數(shù)組成的式子。

歐拉〔Euler〕首先給出了函數(shù)的變量定義〔1755年〕：“如果某變量以如下方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后者變化時(shí)，前者本身也發(fā)生變化，那么稱前一個(gè)變量是后一些變量的函數(shù)。〞可以看到，我國初中數(shù)學(xué)教科書中關(guān)于函數(shù)的定義就采用了這一說法。

后來，黎曼〔Riemann〕給出了函數(shù)的對應(yīng)定義〔1851年〕：“我們假定Z是一個(gè)變量，如果對它的每一個(gè)值，都有未知量W的一個(gè)值與之對應(yīng)，那么稱W是Z的函數(shù)。〞這可以被看作我國高中數(shù)學(xué)教科書中關(guān)于函數(shù)定義的雛形。

到了上個(gè)世紀(jì)〔1939年〕，布爾巴基學(xué)派認(rèn)為，函數(shù)的定義應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)關(guān)系，于是借用了笛卡兒積：假設(shè)X、Y是兩個(gè)匯合，二者的笛卡兒積是指匯合{〔x,y|x∈X，y∈Y〕}，笛卡兒積中的子集F被稱為x與y之間的一種關(guān)系。如果關(guān)系F滿足：對于每一個(gè)x∈X，都存在唯一的一個(gè)Y，使得〔x,y〕∈F，那么稱F是一個(gè)函數(shù)。在美國中學(xué)的一些教科書中就采用了這種定義，［3］我國的一些大學(xué)數(shù)學(xué)教科書也有采用這種定義的。［4］

有時(shí)，分別稱上述三種定義為變量說、對應(yīng)說和關(guān)系說。

《問：既然函數(shù)的定義可以是多樣的，則函數(shù)定義的核心思想是什么呢？

▲史教授：我認(rèn)為，在整個(gè)根底教育階段數(shù)學(xué)的核心是研究關(guān)系，具體來說研究三種關(guān)系，即數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系和隨機(jī)關(guān)系，我在一篇文章中曾經(jīng)談到這一點(diǎn)。［5］函數(shù)研究的是兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系：一個(gè)變量的取值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量的取值也發(fā)生變化，這就是函數(shù)敘述的數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系。其中有三點(diǎn)是重要的：一是變量的取值是實(shí)數(shù)；二是因變量的取值是唯一的；三是必須借助數(shù)字以外的符號來表示函數(shù)。我想，這些就是函數(shù)定義的核心思想。關(guān)于符號敘述，無論是借助解析式，還是利用圖像或者列表都是可以的。

《問：函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，您能否談一下在中學(xué)學(xué)習(xí)函數(shù)的重要性？

▲史教授：在中學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)要突出函數(shù)的內(nèi)容，這是數(shù)學(xué)家們長期實(shí)踐后得出的結(jié)論?？巳R因〔F.Klein〕在為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)起草的?米蘭大綱》〔1905年〕中明確提出：“應(yīng)將養(yǎng)成函數(shù)思想和空間察看能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的根底。〞在他的名著?高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》中，他進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)用近代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來改造傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，主張加強(qiáng)函數(shù)和微積分的教學(xué)，改革和充實(shí)代數(shù)的內(nèi)容。［6］〔19—21〕

剛剛已經(jīng)談到，要敘述函數(shù)必須借助數(shù)字以外的符號。利用符號敘述是具有一般性的，因此函數(shù)敘述是數(shù)字?jǐn)⑹龅某橄蠛蜕罨Ｍ瑫r(shí)，利用符號進(jìn)行運(yùn)算和推理所得到的結(jié)論也是具有一般性的，正因?yàn)檫@一點(diǎn)，使得人們能夠借助函數(shù)構(gòu)建模型，能夠更好地刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系，并且通過數(shù)量關(guān)系的研究來解釋現(xiàn)實(shí)世界。這不僅僅體現(xiàn)在自然科學(xué)、體現(xiàn)在項(xiàng)目技術(shù)上，也逐漸廣泛地體現(xiàn)在人文社會科學(xué)上：世界萬物之間的聯(lián)系與變化都有可能以各種不同的函數(shù)作為它們的數(shù)學(xué)模型。這些，又促使數(shù)學(xué)家們深入地研究各種函數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算以及與空間形式的關(guān)聯(lián)，使得數(shù)學(xué)經(jīng)歷了從常量到變量、從有限到無限、從低維到高維的開展，一批新的數(shù)學(xué)分支應(yīng)運(yùn)而生。因此，無論是從數(shù)學(xué)的應(yīng)用還是從數(shù)學(xué)本身的開展上，函數(shù)的重要性怎么說都不過分。

《問：函數(shù)、方程、不等式都是中學(xué)代數(shù)的重要數(shù)學(xué)內(nèi)容，您能否談一談它們之間的聯(lián)系和區(qū)別？

▲史教授：函數(shù)、方程、不等式是從不同角度刻畫變量之間的數(shù)量關(guān)系，它們之間是有關(guān)聯(lián)的，但又有本質(zhì)的區(qū)別。比方，令f〔x〕=x2-3x-4，這是一個(gè)函數(shù)。外表上看，f(x)=0與方程x2=3x+4是等價(jià)的，但是二者所敘述的意義是不同的：前者表示函數(shù)取0值，而后者表示變量之間的等量關(guān)系。同樣，f(x)＞0與不等式x2＞3x+4所敘述的意義也是不同的。在解決具體問題時(shí)應(yīng)當(dāng)注意它們之間的關(guān)聯(lián)，比方，在求不等式的解的過程中，可以先求出等式的解，借助等式的解畫出函數(shù)的圖像，然后通過函數(shù)的圖像寫出不等式的解。

二、函數(shù)的課程設(shè)計(jì)

《問：剛剛您已經(jīng)談到，關(guān)于函數(shù)的定義我國初中和高中的數(shù)學(xué)教科書中是有所不同的，您認(rèn)為這種課程設(shè)計(jì)是合理的嗎？

▲史教授：我認(rèn)為，整個(gè)根底教育階段的數(shù)學(xué)教育，應(yīng)當(dāng)從課程設(shè)計(jì)的角度統(tǒng)籌考慮。我們應(yīng)當(dāng)分明每個(gè)年齡段的學(xué)生適于學(xué)習(xí)什么，怎樣學(xué)。說得詳細(xì)些，如果把小學(xué)分為兩個(gè)學(xué)段，初中和高中各為一個(gè)學(xué)段，那么在根底教育階段共有四個(gè)學(xué)段。第一學(xué)段不要過多地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，因?yàn)槟菚r(shí)的孩子還不能很好地理解數(shù)學(xué)所敘述的意義；第二階段不要過多地波及邏輯，因?yàn)閷W(xué)生還沒有建立起足夠的可以理解邏輯的概念；第三階段不要過多地波及形式化的抽象，因?yàn)槭紫纫囵B(yǎng)學(xué)生基于物理屬性的、基于本原的抽象；到了第四階段，可以逐漸讓學(xué)生接觸形式化的抽象概念。

上述想法是否合理是需要驗(yàn)證的，需要通過數(shù)據(jù)調(diào)查與分析。如果是合理的，則關(guān)于函數(shù)概念的定義在初中數(shù)學(xué)教科書中采用變量說，在高中數(shù)學(xué)教科書采用對應(yīng)說是有道理的。特別是，在初中階段學(xué)生已經(jīng)掌握了函數(shù)知識的主干局部，到高中階段再進(jìn)一步開展和擴(kuò)充，也是合乎布魯納所主張的建構(gòu)主義辦法的。［6］〔50—51〕

《問：函數(shù)概念比擬抽象，學(xué)生不容易理解，您是否可以談一談在數(shù)學(xué)教材編寫上如何處理這個(gè)問題？

▲史教授：函數(shù)概念本身就不好理解，又是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中第一次遇到的一般意義的抽象概念，學(xué)生對其理解有困難是不言而喻的。國外關(guān)于函數(shù)教學(xué)的研究也說明了這一點(diǎn)：函數(shù)概念有許多復(fù)雜的層次和許多相關(guān)的下層概念。這樣，函數(shù)的確變成了中學(xué)數(shù)學(xué)中最難教、最難學(xué)的概念之一。因此，針對這樣的概念，我們不要冀望一堂課或者幾堂課就能讓學(xué)生很好地理解，應(yīng)當(dāng)通過各種具體的例子和習(xí)題的分析幫忙學(xué)生理解函數(shù)概念。

至于函數(shù)概念的引入，一般來說有兩種處理方法：一種是從一般到特殊，直接給出函數(shù)的概念，然后舉例加以表明；另一種是從特殊到一般，先舉一些學(xué)生熟悉