【公開課課件】選修2-1-第三章 3.2 第3課時

第三章

§3.2立體幾何中的向量方法第3課時用空間向量解決空間角與距離問題問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一空間三種角的向量求法空間角包括線線角、線面角、二面角，這三種角的定義確定了它們相應(yīng)的取值范圍，結(jié)合它們的取值范圍可以用向量法進(jìn)行求解.角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設(shè)兩異面直線所成的角為θ，它們的方向向量分別為a，b，則cosθ＝

＝______|cos〈a，b〉|直線與平面所成的角設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，l的方向向量為a，平面α的法向量為n，則sinθ＝

＝_____二面角設(shè)二面角α－l－β為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則|cosθ|＝

＝[0，π]|cos〈a，n〉||cos〈n1，n2〉|知識點(diǎn)二利用空間向量求距離(※)點(diǎn)到平面的距離：用空間向量法求點(diǎn)到平面的距離具體步驟如下：先確定平面的法向量，再求點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的連線形成的斜線段在平面的法向量上的射影長.如圖，設(shè)n＝(a，b，c)是平面α的一個法向量，P0(x0，y0，z0)為α外一點(diǎn)，P(x，y，z)是平面α內(nèi)的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P0到線面距離、面面距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，因此，只要掌握點(diǎn)到平面距離的求法，就可解決其他的距離問題. [思考辨析判斷正誤](1)直線與平面所成的角α與該直線的方向向量與平面的法向量的夾角β互余.(

)××(3)二面角的大小等于其兩個半平面的法向量的夾角的大小.(

)×√題型探究例1

(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成的角的余弦值為________.類型一求線線角、線面角答案解析解析

如圖所示，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線CC1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.(2)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分別為PC，PB的中點(diǎn).①求證：PB⊥DM；證明證明

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)BC＝1，則A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，∴PB⊥DM.②求BD與平面ADMN所成的角.解答又∵PB⊥DM，AD∩DM＝D，∴PB⊥平面ADMN.跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則AB1與D1E所成角的余弦值為答案解析√解析

∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，(2)如圖所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.①證明：AB⊥A1C；證明證明

取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B.∵CA＝CB，∴OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B為等邊三角形，∴OA1⊥AB.∵OC∩OA1＝O，∴AB⊥平面OA1C.又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.②若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.解答解

由①知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，OC?平面ABC，所以O(shè)C⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OA1，OC所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，解答類型二求二面角問題例2如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn)，求二面角A－A1D－B的余弦值.解

取BC的中點(diǎn)O，連接AO，因為△ABC是正三角形，所以AO⊥BC，因為在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO?平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中點(diǎn)O1，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OO1，OA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)平面A1AD的法向量為n＝(x，y，z)，即AB1⊥BD，AB1⊥BA1，且BD∩BA1＝B，所以AB1⊥平面A1BD，又二面角A－A1D－B為銳二面角，解答解

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在直線分別為x軸，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz，取PB的中點(diǎn)D，連接DC，可知DC⊥PB，作AE⊥PB于點(diǎn)E，解答類型三解決距離問題(※)例3已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別是C1C，D1A1，AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面EFG的距離.解

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(xiàn)(1,0,2)，G(2,1,0).設(shè)n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，點(diǎn)A到平面EFG的距離為d，解答跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)求D1A1到平面EFGH的距離.解

因為點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，所以EF∥B1C1∥A1D1.又因為A1D1?平面EFGH，EF?平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH，所以D1A1到平面EFGH的距離即為點(diǎn)D1到平面EFGH的距離.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)平面EFGH的法向量為n＝(x，y，z)，令z＝6，可得n＝(0，－1,6).設(shè)D1A1到平面EFGH的距離為d，連接D1F，達(dá)標(biāo)檢測答案解析12345A.30° B.60° C.120° D.150°√解析

設(shè)l與α所成的角為θ，答案12345解析解析

由于二面角的范圍是[0，π]，而二面角的兩個半平面α與β的法向量都有兩個方向，√答案解析3.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，則AD與平面AA1C1C所成角的正弦值為12345√解析

取AC的中點(diǎn)E，連接BE，則BE⊥AC，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BE，BB1所在直線分別為x軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz，∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC，BE?平面ABC，∴BE⊥平面AA1C1C，12345設(shè)AD與平面AA1C1C所成角為α，12345答案解析4.設(shè)a，b是直線，α，β是平面，a⊥α，b⊥β，向量a在a上，向量b在b上，a＝(1,1,1)，b＝(－3,4,0)，則α，β所成二面角中較小的一個角的余弦值為12345解析

設(shè)α，β所成二面角中較小的一個角為θ，________.答案解析12345弦值為_____.解析

過C點(diǎn)作CO⊥平面ABDE，垂足為點(diǎn)O，取AB的中點(diǎn)F，連接CF，OF，則∠CFO為二面角C－AB－D的平面角.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OC所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，12345123451.向量法求角(1)兩條異面直線所成的角θ可以借助這兩