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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E、F且EF=,則下列結(jié)論中錯誤的是()A.AC⊥BE B.EF平面ABCDC.三棱錐A-BEF的體積為定值 D.異面直線AE,BF所成的角為定值2.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表:X01Pabc其中a,b,.若X的方差對所有都成立,則()A. B. C. D.3.若函數(shù)的定義域為M={x|-2≤x≤2},值域為N={y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是()A. B. C. D.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的的值為()A. B.C. D.5.已知命題p:直線a∥b,且b?平面α,則a∥α;命題q:直線l⊥平面α,任意直線m?α,則l⊥m.下列命題為真命題的是()A.p∧q B.p∨(非q) C.(非p)∧q D.p∧(非q)6.已知函數(shù),則()A. B.1 C.-1 D.07.如圖是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.8.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則等于()A.3 B.C.2 D.9.已知向量,,則向量在向量上的投影是()A. B. C. D.10.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.11.已知集合,則集合真子集的個數(shù)為()A.3 B.4 C.7 D.812.給出以下四個命題:①依次首尾相接的四條線段必共面;②過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面;③空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,那么這兩個角必相等;④垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列滿足:,,若對任意的正整數(shù)均有,則實數(shù)的最大值是_____.14.的展開式中的系數(shù)為__________(用具體數(shù)據(jù)作答).15.若正實數(shù)x,y,滿足x+2y=5,則x216.某商場一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示,下列說法中正確的是______.①2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同;②支出最高值與支出最低值的比是6:1;③第三季度平均收入為50萬元;④利潤最高的月份是2月份.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:(),與軸負(fù)半軸交于,離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線:與橢圓交于,兩點,連接,并延長交直線于,兩點,已知,求證:直線恒過定點,并求出定點坐標(biāo).18.(12分)如圖,在四棱錐中,四邊形為正方形,平面,點是棱的中點,,.(1)若,證明:平面平面;(2)若三棱錐的體積為,求二面角的余弦值.19.(12分)某單位準(zhǔn)備購買三臺設(shè)備,型號分別為已知這三臺設(shè)備均使用同一種易耗品,提供設(shè)備的商家規(guī)定:可以在購買設(shè)備的同時購買該易耗品,每件易耗品的價格為100元,也可以在設(shè)備使用過程中,隨時單獨(dú)購買易耗品,每件易耗品的價格為200元.為了決策在購買設(shè)備時應(yīng)購買的易耗品的件數(shù).該單位調(diào)查了這三種型號的設(shè)備各60臺,調(diào)査每臺設(shè)備在一個月中使用的易耗品的件數(shù),并得到統(tǒng)計表如下所示.每臺設(shè)備一個月中使用的易耗品的件數(shù)678型號A30300頻數(shù)型號B203010型號C04515將調(diào)查的每種型號的設(shè)備的頻率視為概率,各臺設(shè)備在易耗品的使用上相互獨(dú)立.(1)求該單位一個月中三臺設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率;(2)以該單位一個月購買易耗品所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),該單位在購買設(shè)備時應(yīng)同時購買20件還是21件易耗品?20.(12分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間(2)記函數(shù)的圖象為曲線,設(shè)點是曲線上不同兩點,如果在曲線上存在點,使得①;②曲線在點M處的切線平行于直線AB,則稱函數(shù)存在“中值和諧切線”,當(dāng)時,函數(shù)是否存在“中值和諧切線”請說明理由21.(12分)購買一輛某品牌新能源汽車,在行駛?cè)旰?,政府將給予適當(dāng)金額的購車補(bǔ)貼.某調(diào)研機(jī)構(gòu)對擬購買該品牌汽車的消費(fèi)者,就購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查,其樣本頻率分布直方圖如圖所示.(1)估計擬購買該品牌汽車的消費(fèi)群體對購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(2)將頻率視為概率,從擬購買該品牌汽車的消費(fèi)群體中隨機(jī)抽取人,記對購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值高于萬元的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)統(tǒng)計最近個月該品牌汽車的市場銷售量,得其頻數(shù)分布表如下:月份銷售量(萬輛)試預(yù)計該品牌汽車在年月份的銷售量約為多少萬輛?附:對于一組樣本數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,.22.(10分)在四棱錐的底面是菱形,底面,,分別是的中點,.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;(III)在邊上是否存在點,使與所成角的余弦值為,若存在,確定點的位置;若不存在,說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
A.通過線面的垂直關(guān)系可證真假;B.根據(jù)線面平行可證真假;C.根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可證真假;D.根據(jù)列舉特殊情況可證真假.【詳解】A.因為,所以平面,又因為平面,所以,故正確;B.因為,所以,且平面,平面,所以平面,故正確;C.因為為定值,到平面的距離為,所以為定值,故正確;D.當(dāng),,取為,如下圖所示:因為,所以異面直線所成角為,且,當(dāng),,取為,如下圖所示:因為,所以四邊形是平行四邊形,所以,所以異面直線所成角為,且,由此可知:異面直線所成角不是定值,故錯誤.故選:D.【點睛】本題考查立體幾何中的綜合應(yīng)用,涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算,難度較難.注意求解異面直線所成角時,將直線平移至同一平面內(nèi).2.D【解析】
根據(jù)X的分布列列式求出期望,方差,再利用將方差變形為,從而可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值為,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因為,所以當(dāng)且僅當(dāng)時,取最大值,又對所有成立,所以,解得,故選:D.【點睛】本題綜合考查了隨機(jī)變量的期望?方差的求法,結(jié)合了概率?二次函數(shù)等相關(guān)知識,需要學(xué)生具備一定的計算能力,屬于中檔題.3.B【解析】因為對A不符合定義域當(dāng)中的每一個元素都有象,即可排除;對B滿足函數(shù)定義,故符合;對C出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個元素對應(yīng)值域當(dāng)中的兩個元素的情況,不符合函數(shù)的定義,從而可以否定;對D因為值域當(dāng)中有的元素沒有原象,故可否定.故選B.4.B【解析】
列出循環(huán)的每一步,進(jìn)而可求得輸出的值.【詳解】根據(jù)程序框圖,執(zhí)行循環(huán)前:,,,執(zhí)行第一次循環(huán)時:,,所以:不成立.繼續(xù)進(jìn)行循環(huán),…,當(dāng),時,成立,,由于不成立,執(zhí)行下一次循環(huán),,,成立,,成立,輸出的的值為.故選:B.【點睛】本題考查的知識要點:程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于基礎(chǔ)題型.5.C【解析】
首先判斷出為假命題、為真命題,然后結(jié)合含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性,判斷出正確選項.【詳解】根據(jù)線面平行的判定,我們易得命題若直線,直線平面,則直線平面或直線在平面內(nèi),命題為假命題;根據(jù)線面垂直的定義,我們易得命題若直線平面,則若直線與平面內(nèi)的任意直線都垂直,命題為真命題.故:A命題“”為假命題;B命題“”為假命題;C命題“”為真命題;D命題“”為假命題.故選:C.【點睛】本小題主要考查線面平行與垂直有關(guān)命題真假性的判斷,考查含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假性判斷,屬于基礎(chǔ)題.6.A【解析】
由函數(shù),求得,進(jìn)而求得的值,得到答案.【詳解】由題意函數(shù),則,所以,故選A.【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題,其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式,代入求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7.A【解析】
根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱,根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱,直觀圖如圖所示:其中,底面為直角三角形,,,高為.∴該幾何體的體積為故選:A.【點睛】本題考查三視圖及棱柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡,從而求得,然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解.【詳解】,所以,,故選:D.【點睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題,涉及到的知識點有復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算,復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題目.9.A【解析】
先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求解,再利用向量在向量上的投影公式即得解【詳解】由于向量,故向量在向量上的投影是.故選:A【點睛】本題考查了向量加法、減法的坐標(biāo)運(yùn)算和向量投影的概念,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.10.B【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計算,由共軛復(fù)數(shù)的概念寫出.【詳解】,,故選:B【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法計算,共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于容易題.11.C【解析】
解出集合,再由含有個元素的集合,其真子集的個數(shù)為個可得答案.【詳解】解:由,得所以集合的真子集個數(shù)為個.故選:C【點睛】此題考查利用集合子集個數(shù)判斷集合元素個數(shù)的應(yīng)用,含有個元素的集合,其真子集的個數(shù)為個,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】
用空間四邊形對①進(jìn)行判斷;根據(jù)公理2對②進(jìn)行判斷;根據(jù)空間角的定義對③進(jìn)行判斷;根據(jù)空間直線位置關(guān)系對④進(jìn)行判斷.【詳解】①中,空間四邊形的四條線段不共面,故①錯誤.②中,由公理2知道,過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面,故②正確.③中,由空間角的定義知道,空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,那么這兩個角相等或互補(bǔ),故③錯誤.④中,空間中,垂直于同一直線的兩條直線可相交,可平行,可異面,故④錯誤.故選:B【點睛】本小題考查空間點,線,面的位置關(guān)系及其相關(guān)公理,定理及其推論的理解和認(rèn)識;考查空間想象能力,推理論證能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.2【解析】
根據(jù)遞推公式可考慮分析,再累加求出關(guān)于關(guān)于參數(shù)的關(guān)系,根據(jù)表達(dá)式的取值分析出,再用數(shù)學(xué)歸納法證明滿足條件即可.【詳解】因為,累加可得.若,注意到當(dāng)時,,不滿足對任意的正整數(shù)均有.所以.當(dāng)時,證明:對任意的正整數(shù)都有.當(dāng)時,成立.假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立,即,則,即結(jié)論對也成立.由數(shù)學(xué)歸納法可知,對任意的正整數(shù)都有.綜上可知,所求實數(shù)的最大值是2.故答案為:2【點睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解參數(shù)最值的問題,需要根據(jù)遞推公式累加求解,同時注意結(jié)合參數(shù)的范圍問題進(jìn)行分析.屬于難題.14.【解析】
利用二項展開式的通項公式可求的系數(shù).【詳解】的展開式的通項公式為,令,故,故的系數(shù)為.故答案為:.【點睛】本題考查二項展開式中指定項的系數(shù),注意利用通項公式來計算,本題屬于容易題.15.8【解析】
分析:將題中的式子進(jìn)行整理,將x+1當(dāng)做一個整體,之后應(yīng)用已知兩個正數(shù)的整式形式和為定值,求分式形式和的最值的問題的求解方法,即可求得結(jié)果.詳解:x2-3x+1+2點睛:該題屬于應(yīng)用基本不等式求最值的問題,解決該題的關(guān)鍵是需要對式子進(jìn)行化簡,轉(zhuǎn)化,利用整體思維,最后注意此類問題的求解方法-------相乘,即可得結(jié)果.16.①②③【解析】
通過圖片信息直接觀察,計算,找出答案即可.【詳解】對于①,2至月份的收入的變化率為20,11至12月份的變化率為20,故相同,正確.對于②,支出最高值是2月份60萬元,支出最低值是5月份的10萬元,故支出最高值與支出最低值的比是6:1,正確.對于③,第三季度的7,8,9月每個月的收入分別為40萬元,50萬元,60萬元,故第三季度的平均收入為50萬元,正確.對于④,利潤最高的月份是3月份和10月份都是30萬元,高于2月份的利潤是80﹣60=20萬元,錯誤.故答案為①②③.【點睛】本題考查利用圖象信息,分析歸納得出正確結(jié)論,屬于基礎(chǔ)題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)證明見解析;定點坐標(biāo)為【解析】
(1)由條件直接算出即可(2)由得,,,由可得,同理,然后由推出即可【詳解】(1)由題有,.∴,∴.∴橢圓方程為.(2)由得,.又∴,同理又∴∴∴∴∴∴,此時滿足∴∴直線恒過定點【點睛】涉及橢圓的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時,一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.18.(1)見解析(2)【解析】
(1)由已知可證得平面,則有,在中,由已知可得,即可證得平面,進(jìn)而證得結(jié)論.(2)過作交于,由為的中點,結(jié)合已知有平面.則,可求得.建立坐標(biāo)系分別求得面的法向量,平面的一個法向量為,利用公式即可求得結(jié)果.【詳解】(1)證明:平面,平面,,又四邊形為正方形,.又、平面,且,平面..中,,為的中點,.又、平面,,平面.平面,平面平面.(2)解:過作交于,如圖為的中點,,.又平面,平面.,.所以,又、、兩兩互相垂直,以、、為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.,,,設(shè)平面的法向量,則,即.令,則,..平面的一個法向量為.二面角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明方法,考查了空間線線、線面、面面位置關(guān)系,考查利用向量法求二面角的方法,難度一般.19.(1)(2)應(yīng)該購買21件易耗品【解析】
(1)由統(tǒng)計表中數(shù)據(jù)可得型號分別為在一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8時的概率,設(shè)該單位三臺設(shè)備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則,利用獨(dú)立事件概率公式進(jìn)而求解即可;(2)由題可得X所有可能的取值為,即可求得對應(yīng)的概率,再分別討論該單位在購買設(shè)備時應(yīng)同時購買20件易耗品和21件易耗品時總費(fèi)用的可能取值及期望,即可分析求解.【詳解】(1)由題中的表格可知A型號的設(shè)備一個月使用易耗品的件數(shù)為6和7的頻率均為;B型號的設(shè)備一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8的頻率分別為;C型號的設(shè)備一個月使用易耗品的件數(shù)為7和8的頻率分別為;設(shè)該單位一個月中三臺設(shè)備使用易耗品的件數(shù)分別為,則,,,設(shè)該單位三臺設(shè)備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則而,,故,即該單位一個月中三臺設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率為.(2)以題意知,X所有可能的取值為;;;由(1)知,,若該單位在購買設(shè)備的同時購買了20件易耗品,設(shè)該單位一個月中購買易耗品所需的總費(fèi)用為元,則的所有可能取值為,;;;;;若該單位在肋買設(shè)備的同時購買了21件易耗品,設(shè)該單位一個月中購買易耗品所需的總費(fèi)用為元,則的所有可能取值為,;;;;,所以該單位在購買設(shè)備時應(yīng)該購買21件易耗品【點睛】本題考查獨(dú)立事件的概率,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望,考查數(shù)據(jù)處理能力.20.(1)見解析(2)不存在,見解析【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義,再令,轉(zhuǎn)化為方程有解問題,即可說明.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為,所以當(dāng)時,;,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時,①當(dāng)時,函數(shù)在上遞增②,顯然無增區(qū)間;③當(dāng)時,,函數(shù)在上遞增,綜上當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時函數(shù)無單調(diào)遞增區(qū)間當(dāng)時函數(shù)在上單調(diào)遞增(2)假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”設(shè)是曲線上不同的兩個點,且則曲線在點處的切線的斜率為,.令,則,單調(diào)遞增,,故無解,假設(shè)不成立綜上,假設(shè)不成立,所以不存在“中值相依切線”【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.21.(1)1.7;(2),見解析;(2)2.【解析】
(1)平均數(shù)的估計值為每個小矩形組中值乘以小矩形面積的和;(2)易得,由二項分布列的期望
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