【課件】6.2.3向量的數(shù)乘運算（PPT）(人教A版2019必修第二冊)

第六章

平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運算教材分析本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊》人教A版（2019）第六章《平面向量及其應(yīng)用》的第二節(jié)《平面向量的運算》。以下是本節(jié)的課時安排：第二節(jié)平面向量的運算課時內(nèi)容向量的加法運算向量的減法運算向量的數(shù)乘運算向量的數(shù)量積所在位置教材第7頁教材第11頁教材第13頁教材第17頁新教材內(nèi)容分析向量的加法是向量的第一運算，是向量其他運算的基礎(chǔ)。通過本節(jié)課讓學(xué)生知道向量也是一種量，同其他量一樣也有自己的運算，學(xué)好本節(jié)課為后面的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，為用“數(shù)”的運算解決“形”的問題提供工具和方法。本節(jié)課先引出相反向量，再類比實數(shù)的減法運算，通過相反向量將減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算，體現(xiàn)了減法運算和加法運算之間的內(nèi)部聯(lián)系。實數(shù)與向量的乘積仍然是一個向量，即有大小又有方向，特別是與已知向量是共線向量，進而引出共線向量定理。教材以物理中力作功為背景引入向量的數(shù)量積，與向量的加法、減法、數(shù)乘運算一樣有明顯的幾何意義，用途廣泛，但與向量的線性運算不同的是，數(shù)量積的運算結(jié)果是數(shù)量而不是向量。核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過理解向量加法的概念以及向量加法的幾何意義，掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，會用它們解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。借助相反向量理解向量減法運算的幾何意義，掌握平面向量減法運算及運算規(guī)則，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)。理解向量數(shù)乘的定義及幾何意義，掌握向量數(shù)乘的運算律，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。掌握向量共線定理，會判斷或證明兩個向量共線，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng)。會計算兩個向量的數(shù)量積，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).通過探究投影向量的表達式，進而得到數(shù)量積的幾何意義，提升直觀想象，邏輯推理的核心素養(yǎng).教學(xué)主線平面向量的運算學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解向量數(shù)乘的定義及幾何意義，掌握向量數(shù)乘的運算律，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。2.掌握向量共線定理，會判斷或證明兩個向量共線，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng)。重點、難點重點：理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)和判斷方法難點：能熟練地運用向量共線的性質(zhì)和判斷方法處理有關(guān)向量共線問題（一）新知導(dǎo)入

1.創(chuàng)設(shè)情境，生成問題夏季的雷雨天，我們往往先看到閃電，后聽到雷聲，雷閃發(fā)生于同一點而傳到我們這兒為什么有個時間差？這說明聲速與光速的大小不同，光速是聲速的88萬倍．若設(shè)光速為v1，聲速為v2，將向量類比于數(shù)，則有v1＝880000v2.對于880000v2，我們規(guī)定是一個向量，其方向與v2相同，其長度為v2長度的880000倍．這樣實數(shù)與向量的積的運算稱為向量的數(shù)乘．【想一想】向量數(shù)乘的幾何意義及運算律是怎樣規(guī)定的呢？（一）新知導(dǎo)入2.探索交流，解決問題【問題1】實數(shù)運算,x+x+x=3x,思考

能否寫成

呢?[提示]可以,即

=

.

（二）向量的數(shù)乘運算1．定義：一般地，我們規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個

，這種運算叫做

，記作

.2．規(guī)定：①|(zhì)λa|＝

，②當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向

；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向

；當(dāng)λ＝0時，λa＝

.3．運算律：設(shè)λ，μ為實數(shù)，則(1)λ(μa)＝

；(2)(λ＋μ)a＝

；(3)λ(a＋b)＝

(分配律)．特別地，我們有(－λ)a＝－λa＝

，λ(a－b)＝

.

1.向量的數(shù)乘運算向量向量的數(shù)乘λa|λ||a|相同相反0λμaλa＋μaλa＋λbλa－λbλ(－a)線性運算

（二）向量的數(shù)乘運算【做一做1】已知非零向量a、b滿足a＝4b，則()A．|a|＝|b|B．4|a|＝|b|C．a(chǎn)與b的方向相同D．a(chǎn)與b的方向相反【做一做2】4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a(chǎn)－2bB．a(chǎn)C．a(chǎn)－6b D．a(chǎn)－8b解析：∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|.∵4b與b的方向相同，∴a與b的方向相同．答案：CD（二）向量的數(shù)乘運算2.向量共線定理

向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線，

有

實數(shù)λ，使得

.當(dāng)且僅當(dāng)唯一一個b＝λa（二）向量的數(shù)乘運算【辯一辯】正確的打“√”，錯誤的打“×”答案:(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×（三）典型例題1.向量的線性運算例1.計算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)[(3a＋2b)－a－b]－[a＋(b＋a)]；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．【解】(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(2)[(3a＋2b)－a－b]－[a＋(b＋a)]＝(3a－a＋2b－b)－(a＋a＋b)＝(a＋b)－(a＋b)＝a＋b－a－b＝0.(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.（三）典型例題【類題通法】向量的數(shù)乘運算可類似于代數(shù)多項式的運算．例如，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù).【鞏固練習(xí)1】計算：（三）典型例題2.向量共線定理及其應(yīng)用

（三）典型例題

【鞏固練習(xí)2】已知a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________．

（三）典型例題3.用已知向量表示其他向量例3.如圖，ABCD是一個梯形，，M，N分別是DC，AB的中點，（三）典型例題【變式探究】（三）典型例題【類題通法】用已知向量表示其他向量的方法(1)直接法(2)方程法當(dāng)直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．（四）操作演練

素養(yǎng)提升1.(2a－b)－(2a＋b)等于()A．a(chǎn)－2bB．－2bC．0D．b－a答案：1.B2.C3.D4.－2課堂小結(jié)知識總結(jié)學(xué)生反思（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？

（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？作業(yè)布置完成教材——第15頁練習(xí)第1，2