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文檔簡介
為了描述現(xiàn)實世界中的運動、變化現(xiàn)象,在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù).刻畫靜態(tài)現(xiàn)象的數(shù)與刻畫動態(tài)現(xiàn)象的函數(shù)都是數(shù)學(xué)中非常重要的概念.在對函數(shù)的深入研究中,數(shù)學(xué)家創(chuàng)立了微積分,這是具有劃時代意義的偉大創(chuàng)造,被譽為數(shù)學(xué)史上的里程碑.牛頓(IsaacNewton,1643年-1727年),英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家.萊布尼茨(GottfriedWilhelmLeibniz,1646年-1716年),德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家.微積分主要與四類問題的處理相關(guān):一、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù),求物體在任意時刻的速度與加速度;二、求曲線的切線;三、求已知函數(shù)的最大值與最小值;四、求長度、面積、體積和重心等.導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一,它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大(?。┲档葐栴}最一般、最有效的工具.5.1.1變化率問題研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度.問題1:高臺跳水運動員的速度在高臺跳水運動中,某運動員的重心相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系
h(t)=-4.9t2+4.8t+11
如何描述運動員從起跳到入水過程中運動的快慢程度呢?直覺告訴我們,運動員從起跳到入水的過程中,在上升階段運動的越來越慢,在下降階段運動的越來越快.問題1:高臺跳水運動員的速度在0≤t≤0.5這段時間里,在1≤t≤2這段時間里,問題1:高臺跳水運動員的速度在高臺跳水運動中,某運動員的重心相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系
h(t)=-4.9t2+4.8t+11
如何描述運動員從起跳到入水過程中運動的快慢程度呢?問題(1):如何求運動員從起跳到0.5秒,起跳后1秒到2秒這兩段時間的平均速度?
問題1:高臺跳水運動員的速度在高臺跳水運動中,某運動員的重心相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系
h(t)=-4.9t2+4.8t+11
如何描述運動員從起跳到入水過程中運動的快慢程度呢?問題(2):如何求運動員起跳后t1秒到t2秒這段時間的平均速度?
注:運動員的平均速度,只關(guān)注了從初始到終止這個時間段的情況,忽略了中間運動過程,因此不能準(zhǔn)確刻畫運動員的運動狀態(tài).瞬時速度問題1:高臺跳水運動員的速度在高臺跳水運動中,某運動員的重心相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系
h(t)=-4.9t2+4.8t+11
如何描述運動員從起跳到入水過程中運動的快慢程度呢?問題(4):瞬時速度與平均速度有什么關(guān)系?你能利用這種關(guān)系求運動員在t=1時的瞬時速度嗎?
平均速度瞬時速度v(t0)問題1:高臺跳水運動員的速度在高臺跳水運動中,某運動員的重心相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系
h(t)=-4.9t2+4.8t+11
如何描述運動員從起跳到入水過程中運動的快慢程度呢?問題1:高臺跳水運動員的速度h(t)=-4.9t2+4.8t+11為了求運動員在t=1時的瞬時速度,我們在t=1之后或之前,任意取一個時刻1+△t,△t是時間改變量,可以是正值,也可以是負(fù)值,但不為0.當(dāng)△t>0時,1+△t在1之后;當(dāng)Δt<0時,1+△t在1之前.Δt<0Δt>0-0.01-4.9510.01-5.049-0.001-4.99510.001-5.0049-0.0001-4.999510.0001-5.00049-0.00001-4.9999510.00001-5.000049-0.000001-4.99999510.000001-5.0000049
無論Δt的正負(fù),只要無限趨近于0,也就是時間間隔不斷變小,平均速度都無限趨近于-5.因此,運動員在t=1時的瞬時速度v(1)=-5m/s.問題(5):你能用上述方法,計算當(dāng)t=2s時的瞬時速度嗎?解:因為h(t)=-4.9t2+4.8t+11,所以運動員在時間段[2,2+Δt](或[2+Δt,2])的平均速度為問題1:高臺跳水運動員的速度h(t)=-4.9t2+4.8t+115.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義1.高臺跳水運動員平均速度及瞬時速度2.拋物線的割線及切線的斜率一、回顧舊知都采用了由“平均變化率”逼近“瞬時變化率”的思想方法1.函數(shù)的平均變化率2.導(dǎo)數(shù)說明:(1)函數(shù)在點處可導(dǎo),是指時,有極限.如果不存在極限,就說函數(shù)在處不可導(dǎo),或說無導(dǎo)數(shù).點是自變量x在處的改變量,,而是函數(shù)值的改變量,可以是零.
(2)例1:解:(1)求平均變化率:(2)取極限,得導(dǎo)數(shù):例2:將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品,需要對原油進行冷卻和加熱。如果第時,原油的溫度(單位:℃)為計算第2h和第6h,原油溫度的瞬時變化率,并說明它們的意義。解:例3:解:1.導(dǎo)數(shù)的定義課堂小結(jié):請看課本P66:練習(xí)第2、4題(1)求平均變化率:(2)取極限,得導(dǎo)數(shù):觀察函數(shù)y=f(x)的圖象,平均變化率表示什么?OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直線AB的斜率思考?△x△yC(x2,y2)(x1,y1)(x2,y1)=△x=△y|AC|=|BC|=曲線越“平緩”,說明變量變化越f(x2)-f(x1)x2-x1yx0
曲線越“陡峭”,說明變量變化越;2.平均變化率的幾何意義:過曲線上A、B兩點的直線的斜率.3.用平均變化率來近似地量化曲線在某區(qū)間上的陡峭程度f(x2)-f(x1)x2-x1快慢.1.一般地,函數(shù)在區(qū)間
上的平均變化率為△y△xC
平均變化率PQoxyy=f(x)割線切線T
我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PQ如果有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.
我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PQ有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.
設(shè)切線的傾斜角為α,那么當(dāng)Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.f(x2)-f(x1)x2-x1
函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率.
函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線y=f(x)在點P(x0,
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