結(jié)構(gòu)力學(xué)李廉錕版-力法課件

第七章力法

第一節(jié)

超靜定結(jié)構(gòu)概述第二節(jié)超靜定次數(shù)的確定第三節(jié)力法的基本概念第四節(jié)力法的典型方程第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例第六節(jié)對稱性的利用第七節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算第八節(jié)最后內(nèi)力圖的校核第十節(jié)

支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算第九節(jié)溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算§7-11*

用彈性中心法計(jì)算無鉸拱§7-12*

兩鉸拱及系桿拱第十一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的特性本章總結(jié)本章自測題超靜定結(jié)構(gòu)：具有多余約束的結(jié)構(gòu)。幾何特征：具有多余約束的幾何不變體系。

靜力特征：反力和內(nèi)力不能僅由平衡條件全部解出。外部一次超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)部一次超靜定結(jié)構(gòu)一、超靜定結(jié)構(gòu)的靜力特征和幾何特征第一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)概述思考：多余約束是多余的嗎？從幾何角度與結(jié)構(gòu)的受力特性和使用要求兩方面討論。

超靜定結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)為:1.內(nèi)力分布均勻2.抵抗破壞的能力強(qiáng)第一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)概述二、超靜定結(jié)構(gòu)的類型超靜定梁超靜定剛架超靜定拱兩鉸拱

無鉸拱第一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)概述超靜定桁架超靜定組合結(jié)構(gòu)第一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)概述MethodsofAnalysisofStaticallyIndeterminateStructures遵循同時(shí)考慮“變形、本構(gòu)、平衡”分析超靜定問題的思想，可有不同的出發(fā)點(diǎn)：

以力作為基本未知量，在自動(dòng)滿足平衡條件的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析，這時(shí)主要應(yīng)解決變形協(xié)調(diào)問題，這種分析方法稱為力法（forcemethod）。三、超靜定結(jié)構(gòu)求解方法概述1.力法----以多余約束力作為基本未知量基本未知量：當(dāng)它確定后，其它力學(xué)量即可完全確定。--關(guān)鍵量

第一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)概述

以位移作為基本未知量，在自動(dòng)滿足變形協(xié)調(diào)條件的基礎(chǔ)上來分析，當(dāng)然這時(shí)主要需解決平衡問題，這種分析方法稱為位移法（displacementmethod）。

如果一個(gè)問題中既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考慮位移協(xié)調(diào)，位移的部分考慮力的平衡，這樣一種分析方案稱為混合法（mixturemethod）。2.位移法----以結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量3.混合法----以結(jié)點(diǎn)位移和多余約束力作為基本未知量第一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)概述4.力矩分配法----近似計(jì)算方法

位移法的變體，便于手算，不用解方程。5.結(jié)構(gòu)矩陣分析法----有限元法.以上各種方法共同的基本思想:4.

消除差別后，改造后的問題的解即為原問題的解。3.

找出改造后的問題與原問題的差別；2.

將其化成會(huì)求解的問題；

1.

找出未知問題不能求解的原因；適用于電算

第一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)概述超靜定次數(shù)：多余約束（聯(lián)系）或基本未知力的個(gè)數(shù)。一、概念

二、確定方法

1）由計(jì)算自由度確定2）去約束法

將多余約束去掉，使原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)。

？第二節(jié)超靜定次數(shù)的確定

解除多余約束的辦法確定超靜定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）去掉一根鏈桿，等于拆掉一個(gè)約束。兩鉸拱，一次超靜定結(jié)構(gòu)。一次超靜定桁架曲梁，靜定結(jié)構(gòu)。靜定桁架第二節(jié)超靜定次數(shù)的確定去掉幾個(gè)約束后成為靜定結(jié)構(gòu),則為幾次超靜定X1X1X2X2X3X3X1X2X3去掉一個(gè)鏈桿或切斷一個(gè)鏈桿相當(dāng)于去掉一個(gè)約束第二節(jié)超靜定次數(shù)的確定（2）去掉一個(gè)鉸支座或一個(gè)單鉸，等于拆掉兩個(gè)約束。（3）去掉一個(gè)固定支座或切斷一個(gè)梁式桿，等于拆掉三個(gè)約束。切斷一個(gè)梁式桿，等于拆掉三個(gè)約束。第二節(jié)超靜定次數(shù)的確定（4）在梁式桿上加上一個(gè)單鉸，等于拆掉一個(gè)約束。三次超靜定剛架靜定三鉸剛架靜定懸臂剛架（5）去掉一個(gè)連接n個(gè)桿件的鉸結(jié)點(diǎn)，等于拆掉2(n-1)個(gè)約束。（6）去掉一個(gè)連接n個(gè)桿件的剛結(jié)點(diǎn)，等于拆掉3(n-1)個(gè)約束。第二節(jié)超靜定次數(shù)的確定五次超靜定剛架注意：同一超靜定結(jié)構(gòu)可有不同的解除多余約束的方式，但解除約束的個(gè)數(shù)是相同的,解除約束后的體系必須是幾何不變的。（7）只能拆掉原結(jié)構(gòu)的多于約束，不能拆掉必要約束。（8）只能在原結(jié)構(gòu)中減少約束，不能增加新的約束。第二節(jié)超靜定次數(shù)的確定

以五個(gè)支座鏈桿為多余約束靜定懸臂剛架其它形式的靜定剛架：靜定三鉸剛架靜定簡支剛架第二節(jié)超靜定次數(shù)的確定3）框格法一個(gè)封閉無鉸框格

個(gè)封閉無鉸框格第二節(jié)超靜定次數(shù)的確定若有鉸

—

單鉸數(shù)，則

注意：多少個(gè)封閉無鉸框格？第二節(jié)超靜定次數(shù)的確定三、計(jì)算示例

拆除多余聯(lián)系變成的靜定結(jié)構(gòu)形式：第二節(jié)超靜定次數(shù)的確定第二節(jié)超靜定次數(shù)的確定1.力法基本思路待解的未知問題

原（一次超靜定）結(jié)構(gòu)1)、去掉多余約束代之以多余未知力，將原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化一個(gè)在荷載和未知力共同作用下的靜定結(jié)構(gòu)(基本體系)?；倔w系力法基本未知量去掉余約束代之以多余未知力，得到基本體系。第三節(jié)力法的基本概念2)、沿多余未知力方向建立位移協(xié)調(diào)方程，解方程就可以求出多余未知力X1。原結(jié)構(gòu)的B是剛性支座,該點(diǎn)的豎向位移是零。即原結(jié)構(gòu)在的X1位移為：

位移協(xié)調(diào)條件：基本結(jié)構(gòu)在原有荷載

q

和多余力X1共同作用下，在去掉多余聯(lián)系處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)相應(yīng)的位移相等。變形條件

在變形條件成立條件下,基本體系的內(nèi)力和位移與原結(jié)構(gòu)等價(jià).第三節(jié)力法的基本概念超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算

基本結(jié)構(gòu)（懸臂梁）

對靜定結(jié)構(gòu)進(jìn)行內(nèi)力、位移計(jì)算，已經(jīng)很掌握。

第三節(jié)力法的基本概念

在荷載作用下B點(diǎn)產(chǎn)生向下的位移為⊿1P,未知力的作用將使B點(diǎn)產(chǎn)生的向上的位移為⊿11

。

要使體系的受力情況與原結(jié)構(gòu)一樣,則必須B的位移也與原結(jié)構(gòu)一樣，要求：位移協(xié)調(diào)條件Δ1=Δ11+Δ1P=0

(a)

Δ1P——基本結(jié)構(gòu)由荷載引起的豎向位移,

Δ11——基本結(jié)構(gòu)由知力引起的豎向位移。第三節(jié)力法的基本概念由疊加原理Δ11=δ11X1

δ11X1+Δ1P=0(b)

——力法典型方程—

位移系數(shù)自乘—

廣義荷載位移互乘第三節(jié)力法的基本概念將δ11、Δ1P入力法典型方程，解得:3)、將求出的多余未知力作用于基本結(jié)構(gòu)，用疊加法即可求出超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。第三節(jié)力法的基本概念

2.幾個(gè)概念

力法的基本未知數(shù):超靜定結(jié)構(gòu)多余約束的未知約束力,即超靜定次數(shù)。

力法的基本結(jié)構(gòu):把原超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束去掉,所得到的靜定結(jié)構(gòu)就稱為原結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)。

力法的基本體系:在基本結(jié)構(gòu)上加上外荷載及多余約束力，就得到了基本體系。

力法的基本方程:根據(jù)原結(jié)構(gòu)已知變形條件建立的力法方程。對于線性變形體系，應(yīng)用疊加原理將變形條件寫成顯含多余未知力的展開式，稱為力法的基本方程。第三節(jié)力法的基本概念

選取基本體系的原則：基本體系必須是幾何不變的。通常取靜定的基本體系。在特殊情況下也可以取超靜定的基本體系。思考：力法的基本體系是否唯一？答：不唯一。解除不同的多余約束可得不同的基本體系。第三節(jié)力法的基本概念力法基本思路小結(jié):

根據(jù)結(jié)構(gòu)組成分析，正確判斷多余約束個(gè)數(shù)——超靜定次數(shù)。

解除多余約束，轉(zhuǎn)化為靜定的基本結(jié)構(gòu)。多余約束代以多余未知力——基本未知力。

分析基本結(jié)構(gòu)在單位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移協(xié)調(diào)條件——力法典型方程。

從典型方程解得基本未知力，由疊加原理獲得結(jié)構(gòu)內(nèi)力。超靜定結(jié)構(gòu)分析通過轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)獲得了解決。第三節(jié)力法的基本概念將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，通過消除已知問題和原問題的差別，使未知問題得以解決。這是科學(xué)研究的基本方法之一。第三節(jié)力法的基本概念

超靜定剛架如圖所示,荷載是作用在剛性結(jié)點(diǎn)C上的集中力矩M

。一、多次超靜定的計(jì)算原結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)基本體系（1）力法基本未知量X1

與X2第四節(jié)力法的典型方程（2）位移協(xié)調(diào)條件：基本結(jié)構(gòu)在原有荷載M和贅余力X1、X2共同作用下，在去掉贅余聯(lián)系處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)相應(yīng)的位移相等。（a）基本體系在X1方向的位移為零，Δ1=0

基本體系在X2方向的位移為零,Δ2=0}第四節(jié)力法的典型方程（b）將，，代入（b）式，得兩次超靜定的力法基本方程（c）第四節(jié)力法的典型方程

（3）計(jì)算系數(shù)與自由項(xiàng)。作出基本結(jié)構(gòu)分別在單位力與荷載單獨(dú)作用下的彎矩圖。第四節(jié)力法的典型方程第四節(jié)力法的典型方程（4）求出基本未知力。將計(jì)算出來的系數(shù)與自由項(xiàng)代入典型方程得解方程得，求得的X1、X2為正，表明與原假定的方向一致。第四節(jié)力法的典型方程

先作彎矩圖（），把彎矩圖畫在桿件的受拉纖維一側(cè)。再作剪力圖，最后作軸力圖。

由剛結(jié)點(diǎn)C的平衡可知M圖正確。(5)作內(nèi)力圖。第四節(jié)力法的典型方程桿AC:

桿CB:

作剪力圖的原則是,截取每一桿為隔離體，由平衡條件便可求出剪力。第四節(jié)力法的典型方程取剛結(jié)點(diǎn)C為隔離體，由投影平衡條件解得

（拉），（壓）

作最后軸力圖的原則是考慮結(jié)點(diǎn)平衡，由桿端的剪力便可求出軸力。第四節(jié)力法的典型方程二、力法典型方程n次超靜定定結(jié)構(gòu)，力法典型方程為

（7-1a）

柔度系數(shù)ij——

表示當(dāng)單位未知力Xj=1作用下,引起基本體系中Xi

的作用點(diǎn)沿Xi方向的位移。思考：柔度系數(shù)由什么的特點(diǎn)？答：，。第四節(jié)力法的典型方程

自由項(xiàng)

iP——荷載作用下引起基本體系中Xi

的作用點(diǎn)沿Xi方向的位移。通常先用疊加原理計(jì)算彎矩

由力法典型方程解出n個(gè)基本未知數(shù)X1，X2，…，Xn后就己將超靜定問題轉(zhuǎn)化成靜定問題了。由彎矩圖并應(yīng)用平衡條件可求出剪力圖和軸力圖。第四節(jié)力法的典型方程1、力法的典型方程是體系的變形協(xié)調(diào)方程；2、主系數(shù)恒大于零，副系數(shù)滿足位移互等定理；3、柔度系數(shù)是體系常數(shù)；4、荷載作用時(shí),內(nèi)力分布與剛度大小無關(guān)，與各桿剛度比值有關(guān)，荷載不變，調(diào)整各桿剛度比可使內(nèi)力重分布。小結(jié)：第四節(jié)力法的典型方程第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例例:用力法計(jì)算圖示剛架，并作M圖。解：１)確定力法基本未知量和基本體系基本體系

力法方程：

d11x1+d12x2+D1P=0

d21x1+d22x2+D2P=0２)作M1、M2、MP圖第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例基本體系MP第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例３）計(jì)算系數(shù)、自由項(xiàng)

d11=5l/12EId22=3l/4EId12=d21=0

D1P=FPl2/32EID2P=0說明:力法計(jì)算剛架時(shí)，力法方程中系數(shù)和自由項(xiàng)只考慮彎曲變形的影響：

dii=∑∫l(Mi2

/EI)ds

dij=∑∫l(MiMj/EI)ds

DiP=∑∫l(MiMP/EI)ds４）代入力法方程，求多余力x1、x2

（5l/12EI）x1+FPl2/32EI=0x1=-3FPl/40

(3l/4EI)x2=0x2=0５）疊加作M圖

MAC=x1M1+x2M2+MP=(-3FPl/40)/2=-3FPl/80(右側(cè)受拉）力法的解題步驟

（1）確定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)，選取適當(dāng)?shù)募s束作為多余約束并加以解除，并代之以多余約束的約束反力,即基本未知數(shù)。即得基本體系。（2）列力法方程式

（3）計(jì)算系數(shù)與自由項(xiàng)。分別畫出基本體系在單位未知力和荷載作用下的彎矩圖。等直桿用圖乘法計(jì)算。曲桿則列出彎矩方程用積分公式計(jì)算。

（4）將計(jì)算出來的系數(shù)與自由項(xiàng)代入典型方程。解此方程，求出基本未知力。

（5）在基本體系上計(jì)算各桿端內(nèi)力，并據(jù)此作出基本體系的內(nèi)力圖,也就是原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖。（6）校核。第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例

例7-1

用力法求解圖示剛架內(nèi)力，并作彎矩圖和剪力圖。解:(1)確定超靜定次數(shù)、選擇基本體系。原結(jié)構(gòu)基本體系（2）列出力法典型方程（a）第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例(3)計(jì)算系數(shù)及自由項(xiàng)。作、圖由圖乘得第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例(4)解方程求未知力。將與代入式（a），消去公因子，得解此方程得(5)求作彎矩圖。（左側(cè)受拉）（右側(cè)受拉）（下側(cè)受拉）（）第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例由,得支座B

的豎向反力為7.5kN（）。(6)作剪力圖。利用BE桿力偶系平衡條件得同理第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例

支座A的豎向反力為22.5kN（），桿DC的D端剪力應(yīng)等于(7)作軸力圖。根據(jù)最后剪力圖可作出最后軸力圖。第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例

例7-2

用力法計(jì)算圖示剛架，作彎矩圖。

解:(1)確定超靜定次數(shù)并選定基本結(jié)構(gòu)。原結(jié)構(gòu)基本體系第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例作、、圖(3)

計(jì)算系數(shù)及自由項(xiàng)。(2)列出力法典型方程。（a）第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例兩個(gè)梯形相乘,可將梯形劃分為兩個(gè)三角形相乘.

再令圖a與圖b中的CdD相圖乘，得將結(jié)果相加，得最終圖乘結(jié)果：令圖a與圖b中的cdC相圖乘，得第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例計(jì)算ij

由圖的與的對稱性,有第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例將、、、代入式(a)并消去公因子得(4)

解方程求未知力。

、即為原剛架上鉸C兩側(cè)截面上的剪力和軸力。解得第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例(5)計(jì)算桿端彎矩，作出的最后彎矩圖。（外側(cè)受拉）（內(nèi)側(cè)受拉）（內(nèi)側(cè)受拉）最后彎矩圖

彎矩圖具有反對稱性質(zhì)，這是由荷載與結(jié)構(gòu)的對稱性決定的。第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例

例7-3

用力法計(jì)算圖（a）所示排架，作彎矩圖。已知，，。忽略排架頂部拉桿的軸向變形,將拉桿視為剛性桿。

解:(1)

確定超靜定次數(shù)并選定基本體系?；倔w系(2)列出力法方程。第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例(3)

計(jì)算系數(shù)及自由項(xiàng)。

作MP、M1、M2圖。注意δ11與δ22都包括兩部分，令M1圖左邊柱、中間柱的計(jì)算結(jié)果分別為、由M1圖得，第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例計(jì)算自由項(xiàng)(4)解方程求未知力。

將計(jì)算出來的系數(shù)與自由項(xiàng)代入力法方程式，消去公因子后得第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例解得，(5)將、及荷載加在基本結(jié)構(gòu)上，利用平衡條件計(jì)算彎矩表明軸力桿DE、FG均受拉。（左側(cè)受拉）（左側(cè)受拉）（左側(cè)受拉）作出彎矩圖如圖所示。M圖(kN.m)第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例

例7-4

用力法計(jì)算圖示桁架，作軸力圖。各桿EA相同?；倔w系(3)

計(jì)算系數(shù)及自由項(xiàng)。解:(1)

確定超靜定次數(shù)及選定基本體系。(2)

列出力法方程為:計(jì)算FN1和FNP。第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例將、代入式a，消去公因子后得(4)解方程求未知力負(fù)號(hào)表明桿CD受壓。第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例(5)計(jì)算軸力時(shí)應(yīng)用公式：（拉）（壓）（拉）（壓）第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例注意：1.排架在單層工業(yè)廠房中有廣泛的應(yīng)用。排架頂部的軸力桿由廠房屋架簡化而來。并且忽略屋架整體沿跨度方向的變形。在受力分析中，通常將屋架與柱頂?shù)穆?lián)結(jié)處當(dāng)作鉸結(jié)點(diǎn)處理，這樣的排架稱鉸接排架。2.超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與桿件截面剛度EI

的絕對值無關(guān),只與各桿截面剛度的相對值有關(guān)。第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例例7-5

用力法計(jì)算圖a所示組合結(jié)構(gòu)。已知梁式桿，壓桿DC、EF的，，拉桿AD、DE、BE的。解:(1)

一次超靜定。(2)

列出力法方程第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例(3)

作、、、圖。利用位移的公式：第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例自相圖乘的結(jié)果為自相圖乘的結(jié)果為第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例梁的軸向變形對δ11的影響為占δ11的0.28%，故計(jì)算δ11時(shí)可以略去。第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例(4)解方程求未知力。算得（拉）(5)作內(nèi)力圖。（上側(cè)受拉）第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例

討論：由于撐桿DC、EF的存在，使梁上C、F截面出現(xiàn)了負(fù)彎矩，整根梁的彎矩分布比簡支梁均勻。本例中拉桿與壓桿的變形之比為

增減此比值，將使梁中彎矩產(chǎn)生變化。如減小拉桿截面,其軸力下降，導(dǎo)致梁上C、F截面上負(fù)彎矩值減小；當(dāng)EA3→0時(shí)，組合結(jié)構(gòu)趨近簡支梁。第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例基本體系解:(1)原結(jié)構(gòu)是三次超靜定。力法基本方程為：例7-6試列出用力法求解圖示剛架的力法方程。第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例作MP、、、圖。(2)計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例

可見：對稱結(jié)構(gòu)，當(dāng)所選取的基本結(jié)構(gòu)也對稱時(shí),多余未知力分成對稱與反對稱的兩組,使得副系數(shù)δ32=

δ23=0,δ31=

δ13=0,方程a化為相互無關(guān)的兩組。由于結(jié)構(gòu)對稱，對稱，而反對稱，有

，，方程式簡化為第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例如果荷載對稱,則MP圖也對稱,因而Δ3P=0。

如果荷載反對稱,則MP圖也反對稱,Δ1P=0,Δ2P=0。這樣,就可以使計(jì)算進(jìn)一步簡化。第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例

例7-7

試用力法計(jì)算圖示單跨梁。梁的B支座為彈簧支承，彈簧的剛度系數(shù)為k(當(dāng)B點(diǎn)產(chǎn)生單位位移彈簧所產(chǎn)生的反力)?；倔w系

式中負(fù)號(hào)表示未知力

X1與位移的方向相反,未知力X1與位移Δ

的關(guān)系滿足X1=kΔ解：一次超靜定結(jié)構(gòu)，力法基本方程為因而,得第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例得到力法方程：由圖乘得到M1

，所以有M令，代入式上式可解得作M圖第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例

1.當(dāng)k>>k'，即彈簧非常剛硬。這時(shí)X1過渡到3ql/8，即B端過渡到剛性鏈桿支座的情況。

k'是懸臂梁(基本結(jié)構(gòu))B點(diǎn)的剛度,表示使懸臂梁B點(diǎn)產(chǎn)生一單位位移時(shí)所需的力。討論：2.當(dāng)k→0（或k<<k')

時(shí)，即彈簧非常柔軟,則原結(jié)構(gòu)便趨近為懸臂梁。在一般情形下，彈簧支座的反力X1比鏈桿支座的反力3ql/8要小。M第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和示例一、對稱性的概念對稱結(jié)構(gòu):幾何形狀、支承情況、剛度分布對稱的結(jié)構(gòu).對稱結(jié)構(gòu)非對稱結(jié)構(gòu)支承不對稱剛度不對稱幾何對稱支承對稱剛度對稱第六節(jié)對稱性的利用對稱荷載:作用在對稱結(jié)構(gòu)對稱軸兩側(cè),大小相等,方向和作用點(diǎn)對稱的荷載反對稱荷載:作用在對稱結(jié)構(gòu)對稱軸兩側(cè),大小相等,作用點(diǎn)對稱,方向反對稱的荷載對稱荷載反對稱荷載第六節(jié)對稱性的利用

上面這些荷載是對稱,反對稱荷載,還是一般性荷載?PllMllPllEI=CllEI=CM第六節(jié)對稱性的利用二、選取對稱基本結(jié)構(gòu)，對稱基本未知量和反對稱基本未知量PEIEIEIPM1M2M3PMP典型方程分為兩組:一組只含對稱未知量另一組只含反對稱未知量PP第六節(jié)對稱性的利用PM1M2M3對稱荷載，反對稱未知量為零PMPPPEIEIEIPX3=0對稱結(jié)構(gòu)在正對稱荷載作用下，其彎矩圖和軸力圖是正對稱的，剪力圖反對稱；變形與位移對稱。P對稱荷載：第六節(jié)對稱性的利用M1M2M3反對稱荷載，對稱未知量為零PMPPX1=X2=0對稱結(jié)構(gòu)在反正對稱荷載作用下，其彎矩圖和軸力圖是反正對稱的,剪力圖對稱；變形與位移反對稱.EIPEIEIPPP反正對稱荷載:第六節(jié)對稱性的利用例1.作圖示梁彎矩圖Pl/2l/2EIP/2P/2解:X3=0X2=0M11MPP/2P/2Pl/4Pl/4MPPl/8Pl/8第六節(jié)對稱性的利用例2:求圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。EI=常數(shù)。

由一個(gè)四次超靜定結(jié)構(gòu)考慮對稱性變成一次超靜定。第六節(jié)對稱性的利用解：根據(jù)以上分析，力法方程為：第六節(jié)對稱性的利用由于

，問題無法化簡例：第六節(jié)對稱性的利用三、未知力分組和荷載分組力法典型方程成為：第六節(jié)對稱性的利用對稱結(jié)構(gòu)承受一般非對稱荷載時(shí)，可將荷載分組，如：第六節(jié)對稱性的利用四、取半結(jié)構(gòu)計(jì)算對稱軸奇數(shù)跨對稱荷載奇數(shù)跨反對稱荷載第六節(jié)對稱性的利用(d)（c）問題：偶數(shù)跨對稱剛架如何處理？偶數(shù)跨對稱荷載第六節(jié)對稱性的利用偶數(shù)跨反對稱荷載第六節(jié)對稱性的利用練習(xí):EIEIEIPEIEIP/2PEIEIEIPEIPEIEI第六節(jié)對稱性的利用PEIEIEIEIEIEIEIEI/2P/2EI=CPP/2PP/2第六節(jié)對稱性的利用qqqPP/2qqqq第六節(jié)對稱性的利用例3：求作圖示圓環(huán)的彎矩圖,EI=常數(shù)。解：取結(jié)構(gòu)的1/4分析

若只考慮彎矩對位移的影響，有：第六節(jié)對稱性的利用第六節(jié)對稱性的利用例4.試用對稱性對結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化。EI為常數(shù)。FP/2FP

/2FP

/2FP/2I/2I/2FP

/2FP

/2I/2方法1FPFP/2FP/2FPFP

/2FP/2第六節(jié)對稱性的利用FP/2FP/2I/2FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4無彎矩，不需求解第六節(jié)對稱性的利用FP/4FP/4I/2FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4I/2FP/4第六節(jié)對稱性的利用方法2無彎矩，不需求解FPFP/2FP/2FP/4FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4第六節(jié)對稱性的利用I/2FP/4FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4I/2FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4FP/2FP/2FP/4第六節(jié)對稱性的利用五、無彎矩情況判別

在不計(jì)軸向變形前提下，下述情況無彎矩，只有軸力。(1)集中荷載沿柱軸作用；(2)等值反向共線集中荷載沿桿軸作用；(3)集中荷載作用在不動(dòng)結(jié)點(diǎn)?？衫孟旅娣椒ㄅ袛啵夯摄q接體系后，若能平衡外力，則原體系無彎矩。PPPP第六節(jié)對稱性的利用奇次線性方程的系數(shù)組成的矩陣可逆，只有零解。第六節(jié)對稱性的利用

計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的位移的目的之一是校核用力法解出的內(nèi)力狀態(tài)。超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算依據(jù)：

根據(jù)基本體系的內(nèi)力與變形狀態(tài)等價(jià)于原超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與變形狀態(tài)的原理，求超靜定結(jié)構(gòu)的位移可轉(zhuǎn)化為求基本體系（靜定結(jié)構(gòu)）的位移。求位移—單位荷載法，圖乘法1）求出原結(jié)構(gòu)M圖，（求解超靜定問題）超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算步驟：第七節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算—

以例說明：兩次超靜定問題簡便方法:取基本結(jié)構(gòu)（c）或（d)的與圖乘

2）任取一力法基本結(jié)構(gòu)，作出基本結(jié)構(gòu)的

圖3）圖乘為什么可以是任一基本結(jié)構(gòu)？第七節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算思考：可否選用懸臂剛架作為基本結(jié)構(gòu)來計(jì)算？

解:選取簡支剛架作為基本結(jié)構(gòu)，作出其單位力彎矩圖。

例1：計(jì)算圖示剛架上BC桿B端的轉(zhuǎn)角位移。令圖與M

圖相圖乘，得（）第七節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算2.

變形條件(位移條件)的校核——檢驗(yàn)在計(jì)算出來的內(nèi)力狀態(tài)下結(jié)構(gòu)是否滿足已知位移條件。最后內(nèi)力圖的校核

力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，應(yīng)用了位移諧調(diào)條件、靜力平衡條件。校核超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖時(shí)，也要從兩方面進(jìn)行校核。1.平衡條件校核；

使結(jié)構(gòu)上的任一部分都處于平衡的解答是否就是問題的正確解？第八節(jié)最后內(nèi)力圖的校核

例：試校核圖示剛架的彎矩圖其是否有誤。取剛結(jié)點(diǎn)C為隔離體,滿足平衡條件。

解:(1)平衡條件校核。

(2)校核位移條件。檢驗(yàn)C結(jié)點(diǎn)兩個(gè)端面間的相對轉(zhuǎn)角位移是否為零,任取一基本結(jié)構(gòu)作圖，令與M相圖乘得：第八節(jié)最后內(nèi)力圖的校核

也可取圖懸臂剛架作基本結(jié)構(gòu)，計(jì)算B點(diǎn)水平位移△xB

是否為零。結(jié)論：亦滿足給定位移條件，原彎矩圖是正確的。第八節(jié)最后內(nèi)力圖的校核

對圖示封閉式剛架，任一截面的相對轉(zhuǎn)角均為零。基本體系中單位彎矩引起的彎矩圖中各桿的彎矩均為1,則與M

圖乘時(shí)：

在校核任何封閉式剛架的彎矩圖時(shí)，只需將組成各桿上的彎矩圖面積A（含“±”號(hào)）除以該桿EI值并相加,其最終的值應(yīng)為零,否則,其彎矩圖有誤。第八節(jié)最后內(nèi)力圖的校核以例說明：可用圖乘求得，

溫度變化時(shí)會(huì)在超靜定結(jié)構(gòu)中引起反力和內(nèi)力，這也是超靜定結(jié)構(gòu)的重要特性。基本體系第九節(jié)溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算

例:圖示梁上邊緣溫度升高t1

，下邊緣溫度升高t2

，而且t2

>t1，梁的線膨脹系數(shù)α，截面高度為h,求梁的內(nèi)力。基本體系解:此梁為3次超靜定梁力法典型方程：第九節(jié)溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算作單位力彎矩圖由圖乘法：第九節(jié)溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算將系數(shù)和自由項(xiàng)代入力法典型方程解得：，X2=0

，X3=EAαt0

彎矩圖由而得；剪力為零；軸力為一常數(shù)EAαt0

（壓力）.M圖

結(jié)論：對于任一等截面直桿只要知道桿件位移（角位移、側(cè)移）及作用在桿上的荷載、溫度，便可求出桿件兩端的彎矩、剪力，作出彎矩圖、剪力圖。第九節(jié)溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算

例：

設(shè)圖示剛架外側(cè)溫度不變，內(nèi)側(cè)溫度升高10℃。各桿EI=常量，截面高度h=常量，截面形心在截面高度h

的0.5處,線膨脹系數(shù)為α，試求由于溫度變化在剛架中引起反力和內(nèi)力。（a）

自由項(xiàng)△1t與△2t為基本結(jié)構(gòu)內(nèi)側(cè)溫度升高10℃時(shí)在自由端C沿X1、X2方向產(chǎn)生的位移。解:1.剛架為二次超靜定結(jié)構(gòu)。2.根據(jù)變形條件建立力法方程第九節(jié)溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算剛架內(nèi)外側(cè)溫度差

可知基本結(jié)構(gòu)在溫度變化時(shí)的變形趨勢是：各桿軸線伸長，內(nèi)側(cè)受位。3.計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)溫度參量△t、t0

的計(jì)算說明溫度變化使基本結(jié)構(gòu)桿件形心軸伸長。(1)計(jì)算自由項(xiàng)第九節(jié)溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算在基本結(jié)構(gòu)C處沿X1、X2方向加單位力，作相應(yīng)的內(nèi)力圖。同理第九節(jié)溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算

將△1t

、△2t

、δ11

、δ22

、δ12

、δ21

、的表達(dá)式代入式（a）得(2)系數(shù)的計(jì)算,只計(jì)彎曲影響。（b），，第九節(jié)溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算解得：由疊加法作M圖第九節(jié)溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算

1.溫度變化在超靜定結(jié)構(gòu)中引起的內(nèi)力大小與桿件剛度有關(guān)，通過加大桿件截面（加大EI）來改善結(jié)構(gòu)在溫度作用下的受力狀態(tài)并非是一個(gè)有效的途徑。

要點(diǎn)：2.超靜定結(jié)構(gòu)因溫度變化而引起的變形與靜定結(jié)構(gòu)有較大的差別。超靜定結(jié)構(gòu)是降溫側(cè)受拉.多數(shù)房屋建筑為超靜定結(jié)構(gòu)，當(dāng)室內(nèi)外溫差較大時(shí)可能導(dǎo)致室外或室內(nèi)開裂。第九節(jié)溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算

支座位移、溫度改變等因素（廣義荷載）也會(huì)使超靜定結(jié)構(gòu)產(chǎn)生反力和內(nèi)力，這是超靜定結(jié)構(gòu)不同于靜定結(jié)構(gòu)的一種力學(xué)性質(zhì)。支座位移情形下的計(jì)算

式中等號(hào)左邊是基本體系的相應(yīng)位移，右邊是實(shí)際結(jié)構(gòu)在該點(diǎn)的實(shí)際位移。

在支座位移問題中,力法典型方程的一般形式可寫成:第十節(jié)支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算

例:圖示梁的A端產(chǎn)生了轉(zhuǎn)角位移φA

，求解梁的反力和內(nèi)力并作彎矩圖和剪力圖。基本體系基本結(jié)構(gòu)變形條件為：基本體系在B點(diǎn)的位移與原結(jié)構(gòu)相同。（a）解:(1)取支座B的豎向反力X1為多余未知力。(2)根據(jù)變形條件建立力法方程。第十節(jié)支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算△1c是當(dāng)支座A產(chǎn)生角位移φA時(shí)在基本結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的沿

X1方向引起的位移，由幾何關(guān)系得出

系數(shù)δ11可由M1圖求得（△1C

與X1反向，取負(fù)號(hào)）

基本體系的位移△1

是由X1和支座A的角位移φA共同作用產(chǎn)生的，因此式(a)可寫成也可由靜定結(jié)構(gòu)由支座位移引起的位移公式求得（b）第十節(jié)支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算

最后內(nèi)力計(jì)算方法與荷載情形無異。注意這里的X1與B端剪力的關(guān)系為

可見：支座位移在超靜定結(jié)構(gòu)中引起的內(nèi)力的大小與桿件截面剛度和支座位移值有關(guān)。這是與荷載作用下的情況不同的。(4)作彎矩圖和剪力圖FS圖(3)解方程求未知力將δ11與⊿1c

代入式(b)，解得第十節(jié)支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算

例:圖示單跨梁支座A產(chǎn)生轉(zhuǎn)角φA，同時(shí)B支座產(chǎn)生沉降△。試用力法求梁的內(nèi)力。

在小變形情形下，B端的軸向約束作用可略去不計(jì)，即X3可略去，簡化為二次超靜定問題。(2)根據(jù)變形條件建立力法方程。

解:(1)

三次超靜定?；倔w系（a）第十節(jié)支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算(3)計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。也可由幾何關(guān)系得（與X1

的方向一致）

同理作

圖、圖算得，由算得第十節(jié)支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算(4)解方程求未知力將系數(shù)和自由項(xiàng)代入方程式（a），有解得

可見，φA

在桿AB近端（A端）與遠(yuǎn)端（B端）引起的彎矩分別為

和，B端側(cè)移△在兩端產(chǎn)生的彎矩同為。第十節(jié)支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算兩端剪力為（由隔離體的力偶系平衡條件算）桿端彎矩分別：思考：當(dāng)B支座順時(shí)針轉(zhuǎn)了φB時(shí)，結(jié)果如何？答：這些結(jié)果將在第八章位移法中用到。第十節(jié)支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算

超靜定拱是土木建筑工程中常用的一種結(jié)構(gòu)形式，常見超靜定拱有兩鉸拱和無鉸拱。兩鉸拱

無鉸拱§7-11用彈性中心法計(jì)算無鉸拱無鉸拱是三次超靜定閉合結(jié)構(gòu)。通常采用彈性中心法。對稱無鉸拱，通常選取對稱的基本結(jié)構(gòu)。力法典型方程為：，由對稱性，得二、無鉸拱的計(jì)算基本體系§7-11用彈性中心法計(jì)算無鉸拱

可見：要使δ12為零，必須使X2的作用點(diǎn)下移,使y值有不同的符號(hào)，積分才可能為零。若系數(shù)δ12也為零，則力法典型方程式完全解耦?；窘Y(jié)構(gòu)在單位力作用下的內(nèi)力方程為：§7-11用彈性中心法計(jì)算無鉸拱

坐標(biāo)系x1Cy1是原點(diǎn)在拱頂?shù)淖鴺?biāo)系,它描述拱軸線方程。坐標(biāo)系xoy是原點(diǎn)在彈性中心O的坐標(biāo)系,它描述拱的內(nèi)力方程，相當(dāng)于計(jì)算內(nèi)力時(shí)進(jìn)行了一次坐標(biāo)變換,目的是使12=21=0。

在拱頂截口處設(shè)置不可變形的剛臂,設(shè)剛臂長為a。使未知力作用點(diǎn)移至剛臂的端點(diǎn)O。O點(diǎn)稱為彈性中心。§7-11用彈性中心法計(jì)算無鉸拱由δ12與δ21的計(jì)算式為可確定a要使δ12=δ21=0

，必須有§7-11用彈性中心法計(jì)算無鉸拱

計(jì)算δii、Δip時(shí)，如計(jì)入彎曲、剪切、軸向三個(gè)變形的影響，計(jì)算應(yīng)按下式進(jìn)行：

當(dāng)未知力作用于彈性中心，力法方程組的全部副系數(shù)為零，三個(gè)彼此獨(dú)立的方程為因而§7-11用彈性中心法計(jì)算無鉸拱

多數(shù)情況下可略去軸向變形與剪切變形的影響。常見拱橋拱頂截面高度hc<l／10

，僅當(dāng)f<l／5時(shí)將軸向變形影響計(jì)入δ22

中。§7-11用彈性中心法計(jì)算無鉸拱

設(shè)一面積,其長度方向的軸線與拱軸線重合,其寬度為拱截面抗彎剛度的倒數(shù),即。此面積稱為彈性面積。彈性中心就是該彈性面積的形心。彈性中心的幾何意義§7-11用彈性中心法計(jì)算無鉸拱一、兩鉸拱的計(jì)算（1）基本體系

1.兩鉸拱是一次超靜定結(jié)構(gòu)，力法基本方程為：§7-12兩鉸拱及系桿拱2.計(jì)算系數(shù)與自由項(xiàng)。基本結(jié)構(gòu)X=1作用下任意截面K彎矩和軸力為（2）

習(xí)慣上假設(shè)：彎矩使桿件內(nèi)側(cè)受拉為正，軸力以受壓為正。系數(shù)與自由項(xiàng)為§7-12兩鉸拱及系桿拱3.求未知力。

彎矩MP是坐標(biāo)x的函數(shù),當(dāng)給出結(jié)構(gòu)參量及荷載后便可確定。

將和代入式（2）§7-12兩鉸拱及系桿拱

將求出的多余未知力X1回代到基本體系中,可計(jì)算出拱中任一截面上的內(nèi)力。4.計(jì)算拱中任一截面上的內(nèi)力。與三鉸拱任一截面上的內(nèi)力計(jì)算公式完全一樣。§7-12兩鉸拱及系桿拱于是

兩鉸拱用作屋蓋結(jié)構(gòu)時(shí)，通常采用帶拉桿的兩鉸拱，用拉桿來承受水平向的反力。在計(jì)算系數(shù)時(shí)多了拉桿AB的變形量。注意:以上計(jì)算是在拱結(jié)構(gòu)承受豎向荷載情形下進(jìn)行的?；倔w系§7-12兩鉸拱及系桿拱拱截面A=384×10-3m2，慣性矩I=1843×10-6m4

，彈性模量E=192GPa，矢高

f=3.6m，(2)列力法方程。例7-15

用力法計(jì)算圖示兩鉸拱。拱軸線方程為拋物線：基本體系跨度l=18m。

(1)解:(1)選取基本體系。(3)計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。§7-12兩鉸拱及系桿拱

當(dāng)f<l／3時(shí),在計(jì)算系數(shù)δ11時(shí)應(yīng)考慮軸向變形影響。而計(jì)算自由項(xiàng)時(shí)仍可不考慮其影響。在扁平拱情形下，可認(rèn)為ds≈dx

，cosφ=≌1。

基本結(jié)構(gòu)在X1=1作用下，取截面K以左部分桿段為隔離體，內(nèi)力方程為：§7-12兩鉸拱及系桿拱

基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下，取截面K以左部分桿段為隔離體，內(nèi)力方程為：§7-12兩鉸拱及系桿拱代入E、I、A、l、q、f的值§7-12兩鉸拱及系桿拱相應(yīng)的簡支梁的FS0和M0為：以支座A以右面的x=6m處截面為例。(4)內(nèi)力計(jì)算。拱中相應(yīng)的y值為：§7-12兩鉸拱及系桿拱由有由得所求截面內(nèi)力表明：該截面上彎矩、剪力均很小，截面所承受的內(nèi)力主要是軸向壓力。計(jì)算拱中相應(yīng)的轉(zhuǎn)角φ§7-12兩鉸拱及系桿拱系數(shù)δ11中彎曲變形與軸向變形的影響分別為：

注意：不能象直桿那樣作拱的內(nèi)力圖，只能取若干截面（通常等分截面），算出這些截面上的內(nèi)力，最后連線作出內(nèi)力圖。在計(jì)算中，宜列表計(jì)算。彎曲變形影響討論：軸向變形影響可見，軸向變形對系數(shù)δ11不起重要影響。后者與前者之比§7-12兩鉸拱及系桿拱

1.由于超靜定結(jié)構(gòu)有多余的約束,因此超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力狀態(tài)由平衡條件不能唯一地確定。必須同時(shí)還要考慮變形條件才能求解。超靜定結(jié)構(gòu)（與靜定結(jié)構(gòu)相比）有如下一些重要特性：

2．由于約束有多余的，因而超靜定結(jié)構(gòu)在某些約束被破壞后，結(jié)構(gòu)仍保持幾何不變體系，因而還具有一定的承載能力；而靜定結(jié)構(gòu)在任一約束被破壞后，即變成幾何可變體系，因而喪失承載能力。這說明超靜定結(jié)構(gòu)具有較強(qiáng)的防護(hù)能力。第十一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的特性

3．超靜定結(jié)構(gòu)，一般情況下，其內(nèi)力分布也比靜定結(jié)構(gòu)要均勻，內(nèi)力的峰值也要小些。支梁最大彎矩在跨中,其值為,如果在跨中添加一支座變成連續(xù)梁,則最大彎矩在中間支座處,其值為,比簡支梁小4倍。

第十一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的特性

4．超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與結(jié)構(gòu)的材料性質(zhì)和截面尺寸有關(guān)。若結(jié)構(gòu)構(gòu)件截面尺寸和剛度有變化,則其內(nèi)力分布也隨之而變。

所以在設(shè)計(jì)超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)必先假定各桿的截面尺寸才能計(jì)算,當(dāng)荷載不變時(shí)，若要改變內(nèi)力分布，也必須修改各桿的截面尺寸或剛度。第十一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的特性

5.在超靜定結(jié)構(gòu)中，除荷載外，其它任何因素如溫度變化、支座移動(dòng)、制造誤差等都可以引起內(nèi)力。這種沒有荷載作用而在結(jié)構(gòu)中引起的內(nèi)力狀態(tài)稱作自內(nèi)力狀態(tài)。自內(nèi)力狀態(tài)有不利的一面，也有有利的一面。防止地基不均勻沉降和溫度變化等產(chǎn)生的自內(nèi)力引起的結(jié)構(gòu)裂縫是工程中應(yīng)注意的一個(gè)問題；而采用預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)是主動(dòng)利用自內(nèi)力來調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)截面應(yīng)力的典型例子。第十一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的特性小

結(jié)力法是求解超靜定結(jié)構(gòu)最基本的方法。力法的基本原理是將原超靜定結(jié)構(gòu)中的多余約束解除，代之以相應(yīng)的未知約束反力。原結(jié)構(gòu)就變成了在荷載及多余未知力作用下的靜定結(jié)構(gòu)。這個(gè)靜定結(jié)構(gòu)稱為原結(jié)構(gòu)的基本體系,多余未知力稱為原結(jié)構(gòu)的基本未知數(shù)。根據(jù)基本體系中多余未知力作用點(diǎn)的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)一致的條件，即多余約束處的位移諧調(diào)條件，建立位移協(xié)調(diào)方程。這就是力法典型方程。方程中的基本未知數(shù)是體系的多余未知力。這種以未知力為基本未知數(shù)的求解超靜定結(jié)構(gòu)的方法就稱為力法。由于基本體系滿足位移諧調(diào)條件,因此基本體系的內(nèi)力與變形便與原超靜定結(jié)構(gòu)完全一致。利用位移約束條件解出多余未知力是力法的關(guān)鍵,求出多余未知力后便將超靜定問題轉(zhuǎn)化為靜定問題了。以后的計(jì)算便與靜定結(jié)構(gòu)的求解完全一樣。小結(jié)理論上力法可以求解任何超靜定結(jié)構(gòu)。其原理具有物理概念明晰、易于理解的特點(diǎn)。其不足之處是：當(dāng)多余約束較多時(shí)，即超靜定次數(shù)較高時(shí),計(jì)算工作量很大。而且力法的基本體系有多種選擇,難以編成通用的計(jì)算機(jī)程序,這就極大地限制了力法的應(yīng)用。用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)，要做到超靜定次數(shù)判斷準(zhǔn)確，基本結(jié)構(gòu)選取適當(dāng)，位移計(jì)算無誤，最后校核仔細(xì)。用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的位移時(shí),作單位彎矩圖時(shí)可選擇任意的基本結(jié)構(gòu)。要理解這一點(diǎn),就要理解基本體系的內(nèi)力與變形與原結(jié)構(gòu)完全一致這一道理。因而,求超靜定結(jié)構(gòu)的位移就是求基本體系的位移。基本體系的荷載彎矩圖就是原超靜定結(jié)構(gòu)的最終彎矩圖。所以,只要再畫出基本體系在單位力作用下的彎矩圖就行了。計(jì)算超靜定拱,是力法的強(qiáng)項(xiàng)。特別是無鉸拱,因?yàn)槭乔鷹U,位移計(jì)算很繁雜。如何簡化計(jì)算就很重要。彈性中心法就是計(jì)算無鉸拱的最有效的方法。它可以使力法典型方程小結(jié)

力法典型方程由位移約束條件而來，其本質(zhì)是原超靜定結(jié)構(gòu)上被解除多余約束處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)該點(diǎn)的位移一致的變形諧調(diào)條件，方程中的每項(xiàng)都是荷載或非荷載因素引起的位移，其中包括多余未知力引起的位移。方程中的每一項(xiàng)都不能單獨(dú)使基本結(jié)構(gòu)與原超靜定結(jié)構(gòu)的位移一致，只有將各項(xiàng)疊加起來才能作到這一點(diǎn)。所以,本章導(dǎo)出的力法典型方程只適用于線彈性結(jié)構(gòu)。中所有的負(fù)系數(shù)均為零,計(jì)算獲得最大限度的簡化。能夠做了這一步的關(guān)鍵是進(jìn)行了坐標(biāo)變換。把未知力的作用點(diǎn)移到了彈性中心。小結(jié)一、力法的計(jì)算方法1.力法的基本思路

用力法解超靜定結(jié)構(gòu)的基本思路是將超靜定結(jié)構(gòu)的多余未知力看作基本未知量，去掉多余未知力對應(yīng)的多余約束將原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成基本結(jié)構(gòu)，因而多余未知力成為作用在基本結(jié)構(gòu)上的外力；然后沿多余未知力方向建立位移協(xié)調(diào)方程，解方程就可以求出多余未知力;最后將求出的多余未知力作用于基本結(jié)構(gòu)，用疊加法即可求出超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。2.如何選取基本結(jié)構(gòu)(1)力法的基本結(jié)構(gòu)一般為靜定結(jié)構(gòu)，但有時(shí)若能較容易地求出力法典型方程中的位移系數(shù)，也可以選超靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)。小結(jié)例：用力法求圖a所示的九次超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。

小結(jié)

解：根據(jù)對稱性知，桿AB的剪力和彎矩均為零，只有軸力，則取基本體系如圖b所示，MP圖和M1圖分別如圖c、圖d所示。經(jīng)計(jì)算得代入力法典型方程δ11X1+Δ1P=0，可以求出

(2)同一個(gè)超靜定結(jié)構(gòu)可以選擇許多種不同的力法基本結(jié)構(gòu)，但選取基本結(jié)構(gòu)時(shí)需注意應(yīng)使力法方程中的系數(shù)和自由項(xiàng)的計(jì)算盡可能方便，或盡可能使較多的自由項(xiàng)和副系數(shù)為零，且應(yīng)使圖和MP圖的繪制盡量簡單。無論選取怎樣的基本結(jié)構(gòu)，最后結(jié)果都相同。，小結(jié)

例如,圖a中的連續(xù)梁，選圖b、圖c、圖d所示的基本體系都可以，但圖d的基本體系可以使某些負(fù)系數(shù)為零，因此最簡單。小結(jié)3.典型方程

超靜定結(jié)構(gòu)在荷載、支座位移、溫度變化等因素作用下的典型方程為：小結(jié)(1)力法典型方程實(shí)際上就是沿多余未知力方向上的位移協(xié)調(diào)條件。第i個(gè)方程表示原結(jié)構(gòu)在第i個(gè)多余未知力方向上的實(shí)際位移為i，當(dāng)位移的方向與多余未知力的方向一致時(shí)，i取正值，否則取負(fù)值。等號(hào)左邊的每一項(xiàng)表示基本結(jié)構(gòu)在各種因素單獨(dú)作用下沿Xi方向產(chǎn)生的位移，即等號(hào)左邊一切系數(shù)的計(jì)算都應(yīng)在基本結(jié)構(gòu)上進(jìn)行。如：21X1表示基本結(jié)構(gòu)在X1單獨(dú)作用下沿X2方向產(chǎn)生的位移,1c表示基本結(jié)構(gòu)在支座位移單獨(dú)作用下沿X1方向產(chǎn)生的位移，nP表示基本結(jié)構(gòu)在外荷載單獨(dú)作用下沿Xn方向產(chǎn)生的位移，nt表示基本結(jié)構(gòu)單獨(dú)在溫度變化時(shí)沿Xn

方向產(chǎn)生的位移。主系數(shù)ii表示基本結(jié)構(gòu)在多余未知力Xi=1單獨(dú)作用下沿Xi方向產(chǎn)生的位移；副系數(shù)ij（ij）表示基本結(jié)構(gòu)在多余未知力Xj=1單獨(dú)作用下沿Xi方向產(chǎn)生的位移。小結(jié)二、幾個(gè)應(yīng)注意的問題1.超靜定結(jié)構(gòu)的特性(1)在超靜定結(jié)構(gòu)中，支座移動(dòng)、溫度改變、材料脹縮、制造誤差等因素都可以引起內(nèi)力。(2)在荷載作用下，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分布與各桿剛度的比值有關(guān)，而與其絕對值無關(guān)。因此，在計(jì)算內(nèi)力時(shí)，允許采用相對剛度。若改變各桿的剛度比值，則結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分布也隨之改變。一般來說，剛度大的桿件，分配到的內(nèi)力也大；若各桿件的剛度按同一比例增減，則結(jié)構(gòu)的內(nèi)力保持不變。（1）沒有荷載就沒有內(nèi)力這個(gè)說法對任何結(jié)構(gòu)都是成立的.

解：錯(cuò)誤。

(3)由溫度或支座移動(dòng)、制造誤差等因素在超靜定結(jié)構(gòu)中引起的內(nèi)力，與各桿剛度的絕對值有關(guān)。例：判斷下列說法的正確性。小結(jié)2、判斷超靜定結(jié)構(gòu)的次數(shù)時(shí)應(yīng)注意的問題(1)不要把原結(jié)構(gòu)拆成幾何可變體系。(2)通常要把全部多余約束都拆除。(3)只能在原結(jié)構(gòu)中減少約束，不能增加新的約束。(4)去掉連接n個(gè)桿件的復(fù)鉸相當(dāng)于去掉n-1個(gè)單鉸；將連接n個(gè)桿件的剛結(jié)點(diǎn)變成鉸結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于去掉n-1個(gè)約束。(5)只能去掉多余約束，不能去掉必要約束.

例題：（1）n次超靜定結(jié)構(gòu)，任意去掉n個(gè)約束均可作為力法基本結(jié)構(gòu)的說法對嗎？解：錯(cuò)誤。只能去掉多余約束，不能去掉必要約束。

（2）對超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下進(jìn)行內(nèi)力分析時(shí)，只需知道各桿的相對剛度。解：正確。

小結(jié)（2）圖a所示結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)為多少？解：8次。提示：相應(yīng)的靜定結(jié)構(gòu)如圖b所示.（3）圖示結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)為多少？

解：6次。注意：1、2桿組成二元體，不能看作多余約束。小結(jié)（4）圖示結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)為多少？

解：7次。提示：先去掉AB桿,再去掉鉸A結(jié)點(diǎn)（相當(dāng)于2個(gè)約束）,最后去掉鉸結(jié)點(diǎn)B（相當(dāng)于2個(gè)單鉸）。（5）圖示結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)為多少？

。

解：6次。提示：內(nèi)部ABC只需三個(gè)約束，即可與外部保持幾何不變，而現(xiàn)在卻用3個(gè)鉸相連，故有三個(gè)多余約束，外部剛架也有三個(gè)多余約束。小結(jié)3.力法的適用條件

(1)力法只適用于求解超靜定結(jié)構(gòu)，不能用于求解靜定結(jié)構(gòu)。(2)既可以考慮彎曲變形，也可以考慮軸向和剪切變形。(3)可以用于梁、剛架、桁架、拱、組合結(jié)構(gòu)等各種類型的結(jié)構(gòu)。（4）從材料性質(zhì)看,只能用于彈性材料。

4.超靜定結(jié)構(gòu)發(fā)生支座位移時(shí)基本體系的選取

當(dāng)超靜定結(jié)構(gòu)發(fā)生支座位移時(shí)，選取不同的基本體系，所得的力法方程同，自由項(xiàng)c亦不同。小結(jié)

例如,用力法求圖a所示有支座位移的超靜定梁時(shí)，取兩種基本結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析比較。（1）第一種基本結(jié)構(gòu)（圖b）,基本體系如圖c所示。力法典型方程為

可以看出,方程的等號(hào)右邊不為零，這是因?yàn)樵Y(jié)構(gòu)在B點(diǎn)有位移，所以等號(hào)右邊應(yīng)等于原結(jié)構(gòu)的實(shí)際位移，又由于實(shí)際位移與多余未知力的方向相反，故位移都取負(fù)值。

小結(jié)注意ic的計(jì)算：

由于等號(hào)左邊系數(shù)的計(jì)算都在基本結(jié)構(gòu)上進(jìn)行，而圖b的這種基本結(jié)構(gòu)既無荷載，也無支座位移，因此由該基本結(jié)構(gòu)引起的ic都等于0。則上述典型方程變?yōu)樾〗Y(jié)（2）取第二種基本結(jié)構(gòu)，如圖d所示。力法典型方程為

可見,該方程的等號(hào)右邊都等于零,這是由于原結(jié)構(gòu)在A點(diǎn)無位移的緣故。注意ic的計(jì)算：小結(jié)

由于圖d這種基本結(jié)構(gòu)的B端有支座位移，而該支座位移將會(huì)引起與X1、X3對應(yīng)方向上的位移，故有1c=－c，2c=0，3c=a

。力法典型方程又可以寫成：

由以上分析可見，當(dāng)超靜定結(jié)構(gòu)有支座位移時(shí)，選取不同的基本結(jié)構(gòu)，所列方程的含義和形式均有區(qū)別，所以列方程需要仔細(xì)分析，分清支座位移何時(shí)出現(xiàn)在等號(hào)左邊，何時(shí)出現(xiàn)在右邊。小結(jié)

例：圖a所示變截面梁,在支座A、B分別有豎向位移a及轉(zhuǎn)動(dòng)位移θ。

若按力法進(jìn)行求解，并取圖b所示的基本體系，則可列出力法方程的具體表達(dá)式。試寫出小結(jié)

解：

5.切開或撤去多余鏈桿的基本體系,兩者的力法方程比較

兩者的力法方程形式不同，它們所代表的變形條件及方程中各項(xiàng)參數(shù)的物理意義不同，但力法方程的內(nèi)容是等效的。小結(jié)

圖b和圖c是圖a所示的超靜定桁架用力法求解時(shí)選取的兩種不同的基本體系。圖b為切開鏈桿CD，圖c為撤去鏈桿CD。（1）相對圖b，力法方程為（a）

方程的物理意義為：基本體系中鏈桿1切口處相鄰兩截面相對軸向位移應(yīng)等于原結(jié)構(gòu)該相鄰兩截面的相對軸向位移（等于零）。小結(jié)系數(shù)和自由項(xiàng)按下式計(jì)算：，小結(jié)（2）對圖c,力法方程為：(b)

方程的物理意義為：基本體系中C、D兩點(diǎn)沿X1方向的相對線位移等于原結(jié)構(gòu)中鏈桿CD的縮短量。因?yàn)閷UCD而言,X1為拉力，為桿CD的伸長量，所以方程右邊取負(fù)值。系數(shù)和自由項(xiàng)按下式計(jì)算：

，小結(jié)

可見與兩種基本體系相應(yīng)的力法方程只是形式上不同,而內(nèi)容是等效的.柔度系數(shù)關(guān)系為：將式（b）移項(xiàng)可得

比較以上兩種基本體系可以看到，兩者力法方程的形式及其物理意義不同；柔度系數(shù)與也不相同,

δ11

的計(jì)算包括CD桿的影響在內(nèi)，而

則不包括CD桿的影響；自由項(xiàng)⊿1P的計(jì)算兩者相同，但物理意義也不同（前者是荷載作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)鏈桿切口兩側(cè)的相對軸向位移，后者是荷載作用于另一基本結(jié)構(gòu)時(shí)C、D兩點(diǎn)的相對線位移）。

在實(shí)際計(jì)算中通常選用圖b所示的基本體系較為方便。小結(jié)6.幾個(gè)有用的結(jié)論(1)集中力F沿某桿的軸線作用，若該桿沿軸線方向無位移,則只有該桿承受軸向壓力，其余桿件無內(nèi)力（例如圖a只有AB桿受軸向壓力）；等值反向共線的一對集中力沿某直桿的軸線作用時(shí)，只有該桿受軸向拉力或壓力（例如圖b、圖c中。桿件無彎矩,且只有成對集中力作用的桿件受軸力）。小結(jié)

(2)集中力作用在無線位移的結(jié)點(diǎn)上時(shí)，匯交于該結(jié)點(diǎn)的各桿無彎矩，也無剪力（圖d）。

注意：以上結(jié)論均有一個(gè)前提條件：不考慮軸向變形；若需考慮軸向變形，則結(jié)論不成立。(3)剛度無窮大的桿件不產(chǎn)生彎曲變形，但可以有彎矩，桿端的最后彎矩應(yīng)由結(jié)點(diǎn)的平衡條件求出。小結(jié)例：計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)MBA、MCD。各桿EI=常數(shù)。

解：

C點(diǎn)無線位移，其上作用的集中力將只引起軸力，不引起彎矩和剪力，故MBA=MCD=0

。同理，下列結(jié)構(gòu)的各桿彎矩等于零。小結(jié)三、對稱性的利用

（1）超靜定結(jié)構(gòu)的對稱性包括兩方面：幾何形狀和支承對稱；桿件截面和材料性質(zhì)（剛度）也對稱。

奇數(shù)跨對稱剛架在反對稱荷載作用下，對稱軸處簡化為一豎向鏈桿。（4）選取半結(jié)構(gòu)的原則如下：

奇數(shù)跨對稱剛架在正對稱荷載作用下，對稱軸處簡化為一定向支座。

（2）作用于對稱結(jié)構(gòu)上的任意荷載可以分為對稱荷載和反對稱荷載兩部分分別計(jì)算。

（3）在對稱荷載作用下，變形是對稱的，彎矩圖和軸力圖是對稱的，剪力圖是反對稱的。在反對稱荷載作用下,變形是反對稱的，彎矩圖和軸力圖是反對稱的，剪力圖是對稱的。利用這些規(guī)則,只需計(jì)算半邊結(jié)構(gòu)。小結(jié)

偶數(shù)跨對稱剛架在對稱荷載作用下，當(dāng)不考慮中柱軸向變形時(shí)，對稱軸的截面無位移，簡化為固定支座。

偶數(shù)跨對稱剛架在反對稱荷載作用下，原結(jié)構(gòu)簡化為半結(jié)構(gòu)，且中柱的慣性矩減半。（5）幾種典型對稱結(jié)構(gòu)的半結(jié)構(gòu)如下列各圖所示。小結(jié)小結(jié)小結(jié)注意：在利用對稱性時(shí)應(yīng)能正確判斷荷載的對稱性。

例：在不計(jì)軸向變形下，圖a所示對稱結(jié)構(gòu)（EI=C），可取圖b來計(jì)算嗎？

解：不可以。正確的半結(jié)構(gòu)應(yīng)為圖c。小結(jié)例：圖a所示對稱結(jié)構(gòu)，可簡化為圖b來計(jì)算嗎？解：可以。

小結(jié)例：作圖a所示結(jié)構(gòu)M圖，EI=常數(shù)。

解：本題為反對稱荷載，故先簡化成半結(jié)構(gòu)（圖b）,該半結(jié)構(gòu)是靜定結(jié)構(gòu)，根據(jù)平衡條件即可作出彎矩圖(圖c）。小結(jié)例：用力法計(jì)算并做圖a所示結(jié)構(gòu)M圖。EI=常數(shù)。

解：把原結(jié)構(gòu)簡化成圖b所示的半結(jié)構(gòu)，再簡化成圖c，進(jìn)一步簡化成e圖所示的簡支梁，可得原結(jié)構(gòu)的M圖（圖f）。小結(jié)

例：試用力法計(jì)算圖a所示結(jié)構(gòu)由于AB桿的制造誤差（短⊿）產(chǎn)生的M圖，已知EI=常數(shù)。

解：取1/4結(jié)構(gòu)（圖b）。由于AB桿短⊿，可看作支座A發(fā)生向下的位移⊿／2。小結(jié)列力法方程其中

而⊿1c是當(dāng)基本結(jié)構(gòu)（圖d）發(fā)生向下的支座位移時(shí),沿X1方向產(chǎn)生的位移，因此

解方程得M圖示于圖e。小結(jié)

例：圖a所示結(jié)構(gòu)，用力法求解時(shí)最少未知量個(gè)數(shù)為多少？

提示：先取半結(jié)構(gòu)（圖b），再對圖b取半結(jié)構(gòu)如圖c所示。解：最少未知量個(gè)數(shù)為1。小結(jié)四、彈性支承超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算例：結(jié)構(gòu)如圖所示（f為柔度系數(shù)），選擇正確答案。D.

C.

A.B.

解:正確答案是C。小結(jié)

例:圖示兩彈性支承連續(xù)梁，已知EI=常數(shù)，k=6EI/l3，試求彎矩圖。小結(jié)

解：此連續(xù)梁為二次超靜定，取基本體系如圖b所示。（1）力法方程

（2）計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)

位移系數(shù)是由兩部分產(chǎn)生的：一是荷載產(chǎn)生的，二是由于彈簧支座位移產(chǎn)生的。例如求δ11，由荷載產(chǎn)生的位移是

由支座產(chǎn)生的位移是所以小結(jié)同理將系數(shù)代入力法方程典型得小結(jié)解聯(lián)立方程得由疊加法作彎矩圖最后彎矩圖如圖e所示。

，小結(jié)五、用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的位移用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)位移的步驟如下：(1)先用力法計(jì)算出多余未知力,并作為已知外力作用于基本結(jié)構(gòu)。(2)結(jié)構(gòu)上某點(diǎn)的位移等于基本結(jié)構(gòu)在各種因素（包括外荷載、多余未知力、支座位移