材料力學第三章

剪切與擠壓的實用計算

一、連接件螺栓連接鉚釘連接銷軸連接平鍵連接剪切受力特點：作用在構件兩側面上的外力合力大小相等、方向相反且作用線很近。變形特點：位于兩力之間的截面發(fā)生相對錯動。二、剪切的實用計算得剪應力（名義剪應力）計算公式：剪應力強度條件：假設剪應力在剪切面（m-m截面）上是均勻分布的剪切面上的剪力：FS

=F常由實驗方法確定在計算中，要正確確定有幾個剪切面，以及每個剪切面上的剪力。單剪雙剪例

鋼板厚度t=5mm，剪切強度極限=320MPa，若用直徑d=15mm的沖頭在鋼板上沖孔，求沖床所需的沖壓力。分布于此圓柱面上的剪力為可得沖壓力：解：沖孔的過程就是發(fā)生剪切破壞的過程。剪切面面積是直徑為d，高為t的圓柱面面積F三、擠壓的實用計算1、擠壓力—Fbs：接觸面上的合力2、擠壓面積：接觸面在垂直Fbs方向上的投影面3、擠壓強度條件（準則）：常由實驗方法確定實際擠壓面Fbs計算擠壓面FbsFbs四、應用

為充分利用材料，切應力和擠壓應力應滿足例２

圖示接頭，受軸向力F作用。已知F=50kN，b=150mm，δ=10mm，d=17mm，a

=80mm，[σ]=160MPa，[τ]=120MPa，[σbs]=320MPa，鉚釘和板的材料相同，試校核其強度。解：(1)板的拉伸強度ＦＦＮx(2)鉚釘?shù)募羟袕姸?3)板和鉚釘?shù)臄D壓強度故強度足夠。若板與鉚釘材料不同呢？問題：指出下圖中的剪切面和擠壓面位置，寫出各剪切面面積和計算擠壓面面積。taFbq正方形板正方形柱FFSqFFbS擠壓面剪切面問題：指出下圖中的剪切面和擠壓面位置，寫出各剪切面面積和計算擠壓面面積。aaaabthFaFbFaFbS擠壓面剪切面第三章扭轉3.1扭轉的概念及實例3.2外力偶矩的計算·扭矩及扭矩圖3.3純剪切3.4圓軸扭轉時的應力3.5圓軸扭轉時的變形3.6*密圈螺旋彈簧的應力和變形3.7非圓截面桿扭轉的概念3.8*薄壁桿件的自由扭轉機器的傳動軸、水輪發(fā)電機的主軸、石油鉆機中的鉆桿、橋梁及廠房等空間結構中的某些構件等,扭轉是其主要變形之一。3.1扭轉的概念及實例3.1扭轉的概念及實例在桿件的兩端作用兩個大小相等、方向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶,致使桿件的任意兩個橫截面都發(fā)生繞軸線的相對轉動,這就是扭轉變形。3.1扭轉的概念及實例軸：工程中以扭轉為主要變形的構件。如：機器中的傳動軸、石油鉆機中的鉆桿等。扭轉：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線垂直，桿橫截面繞軸線發(fā)生相對轉動，這樣的變形為扭轉變形。

mmOB’AB扭轉角（）：任意兩截面繞軸線相對轉動而發(fā)生的角位移。剪應變（）：縱向線傾斜的角度（直角的改變量）。ABO3.2傳動軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖3.2.1傳動軸的外力偶矩從動輪主動輪從動輪nMe1Me2Me3一傳動軸,轉速為n,軸傳遞的功率由主動輪輸入,然后由從動輪輸出。若通過某一輪所傳遞的功率為P,

則作用在該輪上的外力偶矩Me可按以下方法求得。GB3101-93中規(guī)定的數(shù)值方程式的表示方法。3.2傳動軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖從式中可以看出,軸所承受的力偶矩與傳遞的功率成正比,與軸的轉速成反比。因此,在傳遞同樣的功率時,低速軸所受的力偶矩比高速軸大。所以在一個傳動系統(tǒng)中,低速軸的直徑要比高速軸的直徑粗一些。3扭矩的符號規(guī)定：1扭矩：構件受扭時，橫截面上的內力偶矩，記作“T”。mxmm3.2.2扭矩及扭矩圖2截面法求扭矩右手螺旋法則:右手四指的方向順著扭矩的旋轉方向，大拇指指向截面外法向時，扭矩為正；反之為負。T4扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖形。

目的①扭矩變化規(guī)律；②|T|max值及其截面位置強度計算（危險截面）。xT截面上的扭矩T等于保留截面一側所有扭轉外力偶矩的代數(shù)和，外力偶矩正負號用右手螺旋法則確定：四個手指表示轉向，大拇指代表方向，與保留側端面外法線一致為正。補充說明:內力方程法求扭矩：

3.2.2扭矩及扭矩圖例：一傳動軸如圖所示,其轉速n＝300r/min,主動輪輸入的功率為有P1=500kW。若不計軸承摩擦所耗的功率,三個從動輪輸出的功率分別為P2＝150kW、P3＝150kW及P4＝200kW。試做扭矩圖。ABCDM1M2M3nM4ABCDM1M2M3nM4M2M1M3M4ABCD解:計算外力偶矩M3M222BCM2M1M3M4ABCD計算CA段內任橫一截面2-2截面上的扭矩。假設T2為正值。221133T2x由平衡方程結果為負號,說明T2是負值扭矩。同理,在BC段內在AD段內M211BT1xM433BT3M3M222BCM2M1M3M4ABCD221133T2x作出扭矩圖M211BT1x9.564.786.37T圖(kN·m)從圖可見,最大扭矩發(fā)生在CA段內,其值為9.56kN·m。EDCBAm4

m3

m2m111223344解：AB段:BC段:CD段:DE段:10kNm15kNm30kNm5kNmT扭矩圖一薄壁圓筒扭轉的切應力薄壁圓筒：壁厚（r0：為平均半徑）1、實驗：實驗前：①繪縱向線、圓周線；②施加一對外力偶m。3.3純剪切加載后發(fā)現(xiàn)：①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉動。②各縱向線均傾斜了同一微小角度。③所有矩形網格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。①橫截面上無正應力;②橫截面上各點處，只產生垂直于半徑方向的均勻分布的剪應力，沿周向大小不變，方向與該截面上的扭矩方向一致。結論:T薄壁圓筒剪應力

大小：A0：平均半徑所作圓的面積。與的關系：Tacddxbdy′′微小矩形單元體如圖所示：二、剪應力互等定理：

上式稱為剪應力互等定理。該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxbdy′′δz單元體的四個側面上只有剪應力而無正應力作用，這種應力狀態(tài)稱為純剪切應力狀態(tài)。剪切虎克定律：

剪切虎克定律：當剪應力不超過材料的剪切比例極限時（τ≤τp)，剪應力與剪應變成正比關系。

剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關系：

可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因

無量綱，故G的量綱與

相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。三純剪切應力狀態(tài)下的應變能密度假設單元體左側固定,因此變形后右側將向下移動dx。因為變形很小,所以在變形過程中,認為上、下兩面上的外力將不作功。只有右側面的外力(dydz)對相應的位移dx上作了功。xydydzabdzdxcttt't'c'g

應變能密度為當材料在線彈性范圍內內工作時,上述力與位移成正比,因此,單元體上外力所作的功為xydydzabdzdxcttt't'c'g等直圓桿在扭轉時積蓄在桿中的應變能可由下式計算由剪切胡克定律t＝Gg代入得3.4圓軸扭轉時的應力1變形幾何關系在小變形條件下,等直圓桿在扭轉時橫截面上也只有切應力。為求得此應力,需從幾何關系、物理關系和靜力關系三個方面著手。為研究橫截面上任一點處切應變隨點的位置而變化的規(guī)律,先觀察一個實驗。實驗:預先在等截面圓桿的表面畫上任意兩個相鄰的圓周線和縱向線。在桿的兩端施加外力偶矩Me。現(xiàn)象:①兩圓周線繞桿軸線相對旋轉了一個角度,圓周線的形狀和大小均未改變;MeMe②在變形微小的情況下,圓周線的間距也未變化,縱向線則傾斜了一個角度g。g3.4圓軸扭轉時的應力根據圓周線形狀大小不變,兩相鄰圓周線發(fā)生相對轉動的現(xiàn)象,可以設想,圓軸扭轉時各橫截面如同剛性平面一樣繞軸線轉動,即假設圓軸各橫截面仍保持為一平面,且其形狀大小不變；橫截面上的半徑亦保持為一直線,這個假設稱平截面假設。根據實驗結果,在桿扭轉變形后只有等截面的直圓桿的圓周線才仍在垂直于桿軸的平面內,所以平截面假設只適用于等直圓桿。根據上述實驗現(xiàn)象還可推斷,與薄壁圓筒扭轉時的情況一樣,圓軸扭轉時其橫截面上不存在正應力s,僅有垂直于半徑方向的切應力t作用。3.4圓軸扭轉時的應力傾角g是橫截面圓周上任一點A處的切應變,dj是b-b截面相對于a-a截面象剛性平面一樣繞桿軸轉動的一個角度。(相對扭轉角)TTdxO2O1abbaAD截取長為dx的桿段進行分析。djD'g3.4圓軸扭轉時的應力作一條與軸線平形且距離為r的縱向線EG?？v向線EG

也傾斜了一個角度gr。gr是橫截面半徑上任一點E處的切應變。TTdxO2O1abbadjAEDD'GG'ggrr3.4圓軸扭轉時的應力這就是圓軸扭轉時切應變沿半徑方向的變化規(guī)律。此式說明：同一半徑r圓周上各點切應變gr均相同,且其值與r成正比。TTdxO2O1abbadjAEDD'GG'ggrrdj/dx是相對扭轉角沿桿長度的變化率,是個待定參數(shù)。由剪切胡克定律這就是圓軸扭轉時橫截面上切應力的分布規(guī)律。同一圓周上各點切應力tr均相同,且其值與r成正比,tr垂直于半徑。2物理關系TTdxO2O1abbadjAEDD'GG'ggrrOrtmax3.靜力關系OrrrtrdAtrdA由于在橫截面任一直徑上距圓心等遠的兩點處的內力元素trdA等值而反向,整個橫截面上的內力元素trdA的合力必等于零,并組成一個力偶,即為橫截面上的扭矩T。令稱為橫截面的極慣性矩。極慣性矩僅與橫截面的幾何量有關,單位是m4。上式為等直圓桿在扭轉時橫截面上任一點處切應力的計算公式。3.4圓軸扭轉時的應力橫截面周邊各點處,切應力將達到最大值。圓心處的切應力為零。切應力與成正比。且垂直于半徑。指向與T的轉向一致。分布圖如圖所示。OrtmaxTWp

稱作抗扭截面系數(shù),單位為m3。3.4圓軸扭轉時的應力推導切應力計算公式的主要依據為平面假設,且材料符合胡克定律。因此公式僅適用于在線彈性范圍內的等直圓桿。3.4圓軸扭轉時的應力抗扭截面模量公式極慣性矩公式4極慣性矩及抗扭截面系數(shù)3.4圓軸扭轉時的應力實心圓截面桿rdrdOdOD空心圓截面桿rdrTtmaxtmaxtmaxtmaxT（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構件：提高強度,節(jié)約材料,重量輕,結構輕便,應用廣泛。5應力分布例：試驗算薄壁圓筒橫截面上切應力公式的精確度。已知圓筒的壁厚d和平均直徑d0。dd0＝2r0TTtmaxtmin解：按精確公式計算,薄壁圓筒橫截面上切應力沿壁厚d的變化情況如圖。最大切應力在截面最外層,按近似公式計算,薄壁圓筒橫截面上切應力沿壁厚不變,算式為dd0＝2r0TTtmaxtmin以tmax為基準分析誤差的大小式中dd0＝2r0TTtmaxtmin以tmax為基準的誤差為越小,即筒壁薄時誤差Δ越小。b＝5%時,Δ僅為4.52%。例：內外徑分別為20mm和40mm的空心圓截面軸,受扭矩T＝1kN·m作用,計算橫截面上A點的切應力及橫截面上的最大和最小切應力。解：例：一直徑為D1的實心軸,另一內外徑之比a＝d2／D2＝0.8的空心軸,若兩軸橫截面上的扭矩相同,且最大切應力相等。求兩軸外直徑之比D2/D1。解：由得：例:在強度相同的條件下,用d/D＝0.5的空心圓軸取代實心圓軸,可節(jié)省材料的百分比為多少?解：設實心軸的直徑為d1,由得：例:一厚度為30mm、內直徑為230mm的空心圓管,承受扭矩T=180kN·m。試求管中的最大切應力,使用：(1)薄壁管的近似理論；(2)精確的扭轉理論。解：(1)利用薄壁管的近似理論可求得(2)利用精確的扭轉理論可求得例：一空心圓軸,內外徑之比為a＝0.5,兩端受扭轉力偶矩作用,最大許可扭矩為Ｔ,若將軸的橫截面面積增加一倍,內外徑之比仍保持不變,則其最大許可扭矩為Ｔ的多少倍？（按強度計算）。解：設空心圓軸的內、外徑原分別為d、D,面積增大一倍后內外徑分別變?yōu)閐1、

D1,最大許可扭矩為Ｔ16強度條件圓軸扭轉時,桿內各點均處于純剪切應力狀態(tài)。其強度條件應該是橫截面上的最大工作切應力max不超過材料的許用切應力[]。圓軸扭轉時的最大工作切應力max發(fā)生在最大扭矩所在橫截面(危險截面)的周邊上的任一點處(危險點),強度條件為6強度條件根據上述條件,可以解決三個方面的問題:①校核強度：②設計截面尺寸：③確定許可載荷：例:已知解放牌汽車主傳動軸傳遞的最大扭矩T＝1930N·m,傳動軸用外徑D=89mm、壁厚d＝2.5mm的鋼管做成。材料為20號鋼,其許用切應力[t]＝70MPa。校核此軸的強度。解:(1)計算抗扭截面系數(shù)MeMe(2)強度校核可知軸滿足強度條件。如果傳動軸不用鋼管而采用實心圓軸,并使其與鋼管有同樣的強度(即兩者的最大應力相同),則可見,采用鋼管時,其重量只有實心圓軸的30％,耗費的材料要少得多。例:圖示階梯圓軸,AB段的直徑d1＝120mm,BC段的直徑d2=100mm,扭轉力偶矩為MA＝22kN.m,MB＝36kN.m,MC＝14kN.m,已知材料的許用切應力[]=80MPa,試校核該軸的強度。解:作軸的扭矩圖ABCMAMBMC2214因此,該軸滿足強度要求。分別校核兩段軸的強度1扭轉時的變形等直圓軸扭轉時的變形是用相對扭轉角j來度量的。長為l的一段桿兩端面間的相對扭轉角j可按下式計算是計算等直圓桿相對扭轉角的依據。其中dj代表相距為dx的兩橫截面間的相對扭轉角。3.5圓軸扭轉時的變形對于同一材料制成的等直圓軸(G,Ip為常量),當只在兩端受一對外力偶作用時(T為常量),從上式可得GIp

稱作

抗扭剛度或3.5圓軸扭轉時的變形由于桿在扭轉時各橫截面上的扭矩可能并不相同,且桿的長度也各不相同,因此對于扭轉桿的剛度用相對扭轉角沿桿長度的變化率dj/dx來度量。用j'來表示這個量,稱為單位長度扭轉角。注意：以上公式都只適用于材料在線彈性范圍內的等直圓桿。3.5圓軸扭轉時的變形例:圖示傳動軸系鋼制實心圓截面軸。已知:M1＝1592N·m,M2＝955N·m,M3＝637N·m。截面A與截面B、C之間的距離分別為lAB＝300mm和lAC＝500mm。軸的直徑d＝70mm,鋼的切變模量為G＝80GPa。試求截面C對截面B的對扭轉角。lABlACBCAM1M2M3III解:由截面法求得I、II段內的扭矩分別為T1＝955N·m,T2＝-637N·m。jABjAC解法1,假設A截面不動,先分別計算截面B、C對截面A的相對扭轉角jAB和jAC。lABlACBCAM1M2M3IIIjABjAC與M2的轉向相同與M3的轉向相同lABlACBCAM1M2M3IIIjABjAC與M3的轉向相同截面C對截面B的相對扭轉角jBC

為BCBCAM1jAB解法2:設截面B固定不動,先分別計算M1、M3單獨作用下截面C對截面B的相對扭轉角jCB1和jCB2,然后疊加,即采用疊加法。jCB1M1單獨作用下截面C對截面B的相對扭轉角M3jCB2M3單獨作用下截面C對截面B的相對扭轉角C截面對截面B的相對扭轉角2剛度條件扭轉構件除需滿足強度條件外,還需滿足剛度方面的要求,否則將不能正常地進行工作。例如機器中的軸如扭轉變形過大,就會影響機器的精密度,或者使機器在運轉過程中產生較大的振動。因此對圓軸的扭轉變形需要有一定的限制。通常要求單位長度的扭轉角不能超過某一許用值,即扭轉構件應滿足剛度條件式中j'是單位長度的扭轉角,[j']為單位長度的許用扭轉角,兩者的單位皆為rad／m(弧度／米)。

3.5圓軸扭轉時的變形在工程實際中[j']的常用單位為(o)/m(度/米)。如果使j'也采用(o)/m,則上述的剛度條件又可寫成

單位長度的許用扭轉角[j']是根據載荷性質和工作條件等因素決定的。在精密、穩(wěn)定的傳動中,[j']常取0.15～0.3(o)/m之間；對于一般的傳動軸,則可放寬到2(o)/m左右。各種軸的許可單位長度扭轉角的具體數(shù)值可由有關的機械設計手冊中查出。3.5圓軸扭轉時的變形例：某汽車的主傳動軸是用40號鋼的電焊鋼管制成,鋼管外徑D＝76mm,壁厚d＝2.5mm,軸傳遞的轉矩Me＝1.98kN·m,材料的許用切應力[]＝100MPa,切變模量G＝80GPa,軸的許可扭角[']＝2o/m。試校核軸的強度和剛度。dMedD解：軸的扭矩等于軸傳遞的轉矩軸的內,外徑之比MedMedD由剛度條件由強度條件

Me將空心軸改為同一材料的實心軸,仍使max=96.1MPa實心軸的直徑為d＝47.2mm實心軸的截面面積為空心軸的截面面積為兩軸材料、長度均相等同,故兩軸的重量比等于兩軸的橫截面積之比在最大切應力相等的情況下空心軸比實心軸輕,即節(jié)省材料。例:軸上有三個齒輪。軸的轉速為n＝183.5r/min,G＝80GPa。齒輪II的傳動功率P2＝0.756kW,齒輪IV的傳動功率P4＝2.98kW。軸的[]＝40MPa,[']＝1.5(o/m)。設計軸的直徑。M3M2M4M3M2M4解:求扭矩,畫軸的扭矩圖39.3N·m155N·mn＝183.5r/minP2＝0.756kWP4＝2.98kW由強度條件39.3N·m155N·m由剛度條件取D＝30mm39.3N·m155N·m例：圓軸如圖所示。已知d1＝75mm,d2＝110mm。材料的許用切應力[]＝40MPa,軸的許用單位扭轉角[]＝0.8o/m,剪切彈性模量G＝80GPa。試校核該軸的扭轉強度和剛度。d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m8kN·m3kN·m解：畫扭矩圖d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m8kN·m3kN·m例6-8長為L=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內外徑之比為

=0.8，G=80GPa，許用剪應力[]=30MPa，試設計桿的外徑；若[]=2o/m，試校核此桿的剛度，并求右端面轉角。解：①設計桿的外徑代入數(shù)值得：D0.0226m。②由扭轉剛度條件校核剛度40NmxT滿足剛度要求③右端面轉角為：40NmxT某傳動軸設計要求轉速n=500r/min，輸入功率P1=500馬力，輸出功率分別P2=200馬力及P3=300馬力，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1o/m，試確定：

①AB段直徑d1和BC段直徑d2？

②若全軸選同一直徑，應為多少？

③主動輪與從動輪如何安排合理？解：

500400m1m3m2ACBTx7.024kNm4.21kNm①軸的扭矩圖:500400m1m3m2ACBTx7.024kNm4.21kNm由強度條件：得：由剛度條件得：500400m1m3m2ACBTx7.024kNm4.21kNm綜上：②全軸選同一直徑時③軸上的絕對值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應

該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示。Tx

4.21kNm2.814kNm500400m1m3m2ACBTx7.024kNm4.21kNmm２B500400m3Cm１A此時，軸的最大直徑為75mm。3.6密圈螺旋彈簧的應力和變形1彈簧絲橫截面上的應力3.6密圈螺旋彈簧的應力和變形1彈簧絲橫截面上的應力密圈螺旋彈簧,它受軸向拉(壓)力作用。設彈簧圈的平均半徑為R,簧絲的直徑為d,材料的切變模量為G。彈簧圈的有效圈數(shù)為n,試在彈簧的斜度5o,且簧圈的直徑比簧絲的直徑大得多的情況下,推導這種彈簧的應力與變形的計算公式F近似地認為簧絲橫截面與彈簧軸線(力F)在同一平面可以略去簧桿曲率的影響F先用截面法求得簧桿橫截面上的內力。將簧桿的斜度視為零度?；蓷U的橫截面上有兩個內力分量即T＝FR(扭矩)FS＝F(剪力)FFSTFd與剪力FS對應的切應力,按實用計算方法,可認為均勻分布在橫截面上FFSTF與扭矩對應的簧絲橫截面上最大切應力為dAFFSTFdA在靠近軸線的內側點A處,總應力達到最大值。dFFSTF總應力最大值為當時,可略去剪力的影響彈簧的強度條件為由上式算出的最大切應力是偏低的近似值。若d與2R之比并不很小,則需考慮剪力及簧絲曲率的影響,一般將上式左端乘以修正系數(shù),彈簧的強度條件為FFSTF承受拉、壓力的彈簧,修正系數(shù)為式中由能量守恒彈簧的彈性能Ve與外力作功W相等在彈性范圍內,彈簧的軸向變形與所受的力成正比,故在變形過程外力所作的功為ODDFF若只考慮簧桿扭轉的影響,則簧桿內的應變能為2彈簧的變形由于在計算應變能Ve時略去了剪力的影響,并應用直桿扭轉的公式,所得的Ve值是近似的,且比實際值為小,因而,算出的變形Δ也較實際值略小,但其相對誤差小于應力計算式。k代表彈簧的剛度系數(shù)(通常稱為“彈簧常數(shù)”)。令例：圓柱形密圈螺旋彈簧的平均直徑為：D=125mm，簧絲直徑為：d=18mm，受拉力P=500N的作用，試求最大剪應力的近似解和修正解；若G=82GPa，欲使彈簧變形等于6mm，問：彈簧至少應有幾圈？解：①最大剪應力的近似值：②最大剪應力的修正解：③彈簧圈數(shù)：（圈）3.7非圓截面桿扭轉的概念等直非圓桿,如圖所示矩形截面桿扭轉后橫截面將發(fā)生翹曲而不再是平面。等直非圓桿在扭轉時橫截面雖發(fā)生翹曲,但當?shù)戎睏U在兩端受外力偶作用,且端面可以自由翹曲時,其相鄰兩橫截面的翹曲程度完全相同。橫截面上仍然只有切應力而沒有正應力。這一情況稱為純扭轉?；蜃杂膳まD3.7等直非圓桿扭轉時的應力和變形若由于約束條件或受力條件的限制,造成桿件各橫截面的翹曲程度不同,這勢必引起相鄰兩截面間縱向纖維的長度改變。于是橫截面上除切應力外還有正應力。這種情況稱為約束扭轉。圖示即為工字鋼約束扭轉的示意圖。

像工字鋼、槽鋼等薄壁桿件,約束扭轉時橫截面上的正應力往往是相當大的。但一些實體桿件,如截面為矩形或橢圓形的桿件,因約束扭轉而引起的正應力很小,與自由扭轉并無太大差別。3.7等直非圓桿扭轉時的應力和變形桿件扭轉時,橫截面上邊緣各點的切應力都與截面邊界相切。因為,邊緣各點的切應力如不與邊界相切,總可分解為邊界切線方向的分量tt和法線方向的分量tn。根據切應力互等定理,tn應與桿件自由表面上的切應力tn'相等。但在自由表面上不可能有切應力tn',即,tn'＝tn＝0。這樣,在邊緣各點上,就只可能有沿邊界切線方向的切應力