材料力學(xué)第三章

剪切與擠壓的實用計算

一、連接件螺栓連接鉚釘連接銷軸連接平鍵連接剪切受力特點：作用在構(gòu)件兩側(cè)面上的外力合力大小相等、方向相反且作用線很近。變形特點：位于兩力之間的截面發(fā)生相對錯動。二、剪切的實用計算得剪應(yīng)力（名義剪應(yīng)力）計算公式：剪應(yīng)力強度條件：假設(shè)剪應(yīng)力在剪切面（m-m截面）上是均勻分布的剪切面上的剪力：FS

=F常由實驗方法確定在計算中，要正確確定有幾個剪切面，以及每個剪切面上的剪力。單剪雙剪例

鋼板厚度t=5mm，剪切強度極限=320MPa，若用直徑d=15mm的沖頭在鋼板上沖孔，求沖床所需的沖壓力。分布于此圓柱面上的剪力為可得沖壓力：解：沖孔的過程就是發(fā)生剪切破壞的過程。剪切面面積是直徑為d，高為t的圓柱面面積F三、擠壓的實用計算1、擠壓力—Fbs：接觸面上的合力2、擠壓面積：接觸面在垂直Fbs方向上的投影面3、擠壓強度條件（準(zhǔn)則）：常由實驗方法確定實際擠壓面Fbs計算擠壓面FbsFbs四、應(yīng)用

為充分利用材料，切應(yīng)力和擠壓應(yīng)力應(yīng)滿足例２

圖示接頭，受軸向力F作用。已知F=50kN，b=150mm，δ=10mm，d=17mm，a

=80mm，[σ]=160MPa，[τ]=120MPa，[σbs]=320MPa，鉚釘和板的材料相同，試校核其強度。解：(1)板的拉伸強度ＦＦＮx(2)鉚釘?shù)募羟袕姸?3)板和鉚釘?shù)臄D壓強度故強度足夠。若板與鉚釘材料不同呢？問題：指出下圖中的剪切面和擠壓面位置，寫出各剪切面面積和計算擠壓面面積。taFbq正方形板正方形柱FFSqFFbS擠壓面剪切面問題：指出下圖中的剪切面和擠壓面位置，寫出各剪切面面積和計算擠壓面面積。aaaabthFaFbFaFbS擠壓面剪切面第三章扭轉(zhuǎn)3.1扭轉(zhuǎn)的概念及實例3.2外力偶矩的計算·扭矩及扭矩圖3.3純剪切3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形3.6*密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形3.7非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念3.8*薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)機器的傳動軸、水輪發(fā)電機的主軸、石油鉆機中的鉆桿、橋梁及廠房等空間結(jié)構(gòu)中的某些構(gòu)件等,扭轉(zhuǎn)是其主要變形之一。3.1扭轉(zhuǎn)的概念及實例3.1扭轉(zhuǎn)的概念及實例在桿件的兩端作用兩個大小相等、方向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶,致使桿件的任意兩個橫截面都發(fā)生繞軸線的相對轉(zhuǎn)動,這就是扭轉(zhuǎn)變形。3.1扭轉(zhuǎn)的概念及實例軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機器中的傳動軸、石油鉆機中的鉆桿等。扭轉(zhuǎn)：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線垂直，桿橫截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，這樣的變形為扭轉(zhuǎn)變形。

mmOB’AB扭轉(zhuǎn)角（）：任意兩截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動而發(fā)生的角位移。剪應(yīng)變（）：縱向線傾斜的角度（直角的改變量）。ABO3.2傳動軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖3.2.1傳動軸的外力偶矩從動輪主動輪從動輪nMe1Me2Me3一傳動軸,轉(zhuǎn)速為n,軸傳遞的功率由主動輪輸入,然后由從動輪輸出。若通過某一輪所傳遞的功率為P,

則作用在該輪上的外力偶矩Me可按以下方法求得。GB3101-93中規(guī)定的數(shù)值方程式的表示方法。3.2傳動軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖從式中可以看出,軸所承受的力偶矩與傳遞的功率成正比,與軸的轉(zhuǎn)速成反比。因此,在傳遞同樣的功率時,低速軸所受的力偶矩比高速軸大。所以在一個傳動系統(tǒng)中,低速軸的直徑要比高速軸的直徑粗一些。3扭矩的符號規(guī)定：1扭矩：構(gòu)件受扭時，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。mxmm3.2.2扭矩及扭矩圖2截面法求扭矩右手螺旋法則:右手四指的方向順著扭矩的旋轉(zhuǎn)方向，大拇指指向截面外法向時，扭矩為正；反之為負(fù)。T4扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖形。

目的①扭矩變化規(guī)律；②|T|max值及其截面位置強度計算（危險截面）。xT截面上的扭矩T等于保留截面一側(cè)所有扭轉(zhuǎn)外力偶矩的代數(shù)和，外力偶矩正負(fù)號用右手螺旋法則確定：四個手指表示轉(zhuǎn)向，大拇指代表方向，與保留側(cè)端面外法線一致為正。補充說明:內(nèi)力方程法求扭矩：

3.2.2扭矩及扭矩圖例：一傳動軸如圖所示,其轉(zhuǎn)速n＝300r/min,主動輪輸入的功率為有P1=500kW。若不計軸承摩擦所耗的功率,三個從動輪輸出的功率分別為P2＝150kW、P3＝150kW及P4＝200kW。試做扭矩圖。ABCDM1M2M3nM4ABCDM1M2M3nM4M2M1M3M4ABCD解:計算外力偶矩M3M222BCM2M1M3M4ABCD計算CA段內(nèi)任橫一截面2-2截面上的扭矩。假設(shè)T2為正值。221133T2x由平衡方程結(jié)果為負(fù)號,說明T2是負(fù)值扭矩。同理,在BC段內(nèi)在AD段內(nèi)M211BT1xM433BT3M3M222BCM2M1M3M4ABCD221133T2x作出扭矩圖M211BT1x9.564.786.37T圖(kN·m)從圖可見,最大扭矩發(fā)生在CA段內(nèi),其值為9.56kN·m。EDCBAm4

m3

m2m111223344解：AB段:BC段:CD段:DE段:10kNm15kNm30kNm5kNmT扭矩圖一薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)的切應(yīng)力薄壁圓筒：壁厚（r0：為平均半徑）1、實驗：實驗前：①繪縱向線、圓周線；②施加一對外力偶m。3.3純剪切加載后發(fā)現(xiàn)：①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。②各縱向線均傾斜了同一微小角度。③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。①橫截面上無正應(yīng)力;②橫截面上各點處，只產(chǎn)生垂直于半徑方向的均勻分布的剪應(yīng)力，沿周向大小不變，方向與該截面上的扭矩方向一致。結(jié)論:T薄壁圓筒剪應(yīng)力

大?。篈0：平均半徑所作圓的面積。與的關(guān)系：Tacddxbdy′′微小矩形單元體如圖所示：二、剪應(yīng)力互等定理：

上式稱為剪應(yīng)力互等定理。該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxbdy′′δz單元體的四個側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。剪切虎克定律：

剪切虎克定律：當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時（τ≤τp)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。

剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系：

可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因

無量綱，故G的量綱與

相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。三純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度假設(shè)單元體左側(cè)固定,因此變形后右側(cè)將向下移動dx。因為變形很小,所以在變形過程中,認(rèn)為上、下兩面上的外力將不作功。只有右側(cè)面的外力(dydz)對相應(yīng)的位移dx上作了功。xydydzabdzdxcttt't'c'g

應(yīng)變能密度為當(dāng)材料在線彈性范圍內(nèi)內(nèi)工作時,上述力與位移成正比,因此,單元體上外力所作的功為xydydzabdzdxcttt't'c'g等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時積蓄在桿中的應(yīng)變能可由下式計算由剪切胡克定律t＝Gg代入得3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力1變形幾何關(guān)系在小變形條件下,等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時橫截面上也只有切應(yīng)力。為求得此應(yīng)力,需從幾何關(guān)系、物理關(guān)系和靜力關(guān)系三個方面著手。為研究橫截面上任一點處切應(yīng)變隨點的位置而變化的規(guī)律,先觀察一個實驗。實驗:預(yù)先在等截面圓桿的表面畫上任意兩個相鄰的圓周線和縱向線。在桿的兩端施加外力偶矩Me。現(xiàn)象:①兩圓周線繞桿軸線相對旋轉(zhuǎn)了一個角度,圓周線的形狀和大小均未改變;MeMe②在變形微小的情況下,圓周線的間距也未變化,縱向線則傾斜了一個角度g。g3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力根據(jù)圓周線形狀大小不變,兩相鄰圓周線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象,可以設(shè)想,圓軸扭轉(zhuǎn)時各橫截面如同剛性平面一樣繞軸線轉(zhuǎn)動,即假設(shè)圓軸各橫截面仍保持為一平面,且其形狀大小不變；橫截面上的半徑亦保持為一直線,這個假設(shè)稱平截面假設(shè)。根據(jù)實驗結(jié)果,在桿扭轉(zhuǎn)變形后只有等截面的直圓桿的圓周線才仍在垂直于桿軸的平面內(nèi),所以平截面假設(shè)只適用于等直圓桿。根據(jù)上述實驗現(xiàn)象還可推斷,與薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的情況一樣,圓軸扭轉(zhuǎn)時其橫截面上不存在正應(yīng)力s,僅有垂直于半徑方向的切應(yīng)力t作用。3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力傾角g是橫截面圓周上任一點A處的切應(yīng)變,dj是b-b截面相對于a-a截面象剛性平面一樣繞桿軸轉(zhuǎn)動的一個角度。(相對扭轉(zhuǎn)角)TTdxO2O1abbaAD截取長為dx的桿段進行分析。djD'g3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力作一條與軸線平形且距離為r的縱向線EG。縱向線EG

也傾斜了一個角度gr。gr是橫截面半徑上任一點E處的切應(yīng)變。TTdxO2O1abbadjAEDD'GG'ggrr3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力這就是圓軸扭轉(zhuǎn)時切應(yīng)變沿半徑方向的變化規(guī)律。此式說明：同一半徑r圓周上各點切應(yīng)變gr均相同,且其值與r成正比。TTdxO2O1abbadjAEDD'GG'ggrrdj/dx是相對扭轉(zhuǎn)角沿桿長度的變化率,是個待定參數(shù)。由剪切胡克定律這就是圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上切應(yīng)力的分布規(guī)律。同一圓周上各點切應(yīng)力tr均相同,且其值與r成正比,tr垂直于半徑。2物理關(guān)系TTdxO2O1abbadjAEDD'GG'ggrrOrtmax3.靜力關(guān)系OrrrtrdAtrdA由于在橫截面任一直徑上距圓心等遠(yuǎn)的兩點處的內(nèi)力元素trdA等值而反向,整個橫截面上的內(nèi)力元素trdA的合力必等于零,并組成一個力偶,即為橫截面上的扭矩T。令稱為橫截面的極慣性矩。極慣性矩僅與橫截面的幾何量有關(guān),單位是m4。上式為等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點處切應(yīng)力的計算公式。3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力橫截面周邊各點處,切應(yīng)力將達(dá)到最大值。圓心處的切應(yīng)力為零。切應(yīng)力與成正比。且垂直于半徑。指向與T的轉(zhuǎn)向一致。分布圖如圖所示。OrtmaxTWp

稱作抗扭截面系數(shù),單位為m3。3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力推導(dǎo)切應(yīng)力計算公式的主要依據(jù)為平面假設(shè),且材料符合胡克定律。因此公式僅適用于在線彈性范圍內(nèi)的等直圓桿。3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力抗扭截面模量公式極慣性矩公式4極慣性矩及抗扭截面系數(shù)3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力實心圓截面桿rdrdOdOD空心圓截面桿rdrTtmaxtmaxtmaxtmaxT（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強度,節(jié)約材料,重量輕,結(jié)構(gòu)輕便,應(yīng)用廣泛。5應(yīng)力分布例：試驗算薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力公式的精確度。已知圓筒的壁厚d和平均直徑d0。dd0＝2r0TTtmaxtmin解：按精確公式計算,薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力沿壁厚d的變化情況如圖。最大切應(yīng)力在截面最外層,按近似公式計算,薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力沿壁厚不變,算式為dd0＝2r0TTtmaxtmin以tmax為基準(zhǔn)分析誤差的大小式中dd0＝2r0TTtmaxtmin以tmax為基準(zhǔn)的誤差為越小,即筒壁薄時誤差Δ越小。b＝5%時,Δ僅為4.52%。例：內(nèi)外徑分別為20mm和40mm的空心圓截面軸,受扭矩T＝1kN·m作用,計算橫截面上A點的切應(yīng)力及橫截面上的最大和最小切應(yīng)力。解：例：一直徑為D1的實心軸,另一內(nèi)外徑之比a＝d2／D2＝0.8的空心軸,若兩軸橫截面上的扭矩相同,且最大切應(yīng)力相等。求兩軸外直徑之比D2/D1。解：由得：例:在強度相同的條件下,用d/D＝0.5的空心圓軸取代實心圓軸,可節(jié)省材料的百分比為多少?解：設(shè)實心軸的直徑為d1,由得：例:一厚度為30mm、內(nèi)直徑為230mm的空心圓管,承受扭矩T=180kN·m。試求管中的最大切應(yīng)力,使用：(1)薄壁管的近似理論；(2)精確的扭轉(zhuǎn)理論。解：(1)利用薄壁管的近似理論可求得(2)利用精確的扭轉(zhuǎn)理論可求得例：一空心圓軸,內(nèi)外徑之比為a＝0.5,兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用,最大許可扭矩為Ｔ,若將軸的橫截面面積增加一倍,內(nèi)外徑之比仍保持不變,則其最大許可扭矩為Ｔ的多少倍？（按強度計算）。解：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑原分別為d、D,面積增大一倍后內(nèi)外徑分別變?yōu)閐1、

D1,最大許可扭矩為Ｔ16強度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時,桿內(nèi)各點均處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。其強度條件應(yīng)該是橫截面上的最大工作切應(yīng)力max不超過材料的許用切應(yīng)力[]。圓軸扭轉(zhuǎn)時的最大工作切應(yīng)力max發(fā)生在最大扭矩所在橫截面(危險截面)的周邊上的任一點處(危險點),強度條件為6強度條件根據(jù)上述條件,可以解決三個方面的問題:①校核強度：②設(shè)計截面尺寸：③確定許可載荷：例:已知解放牌汽車主傳動軸傳遞的最大扭矩T＝1930N·m,傳動軸用外徑D=89mm、壁厚d＝2.5mm的鋼管做成。材料為20號鋼,其許用切應(yīng)力[t]＝70MPa。校核此軸的強度。解:(1)計算抗扭截面系數(shù)MeMe(2)強度校核可知軸滿足強度條件。如果傳動軸不用鋼管而采用實心圓軸,并使其與鋼管有同樣的強度(即兩者的最大應(yīng)力相同),則可見,采用鋼管時,其重量只有實心圓軸的30％,耗費的材料要少得多。例:圖示階梯圓軸,AB段的直徑d1＝120mm,BC段的直徑d2=100mm,扭轉(zhuǎn)力偶矩為MA＝22kN.m,MB＝36kN.m,MC＝14kN.m,已知材料的許用切應(yīng)力[]=80MPa,試校核該軸的強度。解:作軸的扭矩圖ABCMAMBMC2214因此,該軸滿足強度要求。分別校核兩段軸的強度1扭轉(zhuǎn)時的變形等直圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形是用相對扭轉(zhuǎn)角j來度量的。長為l的一段桿兩端面間的相對扭轉(zhuǎn)角j可按下式計算是計算等直圓桿相對扭轉(zhuǎn)角的依據(jù)。其中dj代表相距為dx的兩橫截面間的相對扭轉(zhuǎn)角。3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形對于同一材料制成的等直圓軸(G,Ip為常量),當(dāng)只在兩端受一對外力偶作用時(T為常量),從上式可得GIp

稱作

抗扭剛度或3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形由于桿在扭轉(zhuǎn)時各橫截面上的扭矩可能并不相同,且桿的長度也各不相同,因此對于扭轉(zhuǎn)桿的剛度用相對扭轉(zhuǎn)角沿桿長度的變化率dj/dx來度量。用j'來表示這個量,稱為單位長度扭轉(zhuǎn)角。注意：以上公式都只適用于材料在線彈性范圍內(nèi)的等直圓桿。3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形例:圖示傳動軸系鋼制實心圓截面軸。已知:M1＝1592N·m,M2＝955N·m,M3＝637N·m。截面A與截面B、C之間的距離分別為lAB＝300mm和lAC＝500mm。軸的直徑d＝70mm,鋼的切變模量為G＝80GPa。試求截面C對截面B的對扭轉(zhuǎn)角。lABlACBCAM1M2M3III解:由截面法求得I、II段內(nèi)的扭矩分別為T1＝955N·m,T2＝-637N·m。jABjAC解法1,假設(shè)A截面不動,先分別計算截面B、C對截面A的相對扭轉(zhuǎn)角jAB和jAC。lABlACBCAM1M2M3IIIjABjAC與M2的轉(zhuǎn)向相同與M3的轉(zhuǎn)向相同lABlACBCAM1M2M3IIIjABjAC與M3的轉(zhuǎn)向相同截面C對截面B的相對扭轉(zhuǎn)角jBC

為BCBCAM1jAB解法2:設(shè)截面B固定不動,先分別計算M1、M3單獨作用下截面C對截面B的相對扭轉(zhuǎn)角jCB1和jCB2,然后疊加,即采用疊加法。jCB1M1單獨作用下截面C對截面B的相對扭轉(zhuǎn)角M3jCB2M3單獨作用下截面C對截面B的相對扭轉(zhuǎn)角C截面對截面B的相對扭轉(zhuǎn)角2剛度條件扭轉(zhuǎn)構(gòu)件除需滿足強度條件外,還需滿足剛度方面的要求,否則將不能正常地進行工作。例如機器中的軸如扭轉(zhuǎn)變形過大,就會影響機器的精密度,或者使機器在運轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生較大的振動。因此對圓軸的扭轉(zhuǎn)變形需要有一定的限制。通常要求單位長度的扭轉(zhuǎn)角不能超過某一許用值,即扭轉(zhuǎn)構(gòu)件應(yīng)滿足剛度條件式中j'是單位長度的扭轉(zhuǎn)角,[j']為單位長度的許用扭轉(zhuǎn)角,兩者的單位皆為rad／m(弧度／米)。

3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形在工程實際中[j']的常用單位為(o)/m(度/米)。如果使j'也采用(o)/m,則上述的剛度條件又可寫成

單位長度的許用扭轉(zhuǎn)角[j']是根據(jù)載荷性質(zhì)和工作條件等因素決定的。在精密、穩(wěn)定的傳動中,[j']常取0.15～0.3(o)/m之間；對于一般的傳動軸,則可放寬到2(o)/m左右。各種軸的許可單位長度扭轉(zhuǎn)角的具體數(shù)值可由有關(guān)的機械設(shè)計手冊中查出。3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形例：某汽車的主傳動軸是用40號鋼的電焊鋼管制成,鋼管外徑D＝76mm,壁厚d＝2.5mm,軸傳遞的轉(zhuǎn)矩Me＝1.98kN·m,材料的許用切應(yīng)力[]＝100MPa,切變模量G＝80GPa,軸的許可扭角[']＝2o/m。試校核軸的強度和剛度。dMedD解：軸的扭矩等于軸傳遞的轉(zhuǎn)矩軸的內(nèi),外徑之比MedMedD由剛度條件由強度條件

Me將空心軸改為同一材料的實心軸,仍使max=96.1MPa實心軸的直徑為d＝47.2mm實心軸的截面面積為空心軸的截面面積為兩軸材料、長度均相等同,故兩軸的重量比等于兩軸的橫截面積之比在最大切應(yīng)力相等的情況下空心軸比實心軸輕,即節(jié)省材料。例:軸上有三個齒輪。軸的轉(zhuǎn)速為n＝183.5r/min,G＝80GPa。齒輪II的傳動功率P2＝0.756kW,齒輪IV的傳動功率P4＝2.98kW。軸的[]＝40MPa,[']＝1.5(o/m)。設(shè)計軸的直徑。M3M2M4M3M2M4解:求扭矩,畫軸的扭矩圖39.3N·m155N·mn＝183.5r/minP2＝0.756kWP4＝2.98kW由強度條件39.3N·m155N·m由剛度條件取D＝30mm39.3N·m155N·m例：圓軸如圖所示。已知d1＝75mm,d2＝110mm。材料的許用切應(yīng)力[]＝40MPa,軸的許用單位扭轉(zhuǎn)角[]＝0.8o/m,剪切彈性模量G＝80GPa。試校核該軸的扭轉(zhuǎn)強度和剛度。d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m8kN·m3kN·m解：畫扭矩圖d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m8kN·m3kN·m例6-8長為L=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為

=0.8，G=80GPa，許用剪應(yīng)力[]=30MPa，試設(shè)計桿的外徑；若[]=2o/m，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。解：①設(shè)計桿的外徑代入數(shù)值得：D0.0226m。②由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度40NmxT滿足剛度要求③右端面轉(zhuǎn)角為：40NmxT某傳動軸設(shè)計要求轉(zhuǎn)速n=500r/min，輸入功率P1=500馬力，輸出功率分別P2=200馬力及P3=300馬力，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1o/m，試確定：

①AB段直徑d1和BC段直徑d2？

②若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？

③主動輪與從動輪如何安排合理？解：

500400m1m3m2ACBTx7.024kNm4.21kNm①軸的扭矩圖:500400m1m3m2ACBTx7.024kNm4.21kNm由強度條件：得：由剛度條件得：500400m1m3m2ACBTx7.024kNm4.21kNm綜上：②全軸選同一直徑時③軸上的絕對值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應(yīng)

該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示。Tx

4.21kNm2.814kNm500400m1m3m2ACBTx7.024kNm4.21kNmm２B500400m3Cm１A此時，軸的最大直徑為75mm。3.6密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形1彈簧絲橫截面上的應(yīng)力3.6密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形1彈簧絲橫截面上的應(yīng)力密圈螺旋彈簧,它受軸向拉(壓)力作用。設(shè)彈簧圈的平均半徑為R,簧絲的直徑為d,材料的切變模量為G。彈簧圈的有效圈數(shù)為n,試在彈簧的斜度5o,且簧圈的直徑比簧絲的直徑大得多的情況下,推導(dǎo)這種彈簧的應(yīng)力與變形的計算公式F近似地認(rèn)為簧絲橫截面與彈簧軸線(力F)在同一平面可以略去簧桿曲率的影響F先用截面法求得簧桿橫截面上的內(nèi)力。將簧桿的斜度視為零度?；蓷U的橫截面上有兩個內(nèi)力分量即T＝FR(扭矩)FS＝F(剪力)FFSTFd與剪力FS對應(yīng)的切應(yīng)力,按實用計算方法,可認(rèn)為均勻分布在橫截面上FFSTF與扭矩對應(yīng)的簧絲橫截面上最大切應(yīng)力為dAFFSTFdA在靠近軸線的內(nèi)側(cè)點A處,總應(yīng)力達(dá)到最大值。dFFSTF總應(yīng)力最大值為當(dāng)時,可略去剪力的影響彈簧的強度條件為由上式算出的最大切應(yīng)力是偏低的近似值。若d與2R之比并不很小,則需考慮剪力及簧絲曲率的影響,一般將上式左端乘以修正系數(shù),彈簧的強度條件為FFSTF承受拉、壓力的彈簧,修正系數(shù)為式中由能量守恒彈簧的彈性能Ve與外力作功W相等在彈性范圍內(nèi),彈簧的軸向變形與所受的力成正比,故在變形過程外力所作的功為ODDFF若只考慮簧桿扭轉(zhuǎn)的影響,則簧桿內(nèi)的應(yīng)變能為2彈簧的變形由于在計算應(yīng)變能Ve時略去了剪力的影響,并應(yīng)用直桿扭轉(zhuǎn)的公式,所得的Ve值是近似的,且比實際值為小,因而,算出的變形Δ也較實際值略小,但其相對誤差小于應(yīng)力計算式。k代表彈簧的剛度系數(shù)(通常稱為“彈簧常數(shù)”)。令例：圓柱形密圈螺旋彈簧的平均直徑為：D=125mm，簧絲直徑為：d=18mm，受拉力P=500N的作用，試求最大剪應(yīng)力的近似解和修正解；若G=82GPa，欲使彈簧變形等于6mm，問：彈簧至少應(yīng)有幾圈？解：①最大剪應(yīng)力的近似值：②最大剪應(yīng)力的修正解：③彈簧圈數(shù)：（圈）3.7非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念等直非圓桿,如圖所示矩形截面桿扭轉(zhuǎn)后橫截面將發(fā)生翹曲而不再是平面。等直非圓桿在扭轉(zhuǎn)時橫截面雖發(fā)生翹曲,但當(dāng)?shù)戎睏U在兩端受外力偶作用,且端面可以自由翹曲時,其相鄰兩橫截面的翹曲程度完全相同。橫截面上仍然只有切應(yīng)力而沒有正應(yīng)力。這一情況稱為純扭轉(zhuǎn)。或自由扭轉(zhuǎn)3.7等直非圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形若由于約束條件或受力條件的限制,造成桿件各橫截面的翹曲程度不同,這勢必引起相鄰兩截面間縱向纖維的長度改變。于是橫截面上除切應(yīng)力外還有正應(yīng)力。這種情況稱為約束扭轉(zhuǎn)。圖示即為工字鋼約束扭轉(zhuǎn)的示意圖。

像工字鋼、槽鋼等薄壁桿件,約束扭轉(zhuǎn)時橫截面上的正應(yīng)力往往是相當(dāng)大的。但一些實體桿件,如截面為矩形或橢圓形的桿件,因約束扭轉(zhuǎn)而引起的正應(yīng)力很小,與自由扭轉(zhuǎn)并無太大差別。3.7等直非圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形桿件扭轉(zhuǎn)時,橫截面上邊緣各點的切應(yīng)力都與截面邊界相切。因為,邊緣各點的切應(yīng)力如不與邊界相切,總可分解為邊界切線方向的分量tt和法線方向的分量tn。根據(jù)切應(yīng)力互等定理,tn應(yīng)與桿件自由表面上的切應(yīng)力tn'相等。但在自由表面上不可能有切應(yīng)力tn',即,tn'＝tn＝0。這樣,在邊緣各點上,就只可能有沿邊界切線方向的切應(yīng)力