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文檔簡介
2023年高考數學模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.復數(為虛數單位),則的共軛復數在復平面上對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知拋物線:,直線與分別相交于點,與的準線相交于點,若,則()A.3 B. C. D.3.在等差數列中,若,則()A.8 B.12 C.14 D.104.已知雙曲線的實軸長為,離心率為,、分別為雙曲線的左、右焦點,點在雙曲線上運動,若為銳角三角形,則的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知雙曲線滿足以下條件:①雙曲線E的右焦點與拋物線的焦點F重合;②雙曲線E與過點的冪函數的圖象交于點Q,且該冪函數在點Q處的切線過點F關于原點的對稱點.則雙曲線的離心率是()A. B. C. D.6.如圖,已知平面,,、是直線上的兩點,、是平面內的兩點,且,,,,.是平面上的一動點,且直線,與平面所成角相等,則二面角的余弦值的最小值是()A. B. C. D.7.已知實數,則下列說法正確的是()A. B.C. D.8.已知復數z滿足(其中i為虛數單位),則復數z的虛部是()A. B.1 C. D.i9.若函數在處取得極值2,則()A.-3 B.3 C.-2 D.210.已知函數,,若對,且,使得,則實數的取值范圍是()A. B. C. D.11.已知函數(表示不超過x的最大整數),若有且僅有3個零點,則實數a的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知冪函數的圖象過點,且,,,則,,的大小關系為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以A,B為焦點,且過C,D兩點的雙曲線的離心率為____________.14.如圖,在梯形中,∥,分別是的中點,若,則的值為___________.15.如圖,在矩形中,,是的中點,將,分別沿折起,使得平面平面,平面平面,則所得幾何體的外接球的體積為__________.16.已知F為拋物線C:x2=8y的焦點,P為C上一點,M(﹣4,3),則△PMF周長的最小值是_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數列滿足:,,且對任意的都有,(Ⅰ)證明:對任意,都有;(Ⅱ)證明:對任意,都有;(Ⅲ)證明:.18.(12分)已知函數(I)當時,解不等式.(II)若不等式恒成立,求實數的取值范圍19.(12分)已知數列滿足,,其前n項和為.(1)通過計算,,,猜想并證明數列的通項公式;(2)設數列滿足,,,若數列是單調遞減數列,求常數t的取值范圍.20.(12分)選修4-2:矩陣與變換(本小題滿分10分)已知矩陣A=(k≠0)的一個特征向量為α=,A的逆矩陣A-1對應的變換將點(3,1)變?yōu)辄c(1,1).求實數a,k的值.21.(12分)已知拋物線:的焦點為,過上一點()作兩條傾斜角互補的直線分別與交于,兩點,(1)證明:直線的斜率是-1;(2)若,,成等比數列,求直線的方程.22.(10分)甲、乙兩班各派三名同學參加知識競賽,每人回答一個問題,答對得10分,答錯得0分,假設甲班三名同學答對的概率都是,乙班三名同學答對的概率分別是,,,且這六名同學答題正確與否相互之間沒有影響.(1)記“甲、乙兩班總得分之和是60分”為事件,求事件發(fā)生的概率;(2)用表示甲班總得分,求隨機變量的概率分布和數學期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
由復數除法求出,寫出共軛復數,寫出共軛復數對應點坐標即得【詳解】解析:,,對應點為,在第三象限.故選:C.【點睛】本題考查復數的除法運算,共軛復數的概念,復數的幾何意義.掌握復數除法法則是解題關鍵.2、C【解析】
根據拋物線的定義以及三角形的中位線,斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】顯然直線過拋物線的焦點如圖,過A,M作準線的垂直,垂足分別為C,D,過M作AC的垂線,垂足為E根據拋物線的定義可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M為AN的中點,所以MD為三角形NAC的中位線,故MD=CE=EA=AC設MF=t,則MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故選:C【點睛】本題考查求拋物線的焦點弦的斜率,常見于利用拋物線的定義構建關系,屬于中檔題.3、C【解析】
將,分別用和的形式表示,然后求解出和的值即可表示.【詳解】設等差數列的首項為,公差為,則由,,得解得,,所以.故選C.【點睛】本題考查等差數列的基本量的求解,難度較易.已知等差數列的任意兩項的值,可通過構建和的方程組求通項公式.4、A【解析】
由已知先確定出雙曲線方程為,再分別找到為直角三角形的兩種情況,最后再結合即可解決.【詳解】由已知可得,,所以,從而雙曲線方程為,不妨設點在雙曲線右支上運動,則,當時,此時,所以,,所以;當軸時,,所以,又為銳角三角形,所以.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的性質及其應用,本題的關鍵是找到為銳角三角形的臨界情況,即為直角三角形,是一道中檔題.5、B【解析】
由已知可求出焦點坐標為,可求得冪函數為,設出切點通過導數求出切線方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點坐標,然后求解雙曲線的離心率.【詳解】依題意可得,拋物線的焦點為,F(xiàn)關于原點的對稱點;,,所以,,設,則,解得,∴,可得,又,,可解得,故雙曲線的離心率是.故選B.【點睛】本題考查雙曲線的性質,已知拋物線方程求焦點坐標,求冪函數解析式,直線的斜率公式及導數的幾何意義,考查了學生分析問題和解決問題的能力,難度一般.6、B【解析】
為所求的二面角的平面角,由得出,求出在內的軌跡,根據軌跡的特點求出的最大值對應的余弦值【詳解】,,,,同理為直線與平面所成的角,為直線與平面所成的角,又,在平面內,以為軸,以的中垂線為軸建立平面直角坐標系則,設,整理可得:在內的軌跡為為圓心,以為半徑的上半圓平面平面,,為二面角的平面角,當與圓相切時,最大,取得最小值此時故選【點睛】本題主要考查了二面角的平面角及其求法,方法有:定義法、三垂線定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等,依據題目選擇方法求出結果.7、C【解析】
利用不等式性質可判斷,利用對數函數和指數函數的單調性判斷.【詳解】解:對于實數,,不成立對于不成立.對于.利用對數函數單調遞增性質,即可得出.對于指數函數單調遞減性質,因此不成立.故選:.【點睛】利用不等式性質比較大?。⒁獠坏仁叫再|成立的前提條件.解決此類問題除根據不等式的性質求解外,還經常采用特殊值驗證的方法.8、A【解析】
由虛數單位i的運算性質可得,則答案可求.【詳解】解:∵,∴,,則化為,∴z的虛部為.故選:A.【點睛】本題考查了虛數單位i的運算性質、復數的概念,屬于基礎題.9、A【解析】
對函數求導,可得,即可求出,進而可求出答案.【詳解】因為,所以,則,解得,則.故選:A.【點睛】本題考查了函數的導數與極值,考查了學生的運算求解能力,屬于基礎題.10、D【解析】
先求出的值域,再利用導數討論函數在區(qū)間上的單調性,結合函數值域,由方程有兩個根求參數范圍即可.【詳解】因為,故,當時,,故在區(qū)間上單調遞減;當時,,故在區(qū)間上單調遞增;當時,令,解得,故在區(qū)間單調遞減,在區(qū)間上單調遞增.又,且當趨近于零時,趨近于正無窮;對函數,當時,;根據題意,對,且,使得成立,只需,即可得,解得.故選:D.【點睛】本題考查利用導數研究由方程根的個數求參數范圍的問題,涉及利用導數研究函數單調性以及函數值域的問題,屬綜合困難題.11、A【解析】
根據[x]的定義先作出函數f(x)的圖象,利用函數與方程的關系轉化為f(x)與g(x)=ax有三個不同的交點,利用數形結合進行求解即可.【詳解】當時,,當時,,當時,,當時,,若有且僅有3個零點,則等價為有且僅有3個根,即與有三個不同的交點,作出函數和的圖象如圖,當a=1時,與有無數多個交點,當直線經過點時,即,時,與有兩個交點,當直線經過點時,即時,與有三個交點,要使與有三個不同的交點,則直線處在過和之間,即,故選:A.【點睛】利用函數零點的情況求參數值或取值范圍的方法(1)直接法:直接根據題設條件構建關于參數的不等式,再通過解不等式確定參數的范圍;(2)分離參數法:先將參數分離,轉化成求函數的值域(最值)問題加以解決;(3)數形結合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數的圖象,然后數形結合求解.12、A【解析】
根據題意求得參數,根據對數的運算性質,以及對數函數的單調性即可判斷.【詳解】依題意,得,故,故,,,則.故選:A.【點睛】本題考查利用指數函數和對數函數的單調性比較大小,考查推理論證能力,屬基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】
根據為焦點,得;又求得,從而得到離心率.【詳解】為焦點在雙曲線上,則又本題正確結果:【點睛】本題考查利用雙曲線的定義求解雙曲線的離心率問題,屬于基礎題.14、【解析】
建系,設設,由可得,進一步得到的坐標,再利用數量積的坐標運算即可得到答案.【詳解】以A為坐標原點,AD為x軸建立如圖所示的直角坐標系,設,則,所以,,由,得,即,又,所以,故,,所以.故答案為:2【點睛】本題考查利用坐標法求向量的數量積,考查學生的運算求解能力,是一道中檔題.15、【解析】
根據題意,畫出空間幾何體,設的中點分別為,并連接,利用面面垂直的性質及所給線段關系,可知幾何體的外接球的球心為,即可求得其外接球的體積.【詳解】由題可得,,均為等腰直角三角形,如圖所示,設的中點分別為,連接,則,.因為平面平面,平面平面,所以平面,平面,易得,則幾何體的外接球的球心為,半徑,所以幾何體的外接球的體積為.故答案為:.【點睛】本題考查了空間幾何體的綜合應用,折疊后空間幾何體的線面位置關系應用,空間幾何體外接球的性質及體積求法,屬于中檔題.16、5【解析】
△PMF的周長最小,即求最小,過做拋物線準線的垂線,垂足為,轉化為求最小,數形結合即可求解.【詳解】如圖,F(xiàn)為拋物線C:x2=8y的焦點,P為C上一點,M(﹣4,3),拋物線C:x2=8y的焦點為F(0,2),準線方程為y=﹣2.過作準線的垂線,垂足為,則有,當且僅當三點共線時,等號成立,所以△PMF的周長最小值為55.故答案為:5.【點睛】本題考查拋物線定義的應用,考查數形結合與數學轉化思想方法,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見解析(3)見解析【解析】分析:(1)用反證法證明,注意應用題中所給的條件,有效利用,再者就是注意應用反證法證題的步驟;(2)將式子進行相應的代換,結合不等式的性質證得結果;(3)結合題中的條件,應用反證法求得結果.詳解:證明:(Ⅰ)證明:采用反證法,若不成立,則若,則,與任意的都有矛盾;若,則有,則與任意的都有矛盾;故對任意,都有成立;(Ⅱ)由得,則,由(Ⅰ)知,,即對任意,都有;.(Ⅲ)由(Ⅱ)得:,由(Ⅰ)知,,∴,∴,即,若,則,取時,有,與矛盾.則.得證.點睛:該題考查的是有關命題的證明問題,在證題的過程中,注意對題中的條件的等價轉化,注意對式子的等價變形,以及證題的思路,要掌握證明問題的方法,尤其是反證法的證題思路以及證明步驟.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(1)根據零點分區(qū)間法,去掉絕對值解不等式;(2)根據絕對值不等式的性質得,因此將問題轉化為恒成立,借此不等式即可.試題解析:(Ⅰ)由得,,或,或解得:所以原不等式的解集為.(Ⅱ)由不等式的性質得:,要使不等式恒成立,則當時,不等式恒成立;當時,解不等式得.綜上.所以實數的取值范圍為.19、(1),證明見解析;(2)【解析】
(1)首先利用賦值法求出的值,進一步利用定義求出數列的通項公式;(2)首先利用疊乘法求出數列的通項公式,進一步利用數列的單調性和基本不等式的應用求出參數的范圍.【詳解】(1)數列滿足,,其前項和為.所以,,則,,,所以猜想得:.證明:由于,所以,則:(常數),所以數列是首項為1,公差為的等差數列.所以,整理得.(2)數列滿足,,所以,則,所以.則,所以,所以,整理得,由于,所以,即.【點睛】本題考查的知識要點:數列的通項公式的求法及應用,疊乘法的應用,函數的單調性在數列中的應用,基本不等式的應用,主要考察學生的運算能力和轉換能力,屬于中檔題型.20、解:設特征向量為α=對應的特征值為λ,則=λ,即因為k≠0,所以a=2.5分因為,所以A=,即=,
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