2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)與題型總結(jié)：選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程

選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程第一節(jié)坐標(biāo)系—、基礎(chǔ)知識(shí)平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換x'=入x(^>0),設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換0：,/、的作用下，[y=心3>0)點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P'(x‘，yz),稱0為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換.極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox,叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo)極徑：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離IOMI叫做點(diǎn)M的極徑，記為p.極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為6.極坐標(biāo)：有序數(shù)對(duì)(p,6)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為M(p,6).一般不作特殊說(shuō)明時(shí)，我們認(rèn)為p三0,6可取任意實(shí)數(shù).極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x,y),極坐標(biāo)是(p,6),則它們之間的關(guān)系為：廠八p2=x2+y2,x=pcos6,{1y、y=psin6；tan6=(xMO).Ix4.簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程曲線極坐標(biāo)方程圓心為極點(diǎn)，半徑為r的圓p=r(0W6<2n)圓心為(r,0),半徑為r的圓p=2rcos2w6Wf)圓心為(r,2),半徑為r的圓p=2rsin6(0W6<n)

過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為?的直線O=a(p^R)或0=n+a(p丘R)過(guò)點(diǎn)(a,0)，與極軸垂直的直線(nn)pcos0=a(—2<°<2^過(guò)點(diǎn)(a,2)，與極軸平行的直線psin0=a(Ov0<n)考點(diǎn)一平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換y2X=3X變換后所得曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo).［典例］求雙曲線C：X2—右=1經(jīng)過(guò)變換后所得曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo).64t2yz=y［解］設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)p(x',y),工亠,由上述可知，將<3‘代入X2—64=1,、y=2y/得寧—4yF=i，化簡(jiǎn)得寧—專=1，即X2—y6=i為曲線C的方程,可見(jiàn)仍是雙曲線，則焦點(diǎn)(—5,0)，(5,0)為所求．［解題技法］伸縮變換后方程的求法x'=A%CA>0),平面上的曲線y=f(x)在變換p：{//小的作用下的變換方程的求法是將x="I［y=妙3>0)

代入y=fx),得計(jì)=f^y)整理之后得到y(tǒng)f=h(xx="I的方程．［提醒］應(yīng)用伸縮變換時(shí)，要分清變換前的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)與變換后的坐標(biāo)(x‘,yz).［題組訓(xùn)練］1?若函數(shù)y=f(x)的圖象在伸縮變換p：{/°的作用下得到曲線的方程為y'=［y/=3y3sin(x'+6)，求函數(shù)y=f(x)的最小正周期.解：由題意，把變換公式代入曲線y'=3sin(x'得

3y=3sin(2x+才，整理得y=sin(2x,故fx)=sin(2x+6).所以函數(shù)f(x)的最小正周期為兀x2y2XA^X,2.將圓x2+y2=1變換為橢圓25+16=1的一個(gè)伸縮變換公式(P：：/=a，〃＞0)，解：將變換后的橢圓25+H=1改寫(xiě)為壬十說(shuō)+1A=1，25十16解：將變換后的橢圓25+H=1改寫(xiě)為壬十說(shuō)+1A=1，25十16所以'2=1,A=5,“=4.考點(diǎn)二極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化［典例］(2018?江蘇高考)在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為psin(6—J=2，曲線C的方程為p=4cos0,求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng).［解］因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為p=4cos0,化成直角坐標(biāo)方程為(X—2)2+y2=4,所以曲線C是圓心為(2,0),直徑為4的圓.因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為psin(6—0)=2,3化成直角坐標(biāo)方程為y=專(x—4),n則直線l過(guò)A(4,0),傾斜角為6，所以A為直線l與圓C的一個(gè)交點(diǎn).n設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為B,則ZOAB=6?如圖，連接OB.n因?yàn)镺A為直徑，從而ZOBA=2，

所以直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為2打.［解題技法］1．極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程:將公式x=pcos0及y=psin0直接代入直角坐標(biāo)方程并化簡(jiǎn)即可．極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：通過(guò)變形，構(gòu)造出形如pcos0,psin0,p2的形式，再應(yīng)用公式進(jìn)行代換.其中方程的兩邊同乘以(或同除以)p及方程兩邊平方是常用的變形技巧．2．極角的確定由tan0確定角0時(shí)，應(yīng)根據(jù)點(diǎn)P所在象限取最小正角.當(dāng)xMO時(shí)，0角才能由tan0="按上述方法確定.x當(dāng)x=0時(shí)，tan0沒(méi)有意義，這時(shí)可分三種情況處理：n當(dāng)x=0,y=0時(shí)，0可取任何值；當(dāng)x=0,y>0時(shí)，可取0=2；當(dāng)x=0,y<0時(shí)，可3n取0=q.［題組訓(xùn)練］1.(2019?鄭州質(zhì)檢)在極坐標(biāo)系下，已知圓O：p=cos0+sin0和直線l：psin(0—4)=于(p三0,0W0V2n).(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；⑵當(dāng)0^(0,n)時(shí)，求直線l與圓O的公共點(diǎn)的極坐標(biāo).解：(1)圓O:p=cos0+sin0,即p2=pcos0+psin0,故圓O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2—x—y=0,直線l:psin(0—4)=耳，即psin0—pcos0=1,則直線l的直角坐標(biāo)方程為x—y+1=0.x=0,

解得彳[y=1,xx=0,

解得彳[y=1,⑵將兩直角坐標(biāo)方程聯(lián)立得L—y+1=。，即圓O與直線l在直角坐標(biāo)系下的公共點(diǎn)為(0,1),將(0,1)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)為(1,弓即為所求.2.已知圓o1和圓o2的極坐標(biāo)方程分別為p=2,p2—2邁p?cos(0—￡=2.(1)求圓O1和圓O2的直角坐標(biāo)方程;

(2)求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程解：(1)由p=2知p2=4,所以圓O1的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4.因?yàn)閜2—2詁2pcos(〃一寸=2,所以p2—2\：2p(cosOcosf+sin如口寸=2,所以圓O2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2—2x—2y—2=0.(2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減,得經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線方程為x+y=1.化為極坐標(biāo)方程為pcosO+psin0=1,即psin(O+4)=孚考點(diǎn)三曲線的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用［典例］(2017?全國(guó)卷II)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為pcos0=4.M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足IOM|.|OPI=16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2,3)，點(diǎn)B在曲線C2上，求AOAB面積的最大值.［解］(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(p,0)(p>0),M的極坐標(biāo)為(p1,0)(p1>O).4由題設(shè)知IOPI=p,IOMI=P］=cOJ0.由IOMI?IOPI=16，得C2的極坐標(biāo)方程p=4cos0(p>O).因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x—2)2+y2=4(x^0).(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(pB,a)(pB>0),sin(a—3由題設(shè)知IOAI=2,pB=4cosa,sin(a—3S=*IOAI.pB?sinZAOB=4cosa即當(dāng)a=—12時(shí)，S取得最大值2+所以AOAB面積的最大值為2+-朽.［解題技法］1．求簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程的方法(1)設(shè)點(diǎn)M(p，O)為曲線上任意一點(diǎn)，由已知條件，構(gòu)造出三角形，利用三角函數(shù)及正、余弦定理求解IOMI與0的關(guān)系.(2)先求出曲線的直角坐標(biāo)方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換公式，把直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程．2．利用極坐標(biāo)系解決問(wèn)題的技巧(1)用極坐標(biāo)系解決問(wèn)題時(shí)要注意題目中的幾何關(guān)系，如果幾何關(guān)系不容易通過(guò)極坐標(biāo)表示時(shí)，可以先化為直角坐標(biāo)方程，將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題加以解決．(2)已知極坐標(biāo)方程解答最值問(wèn)題時(shí)，通?？赊D(zhuǎn)化為三角函數(shù)模型求最值問(wèn)題，其比直角坐標(biāo)系中求最值的運(yùn)算量?。厶嵝眩菰谇€的方程進(jìn)行互化時(shí)，一定要注意變量的范圍，注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性．［題組訓(xùn)練］x=cose，(2019?青島質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為｛|(其中(Py=l+sinp為參數(shù)).以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.求圓C的極坐標(biāo)方程；設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程是psin@+3)=2,射線0M：0=6與圓C的交點(diǎn)為P，與直線l的交點(diǎn)為Q,求線段PQ的長(zhǎng).解：(1)圓C的普通方程為x2+(y—1)2=1,又x=pcosQ,y=psinQ,所以圓C的極坐標(biāo)方程為p=2sin0.n⑵把0=6代入圓的極坐標(biāo)方程可得pP=1,n把0=6代入直線l的極坐標(biāo)方程可得Pq=2，所以IPQl=lpp—Pq1=1.9(2018?湖北八校聯(lián)考)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為P2=cos20+9sin20，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.求曲線C的直角坐標(biāo)方程；A,B為曲線C上兩點(diǎn)，若OA丄OB,求￡花+O花的值.?9解：⑴由P2=cos20+9sin20得P2cos20+1cos20(2)因?yàn)閜1cos20(2)因?yàn)閜2=cos20+9sin20，所以況=—廠+sin20,x2將x=pcos0,y=psin0代入得到曲線C的直角坐標(biāo)方程是g+y2=1.

由OA丄OB,設(shè)A(p1,a),則點(diǎn)B的坐標(biāo)可設(shè)為［p2,a±21,11,1cos2a,.,sin2a,1,一10所以IO^+iOBi2=P1+P2=丁+sin2a+"T+cos2a=9+1=［課時(shí)跟蹤檢測(cè)］1.在極坐標(biāo)系中，求直線pcos@+|)=1與圓p=4sin0的交點(diǎn)的極坐標(biāo).解：pcos(0+6)=1化為直角坐標(biāo)方程為\［3x_y=2,即y=/3x—2.p=4sin0可化為x2+y2=4y,把y=>/3x—2代入x2+y2=4y,得4x2—^'3x+12=0,即(x—''3)2=0,所以x=\/3,y=1.所以直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(V3,1),化為極坐標(biāo)為(2,6)2.在極坐標(biāo)系中，已知圓C2.在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)圓心為直線psin(0—3)=—￥與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程.解：在psin(0-3)=-￥中，令0=0,得p=1,所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0).因?yàn)閳AC因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)所以圓C的半徑IPCI=二::⑴3)2+12—2X1X邁cosf=1,于是圓C過(guò)極點(diǎn)，所以圓C的極坐標(biāo)方程為p=2cos0.3.在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x—；3)2+(y+1)2=9,以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；n⑵直線OP：0=6(pWR)與圓C交于點(diǎn)M,N,求線段MN的長(zhǎng).解：(1)(x—\'3)2+(y+1)2=9可化為x2+y2—2\3x+2y—5=0,故其極坐標(biāo)方程為p2—2\j'3pcos0+2psin0—5=0.n(2)將0=6代入p2—2和'3pcos0+2psin0—5=0,得p2—2p—5=0,所以P]+p2=2,p/2=—5,所以IMNI=p]—p2l=；'4+20=2*6.4.在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為pcos(0—3)=1，M,N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn).求C的直角坐標(biāo)方程，并求M,N的極坐標(biāo)；設(shè)MN的中點(diǎn)為P,求直線OP的極坐標(biāo)方程.解：⑴由pcos(0—3)=1得pgcos0+"^sin0)=1.從而C的直角坐標(biāo)方程為1x+g3y=1,即x+V3y=2.當(dāng)0=0時(shí),p=2,所以M(2,0)．當(dāng)0=2時(shí)，p=23~，所以⑵由(1)知M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0),N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為所以點(diǎn)P所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,則點(diǎn)p的極坐標(biāo)為呼，n)n所以直線OP的極坐標(biāo)方程為0=6<peR).5.(2018?南昌摸底調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為(x—13)2+(y—2)2=4，直線C2的方程為y=f,以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程；若直線C2與曲線C1交于P，Q兩點(diǎn)，求IOPIJOQI的值.解：(1)T曲線C]的普通方程為(x—*3)2+(y—2)2=4,即x2+y2—2：/3%—4y+3=0,曲線q的極坐標(biāo)方程為p2—2\：3pcos0—4psin0+3=0.???直線C2的方程為y=33x,n???直線c2的極坐標(biāo)方程為0=6(peR).(2)設(shè)P(p1,01),Q(p2,02),

將0=6(pWR)代入p2—2\：3pcos0—4psin0+3=0,得p2—5p+3=0,Ap1p2=3,AIOPI^IOQl=p1p2=3.6.(2019?山西八校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的方程為(x—3)2+(y—4)2=25.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；nn⑵設(shè)l1：0=6,l2：0=3，若l1，l2與曲線C分別交于異于原點(diǎn)的A,B兩點(diǎn)，求aaob的面積.解：(1)?.?曲線C的普通方程為(x—3)2+(y—4)2=25,即x2+y2—6x—8y=0.曲線C的極坐標(biāo)方程為p=6cos0+8sin0.⑵設(shè)a(p1,6),b(p2‘3)把0=6代入p=6cos0+8sin0,得p1=4+^3,.?.A(4+3V3,6)n得卩2=3+4\'3,把0=3代入p=6cos0+8sin0,.°.B(3得卩2=3+4\'3,nn3—6?:SAOB=2P1P2nn3—6=1(4+^/3)(3+^3)sinl=12沖x=tcosa，7.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線q：{(t為參數(shù)，庁0)，其中0WaV兀在以1[y=tsinaO為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：p=2sin0，C3：p=2岀cos0.(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；⑵若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B,求IABI的最大值.解：(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2—2y=0,曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2+y2—^;3x=0.

Jx2+y2—2y=0,1x2+y2—2\：3x=0,x=x=0,解得[y=0”一2，或3ly=2"所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和(￥，2(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為6=a(p^R,pM0)，其中0WaV兀sin(a—3因此A的極坐標(biāo)為(2sina,a),B的極坐標(biāo)為(2\；3cosasin(a—3所以IABI=l2sina—2\：3cosal=4當(dāng)a=6時(shí)，lABl取得最大值，最大值為4.8.(2019?鄭州一中模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線q的普通方程為x2+y2+2x-4=0,曲線C2的方程為y2=x,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.求曲線C1，c2的極坐標(biāo)方程；求曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)，其中p20,0W0<2n.fx=pcos3,解：⑴依題意，將｛代入x2+y2+2x—4=0可得p2+2pcos3—4=0.[y=psin3fx=pcos3,將<代入y2=x,得psin23=cos3.y=psin3故曲線q的極坐標(biāo)方程為p2+2pcos3—4=0,曲線C2的極坐標(biāo)方程為psin23=cos3.(2)將y2=x代入x2+y2+2x—4=0,得x2+3x—4=0,解得x=1,x=—4(舍去)，當(dāng)x=1時(shí)，y—±1,所以曲線C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(1,1),(1,—1),記A(1,1),B(1,—1),所以PA一冷1+1=;'2,pB=\'1+1=''2,tan3A=1,tan3B=—1,因?yàn)閜三0,0W3<2n,點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，n所以3an所以3a=43b-詈故曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為(遠(yuǎn),4)，(邁，￥)?第二節(jié)參數(shù)方程一、基礎(chǔ)知識(shí)1．曲線的參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)\x=f(t),(、并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程組所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上,〔y=g(t)，那么這個(gè)方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)．相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程F(x，y)=0叫做普通方程.2．參數(shù)方程和普通方程的互化參數(shù)方程化普通方程：利用兩個(gè)方程相加、減、乘、除或者代入法消去參數(shù)．普通方程化參數(shù)方程：如果x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y=g(t)，則得曲線的參數(shù)方程ly=g(t).3．直線、圓、橢圓的參數(shù)方程x=xn+tcosa，⑴過(guò)點(diǎn)M(x0，y0),傾斜角為⑴過(guò)點(diǎn)M(x0，y0),傾斜角為a(t為參數(shù))．、y=y0+tsina直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用x=x?H-tcosa,過(guò)點(diǎn)M0(x0,yo),傾斜角為a的直線l的參數(shù)方程是｛0若M,M2是l上000[y=y0+tsina.12的兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1,t2，則IM1M2l=lt1-t2l.若線段M1M2的中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t,則t=t1"Ht2，中點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離IMM0I=ltl=若M0為線段M1M2的中點(diǎn)，則t1+t2=0.IM0M]IIM0M2I=It1t2I.(2)圓心在點(diǎn)M0(x0，y0)，(0為參數(shù)(2)圓心在點(diǎn)M0(x0，y0)，(0為參數(shù))．[y=y0+rsin0(3)橢圓a2(3)橢圓a2+b2=l(a>b>0)的參數(shù)方程為x=acos申，y=bsin申((P為參數(shù)).考點(diǎn)一參數(shù)方程與普通方程的互化［典例］已知直線l的參數(shù)方程為<(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為x=4cos3,求直線l和圓C的普通方程；若直線l與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.［解］(1)直線l的普通方程為2x-y~2a=0,圓C的普通方程為x2+y2=16.(2)因?yàn)橹本€l與圓C有公共點(diǎn)，|-2a|故圓C的圓心到直線l的距離〃=—雲(yún)04,解得一2<3WaW2$5.即實(shí)數(shù)a的取值范圍為［一2詬，2厲］.［解題技法］將參數(shù)方程化為普通方程的方法將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎＲ?jiàn)的消參方法有：代入消參法、加減消參法、平方消參法等，對(duì)于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參(如sin23＋cos23=1等)．［提醒］將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意兩種方程的等價(jià)性，防止增解．［題組訓(xùn)練］1．將下列參數(shù)方程化為普通方程．x=x=(1)(t為參數(shù))．(1)^y=2(et_e-f)x2tan20,(2){(3為參數(shù)).y=2tan3解：⑴由參數(shù)方程得et=x+y,e-t=x-y,所以(x+y)(x-y)=1,即x2-y2=1.(2)因?yàn)榍€的參數(shù)方程為x=2tan23.y=2tan3(3為參數(shù))，￡⑵把考點(diǎn)二參數(shù)方程的應(yīng)用由y=2tanB,得tan0=2，代入①得y2=2x.2.如圖，以過(guò)原點(diǎn)的直線的傾斜角0為參數(shù)，求圓x￡⑵把考點(diǎn)二參數(shù)方程的應(yīng)用由y=2tanB,得tan0=2，代入①得y2=2x.2.如圖，以過(guò)原點(diǎn)的直線的傾斜角0為參數(shù)，求圓x2+y2—x=0的參記圓心為C(2，0),連接CP,則ZPCx=20,［典例］(2019?廣州高中綜合測(cè)試)已知過(guò)點(diǎn)P(m,0)的直線l的參數(shù)方程是x=m+尊一(t為參數(shù))，以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立<y=2t極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2cos0.(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l和曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且IP4I?IPBI=2，求實(shí)數(shù)m的值.［解］⑴消去參數(shù)t,可得直線l的普通方程為x=\；3y+m，即x_*3y~m=0.因?yàn)閜=2cos0,所以p2=2pcos0.可得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2x，即x2—2x+y2=0.—丄亞x—m十2t，代入x2—2x+y2=0,ly#得t2十(\‘3m—"J3)t+m2—2m=0.由/>0，得一1vmv3.設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t2=m2—2m.所以圓的參數(shù)方程為』X=COS20，b=s】n0cos0&為參數(shù)八數(shù)方程.解：圓的半徑為2故xp=^+^cos20=COS20，yp=2sin20=sin0cos0.因?yàn)镮PAI?IPBI=lt］?t2l=2,所以m2—2m=±2,解得m=l±\；3.因?yàn)橐?vmv3，所以m=1±\；3.［解題技法］1．應(yīng)用直線參數(shù)方程的注意點(diǎn)在使用直線參數(shù)方程的幾何意義時(shí)，要注意參數(shù)前面的系數(shù)應(yīng)該是該直線傾斜角的正余弦值，否則參數(shù)不具備該幾何含義．2．圓和圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用有關(guān)圓或圓錐曲線上的動(dòng)點(diǎn)距離的最大值、最小值以及取值范圍的問(wèn)題，通常利用它們的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解，掌握參數(shù)方程與普通方程互化的規(guī)律是解此類題的關(guān)鍵．［題組訓(xùn)練］Jx=\；3cosa,ly=sina1.Jx=\；3cosa,ly=sina（a為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為psin@+4）='J°.（1）求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)P為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到C2的距離的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).x2解：⑴曲線C1的普通方程為g+y2=1,由psin（o+4）="j2,得psin0+pcos0=2,得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x+y—2=0.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(V3cosa,sina),則點(diǎn)P到C2的距離為h/3cosa+sina—2I2sinv則點(diǎn)P到C2的距離為邁=忑(n\nn5n、當(dāng)sin^a+3J=—1,即a+j=—^+2kn(k^Z),a=—石+2kn(kWZ)時(shí)，所求距離最大,最大值為2邁,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x=2cos0，2.（2018?全國(guó)卷II）在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為彳（0為參數(shù)）,ly=4sin0x=1+tcosa，直線l的參數(shù)方程為｛小I?（t為參數(shù)）.ly=2＋tsina（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程;

⑵若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率.解：⑴曲線c的直角坐標(biāo)方程為予+16=1.當(dāng)cosaMO時(shí)，直線l的直角坐標(biāo)方程為y=tanax+2—tana,當(dāng)cosa=0時(shí)，直線l的直角坐標(biāo)方程為x=1.(2)將直線l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1+3cos2a)t2+4(2cosa+sina)t—8=0.①因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，則t1+t2=0.又由①得t又由①得t1+t2=—4(2cosa+sina)1+3cos2a故2cosa+sina=0，于是直線l的斜率k=tana=—2.考點(diǎn)三極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用x=—5+岑2cost,.y=3+\：2sintx=—5+岑2cost,.y=3+\：2sint(t為參數(shù))，在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為￥°cos@+4)=—1.求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；設(shè)直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上任一點(diǎn)，求A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)和APAB面積的最小值.［解］(1)［解］(1)由x=—5+\；2cost,y=3+'j2sint消去參數(shù)t，得(x+5)2+(y—3)2=2，所以圓C的普通方程為(x+5)2+(y—3)2=2.弓P弓Pcos@+4)=-1,得pcos0—psin0=—2,所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x—y+2=0.(2)直線l與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A(—2,0)，B(0,2)，則點(diǎn)A，B的極坐標(biāo)分別為(2，n+2kn)(kWZ)，(2，n+2kn)(k￡Z).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(—5+“j2cosa，3+“j2sina)，

則點(diǎn)P到直線l的距離則點(diǎn)P到直線l的距離d=旦也—6+2cos(a+4當(dāng)cos(a+4丿=1,即a+4=2kn(kWZ),a=—4+2kn(k^Z)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離取得最小值，所以dmin=寸2=2p2,又IABI=2^/2,所以Apab面積的最小值s=2xdminxiabi=1x^/2x^/2=4.［解題技法］極坐標(biāo)、參數(shù)方程綜合問(wèn)題的解題策略(1)求交點(diǎn)坐標(biāo)、距離、線段長(zhǎng)．可先求出直角坐標(biāo)系方程，然后求解．(2)判斷位置關(guān)系．先轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)方程，然后再作出判斷．(3)求參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程綜合問(wèn)題．一般是先將方程化為直角坐標(biāo)方程，利用直角坐標(biāo)方程來(lái)研究問(wèn)題．［題組訓(xùn)練］在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線q：p2—4pcos0+3=0,0W[O,2n],曲線C2：p=石＞，0W[O,2n].4血(6-?(1)求曲線C1的一個(gè)參數(shù)方程；⑵若曲線c1和曲線c2相交于A，B兩點(diǎn)，求IABI的值.解：(1)由p2—4pcos0＋3=0，得x2＋y2—4x＋3=0，所以(x—2)2+y2=1.所以C的一個(gè)參數(shù)方程為x=2+cosa,、y=sina(2)因?yàn)镃2所以C的一個(gè)參數(shù)方程為x=2+cosa,、y=sina(2)因?yàn)镃2：cos0—cosgsin0j=3,[=2X^=乎所以IABI=2[=2X^=乎所以IABI=22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，x=2+tcos申,y=l：3+tsin申所以4專x—乎y)=3,即2x—2p3y—3=0,因?yàn)橹本€2x—^|f3y—3=0與圓(x—2)2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),

(t為參數(shù)，(pW0，3)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓C的圓心C的極坐標(biāo)為(2,3)，半徑為2,直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn).求圓C的極坐標(biāo)方程；當(dāng)p變化時(shí)，求弦長(zhǎng)IMNI的取值范圍.解：(1)由已知，得圓心C的直角坐標(biāo)為(1,曲),圓的半徑為2,??.圓C的直角坐標(biāo)方程為(x—1)2+(y—<3)2=4,即x2+y2—2x—2\：3y=0,Tx=pcos3,y=psin0,.°.p2—2pcos0—2-j3psin0=0,故圓C的極坐標(biāo)方程為p=4cos(￡—3).(2)由(1)知，圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2—2x—2“朽y=0,將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程得,(2+tcosp)2+c/3+tsinp)2—2(2+tcosp)—3("』3+tsinp)=0,整理得,t2＋2tcosp—3=0,設(shè)M,N兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=—2cosp,?t2=—3,IMNI=It]—t2I=(t]+t2)2—4?t2=4cos2p+12.VpGVpG[o,3]，cospW2，1IMNIW[VT3,4].故弦長(zhǎng)IMNI的取值范圍為⑴巧，4］.［課時(shí)跟蹤檢測(cè)］1.若直線｛x=tcos1.若直線｛x=tcosa，.(t為參數(shù))與圓y=tsinax=4+2cos3,y=2sin3(3為參數(shù))相切，求直線的傾斜角a.fx=tcosa,解：直線<(t為參數(shù))的普通方程為y=xtana.y=tsinax=4+2cos3,圓｛(3為參數(shù))的普通方程為(x—4)2+y2=4.y=2sin3由于直線與圓相切，貝F=2,1+tan2a1弋3即tan2a=3,解得tana=土寸,

n5n由于[0,n),故a=6或6?x=—8+t,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為{t（t為參數(shù)），曲卜=2Ix2s2線C的參數(shù)方程為l=2,2（s為參數(shù)），設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線1的距離的最小值．解：直線1的普通方程為x—2y+8=0.因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上，設(shè)P（2s2,2\/2s）,從而點(diǎn)p到直線1的距離d=|2s2—4伍+8|=2（s—；°）2+4.12+（—2）2當(dāng)S=\耳時(shí)，dmin=堺.因此當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,4）時(shí)，曲線C上的點(diǎn)P到直線1的距離取到最小值x=cos3,3.已知P為半圓C：{（3為參數(shù)，0W3Wn）上的點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,O、y=sin3n為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在射線OP上，線段OM與C的弧AP的長(zhǎng)度均為?。?）以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的極坐標(biāo);（2）求直線AM的參數(shù)方程.n解：（1）由已知，點(diǎn)M的極角為3，n且點(diǎn)M的極徑等于3,nn\故點(diǎn)M的極坐標(biāo)為百，3丿.⑵由⑴知點(diǎn)m⑵由⑴知點(diǎn)m的直角坐標(biāo)為（n，字），A(1,0)．故直線AM的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．x=1+(6-1故直線AM的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．"T3n5=6t4.（2019?長(zhǎng)春質(zhì)檢）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1,2）,點(diǎn)C的極坐標(biāo)為（3,2）,若直線1過(guò)點(diǎn)P，且傾斜角為彳，圓C以點(diǎn)C為圓心，3為半徑.（1）求直線1的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，求IPWIPBL＜x=l+*t,解:(1)由題意得直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程為、y=2+”tp=6sin3.(2)由(1)易知圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+(y—3)2=9,I丄雖Jx=1+〒t,把代入x2+(y—3)2=9，得t2+&3—1)t—7=0,、y=2十2t設(shè)點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,?\t1t2=—7,又IP4I=It]I,IPBI=It2I,???IP4I?IPBI=7.x=2cost,5.(2018?南昌一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為＜,(ty=2sint+2為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.求曲線C的極坐標(biāo)方程；n2n若直線l1，l2的極坐標(biāo)方程分別為31=6(P1^R),32=亍32丘2，設(shè)直線l1，l2與曲線C的交點(diǎn)分別為O,M和0,N,求AOMN的面積.fx=2cost,解：(1)由參數(shù)方程｛得普通方程為x2+(y—2)2=4,、y=2sint+2[x=pcos3,把+代入x2+(y—2)2=4,得p2—4psin3=0.、y=psin3所以曲線C的極坐標(biāo)方程為p=4sin3.TOC\o"1-5"\h\znn(2)由直線l1：31=6(p1^R)與曲線C的交點(diǎn)為O,M,得IOMI=4sin6=2.2n2n由直線l2：32=^(p2WR)與曲線C的交點(diǎn)為O,N,得IONI=4sin寸=2<3.易知ZMON=2,所以S/omn=|iOMIXIONI=|X2X^,5=3.x=cos3,6.(2018?全國(guó)卷III)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，0O的參數(shù)方程為＜(3為參、y=sin3數(shù))，過(guò)點(diǎn)(0,—、運(yùn))且傾斜角為a的直線l與0O交