初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊第十二章全等三角形1三角形全等的判定 公開課獎(jiǎng)

2011-2012學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)（人教版上）同步練習(xí)第十一章第二節(jié)三角形全等的判定一.教學(xué)內(nèi)容： 三角形全等的判定1.三角形全等的判定；2.直角三角形全等的判定；3.學(xué)習(xí)掌握綜合證明的格式、步驟。二.知識(shí)要點(diǎn)：1.三角形全等的判定（1）三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”。表示方法：如圖所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）。（2）兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA”。表示方法：如圖所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）。（3）兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS”。表示方法：如圖所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）。（4）兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”。表示方法：如圖所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）。（5）斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”。表示方法：如圖所示，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵AB＝DE，BC＝EF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。注意：①三角形全等的判定方法中有一個(gè)必要條件是：有一組對應(yīng)邊相等。②兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的情況，可以畫圖實(shí)驗(yàn)，如下圖，在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，顯然它們不全等。③三個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，如兩個(gè)大小一樣的等邊三角形。2.全等三角形的基本圖形在平面幾何中，有很多問題都可以借助于三角形全等來解決，比如線段的相等、角的相等、平行、垂直關(guān)系等。在運(yùn)用三角形全等這一工具時(shí)，主要是找兩個(gè)三角形，并找出它們滿足全等的條件來；解題時(shí)經(jīng)常需要通過觀察圖形的運(yùn)動(dòng)狀況，把兩個(gè)全等三角形中的一個(gè)看成是另一個(gè)的平行移動(dòng)、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法得到的，這需要對常見的全等三角形做到心中有數(shù)，如下圖列舉了幾個(gè)常見的基本圖形。掌握這些全等形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角的位置關(guān)系，對我們在復(fù)雜的幾何問題中迅速、準(zhǔn)確地確定全等三角形是至關(guān)重要的。三.重點(diǎn)難點(diǎn)：1.重點(diǎn)：能夠快速準(zhǔn)確地找出適合題意的三角形全等的判定方法。理解證明的基本過程，掌握綜合法證明的格式。2.難點(diǎn)：分析證明命題的途徑，這一步學(xué)習(xí)起來比較困難，需要在學(xué)習(xí)中逐步培養(yǎng)學(xué)生的分析能力?！究键c(diǎn)分析】 三角形全等的判定是一個(gè)比較重要的知識(shí)點(diǎn)，在考題中一般是選擇題和填空題，也有證明題和計(jì)算題，甚至是探究題。【典型例題】例1.如圖所示，AB＝CD，AC＝DB。求證：△ABC≌△DCB。 分析：由已知可得AB＝CD，AC＝DB，又因?yàn)锽C是兩個(gè)三角形的公共邊，所以根據(jù)SSS可得出△ABC≌△DCB。 證明：在△ABC和△DCB中，∵，∴△ABC≌△DCB（SSS） 評析：證明格式：①點(diǎn)明要證明的兩個(gè)三角形；②列舉兩個(gè)三角形全等的條件（注意寫在前面的三角形，條件也放在前面），用大括號(hào)括起來；③條件按照“SSS”順序排序；④得出結(jié)論，并把判斷的依據(jù)注在后面。例2.已知：如圖所示，AB＝DE，∠B＝∠DEF，BE＝CF。求證：AC∥DF。 分析：欲證AC∥DF，可通過證明∠ACB＝∠F，由平行線的判定定理即可得證。而∠ACB與∠F分別是△ABC和△DEF的內(nèi)角，所以應(yīng)先證明△ABC≌△DEF。由BE＝CF易得BC＝EF，再結(jié)合已知條件AB＝DE，∠B＝∠DEF即可達(dá)到目的。 證明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF。在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）?！唷螦CB＝∠F?！郃C∥DF。 評析：通過證明兩個(gè)三角形全等可以提供角相等、線段相等，進(jìn)而解決其它問題。這里大括號(hào)中的條件按照“SAS”順序排列。例3.如圖所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于D，BF⊥CD于F，AB交CD于E，求證：AD＝BF－DF。 分析：要證AD＝BF－DF，觀察圖形可得CF＝CD－DF，只需證明CF＝AD，CD＝BF即可，也就是要證明△CFB≌△ADC。由已知BC＝AC，∠CFB＝∠ADC＝90°，只要再證明有一個(gè)銳角對應(yīng)相等即可，由BF⊥CD，∠ACB＝90°，易證得∠CBF＝∠ACD，問題便得到證明。 證明：∵∠ACB＝90°，BF⊥CD∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠CBF＋∠BCD＝90°∴∠CBF＝∠ACD（同角的余角相等）又∵AD⊥CD，∴∠CFB＝∠ADC＝90°在△CFB和△ADC中，∴△CFB≌△ADC（AAS）∴CF＝AD，BF＝CD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）又∵CF＝CD－DF∴AD＝BF－DF 評析：由條件AC＝BC和垂直關(guān)系可得，AC、BC為兩個(gè)直角三角形的斜邊，還需要一對角相等即可用AAS證三角形全等；由條件可用余角性質(zhì)轉(zhuǎn)換角度證明角相等。例4.如圖所示，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF，求證：AB＝CD。 分析：要證明AB＝CD，由于AB、CD分別是△ABF和△DCE的邊，可嘗試證明△ABF≌△DCE，由已知易證：∠B＝∠C，∠AFB＝∠DEC，下面只需證明有一邊對應(yīng)相等即可。事實(shí)上，由BE＝CF可證得BF＝CE，由ASA即可證明兩三角形全等。 證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又∵AF∥DE，∴∠AFC＝∠DEB（同上）∴∠AFB＝∠CED（等角的補(bǔ)角相等）又∵BE＝CF，∴BE－EF＝CF－EF，即BF＝CE在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（ASA）∴AB＝CD（全等三角形對應(yīng)邊相等） 評析：由平行條件轉(zhuǎn)化角，由線段和差關(guān)系轉(zhuǎn)化線段，為證三角形全等做準(zhǔn)備。解題思路：由已知條件，探尋三角形全等的條件，證得全等，再利用全等的性質(zhì)解決相關(guān)問題。例5.如圖所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC上和過A點(diǎn)且垂直于AC的射線AM上運(yùn)動(dòng)。問點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC上什么位置時(shí)，△ABC才能和△PQA全等？ 分析：要使△ABC與△PQA全等，由于∠C＝∠PAQ＝90°，PQ＝AB，則只需AP＝CB或AP＝CA，由HL即可知道它們?nèi)?，從而容易確定P點(diǎn)的位置。 解：由題意可知，∠C＝∠PAQ＝90°，又AB＝PQ，要使△ABC≌△PQA，則只需AP＝CB或AP＝CA即可，從而當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至AP＝5cm，即AC中點(diǎn)時(shí)，△ABC≌△QPA；或點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，即AP＝CA＝10cm時(shí)，△ABC≌△PQA。 評析：要證某兩個(gè)三角形全等，但缺少條件，要求把缺少的條件探索出來。解決這類題要從結(jié)論出發(fā)，借助相關(guān)的幾何知識(shí)，探討出使結(jié)論成立所需的條件，從而使問題得以解決。本題中涉及到分類討論的思想，要求同學(xué)們分析思考問題要全面，把各種情況都考慮到。例6.（2007年四川內(nèi)江）如圖，△ABC和△EBD都是等腰直角三角形，A、B、D三點(diǎn)在同一直線上，連結(jié)CD、AE，并延長AE交CD于F。（1）求證：△ABE≌△CBD。（2）直線AE與CD互相垂直嗎？請證明你的結(jié)論。 分析：根據(jù)已知條件易得AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠CBD＝90°正好是△ABE和△CBD全等的條件。對于AE與CD垂直關(guān)系的證明需要推證出∠CFA＝90°。 證明：（1）∵△ABC和△EBD都是等腰直角三角形，∴AB＝CB，BE＝BD，∠ABC＝∠CBD＝90°∴△ABE≌△CBD（SSA）（2）AE⊥CD，∵在△ABE和△CEF中，∠EAB＝∠ECF，∠AEB＝∠CEF，且∠ABE＝90°，∴∠ECF＋∠CEF＝∠EAB＋∠AEB∴∠ECF＋∠CEF＝180°－（∠EAB＋∠AEB）即∠AFC＝∠ABE＝90°∴AE⊥CD。 評析：利用已知，結(jié)合圖形探索三角形全等的條件，逐步分析解決問題，把握解題思路?！痉椒偨Y(jié)】1.現(xiàn)階段三角形全等所需的三個(gè)條件常與下列幾種情況有關(guān)：①利用中點(diǎn)的定義證明線段相等；②利用垂直的定義證明角相等；③利用平行線的性質(zhì)證明角相等；④利用三角形的內(nèi)角和等于180°證明角相等；⑤利用圖形的和、差證明邊或角相等。2.證明一個(gè)幾何中的命題有以下步驟：①根據(jù)題意，畫出圖形。②根據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證。③經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明的過程。在一般情況下，分析的過程不要求寫出來，有些題目中，已經(jīng)畫好了圖形，寫好了已知、求證，這時(shí)只要寫出“證明”一項(xiàng)就可以了。證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”。這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是定義、公理、已經(jīng)學(xué)過的重要結(jié)論。3.構(gòu)造全等三角形要能夠構(gòu)造兩個(gè)全等三角形，利用“全等三角形的對應(yīng)邊相等”的特征，實(shí)地操作，測量出不能到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離，并能說出這樣測量的道理?！灸M試題】（答題時(shí)間：60分鐘）一.選擇題1.下列條件不能判定兩個(gè)三角形全等的是 （）A.有兩邊和夾角對應(yīng)相等 B.有三邊分別對應(yīng)相等C.有兩邊和一角對應(yīng)相等 D.有兩角和一邊對應(yīng)相等2.下列條件能判定兩個(gè)三角形全等的是 （）A.有三個(gè)角相等 B.有一條邊和一個(gè)角相等C.有一條邊和一個(gè)角相等 D.有一條邊和兩個(gè)角相等3.如圖所示，已知AB∥CD，AD∥BC，那么圖中共有全等三角形 （）A.1對 B.2對 C.4對 D.8對4.如圖所示，已知∠A＝∠D，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，還應(yīng)給出的條件是（）A.∠E＝∠B B.ED＝BC C.AB＝EF D.AF＝CD5.如圖所示，點(diǎn)E在△ABC外部，點(diǎn)D在BC邊上，DE交AC于F，若∠1＝∠2，∠E＝∠C，AE＝AC，則 （）A.△ABC≌△AFE B.△AFE≌△ADCC.△AFE≌△DFC D.△ABC≌△ADE6.我們學(xué)過的判定兩個(gè)直角三角形全等的條件，有 （）A.5種 B.4種 C.3種 D.2種7.如圖所示，AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，AB＝DC，那么圖中的全等三角形有 （）A.1對 B.2對 C.3對 D.4對8.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，且BC＝6cm，則BD＝__________. （）A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm9.如圖所示，DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AF，則下列結(jié)論成立的是 （）A.BD＝CD B.DE＝DF C.∠B＝∠C D.AB＝AC二.填空題10.如圖所示，AC∥BD，AC＝BD，那么__________，理由是__________.11.已知△ABC≌△A'B'C'，AB＝6cm，BC＝7cm，AC＝9cm，∠A'＝70°，∠B'＝80°，則A'B'＝__________，B'C'＝__________，A'C'＝__________，∠C'＝__________，∠C＝__________.12.如圖所示，已知AB＝AC，在△ABD與△ACD中，要使△ABD≌△ACD，還需要再添加一個(gè)條件是____________________.13.如圖所示，已知△ABC≌△DEF，AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝5cm，CF＝2cm，∠A＝70°，∠B＝65°，則∠D＝__________，∠F＝__________，DE＝__________，BE＝__________.14.（2007年福州）如圖，點(diǎn)D、E分別在線段AB、AC上，BE、CD相交于點(diǎn)O，AE＝AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一個(gè)條件是__________（只要求寫一個(gè)條件）.15.（2007年沈陽）如圖，AC、BD相交于點(diǎn)O，∠A＝∠D，請你再補(bǔ)充一個(gè)條件，使得△AOB≌△DOC，你補(bǔ)充的條件是__________.三.解答題16.（2007年浙江溫州）已知：如圖，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求證：AC＝AD.17.（2007年浙江金華）如圖，A、E、B、D在同一直線上，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，AC∥DF.（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）你還可以得到的結(jié)論是__________（寫出一個(gè)即可，不再添加其他線段，不再標(biāo)注或使用其它字母）18.（2007年武漢）你一定玩過蹺蹺板吧！如圖是小明和小剛玩蹺蹺板的示意圖，橫板繞它的中點(diǎn)O上下轉(zhuǎn)動(dòng)，立柱OC與地面垂直.當(dāng)一方著地時(shí)，另一方上升到最高點(diǎn).問：在上下轉(zhuǎn)動(dòng)橫板的過程中，兩人上升的最大高度AA'、BB'有何數(shù)量關(guān)系？為什么？19.MN、PQ是校園里的兩條互相垂直的小路，小強(qiáng)和小明分別站在距交叉口C等距離的B、E兩處，這時(shí)他們分別從B、E兩點(diǎn)按同一速度沿直線行走，如圖所示，經(jīng)過一段時(shí)間后，同時(shí)到達(dá)A、D兩點(diǎn)，他們的行走路線AB、DE平行嗎？請說明你的理由.20.有一塊不規(guī)則的魚池，下面是兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)的能夠粗略地測量出魚池兩端A、B的距離的方案，請你分析一下兩種方案的理由.方案一：小明想出了這樣一個(gè)方法，如圖①所示，先在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂線DE，使A、C、E在同一條直線上，測得DE的長就是AB的長.你能說明一下這是為什么嗎？方案二：小軍想出了這樣一個(gè)方法，如圖②所示，先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)魚池兩端A、B的點(diǎn)C，連結(jié)AC并延長到點(diǎn)D，使CD＝CA，連結(jié)BC并延長到E，使CE＝CB，連結(jié)DE，量出DE的長，這個(gè)長就是A、B之間的距離.你能說明一下這是為什么嗎？21.我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.那么在什么情況下，它們會(huì)全等?（1）閱讀與證明：對于這兩個(gè)三角形均為直角三角形，顯然它們?nèi)?對于這兩個(gè)三角形均為鈍角三角形，可證它們?nèi)龋ㄗC明略）.對于這兩個(gè)三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下：已知：△ABC、△A1B1C1均為銳角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1.求證：△ABC≌△A1B1C1.（請你將下列證明過程補(bǔ)充完整）證明：分別過點(diǎn)B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1.則∠BDC＝∠B1D1C1＝90°，∵BC＝B1C1，∠C＝∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD＝B1D1.______________________________。（2）歸納與敘述：由（1）可得到一個(gè)正確結(jié)論，請你寫出這個(gè)結(jié)論.【試題答案】1.C 2.D 3.C 4.D 5.D 6.A 7.C 8.C 9.B10.△AOC≌△BOD；AAS或ASA11.6cm7cm9cm30°30°12.BD＝CD或∠BAD＝∠CA