初中相似三角形基本知識(shí)點(diǎn)和經(jīng)典例題

初三相像三角形知識(shí)點(diǎn)與經(jīng)典題型知識(shí)點(diǎn)1有關(guān)相像形的見解(1)形狀相同的圖形叫相像圖形，在相像多邊形中，最簡單的是相像三角形.假如兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比率，這兩個(gè)多邊形叫做相像多邊形．相像多邊形對(duì)應(yīng)邊長度的比叫做相像比(相像系數(shù))．知識(shí)點(diǎn)2比率線段的有關(guān)見解（1）假如采納同一單位量得兩條線段a,b的長度分別為m,n，那么就說這兩條線段的比是ambn，或?qū)懗蒩:bm:n．注：在求線段比時(shí)，線段單位要一致。的比，那么這四條線段a,b,c,d叫做成比率線段，（）在四條線段a,b,c,d中，假如a和b的比等于c和d2簡稱比率線段．注：①比率線段是有序次的，假如說a是b,c,d的第四比率項(xiàng)，那么應(yīng)得比率式為：bd．②在比率式ac(a：bcac：d)中，a、d叫比率外項(xiàng)，b、c叫比率內(nèi)項(xiàng),a、c叫比率前項(xiàng)，b、d叫比率后bd此時(shí)有b2項(xiàng)，d叫第四比率項(xiàng)，假如b=c，即a：bb：d那么b叫做a、d的比率中項(xiàng)，ad。（3）黃金切割：把線段AB分紅兩條線段AC,BC(ACBC)，且使AC是AB和BC的比率中項(xiàng)，即AC2ABBC，叫做把線段AB黃金切割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金切割點(diǎn)，此中AC51AB≈20.618AB．即ACBC51簡記為：長＝短＝51ABAC2全長2注：黃金三角形：頂角是360的等腰三角形。黃金矩形：寬與長的比等于黃金數(shù)的矩形知識(shí)點(diǎn)3比率的性質(zhì)（注意性質(zhì)立的條件：分母不可以夠?yàn)?）（1）基天性質(zhì)：①a:bc:dadbc；②a:bb:cb2ac．a(chǎn)dbc，除注：由一個(gè)比率式只可化成一個(gè)等積式，而一個(gè)等積式共可化成八個(gè)比率式，如了可化為a:bc:d，還可化為a:cb:d，c:da:b，b:da:c，b:ad:c，c:ad:b，d:cb:a，d:bc:a．a(chǎn)b，互換內(nèi)項(xiàng))cd（2）更比性質(zhì)(互換比率的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：acd()c，互換外項(xiàng)bdbadb．同時(shí)互換內(nèi)外項(xiàng))ca（3）反比性質(zhì)(把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)互換)：acbd．bdac（4）合、分比性質(zhì)：acabcd．bdbd注：實(shí)質(zhì)上，比率的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比率式中等號(hào)左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間badc發(fā)生相同和差變化比率仍成立．如：acac等等．bdabcdabcd（5）等比性質(zhì)：假如acem(bdfn0)，那么acema．bdfnbdfnb注：①此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)k法”（即引入新的參數(shù)k）這樣能夠減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，這類方法是有關(guān)比率計(jì)算變形中一種常用方法．②應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母能否為零．③可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立．如：acea2c3ea2c3ea；此中b2d3f0．bdfb2d3fb2d3fb知識(shí)點(diǎn)4比率線段的有關(guān)定理1.三角形中平行線分線段成比率定理:平行于三角形一邊的直線截其余兩邊(或兩邊的延伸線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比率.A由DE∥BC可得：ADAE或BDEC或ADAEDBECADEAABAC

DE注：BC①重要結(jié)論：平行于三角形的一邊,并且和其余兩邊訂交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比．．．．．．．．．．．．例.②三角形中平行線分線段成比率定理的逆定理：假如一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延伸線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比率.那么這條直線平行于三角形的第三邊.此定理給出了一種證明兩直線平行方法,即：利用比率式證平行線.③平行線的應(yīng)用：在證明有關(guān)比率線段時(shí)，協(xié)助線常常做平行線,但應(yīng)依據(jù)的原則是不要損壞條件中的兩條線段的比及所求的兩條線段的比.2.平行線分線段成比率定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對(duì)應(yīng)線段成比率.AD已知AD∥BE∥CF,BE可得ABDEABDEBCEFBCEFABBCCFBCEF或DF或或AC或DE等.ACABDEDFEF注：平行線分線段成比率定理的推論：平行線均分線段定理：兩條直線被三條平行線所截，假如在此中一條上截得的線段相等，那么在另一條上截得的線段也相等。知識(shí)點(diǎn)5相像三角形的見解對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比率的三角形，叫做相像三角形．相像用符號(hào)“∽”表示，讀作“相像于”．相像三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相像比(或相像系數(shù))．相像三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比率．注：①對(duì)應(yīng)性：即兩個(gè)三角形相像時(shí)，必定要把表示對(duì)應(yīng)極點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)地點(diǎn)上，這樣寫比較簡單找到相像三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．②序次性：相像三角形的相像比是有序次的．③兩個(gè)三角形形狀相同，但大小不用然相同．④全等三角形是相像比為1的相像三角形．兩者的差別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等，而相像要求對(duì)應(yīng)邊成比率．知識(shí)點(diǎn)6三角形相像的等價(jià)關(guān)系與三角形相像的判判斷理的預(yù)備定理相像三角形的等價(jià)關(guān)系：①反身性：關(guān)于任一ABC有ABC∽ABC．②對(duì)稱性：若ABC∽A'B'C'③傳達(dá)性：若ABC∽A'B'C

，則，且

A'B'C'A'B'C

ABC．ABC，則ABC∽ABC三角形相像的判判斷理的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其余兩邊(或兩邊延伸線)訂交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相像．定理的基本圖形：AA

EDADEBCBCDEBC(3)(1)(2)用數(shù)學(xué)語言表述是：DE//BC，∴ADE∽ABC．知識(shí)點(diǎn)7三角形相像的判斷方法1、定義法：三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，三條對(duì)應(yīng)邊成比率的兩個(gè)三角形相像．2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其余兩邊(或兩邊的延伸線)訂交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相像．3、判判斷理1：假如一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相像．簡述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相像．4、判判斷理2：假如一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比率，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相像．簡述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比率且夾角相等，兩三角形相像．5、判判斷理3：假如一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比率，那么這兩個(gè)三角形相像．簡述為：三邊對(duì)應(yīng)成比率，兩三角形相像．6、判斷直角三角形相像的方法：以上各樣判斷均合用．(2)假如一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比率，那么這兩個(gè)直角三角形相像．直角三角形被斜邊上的高分紅的兩個(gè)直角三角形與原三角形相像．注：射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比率中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比率中項(xiàng)。A如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則AD2=BD·DC，AB2=BD·BC，AC2=CD·BC。BCD知識(shí)點(diǎn)8相像三角形常有的圖形1、下邊我們來看一看相像三角形的幾種基本圖形：（1）如圖：稱為“平行線型”的相像三角形（有“A型”與“X型”圖）AADEBCBCDE(1)(2)EDABC(3)如圖：此中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱為“斜交型”的相像三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共邊型”、“蝶型”）AAD1EE4E1AD1D2C22CBC（3）BB）”“三垂直型”）如圖：稱為“垂直型”（有“雙垂直共角型”、“雙垂直共角共邊型（也稱“射影定理型”AAEEBDEBCC(D)ACDBA(4)如圖：∠1=∠2，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相像三角形。D21E2、幾種基本圖形的詳細(xì)應(yīng)用：BC1）若DE∥BC（A型和X型）則△ADE∽△ABC（2）射影定理若CD為Rt△ABC斜邊上的高（雙直角圖形）222則Rt△ABC∽R(shí)t△ACD∽R(shí)t△CBD且AC=AD·AB，CD=AD·BD，BC=BD·AB；AEDCDEABCBCADB2（3）知足1、AC=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判斷△ADC∽△ACB．（4）當(dāng)ADAE或AD·AB=AC·AE時(shí)，△ADE∽△ACB．ACABAADDEBCBC知識(shí)點(diǎn)9：全等與相像的比較：三角形全等三角形相像兩角夾一邊對(duì)應(yīng)相等(ASA)相像判斷的預(yù)備定理兩角一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等(AAS)兩角對(duì)應(yīng)相等兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等(SAS)兩邊對(duì)應(yīng)成比率，且夾角相等三邊對(duì)應(yīng)相等(SSS)三邊對(duì)應(yīng)成比率直角三角形中向來角邊與斜邊對(duì)應(yīng)相等(HL)直角三角形中斜邊與向來角邊對(duì)應(yīng)成比率知識(shí)點(diǎn)10相像三角形的性質(zhì)相像三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比率．相像三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角均分線的比都等于相像比．相像三角形周長的比等于相像比．相像三角形面積的比等于相像比的平方．注：相像三角形性質(zhì)可用來證明線段成比率、角相等，也可用來計(jì)算周長、邊長等．知識(shí)點(diǎn)11相像三角形中有關(guān)證（解）題規(guī)律與協(xié)助線作法1、證明四條線段成比率的常用方法：線段成比率的定義三角形相像的預(yù)備定理利用相像三角形的性質(zhì)利用中間比等量代換利用面積關(guān)系2、證明題常用方法概括：1）整體思路:“等積”變“比率”，“比率”找“相像”找相像：經(jīng)過“橫找”“豎看”找尋三角形，即橫向看或縱向找尋的時(shí)候一共各有三個(gè)不一樣樣的字母，并且這幾個(gè)字母不在同一條直線上，能夠構(gòu)成三角形，并且有可能是相像的，則可證明這兩個(gè)三角形相像，此后由相像三角形對(duì)應(yīng)邊成比率即可證的所需的結(jié)論.(3)找中間比：若沒有三角形(即橫向看或縱向找尋的時(shí)候一共有四個(gè)字母或許三個(gè)字母，但這幾個(gè)字母在同一條直線上)，則需要進(jìn)行“轉(zhuǎn)移”(或“取代”)，常用的“取代”方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.即：找相像找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來。①am,cm(m為中間比)②am,cm,nn'bndnnbndn'③am,cm'(mm',nn'或mm')bndn'nn'(4)增添協(xié)助線：若上述方法還不可以夠見效的話，能夠考慮增添協(xié)助線(平常是增添平行線)構(gòu)成比率.以上步驟能夠不停的重復(fù)使用，直到被證結(jié)論證出為止.注：增添協(xié)助平行線是獲取成比率線段和相像三角形的重要門路。平面直角坐標(biāo)系中平常是作垂線（即得平行線）結(jié)構(gòu)相像三角形或比率線段。（5）比率問題：常用辦理方法是將“一份”看著k;關(guān)于等比問題，常用辦理方法是設(shè)“公比”為k。（6）．關(guān)于復(fù)雜的幾何圖形，平常采納將部分需要的圖形（或基本圖形）“分別”出來的方法辦理。知識(shí)點(diǎn)12相像多邊形的性質(zhì)相像多邊形周長比，對(duì)應(yīng)付角線的比都等于相像比．相像多邊形中對(duì)應(yīng)三角形相像，相像比等于相像多邊形的相像比．相像多邊形面積比等于相像比的平方．注意：相像多邊形問題常常要轉(zhuǎn)變成相像三角形問題去解決，所以，嫻熟掌握相像三角形知識(shí)是基礎(chǔ)和重點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)13位似圖形有關(guān)的見解與性質(zhì)及作法假如兩個(gè)圖形不只是相像圖形，并且每組對(duì)應(yīng)極點(diǎn)的連線都交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形.這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相像比又稱為位似比.注：（1）位似圖形是相像圖形的特例，位似圖形不只相像，并且對(duì)應(yīng)極點(diǎn)的連線訂交于一點(diǎn)（2）位似圖形必定是相像圖形，但相像圖形不用然是位似圖形.（3）位似圖形的對(duì)應(yīng)邊相互平行或共線.

.3.位似圖形的性質(zhì)：

位似圖形上隨意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相像比

.注：位似圖形擁有相像圖形的全部性質(zhì).4.畫位似圖形的一般步驟：（1）確立位似中心（位似中心能夠是平面中隨意一點(diǎn)）（2）分別連結(jié)原圖形中的重點(diǎn)點(diǎn)和位似中心，并延伸（或截取）.（3）依據(jù)已知的位似比，確立所畫位似圖形中重點(diǎn)點(diǎn)的地點(diǎn).（4）挨次連結(jié)上述獲取的重點(diǎn)點(diǎn)，即可獲取一個(gè)放大或減小的圖形.①②③④⑤注：①位似中心能夠是平面內(nèi)隨意一點(diǎn)，該點(diǎn)可在圖形內(nèi)，或在圖形外，或在圖形上（圖形邊上或極點(diǎn)上）。②外位似：位似中心在連結(jié)兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段以外，稱為“外位似”（即同向位似圖形）③內(nèi)位似：位似中心在連結(jié)兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段上，稱為“內(nèi)位似”（即反向位似圖形）5）在平面直角坐標(biāo)系中，假如位似變換是以原點(diǎn)O為位似中心，相像比為k（k>0）,原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為x,y）,那么同向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky),反向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-kx,-ky),經(jīng)典例題透析種類一、相像三角形的見解1．判斷對(duì)錯(cuò)：兩個(gè)直角三角形必定相像嗎？為何？兩個(gè)等腰三角形必定相像嗎？為何？兩個(gè)等腰直角三角形必定相像嗎？為何？兩個(gè)等邊三角形必定相像嗎？為何？兩個(gè)全等三角形必定相像嗎？為何？思路點(diǎn)撥：要說明兩個(gè)三角形相像，要同時(shí)知足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比率.要說明不相像，則只需否認(rèn)其中的一個(gè)條件.解：(1)不用然相像.反例直角三角形只確立一個(gè)直角，其余的兩對(duì)角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不用然相像.不用然相像.反例等腰三角形中只有兩邊相等，而底邊不固定.所以兩個(gè)等腰三角形中有兩邊對(duì)應(yīng)成比率，兩底邊的比不用然等于對(duì)應(yīng)腰的比，所以等腰三角形不用然相像.必定相像.在直角三角形ABC與直角三角形A′B′C′中設(shè)AB=a，A′B′=b，則BC=a，B′C′=b，AC=a，A′C′=b∴ABC∽A′B′C′必定相像.由于等邊三角形各邊都相等，各角都等于60度，所以兩個(gè)等邊三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比率，所以兩個(gè)等邊三角形必定相像.必定相像.全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，所以對(duì)應(yīng)邊比為1，所以全等三角形必定相像，且相像比為1.貫串交融【變式1】兩個(gè)相像比為1的相像三角形全等嗎？分析：全等.由于這兩個(gè)三角形相像，所以對(duì)應(yīng)角相等.又相像比為1，所以對(duì)應(yīng)邊相等.所以這兩個(gè)三角形全等.總結(jié)升華：由上可知，在特其余三角形中，有的相像，有的不用然相像.(1)兩個(gè)直角三角形，兩個(gè)等腰三角形不用然相像.(2)兩個(gè)等腰直角三角形，兩個(gè)等邊三角形必定相像.(3)兩個(gè)全等三角形必定相像，且相像比為1；相像比為1的兩個(gè)相像三角形全等.【變式2】以下能夠相像的一組三角形為( )A.全部的直角三角形B.全部的等腰三角形C.全部的等腰直角三角形D.全部的一邊和這邊上的高相等的三角形分析：依據(jù)相像三角形的見解，判斷三角形能否相像，必定要知足三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，三條對(duì)應(yīng)邊的比相等.而A中只有一組直角相等，其余的角能否對(duì)應(yīng)相等不可以知；B中什么條件都不知足；D中只有一條對(duì)應(yīng)邊的比相等；C中全部三角形都是由90°、45°、45°角構(gòu)成的三角形，且對(duì)應(yīng)邊的比也相等.答案選C.種類二、相像三角形的判斷2．以以下圖，已知中，E為AB延伸線上的一點(diǎn)，AB=3BE，DE與BC訂交于F，請(qǐng)找出圖中各對(duì)相像三角形，并求出相應(yīng)的相像比.思路點(diǎn)撥：由可知AB∥CD，AD∥BC，再依據(jù)平行線找相像三角形.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB∥CD，AD∥BC，△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.△BEF∽△CDF∽△AED.∴當(dāng)△BEF∽△CDF時(shí)，相像比；當(dāng)△BEF∽△AED時(shí)，相像比；當(dāng)△CDF∽△AED時(shí)，相像比.總結(jié)升華：本題中△BEF、△CDF、△AED都相像，共構(gòu)成三對(duì)相像三角形.求相像比不只需找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊，還需注意兩個(gè)三角形的先后序次，若序次顛倒，則相像比成為本來的倒數(shù).3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，則△ABC和△EDF相像嗎？為何？思路點(diǎn)撥：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知兩邊長，所以可利用勾股定理分別求出第三邊AC和DE，再看三邊能否對(duì)應(yīng)成比率.解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°.由勾股定理得.在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°.由勾股定理，得.在△ABC和△EDF中，，，，∴，∴△ABC∽△EDF(三邊對(duì)應(yīng)成比率，兩三角形相像).總結(jié)升華：(1)本題易錯(cuò)為只看3，6，4，10四條線段不可以比率就判斷兩三角形不相像.利用三邊判斷兩三角形相似，應(yīng)看三角形的三邊能否對(duì)應(yīng)成比率，而不是兩邊.(2)本題也能夠只求出AC的長，利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，判斷兩三角形相像.4．以以下圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，知足如何的條件時(shí)，△ACD與△ABC相像？試分別加以列舉.思路點(diǎn)撥：本題屬于研究問題，由相像三角形的鑒識(shí)方法可知，△ACD與△ABC已有公共角∠A，要使此兩個(gè)三角形相像，可依據(jù)相像三角形的鑒識(shí)方法找尋一個(gè)條件即可.解：當(dāng)知足以下三個(gè)條件之一時(shí)，△ACD∽△ABC.條件一：∠1=∠B.條件二：∠2=∠ACB.條件三：，即.總結(jié)升華：本題的研究鑰匙是相像三角形的鑒識(shí)方法.在研究兩個(gè)三角形相像時(shí)，用分析法，可先假定△ACD∽△ABC，此后找尋兩個(gè)三角形中邊的關(guān)系或角的關(guān)系即可.本題易錯(cuò)為出現(xiàn)條件四：.不符合條件“最小化”原則，由于條件三能使問題成立，所以出現(xiàn)條件四是錯(cuò)誤的.貫串交融【變式1】已知：如圖正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)．求證：△ADQ∽△QCP．思路點(diǎn)撥：因△ADQ與△QCP是直角三角形，雖有相等的直角，但不知AQ與PQ能否垂直，所以不可以夠用兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等判斷．而四邊形ABCD是正方形，Q是CD中點(diǎn)，而BP=3PC，所以可用對(duì)應(yīng)邊成比率夾角相等的方法來判斷．詳細(xì)證明過程以下：證明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中點(diǎn)，∴=2∵=3，∴=4又∵BC=2DQ，∴=2在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90°，∴△ADQ∽△QCP．【變式2】如圖，弦和弦訂交于內(nèi)一點(diǎn)，求證：.思路點(diǎn)撥：題目中求證的是等積式，我們能夠轉(zhuǎn)變成比率式，進(jìn)而找到應(yīng)證哪兩個(gè)三角形相像.同時(shí)圓中間同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等要會(huì)靈巧應(yīng)用.證明：連結(jié)，.在∴∽∴.【變式3】已知：如圖，AD是△ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)．求證：△DFE∽△ABC．思路點(diǎn)撥：EF為△ABC的中位線，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜邊上的中線，DE=AB，DF=AC．所以考慮用三邊對(duì)應(yīng)成比率的兩個(gè)三角形相像．證明：在Rt△ABD中，DE為斜邊AB上的中線，∴DE=AB，即=．同理=．EF為△ABC的中位線，∴EF=BC，即=．∴==．∴△DFE∽△ABC．總結(jié)升華：本題證明方法好多，可先證∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再證夾這個(gè)角的兩邊成比率，即=，也可證明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都能夠證出△DEF∽△ABC．種類三、相像三角形的性質(zhì)5．△ABC∽△DEF，若△ABC的邊長分別為5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一邊的長度，你能求出△DEF的其余兩邊的長度嗎？試說明原因.思路點(diǎn)撥：因沒有說明長4cm的線段是△DEF的最大邊或最小邊，所以需分三種狀況進(jìn)行討論.解：設(shè)另兩邊長是xcm，ycm，且x<y.(1)當(dāng)△DEF中長4cm線段與△ABC中長5cm線段是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，有，進(jìn)而x=cm，y=cm.(2)當(dāng)△DEF中長4cm線段與△ABC中長6cm線段是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，有，進(jìn)而x=cm，y=cm.(3)當(dāng)△DEF中長4cm線段與△ABC中長7cm線段是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，有，進(jìn)而x=cm，y=cm.綜上所述，△

DEF的其余兩邊的長度應(yīng)是

cm,

cm或

cm，

cm或

cm，

cm三種可能

.總結(jié)升華：必定要深刻理解“對(duì)應(yīng)”，若題中沒有給出圖形，要特別注意能否有圖形的分類

.6．以以下圖，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC中，且長邊FG在BC上，矩形相鄰兩邊的比為1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面積.思路點(diǎn)撥：利用已知條件及相像三角形的判斷方法及性質(zhì)求出矩形的長和寬，進(jìn)而求出矩形的面積解：∵四邊形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.

.AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.矩形兩鄰邊之比為1：2，設(shè)EF=xcm，則EH=2xcm.由相像三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相像比，得，∴，∴，.EF=6cm，EH=12cm.∴.總結(jié)升華：解決有關(guān)三角形的內(nèi)接矩形、內(nèi)接正方形的計(jì)算問題，常常利用相像三角形“對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”和“面積比等于相像比的平方”的性質(zhì)，若圖中沒有高能夠先作出高.貫串交融【變式1】△ABC中，DE∥BC，M為DE中點(diǎn)，CM交AB于N，若，求.解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC∴∵M(jìn)為DE中點(diǎn)，∴∵DM∥BC，∴△NDM∽△NBC∴∴=1：2.總結(jié)升華：圖中有兩個(gè)“”字形，已知線段AD與AB的比和要求的線段ND與NB的比分別在這兩個(gè)“”字形，利用M為DE中點(diǎn)的條件將條件由一個(gè)“”字形轉(zhuǎn)變到另一個(gè)“”字形，進(jìn)而解決問題.種類四、相像三角形的應(yīng)用7．如圖，我們想要丈量河兩岸相對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)A、B之間的距離(即河寬)，你有什么方法？方案1：如上左圖，結(jié)構(gòu)全等三角形，丈量CD，獲取AB=CD，獲取河寬.方案2：思路點(diǎn)撥：這是一道丈量河寬的實(shí)詰問題，還能夠夠借用相像三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，比率式中四條線段，測出了三條線段的長，必能求出第四條.C

如上右圖，先從B點(diǎn)出發(fā)與AB成90°角方向走50m到O處立一標(biāo)桿，此后方向不變，連續(xù)向前走10m到處，在C處轉(zhuǎn)90°，沿CD方向再走17m抵達(dá)D處，使得A、O、D在同一條直線上．那么A、B之間的距離是多少？解：∵AB⊥BC，CD⊥BC∴∠ABO=∠DCO=90°又∵∠AOB=∠DOC∴△AOB∽△DOC∴BO=50m，CO=10m，CD=17mAB=85m答：河寬為85m．總結(jié)升華：方案2利用了“”型基本圖形，實(shí)質(zhì)上丈量河寬有好多方法，能夠用“”型基本圖形，借助相像；也可用等腰三角形等等.貫串交融【變式1】如圖：小明欲丈量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后挪動(dòng)，直到他自己影子的頂正直好與塔的影子的頂端重疊，此時(shí)他距離該塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影長是2m．圖中△ABC與△ADE能否相像?為何?求古塔的高度．解：(1)△ABC∽△ADE．BC⊥AE，DE⊥AE∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A∴△ABC∽△ADE(2)由(1)得△ABC∽△ADE∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m∴∴DE=16m答：古塔的高度為16m.【變式2】已知：如圖，陽光經(jīng)過窗口照耀到室內(nèi)，在地面上留下1.5m寬的亮區(qū)DE.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高BC？思路點(diǎn)撥：光芒AD//BE，作EF⊥DC交AD于F.則，利用邊的比率關(guān)系求出BC.解：作EF⊥DC交AD于F.由于AD∥BE，所以又由于，所以，所以.由于AB∥EF，AD∥BE，所以四邊形ABEF是平行四邊形，所以EF=AB=1.8m.所以m.種類五、相像三角形的周長與面積8．已知：如圖，在△ABC與△CAD中，DA∥BC，CD與AB訂交于E點(diǎn)，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F點(diǎn)，△ADE的面積為1，求△BCE和△AEF的面積．思路點(diǎn)撥：利用△ADE∽△BCE，以及其余有關(guān)的已知條件，能夠求出△BCE的面積．△ABC的邊AB上的高也是△BCE的高，依據(jù)AB︰BE=3︰2，可求出△ABC的面積．最后利用△AEF∽△ABC，可求出△AEF的面積．解：∵DA∥BC，∴△ADE∽△BCE．S△ADE︰S△BCE=AE2︰BE2．AE︰BE=1︰2，S△ADE︰S△BCE=1︰4．S△ADE=1，∴S△BCE=4．S△ABC︰S△BCE=AB︰BE=3︰2，S△ABC=6．∵EF∥BC，△AEF∽△ABC．∵AE︰AB=1︰3，S△AEF︰S△ABC=AE2︰AB2=1︰9．∴S△AEF==．總結(jié)升華：注意，同底(或等底)三角形的面積比等于這底上的高的比；同高(或等高)三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)底邊的比．當(dāng)兩個(gè)三角形相像時(shí)，它們的面積比等于對(duì)應(yīng)線段比的平方，即相像比的平方．貫串交融【變式1】有同一三角形地塊的甲、乙兩地圖，比率尺分別為1∶200和1∶500，求：甲地圖與乙地圖的相像比和面積比.解：設(shè)原地塊為△ABC，地塊在甲圖上為△A1B1C1，在乙圖上為△A2B2C2.∴△