第18章早期量子論和量子力學基礎

第五篇量子物理

第十八章早期量子論和量子力學基礎

固體或液體，在任何溫度下都在發(fā)射各種波長的電磁波，這種由于物體中的分子、原子受到激發(fā)而發(fā)射電磁波的現象稱為熱輻射。所輻射電磁波的特征僅與溫度有關?！?8-1熱輻射普朗克的量子假設固體在溫度升高時顏色的變化1400K物體輻射總能量及能量按波長分布都決定于溫度。800K1000K1200K1.熱輻射現象2.基爾霍夫輻射定律單色輻出度與物體的溫度和輻射波長有關。單色輻出度：單位時間內，溫度為T的物體單位面積上發(fā)射的波長在到范圍內的輻射能量與波長間隔的比值，用表示?；鶢柣舴蜉椛涑錾涠?單位時間內，從物體單位面積上所發(fā)射的各種波長的總輻射能，稱為物體的輻射出射度，簡稱輻出度。輻出度只是物體溫度的函數。基爾霍夫輻射定律單色吸收比和單色反射比:被物體吸收的能量與入射能量之比稱為吸收比,在波長到范圍內的吸收比稱為單色吸收比,用表示;反射的能量與入射能量之比稱為反射比,波長到范圍內的反射比稱為單色反射比,用表示。絕對黑體:若物體在任何溫度下,對任何波長的輻射能的吸收比都等于1,則稱該物體為絕對黑體,簡稱黑體?；鶢柣舴蜉椛涠苫鶢柣舴蜉椛涠?在同樣的溫度下,各種不同物體對相同波長的單色輻出度與單色吸收比之比值都相等,并等于該溫度下黑體對同一波長的單色輻出度。即好的吸收體也是好的輻射體?；鶢柣舴蜉椛涠?.黑體輻射實驗規(guī)律不透明的材料制成帶小孔的的空腔,可近似看作黑體。黑體模型研究黑體輻射的規(guī)律是了解一般物體熱輻射性質的基礎。測定黑體輻出度的實驗簡圖黑體輻射實驗規(guī)律PL2B2A L1B1CA為黑體B1PB2為分光系統C為熱電偶1700K1500K1300K1100K012345絕對黑體的輻出度按波長分布曲線實驗曲線黑體輻射實驗規(guī)律黑體的輻出度與黑體的絕對溫度四次方成正比：（1）斯特藩-玻耳茲曼定律根據實驗得出黑體輻射的兩條定律：熱輻射的功率隨著溫度的升高而迅速增加。斯特藩常數黑體輻射實驗規(guī)律

對于給定溫度T，黑體的單色輻出度有一最大值,其對應波長為。

熱輻射的峰值波長隨著溫度的增加而向著短波方向移動。（2）維恩位移定律黑體輻射實驗規(guī)律例題18-1實驗測得太陽輻射波譜的，若把太陽視為黑體，試計算（1）太陽每單位表面積上所發(fā)射的功率，（2）地球表面陽光直射的單位面積上接受到的輻射功率，（3）地球每秒內接受的太陽輻射能。（已知太陽半徑RS=6.96×108m,地球半徑RE=6。37×106m,地球到太陽的距離d=1.496×1011m.)解根據維恩位移定律根據斯特藩-玻爾滋蔓定律可求出輻出度，即單位表面積上的發(fā)射功率黑體輻射實驗規(guī)律太陽輻射的總功率這功率分布在以太陽為中心、以日地距離為半徑的球面上，故地球表面單位面積接受到的輻射功率黑體輻射實驗規(guī)律由于地球到太陽的距離遠大于地球半徑，可將地球看成半徑為RE的圓盤，故地球接受到太陽的輻射能功率黑體輻射實驗規(guī)律維恩經驗公式問題：如何從理論上找到符合實驗曲線的函數式4.普朗克量子假設

這個公式與實驗曲線波長短處符合得很好，但在波長很長處與實驗曲線相差較大。瑞利--金斯經驗公式

這個公式在波長很長處與實驗曲線比較相近，但在短波區(qū)，按此公式，將隨波長趨向于零而趨向無窮大的荒謬結果，即“紫外災難”。

維恩公式和瑞利-金斯公式都是用經典物理學的方法來研究熱輻射所得的結果，都與實驗結果不符，明顯地暴露了經典物理學的缺陷。黑體輻射實驗是物理學晴朗天空中一朵令人不安的烏云。普朗克量子假設

為了解決上述困難，普朗克利用內插法將適用于短波的維恩公式和適用于長波的瑞利-金斯公式銜接起來，提出了一個新的公式：普朗克常數

這一公式稱為普朗克公式。它與實驗結果符合得很好。普朗克量子假設o實驗值/μm維恩線瑞利--金斯線紫外災難普朗克線12345678普朗克量子假設普朗克公式還可以用頻率表示為：

普朗克得到上述公式后意識到，如果僅僅是一個僥幸揣測出來的內插公式，其價值只能是有限的。必須尋找這個公式的理論根據。他經過深入研究后發(fā)現：必須使諧振子的能量取分立值，才能得到上述普朗克公式。普朗克量子假設

能量子假說：輻射黑體分子、原子的振動可看作諧振子，這些諧振子可以發(fā)射和吸收輻射能。但是這些諧振子只能處于某些分立的狀態(tài)，在這些狀態(tài)中，諧振子的能量并不象經典物理學所允許的可具有任意值。相應的能量是某一最小能量ε（稱為能量子）的整數倍，即：ε,1ε,2ε,3ε,...nε.n為正整數，稱為量子數。

對于頻率為ν的諧振子最小能量為能量量子經典普朗克量子假設

振子在輻射或吸收能量時，從一個狀態(tài)躍遷到另一個狀態(tài)。在能量子假說基礎上，普朗克由玻爾茲曼分布律和經典電動力學理論，得到黑體的單色輻出度，即普朗克公式。

能量子的概念是非常新奇的，它沖破了傳統的概念，揭示了微觀世界中一個重要規(guī)律，開創(chuàng)了物理學的一個全新領域。由于普朗克發(fā)現了能量子，對建立量子理論作出了卓越貢獻，獲1918年諾貝爾物理學獎。普朗克量子假設例18-2試從普朗克公式推導斯特藩-玻爾茲曼定律及維恩位移定律。解：在普朗克公式中，為簡便起見，引入則普朗克量子假設黑體的總輻出度：其中：普朗克公式可改寫為：普朗克量子假設由分部積分法可計算：所以普朗克量子假設

可見由普朗克公式可以推導出斯特藩-玻爾茲曼定律。

為了求出最大輻射值對應的波長，可以由普朗克公式得到滿足：普朗克量子假設經整理得到令有這個方程通過迭代法解得普朗克量子假設即可見由普朗克公式可推導得出維恩位移定律。普朗克量子假設§18-2光電效應愛因斯坦的光子理論光電效應

當波長較短的可見光或紫外光照射到某些金屬表面上時,金屬中的電子就會從光中吸取能量而從金屬表面逸出的現象。1.光電效應的實驗規(guī)律入射光線OOOOOOVGAKBOO光電效應實驗裝置金屬板釋放的電子稱為光電子,光電子在電場作用下在回路中形成光電流。結論1：單位時間內,受光照的金屬板釋放出來的電子數和入射光的強度成正比。(1)飽和電流

實驗表明：

在一定強度的單色光照射下,光電流隨加速電勢差的增加而增大,但當加速電勢差增加到一定量值時,光電流達飽和值，如果增加光的強度，相應的也增大。光強較弱光強較強光電效應的伏安特性曲線光電效應（2）遏止電勢差

如果使負的電勢差足夠大，從而使由金屬板表面釋放出的具有最大速度的電子也不能到達陽極時，光電流便降為零，此外加電勢差的絕對值叫遏止電勢差。

實驗表明：遏止電勢差與光強度無關。

結論2：光電子從金屬表面逸出時具有一定的動能，最大初動能與入射光的強度無關。光電效應（3）遏止頻率（又稱紅限）實驗表明：遏止電勢差和入射光的頻率之間具有線性關系。遏止電勢差與頻率的關系光電效應

為不隨金屬性質不同而改變的普適恒量

即最大初動能隨入射光的頻率線性地增加，要使光所照射的金屬釋放電子，入射光的頻率必須滿足：

稱為光電效應的紅限（遏止頻率）光電效應（4）弛豫時間

實驗表明，從入射光開始照射直到金屬釋放出電子，無論光的強度如何，這段時間很短，不超過。結論3：光電子從金屬表面逸出時的最大初動能與入射光的頻率成線性關系。當入射光的頻率小于時，不管照射光的強度多大，不會產生光電效應。光電效應按照光的波動說,光電子的初動能應決定于入射光的光強，即決定于光的振幅而不決定于光的頻率。2.光的波動說的缺陷無法解釋紅限的存在。無法解釋光電效應的產生幾乎無須時間的積累。3.愛因斯坦的光子理論

愛因斯坦從普朗克的能量子假設中得到啟發(fā),他假定光在空間傳播時,也具有粒子性,想象一束光是一束以運動的粒子流,這些粒子稱為光量子,現在稱為光子,每一光子的能量為,光的能流密度決定于單位時間內通過該單位面積的光子數。

根據光子理論,光電效應可解釋如下:當金屬中一個自由電子從入射光中吸收一個光子后,就獲得能量,如果大于電子從金屬表面逸出時所需的逸出功,這個電子就從金屬中逸出。愛因斯坦光電效應方程愛因斯坦對光電效應的解釋：光強大，光子數多，釋放的光電子也多，所以光電流也大。電子只要吸收一個光子就可以從金屬表面逸出，所以無須時間的累積。愛因斯坦的光子理論愛因斯坦

由于愛因斯坦提出的光子假說成功地說明了光電效應的實驗規(guī)律,榮獲1921年諾貝爾物理學獎。從光電效應方程中，當初動能為零時，可得到紅限頻率.從方程可以看出光電子初動能和照射光的頻率成線性關系。愛因斯坦的光子理論

分別為光子的質量和動量。4.光的波-粒二象性

光不僅具有波動性，還具有粒子性。這種雙重性稱為波-粒二象性。波動性和粒子性之間的聯系如下：例18-3波長l=4.0×10-7m的單色光照射到金屬銫上，求銫所釋放的光電子最大初速度。利用關系代入已知數據解：銫原子紅限頻率=4.8×1014Hz，據愛因斯坦光電效應方程，光電子最大初動能：光電效應光電管5.光電效應的應用光電倍增管解：(1)按照經典電磁理論,照射到離光源d處的圓面積內的功率是例題18-4設有一功率P=1W的點光源,d=3m處有一鉀薄片.假定鉀薄片中的電子可以在半徑r=0.5×10-10m的圓面積范圍內收集能量,已知鉀的逸出功為a=1.8eV,(1)按照經典電磁理論,計算電子從照射到逸出需要多長時間;(2)如果光源發(fā)出波長為的單色光,根據光子理論,求每單位時間打到鉀片單位面積上有多少光子.假定這些能量全部被電子所吸收,那么可以計算出光開始照射到電子逸出表面所需的時間為：愛因斯坦的光子理論每單位時間打在距光源3m的鉀片單位面積上的能量為(2)按照光子理論,愛因斯坦的光子理論§18-3康普頓效應1.康普頓效應

康普頓研究了X射線經物質散射的實驗,進一步證實了愛因斯坦的光子概念?？灯疹D吳有訓X光管光闌散射物質康普頓實驗裝置示意圖X光檢測器晶體康普頓效應

康普頓發(fā)現,在散射光中除了有與入射光波長λ0相同的射線之外，同時還出現一種波長λ大于λ0的射線。這種改變波長的散射稱為康普頓效應。

我國物理學家吳有訓在與康普頓共同研究中還發(fā)現：(1)波長的偏移隨散射角而異;當散射角增大時,波長的偏移也隨之增加,而且隨著散射角的增大,原波長的譜線強度增大。(2)在同一散射角下，對于所有散射物質,波長的偏移都相同,但原波長的譜線強度隨散射物質的原子序數的增大而增加,新波長的譜線強度隨之減小。康普頓效應康普頓散射與角度的關系(a)(b)(c)(d)相對強度........................................................................................0.7000.750波長(?)....康普頓效應2.光子理論的解釋

根據經典電磁波理論，當電磁波通過物質時，物質中帶電粒子將作受迫振動，其頻率等于入射光頻率，所以它所發(fā)射的散射光頻率應等于入射光頻率。光的波動理論無法解釋康普頓效應。2.1光子理論對康普頓效應的解釋

光子理論認為康普頓效應是光子和自由電子作彈性碰撞的結果，具體解釋如下：因為碰撞中交換的能量和碰撞的角度有關，所以波長改變和散射角有關。若光子和外層電子相碰撞，光子有一部分能量傳給電子,散射光子的能量減少，于是散射光的波長大于入射光的波長。若光子和束縛很緊的內層電子相碰撞，光子將與整個原子交換能量,由于光子質量遠小于原子質量，根據碰撞理論，碰撞前后光子能量幾乎不變，波長不變?？灯疹D效應的解釋2.2康普頓效應的定量分析由能量守恒:由動量守恒:θXXeφXφθ康普頓效應的解釋最后得到：此式說明：波長改變與散射物質無關,僅決定于散射角；波長改變隨散射角增大而增加。電子的康普頓波長。計算的理論值與實驗值符合得很好。康普頓效應的解釋

X射線的散射現象，理論與實驗的符合，不僅有力地證實了光子理論，而且也證實了能量守恒和動量守恒兩條定律，在微觀粒子相互作用的基本過程中，也同樣嚴格地遵守?？灯疹D效應的解釋例題18-5波長為的X射線與靜止的自由電子碰撞,現在從和入射方向成角的方向去觀察散射輻射.求:(1)散射X射線的波長;(2)反沖電子的能量;(3)反沖電子的動量。xyxyPeh/0h/解(1)散射后X射線波長的改變?yōu)榭灯疹D效應所以散射X的波長為(2)根據能量守恒,反沖電子獲得的能量就是入射光子與散射光子能量的差值,所以(3)根據動量守恒,有康普頓效應所以康普頓效應§18-4氫原子光譜玻爾的氫原子理論1.氫原子光譜的規(guī)律性

原子發(fā)光是重要的原子現象之一，光譜學的數據對物質結構的研究具有重要意義。氫原子譜線的波長可以用下列經驗公式表示：里德伯常量波數賴曼系，紫外區(qū)巴爾末系，可見光區(qū)帕邢系，紅外區(qū)布拉開系，紅外區(qū)普豐德系，紅外區(qū)哈弗萊系，紅外區(qū)其他元素的光譜也有類似的規(guī)律性。原子光譜線系的規(guī)律性深刻地反映了原子內部的規(guī)律性氫原子光譜2.玻爾的氫原子理論（1）定態(tài)假設

原子系統只能處在一系列不連續(xù)的能量狀態(tài)，在這些狀態(tài)中，電子雖然作加速運動，但并不輻射電磁波，這些狀態(tài)稱為原子的穩(wěn)定狀態(tài)（簡稱定態(tài)），相應的能量分別為。（2）頻率條件

當原子從一個能量為的定態(tài)躍遷到另一能量為的定態(tài)時，就要發(fā)射或吸收一個頻率為的光子。玻爾頻率公式玻爾（3）量子化條件

在電子繞核作圓周運動中，其穩(wěn)定狀態(tài)必須滿足電子的角動量等于的整數倍的條件。角動量量子化條件

為量子數3.氫原子軌道半徑和能量的計算

根據電子繞核作圓周運動的模型及角動量量子化條件可以計算出氫原子處于各定態(tài)時的電子軌道半徑。玻爾的氫原子理論玻爾半徑

電子處在半徑為的軌道上運動時，可以計算出氫原子系統的能量為能量是量子化的。玻爾的氫原子理論基態(tài)能級；的各穩(wěn)定態(tài)稱為受激態(tài)；時能級趨于連續(xù)。玻爾的氫原子理論氫原子的能級圖賴曼系巴耳末系帕邢系玻爾的氫原子理論根據氫原子的能級及玻爾假設，可以得到氫原子光譜的波數公式與氫原子光譜經驗公式是一致的。R理論值與實驗值符合得很好。玻爾的創(chuàng)造性工作對量子力學的建立有著深遠的影響。玻爾的氫原子理論4.玻爾理論的缺陷玻爾理論仍然以經典理論為基礎，定態(tài)假設又和經典理論相抵觸。●量子化條件的引進沒有適當的理論解釋。●對譜線的強度、寬度、偏振等無法處理?！袼岳}18-6在氣體放電管中,用能量為12.5eV的電子通過碰撞使氫原子激發(fā),問受激發(fā)的原子向低能級躍遷時,能發(fā)射那些波長的光譜線?解：設氫原子全部吸收電子的能量后最高能激發(fā)到第n個能級，此能級的能量為,所以把代入上式得因為n只能取整數,所以氫原子最高能激發(fā)到n=3的能級,當然也能激發(fā)到n=2的能級.于是能產生3條譜線。氫原子光譜氫原子光譜例18-7計算氫原子中的電子從量子數的狀態(tài)躍遷到量子數的狀態(tài)時所發(fā)譜線的頻率。試證明當很大時，這個頻率等于電子在量子數的圓軌道上繞轉的頻率。解按玻爾頻率公式有

當很大時

繞轉頻率為玻爾的氫原子理論

在量子數很大的情況下，量子理論得到與經典理論一致的結果，這是一個普遍原則，稱為對應原理?？梢姷闹岛秃艽髸r的值相同。繞轉頻率為玻爾的氫原子理論§18-5德布羅意波波-粒二象性1.德布羅意波

光的干涉、衍射等現象證實了光的波動性；熱輻射、光電效應和康普頓效應等現象又證實了光的粒子性。光具有波-粒二象性。

德布羅意波在光的二象性的啟發(fā)下，提出了與光的二象性完全對稱的設想，即實物粒子（如電子、質子等）也具有波-粒二象性的假設。德布羅意

質量為的粒子以速度勻速運動時，具有能量和動量；從波動性方面來看，它具有波長和頻率，這些量之間的關系遵從下述公式：

具有靜止質量的實物粒子以速度運動，則和該粒子相聯系的平面單色波的波長為：德布羅意公式德布羅意波如果，那么

德布羅意認為電子的物質波繞圓軌道傳播時，只有滿足駐波條件時，此軌道才是穩(wěn)定的。在這一假設下，可以得出玻爾假設中的有關電子軌道角動量量子化條件：德布羅意波2.戴維孫-革末實驗實驗裝置實驗結果晶格常數為散射平面間距波程差：加強的條件：波程差計算圖實驗驗證與X射線在晶體上衍射時的布拉格公式相同。電子經加速電勢差為U的電場加速后，動量：速度：相應的德布羅意波長：動能：實驗驗證代入布拉格公式得出：

極大值出現在的方向，與實驗符合的很好，這表明電子具有波動性，而且德布羅意波長公式是正確的。

對鎳來說，。把和值代入上式得：實驗驗證電子通過金多晶薄膜的衍射實驗。（湯姆遜1927）

電子的單縫、雙縫、三縫和四縫衍射實驗。（約恩遜1961)自然界中的一切微觀粒子，不論它們的靜止質量是否為零，都具有波粒二象性。30年代以后，實驗發(fā)現，中子、質子、中性原子都具有衍射現象。實驗驗證3.電子顯微鏡

光學顯微鏡的分辨本領與光波的波長成反比。

當加速電場很大時,電子的得布羅意波長可以比可見光波長短得多,如U為10萬伏時,電子的波長為,比可見光短10萬倍.因此利用電子波代替可見光制成的電子顯微鏡能具有極高的分辨本領。

電子顯微鏡在現代工農業(yè)生產和科學研究中應用廣泛。解：由得布羅意公式得：例題18-8一質量m=0.05㎏的子彈,以速率運動著,其得布羅意波長為多少?由此可見，對于一般的宏觀物體,其物質波波長是很小的，很難顯示波動性。德布羅意波例題18-9試估算熱中子的得布羅意波長(中子的質量mn=1.67×10-27㎏)。解:熱中子是指在室溫下(T=300K)與周圍處于熱平衡的中子,它的平均動能：它的方均根速率：相應的得布羅意波長：德布羅意波例題18-10電子在鋁箔上散射時,第一級最大(k=1)的偏轉角為,鋁的晶格常數a為4.05×10-10m,求電子速度。解：參看圖示,第一級最大的條件是：按得布羅意公式把m按靜質量計算，得：d德布羅意波§18-6不確定度關系

1927年海森伯（W.Heisenberg）分析了幾個理想實驗后提出了不確定度關系。2φΔx電子束x縫屏幕衍射圖樣pppxyφ

在電子衍射花樣中兩個一級極小值之間都有電子分布。一級極小值位置和縫寬之間的關系為:所以這就是海森伯坐標和動量的不確定度關系式?？紤]到在兩個一級極小值之外還有電子出現，所以有：寫為：經嚴格證明此式應改PPPxyφ不確定度關系方向電子的位置不確定量為：方向的分動量的不確定量為：討論：

a.不確定度關系式說明用經典物理學量—動量、坐標來描寫微觀粒子行為時將會受到一定的限制,因為微觀粒子不可能同時具有確定的動量及位置坐標。

b.不確定度關系式可以用來判別對于實物粒子其行為究竟應該用經典力學來描寫還是用量子力學來描寫。

c.對于微觀粒子的能量E及它在能態(tài)上,停留的之間也有下面的測不準關系:平均時間不確定度關系這說明原子光譜有一定寬度，實驗已經證實這一點。原子處于激發(fā)態(tài)的平均壽命一般為于是激發(fā)態(tài)能級的寬度為：不確定度關系由于根據不確定性關系得解：槍口直徑可以當作子彈射出槍口時位置的不確定量。和子彈飛行速度每秒幾百米相比,這速度的不確定性是微不足道的,所以子彈的運動速度是確定的。

例題18-11設子彈的質量為0.01㎏,槍口的直徑為0.5㎝。試求子彈射出槍口時的橫向速度的不確定量。不確定度關系

例題18-12電視顯象管中電子的加速度電壓為10kV,電子槍的槍口的直徑為0.01㎝.試求電子射出電子槍后的橫向速度的不確定量。解：電子橫向位置的不確定量由于,所以電子運動速度相對來說仍然是相當確定的,波動性不起什么實際影響。不確定度關系例題18-13試求原子中電子速度的不確定量,取原子的線度約為10-10m。由不確定關系式得解原子中電子位置的不確定量由玻爾理論可估算出氫原子中電子的軌道運動速度約為,可見速度的不確定量與速度大小的數量級基本相同.因此原子中電子在任一時刻沒有完全確定的位置和速度,也沒有確定的軌道,不能看成經典粒子,波動性十分顯著。不確定度關系例題18-14實驗測定原子核線度的數量級為10-14m，試應用不確定度關系來估算電子如被束縛在原子核中的動能。從而判斷原子核是由質子和電子組成是否可能。由于動量的數值不可能小于它不確定量，故電子的動量解取電子在原子核中位置的不確定量由不確定度關系得不確定度關系理論證明，電子具有這樣大的動能足以把原子核擊碎，所以，把電子禁錮在原子核內是不可能的，這就否定了原子核是由質子和電子組成的假設。電子在原子核中的動能故考慮到電子在此動量下有極高的速度，需要應用相對論的能量動量公式不確定度關系§18-7波函數薛定諤方程1.波函數及其統計意義得到描寫自由粒子的平面波波函數：利用關系

用某種函數表達式來表述與微觀粒子相聯系的物質波，該函數表達式稱為物質波的波函數。機械波或物質波的物理意義可以通過與光波的對比來闡明物質波的強度大光強度大光波振幅平方大（波動觀點）光子在該處出現的概率大（微粒觀點）波函數振幅的平方大單個粒子在該處出現的概率大（波動觀點）（微粒觀點）波函數

在某一時刻，在空間某處，微觀粒子出現的概率正比于該時刻、該地點波函數的平方。在空間一很小區(qū)域(以體積元dV=dxdydz表征)出現粒子的概率為：

稱為概率密度，表示在某一時刻在某點處單位體積內粒子出現的概率。及單值、連續(xù)、有限等標準化條件歸一化條件波函數還須滿足：波函數試求：（1）常數A；（2）粒子在0到a/2區(qū)域出現的概率；（3）粒子在何處出現的概率最大？例18-8：作一微運動的粒子被束縛在0<x<a的范圍內。

已知其波函數為

解:（1）由歸一化條件得:（2）粒子的概率密度為:波函數在0<x<a/2區(qū)域內，粒子出現的概率為：（3）概率最大的位置應滿足因0<x<a/2,故得粒子出現的概率最大。波函數2.定態(tài)薛定諤方程

薛定諤建立的適用于低速情況的、描述微觀粒子在外力場中運動的微分方程,稱為薛定諤方程。

質量為m

的粒子在勢能為的外力場中運動，含時薛定諤方程為：拉普拉斯算符薛定諤用分離變量法：代入薛定諤方程，采用分離變量，得到:討論勢能函數與時間無關的情形，即，此時粒子的能量是一個與時間無關的常量，這種狀態(tài)稱為定態(tài)，對應的波函數稱為定態(tài)波函數。定態(tài)薛定諤方程令等式兩端等于同一常數定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程§18-8勢阱中的粒子勢壘諧振子1.一維無限深勢阱

若質量為m的粒子，在保守力場的作用下，被限制在一定的范圍內運動，其勢函數稱為勢阱。

為了簡化計算，提出理想模型——無限深勢阱。

一維無限深勢阱：a保守力與勢能之間的關系：在勢阱邊界處，粒子要受到無限大、指向阱內的力，表明粒子不能越出勢阱,即粒子在勢阱外的概率為0。勢阱內的一維定態(tài)薛定諤方程為：解為：一維無限深勢阱由邊界條件得：據歸一化條件，得得波函數表達式：一維無限深勢阱(1)粒子能量不能取連續(xù)值得能量取分立值（能級），能量量子化是粒子處于束縛態(tài)的所具有的性質。由討論：一維無限深勢阱（2）粒子的最小能量不等于零最小能量

也稱為基態(tài)能或零點能。零點能的存在與不確定度關系協調一致。一維無限深勢阱(3)粒子在勢阱內出現概率密度分布不受外力的粒子在0到a范圍內出現概率處處相等。量子論觀點：0a=1=2=3=4nnnn0a當很大時，量子概率分布就接近經典分布經典觀點：一維無限深勢阱（4）有限深勢阱，粒子出現的概率分布

如果勢阱不是無限深，粒子的能量又低于勢璧，粒子在阱外不遠處出現的概率不為零。0a

經典理論無法解釋，實驗得到證實。一維無限深勢阱得到兩相鄰能級的能量差例題18-15設想一電子在無限深勢阱，如果勢阱寬度分別為1.0×10-2m和10-10m。試討論這兩中情況下相鄰能級的能量差。解：根據勢阱中的能量公式當a=1cm時可見兩相鄰能級間的距離隨著量子數的增加而增加，而且與粒子的質量m和勢阱的寬度a有關。一維無限深勢阱在這種情況下，相鄰能級間的距離是非常小的，我們可以把電子的能級看作是連續(xù)的。當a=10-10m時在這種情況下，相鄰能級間的距離是非常大的，這時電子能量的量子化就明顯的表現出來。一維無限深勢阱可見能級的相對間隔隨著n的增加成反比地減小。當時，較之要小的多。這時，能量的量子化效應就不顯著了，可認為能量是連續(xù)的，經典圖樣和量子圖樣趨與一致。所以，經典物理可以看作是量子物理中量子數時的極限情況。當n>>1時,能級的相對間隔近似為一維無限深勢阱例題18-16試求在一維無限深勢阱中粒子概率密度的最大值的位置。解：一維無限深勢阱中粒子的概率密度為將上式對x求導一次，并令它等于零因為在阱內，即只有一維無限深勢阱于是由此解得最大值得位置為例如最大值位置最大值位置最大值位置可見，概率密度最大值的數目和量子數n相等。一維無限深勢阱這時最大值連成一片，峰狀結構消失，概率分布成為均勻，與經典理論的結論趨于一致。相鄰兩個最大值之間的距離如果阱寬a不變，當時一維無限深勢阱2.一維勢壘隧道效應

一維方勢阱如圖ⅠⅡⅢ粒子沿方向運動,當粒子可以通過勢壘。當，實驗證明粒子也能通過勢壘,這只有由量子力學的到解釋。設三個區(qū)域的波函數分別為在各區(qū)域薛定諤方程分別為令為實數一維勢壘解為：一維勢壘

三個區(qū)域中波函數的情況如圖所示：隧道效應

在粒子總能量低于勢壘壁高的情況下,粒子有一定的概率穿透勢壘.此現象稱為隧道效應。

貫穿勢壘的概率定義為在處透射波的強度與入射波的強度之比：貫穿概率與勢壘的寬度與高度有關。一維勢壘掃描隧道顯微鏡(STM)原理：利用電子的隧道效應。

金屬樣品外表面有一層電子云，電子云的密度隨著與表面距離的增大呈指數形式衰減，將原子線度的極細的金屬探針靠近樣品，并在它們之間加上微小的電壓，其間就存在隧道電流，隧道電流對針尖與表面的距離及其敏感，如果控制隧道電流保持恒定，針尖的在垂直于樣品方向的變化，就反映出樣品表面情況。48個Fe原子形成“量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波。

STM的橫向分辨率已達，縱向分辨達,STM的出現，使人類第一次能夠適時地觀察單個原子在物質表面上的排列狀態(tài)以及表面電子行為有關性質。掃描隧道顯微鏡3.諧振子諧振子的勢能為薛定諤方程為其能量本征值為基態(tài)能(零點能)能級間隔一維諧振子的能級諧振子1.氫原子的薛定諤方程氫原子中電子的勢能函數定態(tài)薛定諤方程為使求解的問題變得簡便,通常采用球坐標。xyzθφ）r電子原核子§18-9量子力學中的氫原子問題拉普拉斯算符變?yōu)椋涸O波函數為代入薛定諤方程，采用分離變量法得到三個常微分方程。在解波函數時，考慮到波函數應滿足的標準條件，很自然地得到氫原子的量子化特征。氫原子（1）能量量子化同玻爾得到的氫原子的能量公式一致，但卻沒有認為的假設。在求解得到氫原子能量必須滿足量子化條件為稱為主量子數氫原子n=1基態(tài)能量n=2,3,…

對應的能量稱為激發(fā)態(tài)能量當n很大時，能級間隔消失而變?yōu)檫B續(xù)。

對應于電子被電離，氫原子的電子電離能為：當

，12345氫原子

說明角動量只能取由l決定的一系列分立值，即角動量也是量子化的。（2）軌道角動量量子化和角量子數

處于能級的原子,其角動量共有n種可能值，即,用s,p,d,…表示角動量狀態(tài)。l=0,1,2,...,n-1()

在求解角量為變量的函數所滿足的方程時，進一步得到角動量量子化的結果。稱

為角量子數，或副量子數。氫原子氫原子內電子的狀態(tài)n=1n=2n=3n=4n=5n=6l=0l=1l=5l=4l=3l=2(s)(p)(h)(g)(f)(d)1s5f5d5p5s6s6p6d6f6g6h4s3s3p4f3d4p4d5g2p2s氫原子（3）軌道角動量空間量子化和磁量子數稱為磁量子數。對于一定的角量子數可以取個值。氫原子中電子繞核運動的角動量不僅大小取分離值，其方向也有一定限制。若取外磁場B的方向為

軸，角動量在

軸上的投影只能取氫原子角動量的空間量子化氫原子例19-10設氫原子處于2p態(tài)，求氫原子的能量、角動量大小

及角動量的空間取向。解：2p態(tài)表示n=2,l=1。得角動量的大小為

當l=1時，ml的可能值是-1,0,+1，角動量方向與外磁場的夾角可能值為：根據氫原子3.氫原子中電子的概率分布要知道電子在氫原子中的分布，必須要知道定態(tài)波函數：稱為徑向函數；稱為角分布函數。以下給出前幾個函數：角分布函數：為玻爾半徑電子的概率分布電子的徑向分布概率為表示電子出現在至的球殼中的概率。電子的概率分布氫原子中電子徑向概率分布電子的概率分布電子的角分布概率由決定。與無關，表示角向概率密度對于軸具有旋轉對稱性由坐標原點引向曲線的長度表示方向的概率大小氫原子中電子的角分布電子的概率分布

1921年，施特恩（O.Stern）和格拉赫（W.Gerlach）發(fā)現一些處于S態(tài)的原子射線束，在非均勻磁場中一束分為兩束。準直屏原子爐磁鐵NS§18-10電子的自旋原子的電子殼層結構1.施特恩-格拉赫實驗由自旋產生的磁矩稱為自旋磁矩由自旋產生的角動量為其方向與磁矩方向相反。1925年，烏侖貝克(G.E.Uhlenbeck)和古茲密特(S.A.Goudsmit)提出電子自旋假說。把電子繞自身軸線的轉動稱為自旋。2.電子的自旋S電子的自旋自旋磁量