第八章流體靜力學(xué)

第一節(jié)流體的平衡方程式本章討論流體靜平衡的力學(xué)規(guī)律，重點(diǎn)在于研究靜止流體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律和總作用力計(jì)算方法。流體靜止指流體質(zhì)點(diǎn)之間或?qū)又g無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，它分為絕對(duì)靜止和相對(duì)靜止。流體靜壓強(qiáng)及其特性作用于靜止流體的壓強(qiáng)稱為流體靜壓強(qiáng)。流體靜壓強(qiáng)有以下兩個(gè)特點(diǎn)：1、流體靜壓強(qiáng)總是指向作用面的內(nèi)法線方向；2、靜止流體中任一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)與作用的方位無關(guān)。一、流體靜壓強(qiáng)及其性質(zhì)pypxpzpn作用在ACD面上的流體靜壓強(qiáng)作用在ABC面上的流體靜壓強(qiáng)作用在BCD面上的靜壓強(qiáng)、作用在ABD面上的靜壓強(qiáng)（一）證明：

取一微元四面體的流體微團(tuán)ABCD，邊長(zhǎng)分別為dx，dy和dz

由于流體處于平衡狀態(tài)，故作用在其上的一切力在任意軸上投影的總和等于零。

流體微團(tuán)受力分析x方向受力分析

表面力：

質(zhì)量力：流體微團(tuán)質(zhì)量X方向單位質(zhì)量力

因?yàn)榱黧w平衡

在軸方向上力的平衡方程為

把Px，Pn和Wx的各式代入得

化簡(jiǎn)得

由于等式左側(cè)第三項(xiàng)為無窮小，可以略去，故得

同理可得

所以n的方向可以任意選擇，從而證明了在靜止流體中任一點(diǎn)上來自各個(gè)方向的流體靜壓強(qiáng)都相等。

結(jié)論（二）、靜壓強(qiáng)兩個(gè)特征（幾點(diǎn)說明）（1）靜止流體中不同點(diǎn)的靜壓強(qiáng)一般是不等的，是空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。同一點(diǎn)的各向靜壓強(qiáng)大小相等。（2）運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的實(shí)際流體，流體層間若有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則由于粘性會(huì)產(chǎn)生切應(yīng)力，這時(shí)同一點(diǎn)上各法向應(yīng)力不再相等。

流體動(dòng)壓強(qiáng)定義為三個(gè)互相垂直的壓應(yīng)力的算術(shù)平均值，即

（3）運(yùn)動(dòng)流體是理想流體時(shí)，由于，不會(huì)產(chǎn)生切應(yīng)力，所以理想流體動(dòng)壓強(qiáng)呈靜水壓強(qiáng)分布特性，即中心壓力：p對(duì)z

軸方向的平衡方程(取向上的力為正)二、流體平衡微分方程式經(jīng)整理，則得對(duì)x軸方向:y

軸方向Euler在1755年首先提出的，故稱為歐拉平衡微分方程式。由該方程式可以看出，靜止流體內(nèi)同一水平面上各點(diǎn)的壓力是相同的，流體的壓力只沿著高度變化這是流體平衡的一般表達(dá)式，以后在推導(dǎo)中會(huì)經(jīng)常用到。四、等壓面三、壓力差公式P0G=mg

單位質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸上的分力為

假設(shè)a.質(zhì)量力只有重力b.均質(zhì)不可壓縮流體一、重力作用下的流體靜力學(xué)基本方程式

方程推導(dǎo)

靜止容器上取直角坐標(biāo)系第二節(jié)重力作用下的流體平衡2023/2/210

方程推導(dǎo)代入得積分,ρ＝const流體靜力學(xué)基本方程

適用范圍重力作用下的平衡狀態(tài)均質(zhì)不可壓縮流體

物理意義單位重量流體對(duì)某一基準(zhǔn)面的位勢(shì)能單位重量流體的壓強(qiáng)勢(shì)能位勢(shì)能和壓強(qiáng)勢(shì)能之和稱為單位重量流體的總勢(shì)能zc在重力作用下靜止流體中各點(diǎn)的單位重量流體的總勢(shì)能是相等的。2023/2/212

幾何意義單位重量流體的位置水頭單位重量流體的壓強(qiáng)水頭位置水頭和壓強(qiáng)水頭之和稱為靜水頭zc在重力作用下靜止流體中各點(diǎn)的靜水頭都是相等的。

單位重量流體具有的能量用液柱高度來表示稱為水頭。

ZYOpAzhA點(diǎn)與自由液面之間有

根據(jù)二、

壓強(qiáng)分布規(guī)律h=z0-z靜止流體中任意點(diǎn)在自由液面下的深度在重力作用下靜止流體中各點(diǎn)的單位重量流體的總勢(shì)能是相等的。(1)

在重力作用下的靜止液體中，靜壓強(qiáng)隨深度按線性規(guī)律變化，即隨深度的增加，靜壓強(qiáng)值成正比增大。

三個(gè)重要結(jié)論(2)在靜止液體中，任意一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)由兩部分組成：

自由液面上的壓強(qiáng)p0；

該點(diǎn)到自由液面的單位面積上的液柱重量ρgh。(3)在靜止液體中，位于同一深度(h＝常數(shù))的各點(diǎn)的靜壓強(qiáng)相等，即任一水平面都是等壓面。2023/2/2

壓強(qiáng)的表示方法

二、壓強(qiáng)的計(jì)量依據(jù)計(jì)量基準(zhǔn)的不同絕對(duì)壓強(qiáng)：以完全真空時(shí)的絕對(duì)零壓強(qiáng)(p＝0)為基準(zhǔn)來計(jì)量的壓強(qiáng)稱為絕對(duì)壓強(qiáng)此時(shí)則a點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)為hzap以當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)為基準(zhǔn)來計(jì)量的壓強(qiáng)稱為相對(duì)壓強(qiáng)。相對(duì)壓強(qiáng)：則a點(diǎn)相對(duì)壓強(qiáng)為表壓強(qiáng)、計(jì)示壓強(qiáng)hzap負(fù)的計(jì)示壓強(qiáng)，稱為真空或負(fù)壓強(qiáng)，用符號(hào)pv表示。

真空：真空高度當(dāng)壓強(qiáng)比當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)低時(shí)，流體壓強(qiáng)與當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)的差值稱為真空度。2023/2/217h

測(cè)量容器中的真空絕對(duì)壓強(qiáng)=大氣壓強(qiáng)+表壓強(qiáng)表壓強(qiáng)=絕對(duì)壓強(qiáng)-大氣壓強(qiáng)真空度=大氣壓強(qiáng)-絕對(duì)壓強(qiáng)第三節(jié)液壓柱式測(cè)壓計(jì)一、壓力的單位1.應(yīng)力單位－－Pa(=N/m2)，MPa，kgf/cm22.液柱高度－－

常用的液柱高度單位有米水柱(mH2O)、毫米汞柱(mmHg)等。不同液柱高度的換算關(guān)系標(biāo)準(zhǔn)大氣壓帕(Pa)巴(bar)米水柱毫米汞柱工程大氣壓atmN/m2105N/m2mH2OmmHgkgf/cm211013251.0132510.3327601.03320.9869100000110.197750.061.01970.967998066.50.980710735.581二.絕對(duì)壓強(qiáng)、相對(duì)壓強(qiáng)、真空

BA絕對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)A點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)B點(diǎn)真空壓強(qiáng)A點(diǎn)相對(duì)壓強(qiáng)B點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)相對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)O當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)

paO壓強(qiáng)

壓強(qiáng)p記值的零點(diǎn)不同，有不同的名稱：

以完全真空為零點(diǎn)，記為

p絕對(duì)壓強(qiáng)兩者的關(guān)系為:

p=pe+

pa

以當(dāng)?shù)卮髿鈮?/p>

pa

為零點(diǎn)，記為

pe

相對(duì)壓強(qiáng)為負(fù)值時(shí)，其絕對(duì)值稱為真空壓強(qiáng)。相對(duì)壓強(qiáng)真空度

pv=pa-

pBA絕對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)A點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)B點(diǎn)真空壓強(qiáng)A點(diǎn)相對(duì)壓強(qiáng)B點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)相對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)O大氣壓強(qiáng)

paO壓強(qiáng)

今后討論壓強(qiáng)一般指相對(duì)壓強(qiáng)，省略下標(biāo)，記為

p，若指絕對(duì)壓強(qiáng)則特別注明。

1.單管測(cè)壓管A點(diǎn)的壓強(qiáng)當(dāng)?shù)卮髿鈮涸谠摲匠淌街衟A和pa應(yīng)有相同的計(jì)量基準(zhǔn)，所以當(dāng)pa

＝0時(shí)pA為相對(duì)壓強(qiáng)。三、靜壓力的測(cè)量2.U形管測(cè)壓計(jì)點(diǎn)1壓強(qiáng)點(diǎn)2的相對(duì)壓強(qiáng)點(diǎn)2的絕對(duì)壓強(qiáng)重力作用下等壓面點(diǎn)a的絕對(duì)壓強(qiáng)h1h2ap12ah1h2如何求解？？3.U形管差壓計(jì)（P89）4.微壓計(jì)P90

第四節(jié)平面上和曲面上的流體壓力一、平面上的流體壓力說明：壓強(qiáng)一般采用表壓力計(jì)算原因：當(dāng)液面上作用為大氣壓強(qiáng)pa時(shí)，在壁的內(nèi)外側(cè)均有大氣壓作用，且方向相反，互相抵消，故在計(jì)算器壁所受的總壓力時(shí)，只考慮液體對(duì)壁面產(chǎn)生的作用力，即：用表壓計(jì)算就可以直接求得壁面所受的總壓力，而不用再減去壁外面大氣壓作用的力了。（一）、總壓力的大小、方向

設(shè)靜止流體作用在任意形狀的平面上，它與水平面的傾角為，面積為A。設(shè)液體的密度為，液面壓強(qiáng)為大氣壓強(qiáng)pa。平面上各點(diǎn)深度不同，水靜壓力也不同，但都垂直于平面，組成一平行力系。分析方法：在平面上取一微元面積dA，所處深度為h，其上壓強(qiáng)為p，則dA上的總壓力為：又∵∴積分，得平面上的總壓力：

式中，——平面A對(duì)x軸的面積矩。由理論力學(xué)知：yc

——面積A的形心C到Ox軸的距離。∴

hc

——面積A的形心C的垂深；pc

——形心C處的靜壓力。上式說明：作用在任意形狀平面上的總壓力大小等于該平面的面積與其形心處?kù)o壓力的乘積?？倝毫Φ姆较颍捍怪敝赶蜃饔妹?。（二）、總壓力的作用點(diǎn)——壓力中心對(duì)稱平面的壓力中心D點(diǎn)的位置，只需確定一個(gè)y坐標(biāo)即可。由平行力系的力矩原理：各分力對(duì)某軸的力矩之和等于合力對(duì)該軸的力矩。即：將代入上式，得：化簡(jiǎn)，得：

式中，為面積A對(duì)Ox軸的慣性矩。根據(jù)慣性矩的平行移軸定理：Jc

——面積A對(duì)通過形心C軸的慣性矩；yc

——形心C到自由液面的Ox軸的距離?！?/p>

因

，故

，即D點(diǎn)在C點(diǎn)的下方。壓力中心D與形心C的距離（偏心距）：注意：可通過查手冊(cè)得到。說明：對(duì)于垂直平面，則有31

常見平面形心位置及通過形心軸的慣性矩（P93）

例題8-4靜水奇象思考?容器底面上受總壓力均相等

二、曲面上的流體壓力例如：水塔、鍋爐、油罐、弧形閘門等。曲面上各點(diǎn)的流體靜壓力都垂直指向受壓面，不同點(diǎn)所受壓力的大小和方向是變化的，這樣就形成了復(fù)雜的空間力系。下面以工程上常見的二向曲面（柱面的一部分）為例，說明確定總壓力的分析方法及其計(jì)算公式，然后再將結(jié)論推廣到一般曲面設(shè)有一承受液體壓力的二向柱形曲面，面積為A，如圖。建立坐標(biāo)系：y軸與二向曲面的母線平行，則曲面在xoz面上的投影為曲線ab。在曲面ab上取一微元面積dA，其淹沒深度為h，則流體作用在微元上總壓力為：1、總壓力的大小、方向（1）水平分力：

為面積A在yoz坐標(biāo)面上投影面積Ax對(duì)y軸的面積矩，有即流體作用在曲面上總壓力的水平分力等于流體作用在該曲面對(duì)垂直坐標(biāo)面yoz的投影面Ax上的總壓力。水平分力Px作用線通過Ax的壓力中心：（2）垂直分力：

它相當(dāng)于從曲面起向上引到液面的若干微小柱體的體積總和abcd，稱為壓力體，用“V”表示。即流體作用在曲面上總壓力的垂直分力等于壓力體中液體的重量，其作用線通過壓力體的重心。（3）總壓力的大小和方向：

將上述總壓力的兩個(gè)分力合成，即得到液體作用在曲面上的總壓力總壓力方向垂直于作用面且與垂線之間的夾角：

水平分力Px作用線通過投影面積Ax的壓力中心而指向受壓面。垂直分力Pz作用線通過壓力體的重心而指向受壓面。故，總壓力作用線必然通過這兩條作用線的交點(diǎn)D，且與垂直線成角。這條總壓力作用線延長(zhǎng)與曲面的交點(diǎn)D就是總壓力在曲面上的作用點(diǎn)。2、總壓力的作用點(diǎn)3、壓力體是一體積，叫壓力體，這是一個(gè)純數(shù)學(xué)概念，與其