競賽與自主招生專題第08講數(shù)列的通項與遞推數(shù)列

11第講數(shù)的項遞數(shù)從2015開始自招生考試時推后到考后政策剛出時很多人認，是不是在高考出分再考自招生，是否考考完，自主招生不是失其意義自主招生考了這么年，使用的目的難其實已經(jīng)很定，這題目只出到高考以，競賽下，才能在么多省間拉開差距.所以，試難度基本定，維原自主招生度，原自主招生的題競賽真題，具有參考值。在近年主招生試題，數(shù)列自主招生必的一個要內容之一數(shù)列考得較的知識點有極限、學歸納法、推數(shù)列等差等比數(shù)、及數(shù)的應用等一、知精講一．等數(shù)列：1.通項公式an(n11

*

)2.n項和公式n二．等數(shù)列：

n(an1nad21.通項公式n

n

a1q

n

(

*

)(1n),nq2.n項和公式.nna,,q三．數(shù)的通項公式前項和的關：的和為).四．常數(shù)列的前和公式

SSn

(為數(shù){}n1

n21

n

2

n(1

2

2

2

nn1)(263

3

3

3

nn2

]2【知識展】

nnpnnp一．對于數(shù)列{}若存在正整一個nn

與前k

a聯(lián)系起來的方程f(

n

,

n

,a)n

，則稱數(shù){}k階遞推數(shù)列，此方程為遞推n方程。由（*）得

n

g

n

,a

n

,a稱為數(shù){}遞推關系nn一般說來，確定一k階遞推數(shù)列需要知階初始值,a

a。k二．求項問題的主類型：1．轉化法：些數(shù)列雖然不是等差等比數(shù)列，但可以通過對遞推公式變形，重新構造新的數(shù)列這些數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列一步通過對新數(shù)列的通項公式求出原數(shù)列的通項。2.加法：a

f()?

方

法：

利

用

疊

加

法，aaa21n

n

(()。n3.積法：

af(n?方法：利用迭代法f(1),f21n

n

f(n()。n14.定系數(shù)法a

為數(shù)且p0）?方法：用待定系數(shù)法，構造一個公比為的等比數(shù)列，

，從而q公比為的等比數(shù)列。5.

pa()為非零常數(shù)且p）方法兩邊同時除以n，

f()nnpn

anp

n

f(nn

，

11s211s2轉化為第一種類型，用疊加法解決。6.征根法：a

np,常數(shù)）方法：可用下面的定理求解。令（此方程又稱為特征方程

相應的二次方程的兩根；（1）其通項公式為a，（2其通項公式為aA),其中B分別由初始條件,a所得的方程組和A2

A1(B)

2唯一確定。更一般地，對于常系數(shù)線性遞推數(shù)列

n

a1n

a2n

a，其特kn征方程xkk2

的根（互不相同）s個，分別,k

，且st重根，，af)iiiiiii其系數(shù)由初始值決定。

n

，其中f(n)是關多項式，ii7.動點法：形如a

ac

0ada2

的遞推數(shù)列的通項問題常用不動點法解決.a類型c

ax0ada().cxaa（）若)x有兩個不相等的實數(shù)根xx，則An（其中aa2

acxn數(shù)列，公比，則可.aan（）若f()x根則

a

11中00c1數(shù)列，公差A，則可.an2（拓展類型IIn，令f(x).

1nn1nn（1）若(x)有兩個不相等的實數(shù)、x，x21從而有

ax222

，ax

、

ax

，

所

以n

1

221111ax2a1aa(a)2n1n1.2ann

同理可得

2

a)

.aaa所以，兩式相除，得n)2，令b1，則b，兩邊取對aan數(shù)，不難得的通項公式，從而可.n（2）若(x)有兩個相等的實數(shù)，則可0

c2

cab.

cana2a

，令，化簡可，因a列.三．周數(shù)列：對于數(shù){}一個常TN*n，n0恒有a

a成立，則稱數(shù)列{}從第n項起的周期為T的周期數(shù)列。若n則稱數(shù){}純周期數(shù)列，n則稱數(shù){}混周期數(shù)列，0n0的最小值稱為最小正周期，簡稱周期。周期數(shù)列主要有以下性質：①周期數(shù)列是無窮數(shù)列，其值域是有限集；②周期數(shù)列必有最小正周期（這一點與周期函數(shù)不同③如T是數(shù){}周期，則對于任意k*也是數(shù){}周期；nn④如T是數(shù){}最小正周期M是數(shù){}任一周期，則必，nMkN*⑤已知數(shù){}n

tN*t為常數(shù),T分別{}項nn的和與積，0qr*qS)T；rtr

⑥設數(shù){}整數(shù)數(shù)列是某個取定大于1的自然數(shù)，b除后nnn的余數(shù)b)b

數(shù){}{}mnn模數(shù)列{)}{)}周期的{}關于的周期數(shù)列。⑦任k階齊次線性遞歸數(shù)列都是m周期數(shù)列。四．階數(shù)列：對于一個給定的數(shù){}把它的連續(xù)兩an

a的n

記，{}{}{a}果ncb

{}數(shù){}一階差數(shù)列}{}二階差數(shù)列；n依此類推，可以得到數(shù){a}p階差數(shù)列，其中*n如果某一數(shù)列的p差數(shù)列是一非零常數(shù)列，則稱該數(shù)列為階差數(shù)列。其實一階等差數(shù)列就是我們通常說的等差數(shù)列差數(shù)列是二階或二階以上等差數(shù)列的統(tǒng)稱。高階等差數(shù)列具有以下性質：①如果數(shù){}等差數(shù)列，則它的一階差數(shù)列是p階等差數(shù)列；n②數(shù){}等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列{}通項是關次nn多項式；③如果數(shù){}等差數(shù)列項之是關n多項n式。三、典精講四、例2011復旦）xn

3

，那么（）（A）數(shù){}單調增的（B）數(shù){}單調減的nn（C）數(shù)列{}是單調增的，或是單調減的（D）數(shù){}非單調增的，n

n1n12nnnn1n12nnn也非單調減的。?答案：?分析與解：xn

3(1)nn

n

2n。顯然x，3{}調遞增；若nx3x{}常數(shù)列；3，{}調遞減。1例復旦）0,xn

n，則數(shù){}極限為（）（A）

2（B）3

（C）

22

（D）

12?分析與解：遞推數(shù)列對應的特征方程2t(2ttt故1。再由x0,x，有

U

，解得

U3

所以，2x23從{}極限為。故選A。例2008武大）在數(shù)列{}2,n1（1）求證：數(shù){}等比數(shù)列；（2）求數(shù){a}n項S。nn?分析與解：

n

anN*。n（1）

n

nan

n

4()這說明數(shù){}一個公nn比為4的等比數(shù)列。（2）由（1）an(n,n1nS)n

4n)32注：是一道循序漸進的問題，第一問為第二問鋪墊。本題也可采用如下方法：對式a

an兩邊同時除n也可以解答。

33n33n例4．知數(shù),31

n

n

2an0,求數(shù)n分析與答：解法一（待定系數(shù)——迭加法）

n

a

n

a0，na

23

()，n1則數(shù)首項，為公比的等比數(shù)列，于是na

2)()n。1,2,3,3a，12ab)，22a))2，a

2)()3

。把以上各式相加，得2a)[1)3

21)n3213

b。2[3)n](b)3()()3

a解法法

n

n

nna,an2的特征方程是32x,3

x

2)3

。又aaa于是2

3nnnnnnnnnn23nnnnnnnnnn2nnn2nnnnA2AB)2故abaa)3例5上海交大{a}足3,3n

n

2

n

lim。nn分析與答：

，

。

n

n

1()a，3

1133

11時，數(shù)是一個常數(shù)列，33

數(shù){

1110aa。33}是一個公比的等比數(shù)列。

①an

n

11()(333

②得

4151aa而333

5，故35。2注：形a

qa

(p,為常數(shù)，q的數(shù)列求通項問題，可采用如下方法：引入?yún)?/p>

n

a)得到一個nn關的方

兩根

得到兩個等比數(shù)列，1聯(lián)立消

n

即可；仍可得到形如ann

a(n關n的1,2n一個函數(shù)知識拓展中提到的類型。這種方法本質上是特征根法。

nnnnnnnn例．知數(shù){}足性質：對N,n公式.?分析與解：

a

a3,{}通項n依定理作特征方程x

x2

,變形

2

x0,其根

特征方程有兩個相異的根，使用定理2的第（）部分，則有ap311)n)nnN.ap3112c

2()N.5ca1cn

1()()

N.(ann練習已知數(shù){}足：對nN,都a

1325a

.（1）aa;（2）aa;（3）6,a;（4）取哪些值時，無窮數(shù){}存在？?分析與解：作特征方

13xx

.形

2

250,特征方程有兩個相同的特征依定理的第（1）部分解答.(1)(2)a

N,n.

5;1ra1

131n,28b0.數(shù){}第5項開始都不存在，n≤4n

15n.bnn(3)6,

a

.bn

1rn.a81b∴nN,b1b

1

1543n8(4)、顯然a數(shù)列從2項開始便不存在.由本題的第1）小題的解答過程知，a時{}是存在a時則有nbn

1r1n5nn,N.b則a,nNapan1n2.∴

5n

（其且≥2）時，數(shù){}n項始便不存在.于是知a在集{都不存在.

n

:nN,n≥2}上取值時窮數(shù){}例2011“卓越聯(lián)盟{}aa,a,n12

n

n

。n（1）

，證明：{}等比數(shù)列；（2）lim(2分析與答：

)，b值。（2

得a

n

n

n

。annn

n21213n32n32nnn21213n32n32nn。nn1所{}公比的等比數(shù)列，首項b。2（2）則{}常數(shù)列n時，由（1）知，

顯然不適合題意；a

1an

n

(b1所以ab),a22

1

b),an

12

n

以上各式相加：1

1

，

an

21(b)

，

即21()所

以1

na()n

12)n4()4()92

nlim(

24)a()0,b)b39例8五校聯(lián)設數(shù)()

函數(shù)s

()t,

2。s（1）證明：存在函s)滿足f

；s（2）x1

fxn1,2n

證明|n

3n

。分析與答：

ttf21ss2nnttf21ss2nn（1）f

22t

tmt(2)tt

，2)bat

，(2)2atb所以[(m2)tat)(3tb。即tat

2

bmb)tat

2

(6ba)tb。上式對一t

12

恒成立必有aabbax所以f(),s

(t)t又f

12s

6t)csd，3t

。由

623cs

2

(6d)s

2

(6cd所以

d,d

c3,故存在函數(shù)()sx（2）xn，考慮數(shù)列的不動點，設，則，xn

4,

n

x2)n

①xnnn

②xx有xxn

，所以

xnxn

x為公等比數(shù)列，且首項5所以nxn

n

nn41nxn

，xn

n

,|x

n

。所|xn

43nn3n

n

（*）2k，|

n

2k

2k

；nkk

5

2k

4k

2k

2

，顯然成立。綜上成立。注：本題的第（2）問用到了不動點求遞推數(shù)列通項的方法。五、真題訓練1旦）{}正數(shù)列，其n項和，滿足：對一nn的等差中項等S和的等比中項，limnnn

和2n（A）0（B）4（C）12（D）10022008復旦）{}正數(shù)數(shù)列，其和，滿足：對所有正整nna與2的等差中項等S與2的等比中項，nn

Snn）4（A）0（B）1（C）

1（D）23旦{}}b,nnn

，1{}公比為2的等比數(shù)列，又Sn

S，lim）a（A）0（B）

12

（C）1（D）242007復旦）已知數(shù){a}n

4a其n項之1和S，則滿足不等n

的最小整是（（A）6（B）7（C）8（D）9

100n3100n35．（2001上海交大,3,

中

ai

。i6．2004上海交大）已知數(shù)列{}足aaan12。

a

a，則72004上海交大）已公差為6的等差數(shù)列ban

n*)（1）a,b,表示數(shù){}通項公式；n（2）a[27,33]的最小值及取最小值n的值。182000上海交大）{}aan1n1（1）求證aa；n（2）。

。

9大有一系列正三角形n個正三角形的邊a。yOx10.（2004復旦）已知數(shù){},{}n

，n

，又n4求：（1a,；na（2lim。nbn

nnnnn2n1nnnnnn2n1n真題訓答案1.【答案】B【分析與解答

an22

2

n

2

S。annnnna)a222

na

a

(

)(a

)a

)an

n

4)，a

（a

0a又a，2n1n，lim。nn2.【答案】Cn題1知ana(2故2Sn2)4n24n3.【答案】D

，limn

1nn。n【分析與解答bb2nn

n,a

,

累1加可得a1

S

。S所lim2。a

nnnnnnn1nnnnnnnn1nnnn100412n4.【答案】B【分析與解答41aa(33

，從

{是公比的等比數(shù)列。a3

n

(

n

1(93

，11從33

n

1313

。11選B。

11，解n，故3750注：對形如

為常數(shù)，p0,1,）的數(shù)列求通項的方法是用待定系數(shù)法引入?yún)

a從而構成等比數(shù)列。5.【答案】5【分析與解答知原數(shù)列周期為6iiiiii6.【答案2003【分析與解答解法一aa4,a歸納易n1n解法二：特征方

，特征根2

2

a,7.【分析與解答22故

a

12nnnnnn1nii2kii12nnnnnn1nii2kiian1