實數(shù)指數(shù)冪及其運算設(shè)計

實數(shù)指數(shù)冪及其運算教學(xué)設(shè)計【教學(xué)目標(biāo)】主要讓學(xué)生理解1、n次方根及n次根式的概念；掌握n次根式的性質(zhì)，并能運用它進行化簡，求值。2、分數(shù)指數(shù)冪的概念；掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì)；掌握根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化；新課中通過對有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行類比，歸納實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì).培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比的能力，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識?！窘虒W(xué)重點】1、通過對有理指數(shù)冪、實數(shù)指數(shù)冪（a>0,且，a≠1，x∈R）含義的認識，了解指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì)?！窘虒W(xué)難點】1、指數(shù)冪的含義及根式的互化?！窘虒W(xué)過程】國家統(tǒng)計局有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，我國科研和開發(fā)機構(gòu)基礎(chǔ)研究經(jīng)費支出近些年呈國家統(tǒng)計局有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，我國科研和開發(fā)機構(gòu)基礎(chǔ)研究經(jīng)費支出近些年呈爆炸式增長：2013年為億元，2014年、2015年、2016年的年增長率分別為%，%，%。你能根據(jù)這三個年增長率的數(shù)據(jù)，算出年平均增長幸，并以2013年的經(jīng)費支出為基礎(chǔ)，預(yù)測2017年及以后各年的經(jīng)費支出嗎？為了解決類似情境中的問題，我們需要對指數(shù)運算有更多的了解.有理指數(shù)冪初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪的知識，例如25=2×2×2×2×2=32，30=一般地，an中的a稱為底數(shù)，n稱為指數(shù)①。整數(shù)指數(shù)冪運算的運算法則有aman=am+n，(am)n=amn，(ab)m=ambm.另外，初中我們還學(xué)習(xí)了平方根和立方根：（1）如果x2=a，則稱x為a的平方根（或二次方根）：當(dāng)a>0時，a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，正的平方根記為，負的平方根記為-；當(dāng)a=0時，a只有一個平方根，記為；當(dāng)a＜0時，a在實數(shù)范圍內(nèi)沒有平方根。例如，=二次根式的運算法則有（2）如果x3=a，則x稱為a的立方根（或三次方根），在實數(shù)范圍內(nèi)，任意實數(shù)a有且只有一個立方根，記作。例如，=【嘗試與發(fā)現(xiàn)】類比二次方根和三次方根，給出四次方根和五次方根的定義。類比二次方根和三次方根，給出四次方根和五次方根的定義。一般地，給定大于1的正整數(shù)n和實數(shù)a，如果存在實數(shù)x，使得xn=a，則x稱為a的n次方根。①本章中，所有字母的取值范圍均默認為使式子有意義的取值范圍。例如，因為方程x4=81的實數(shù)解為3與-3，因此3與-3都是81的4次方根：因為25=32，而且x5=32只有一個實數(shù)解，所以32的5次方根為2根據(jù)方程xn=a解的情況不難看出：（1）0的任意正整數(shù)次方根均為0，記為.（2）正數(shù)a的偶次方根有兩個，它們互為相反數(shù)，其中正的方根稱為a的n次算術(shù)根，記為，負的方根記為-；負數(shù)的偶數(shù)次方根在實數(shù)范圍內(nèi)不存在，即當(dāng)a＜0且n為偶數(shù)時，在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義。（3）任意實數(shù)的奇數(shù)次方根都有且只有一個，記為。而且正數(shù)的奇數(shù)數(shù)次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的奇數(shù)數(shù)次方根是一個負數(shù).當(dāng)有意義的時候，稱為根式，n稱為根指數(shù)，a稱為被開方數(shù).注意，雖然我們不知道等的精確小數(shù)形式（計算器和計算機上給出的值都是近似值），但是按照定義，我們知道的一些性質(zhì)，比如等.一般地，根式具有以下性質(zhì)：（1）（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，當(dāng)n為偶數(shù)時，例如，【嘗試與發(fā)現(xiàn)】你能想出一個新的二次根式符號的表示方法，使你能想出一個新的二次根式符號的表示方法，使成為(am)n=amn的特例，成為ambm=(ab)m的特例嗎？現(xiàn)在來將整數(shù)指數(shù)冪運算推廣到分數(shù)指數(shù)冪運算，也就是給出等的定義.同以前一樣，我們希望推廣后，有關(guān)的運算性質(zhì)仍然能保持，比如(am)n=amn在m，n都是分數(shù)時仍然成立，因此，應(yīng)該滿足這表示應(yīng)該是5的平方跟，但是5的平方根有兩個，即和-，為了方便起見，我們規(guī)定=.這樣一來，嘗試與發(fā)現(xiàn)中的問題也就解決了.一般地，如果n是正整數(shù)，那么：當(dāng)有意義時，規(guī)定當(dāng)沒有意義時，稱沒有意義.例如，，，而沒有意義，因為沒有意義.這樣一來，可以看成，也可以看成，即==對于一般的正分數(shù)，也可作類似規(guī)定，即但值得注意的是，這個式子在不是既約分數(shù)（即m，n有大于1的公約數(shù)）時可能會有歧義.例如，是有意義的，而是沒有意義的。因此，以后如果沒有特別說明，一般總認為分數(shù)指數(shù)冪中的指數(shù)都是既約分數(shù)。負分數(shù)指數(shù)冪的定義與負整數(shù)指數(shù)冪類似，即若s是正分數(shù)，as有意義且a≠0時，規(guī)定a-s=現(xiàn)在我們已經(jīng)將整數(shù)指數(shù)冪推廣到了分數(shù)指數(shù)冪（即有理數(shù)指數(shù)冪）.一般情況下，當(dāng)s與都是有理數(shù)時，有運算法則：aasat=as+t(as)t=ast(ab)s=asbs【典型例題】例1求證：如果a>b>0，n是大于1的自然數(shù)，那么證明假設(shè)，即或根據(jù)不等式的性質(zhì)與根式的性質(zhì)，得a<b或a=b.這都與a>b矛盾，因此假設(shè)不成立，從而利用例1的結(jié)論，可以證明（留作練習(xí)）：（1）如果a>s>0，s是正有理數(shù)，那么as>bs；（2）如果a>1，s是正有理數(shù)，那么as>1，a-s<1；（3）如果a>1，s>t>0，且s與t均為有理數(shù)，那么as>at二、實數(shù)指數(shù)冪有理數(shù)指數(shù)冪還可以推廣到無理數(shù)指數(shù)冪，下面我們通過一個例子來描述其中的思想。應(yīng)該怎樣理解2π這個數(shù)呢【嘗試與發(fā)現(xiàn)】根據(jù)前面的知識，猜測2根據(jù)前面的知識，猜測2π與23的相對大小，以及2π與24的相對大小不難猜出，23＜2π＜24.就像在計算圓的面積時，我們常常取π為一樣，在精度要求不高的前提下，我們可以認為2π≈=因為π=...是一個無理數(shù)（即無限不循環(huán)小數(shù)），我們寫不出他的精確的小數(shù)形式，但是因為＜π＜，所以＜2π＜，同樣＜π＜也就是說，兩個序列，，，，，...；.，，，，，...中的數(shù)，隨著小數(shù)點后位數(shù)的增加，都越來越接近，從而兩個序列，，，，，...；，，，，，...；中的數(shù)，隨著指數(shù)的變化，也都會越來越接近一個實數(shù)，這個實數(shù)就是2π一般地，當(dāng)a>0且t是無理數(shù)時，at都是一個確定的實數(shù)，我們可以用與上述類似的方法找出它的任意精度的近似值。因此，當(dāng)a>0，t為任意實數(shù)時，可以認為實數(shù)指數(shù)冪at都有意義.可以證明，對任意實數(shù)s和t，類似前述有理指數(shù)釋的運算法則仍然成立。【典型例題】例2計算下列各式的值：（2）例3化簡下列各式：（1）（2）三、用信息技術(shù)求實數(shù)指數(shù)冪實數(shù)指數(shù)冪的值可以通過計算器或計算機軟件方便地求得.在GeoGebra中，在“運算區(qū)”利用符號“?”，就可以得到實數(shù)指數(shù)冪的精確值或近似值.如下圖所示，前面三個是在符號計算模式下的輸入和所得到的結(jié)果，后面兩個是在