流體力學(xué)課件2

本章除研究流體運(yùn)動(dòng)學(xué)之外，還將同時(shí)分析一些動(dòng)力學(xué)的量。如流體微團(tuán)的質(zhì)量，作用在流體上的各種力等，即研究流體動(dòng)力學(xué)。因?yàn)樵谘芯繒r(shí)不考慮流體中的粘性，所以也叫理想流體運(yùn)動(dòng)學(xué)。3.1壓強(qiáng)和壓強(qiáng)梯度力

1.作用于流體上的力

在流體中任選一體積，則作用上的所有外力可分為二類：一類是作用于內(nèi)所有流體微團(tuán)（元）上的力，其大小與流體的質(zhì)量成正比，我們稱之為質(zhì)量力（或體積力）。例重力，引力等都是質(zhì)量力。

:單位質(zhì)量上的質(zhì)量力，:有限體積上的質(zhì)量力

另一類是與界面s接觸的流體或固體作用于表面s上的力。我們稱之為表面力。例壓力、摩擦力都是表面力。:單位面積上的表面力;

:包含的有限曲面s上的表面力

一般情況下，表面力都可以分解成：沿法線方向的法應(yīng)和沿切線方向的切應(yīng)力。對(duì)于理想流體,切應(yīng)力為零,只需考慮法向應(yīng)力。而且對(duì)于理想流體，因只能承受壓力而不能承受拉力，所以理想流體中的法向應(yīng)力就是壓力，其方向與反向。sC.H.3理想流體動(dòng)力學(xué)

的周圍流體對(duì)的表面有作用力；反之，內(nèi)流體對(duì)周圍流體亦有反作用力。:外作用在面上的應(yīng)力;:內(nèi)流體于面上的應(yīng)力

則據(jù)牛頓第三定律，有：

2.壓強(qiáng)（單位面積上的法向表面力）

對(duì)于理想流體，無(wú)切應(yīng)力存在，所以在流體內(nèi)部，應(yīng)力處處與它所作用的面垂直，且指向的負(fù)向。壓強(qiáng)數(shù)學(xué)表示：對(duì)于理想流體，實(shí)驗(yàn)說(shuō)明，流體內(nèi)部任一點(diǎn)的壓強(qiáng)（數(shù)值）與計(jì)算該點(diǎn)的壓強(qiáng)時(shí)所取表面的方向無(wú)關(guān)。因此，理想流體壓力的大小與作用面的方向無(wú)關(guān)，僅決定于該點(diǎn)的位置和所考慮的時(shí)間。壓力可表示為坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，即：

3.表面力合力的性質(zhì)：壓強(qiáng)梯度力于理想流體中任取一平行六面體。各面分別垂直于坐標(biāo)軸。各邊為dx,dy,dz。因在理想流體中，作用該體積面上的表面力就是壓力。

BACEDFHGzyxdxdzdyD’考慮垂直于x軸的兩個(gè)平面上的壓力之合力:作用在ABCD上的壓力:作用在EFGH上的壓力:作用在這兩個(gè)面上表面力的合力為：

D’:作用于垂直于軸的各兩個(gè)平面上表面力的合力：作用于整個(gè)體積表面上的表面力之合力為：作用于單位體積上表面力的合力為稱之為壓強(qiáng)梯度力:3.2理想流體運(yùn)動(dòng)方程式封閉組1.歐拉型運(yùn)動(dòng)方程式BACEDFHGzyxdxdzdyD’D’:1)表面力：x,y,z方向表面力的合力分別為：2)質(zhì)量力：若作用單位質(zhì)量上的質(zhì)量力在x,y,z軸上的投影為X,Y,Z,則作用在上六面體上的質(zhì)量力在x,y,z軸上的投影為：

據(jù)牛頓第二定律，馬上可得運(yùn)動(dòng)方程：

其向量形式為：3)慣性力：歐拉型運(yùn)動(dòng)方程式2.封閉方程組歐拉方程中:包含八個(gè)物理量通常質(zhì)量力已知的，而且大都是重力,剩下五個(gè)未知數(shù),求解需要五個(gè)方程，有四個(gè)方程，即三個(gè)運(yùn)動(dòng)方程（標(biāo)量形式）及一個(gè)連續(xù)方程：

方程組不封閉。只能增加一個(gè)假設(shè)，以便使方程組封閉。例：1)假定流體不可壓且均質(zhì)，即：2)假定流體是正壓:3)斜壓流場(chǎng):引入新的變量，需引入所的方程，利用熱力學(xué)中有關(guān)定律。例對(duì)于理想氣體，其狀態(tài)方程為：其中R為氣體常數(shù)，T為絕對(duì)溫度,需考慮熱力學(xué)第一定律。

3.定解條件

1)初始條件初始條件就是初始時(shí)刻時(shí)，流體運(yùn)動(dòng)應(yīng)滿足的初始狀態(tài)

其中f是給定的已知函數(shù)。對(duì)于定常運(yùn)動(dòng)，流場(chǎng)上各點(diǎn)的物理量都不隨時(shí)間改變,就不須要也不能給出初始條件。

2)邊界條件邊界條件指的是反映流體運(yùn)動(dòng)方程組的解在邊界上應(yīng)滿足的條件。在流體動(dòng)力學(xué)中，邊界條件起著重要的作用。一般來(lái)說(shuō)，邊界及邊界條件是多種多樣的。在我們流體力學(xué)中，最常見(jiàn)的有：(1)運(yùn)動(dòng)邊界的運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件運(yùn)動(dòng)邊界的方程為。特征：對(duì)于這種邊界，可近似地認(rèn)為：流體質(zhì)點(diǎn)一旦在邊界上，它就永遠(yuǎn)留在邊界上而不離開(kāi)（邊界總是由相同的流體質(zhì)點(diǎn)組成）。換言之：于邊界上流體質(zhì)點(diǎn)的法向速度與邊界本身移動(dòng)的法向速度相同。

數(shù)學(xué)表示：例對(duì)于海-氣界面，即自由海面，是一個(gè)運(yùn)動(dòng)邊界，其方程可寫(xiě)成：自由海面的運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件可寫(xiě)成：(2)固定邊界的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件固定邊界的方程可寫(xiě)成:即邊界不隨時(shí)間而變。對(duì)于這種邊界，有一個(gè)重要的客觀現(xiàn)實(shí)：即流體不可能穿過(guò)邊界(不考慮海水的滲透等)，即流體質(zhì)點(diǎn)的法向速度應(yīng)為零:(3)運(yùn)動(dòng)邊界的動(dòng)力學(xué)邊界條件這個(gè)問(wèn)題比較復(fù)雜，在此僅給出運(yùn)動(dòng)邊界上的壓力條件。在運(yùn)動(dòng)界面，如海-氣界面，即自由海面上，流體壓力等于大氣壓，即：大氣壓

例：一垂直折管ABC，管截面相同，在C點(diǎn)裝有開(kāi)關(guān)，管中充滿不可壓均質(zhì)液體，求當(dāng)C點(diǎn)開(kāi)關(guān)打開(kāi)后管內(nèi)各點(diǎn)的壓強(qiáng)分布及流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：

初始條件：邊界條件：銜接條件：據(jù)垂直管及水平管的運(yùn)動(dòng)方程，分別對(duì)y及x積分便有：xyoABCAB=a,BC=b

3.4運(yùn)動(dòng)方程的積分普遍定理

1.動(dòng)量定理

在流場(chǎng)中取一控制體,將歐拉運(yùn)動(dòng)方程乘以后對(duì)體積積分，即：表明，內(nèi)的動(dòng)量時(shí)變化率（實(shí)質(zhì)微商）就等于質(zhì)量力與表面力的總合。利用連續(xù)方程，經(jīng)一系列演算可得：動(dòng)量定理可以敘述如下：作用在控制體內(nèi)流體上的合外力加上單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)控制面流入的流體動(dòng)量就等于控制體內(nèi)的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。定常運(yùn)動(dòng):

忽略質(zhì)量力：s例

不可壓流體定常流過(guò)等截面彎管，管截面積為a，求流體作用于彎管上的力解：已知進(jìn)出口截面流動(dòng)均勻，若彎管水平放置，則可忽略質(zhì)量力（重力）。且已知在兩截面上的速度、壓強(qiáng)等分別為

由于管子截面均勻，據(jù)連續(xù)方程可知因運(yùn)動(dòng)定常，所以動(dòng)量定理可寫(xiě)成：其中取控制面如圖：管子對(duì)流體的作用力于x、y方向的投影分別為：

-便是流體對(duì)管子的作用力s1s22.能量定理

用速度點(diǎn)乘運(yùn)動(dòng)方程:然后對(duì)進(jìn)行體積分，經(jīng)一系列演算后可得：式中T=動(dòng)能勢(shì)能：體積內(nèi)總動(dòng)能與勢(shì)能本械能在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變化率；：體積膨脹時(shí)壓力所作的功率單位時(shí)間內(nèi)體積膨脹時(shí)壓力所作的功率與表面壓力所作功率之和就等于體積內(nèi)總能量的隨體變化率。對(duì)于不可壓縮流體:如流體邊界為固體邊界面,

=0=常數(shù)s

例用能量定律求直角管ABC中流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律解1.分析C點(diǎn)打開(kāi)后，于t時(shí)刻管內(nèi)水柱如圖，S=Syo+Sxo+Ss(2)y=yo,p=po;x=xo,p=po,xo=a+b–yo;t=0,yo=a,y’o=0(3)流體均質(zhì)不可壓，密度為常數(shù)，(4)管子截面相同，所以管內(nèi)各處速度值相同。

2.求解能量方程=0據(jù)初值確定A=a，B=0x0xyoABCAB=a,BC=b

3.伯努利定理對(duì)于正壓理想流體，若質(zhì)量力有勢(shì)，且運(yùn)動(dòng)定常，則對(duì)運(yùn)動(dòng)方程積分一次可導(dǎo)出伯努利方程（或伯努利積分、伯努利定理）:q為流線（或渦線）上的速度項(xiàng)，，常數(shù)對(duì)流線（或渦線）成立。

證明：據(jù)場(chǎng)論知識(shí)，有：歐拉方程可變成：蘭姆-葛羅米柯方程因質(zhì)量力有勢(shì)，因運(yùn)動(dòng)定常，因流體正壓,

蘭姆-葛羅米柯方程可改寫(xiě)為：由伯努利于1783年導(dǎo)出的，故稱為伯努利積分或伯努利方程（定理）。

單位質(zhì)量的動(dòng)能、勢(shì)能及壓力能之和于一流線或渦線上為常數(shù)

若質(zhì)量力為重力，，且流體均質(zhì)不可壓，即伯努利方程可簡(jiǎn)寫(xiě)成：例小孔出流有一很大容器盛滿著水，在容器側(cè)面距水平h處的器壁上有一小孔，水從小孔流入大氣，求小孔射流的流速V。解1.分析

(1)大容器，小孔出流，自由面下降慢，可視為定常；(2)流體均質(zhì)不可壓，密度為常數(shù)；(3)重力為唯一質(zhì)量力；

2.求解伯努利方程取一流線過(guò)A、B兩點(diǎn)，在A、B處壓力均為大氣壓,即小孔處流速與質(zhì)點(diǎn)自液面自由下落到達(dá)小孔時(shí)的速度相同。通常稱作托里切利公式（注：該式是按理想流體計(jì)算的，對(duì)于實(shí)際流體，由于粘性、射流的速度要小一些）。如果管嘴是圓形的，則射流速度為理想流體射流速度的0.98左右。ABh