高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)講義.教師版

..復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)知識(shí)內(nèi)容知識(shí)內(nèi)容一、復(fù)數(shù)的概念虛數(shù)單位i:〔1它的平方等于,即；〔2實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算,進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí),原有加、乘運(yùn)算律仍然成立．〔3i與－1的關(guān)系:i就是的一個(gè)平方根,即方程的一個(gè)根,方程的另一個(gè)根是-i．〔4i的周期性：,,,．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充：復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù),叫復(fù)數(shù)的實(shí)部,叫復(fù)數(shù)的虛部．全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集,用字母表示復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:通常用字母表示,即,把復(fù)數(shù)表示成的形式,叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí),復(fù)數(shù)叫做虛數(shù)；當(dāng)且時(shí),叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),就是實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等,那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等．這就是說(shuō),如果,,,,那么,二、復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：復(fù)數(shù)與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,縱坐標(biāo)是,復(fù)數(shù)可用點(diǎn)表示,這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,也叫高斯平面,軸叫做實(shí)軸,軸叫做虛軸．實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)．．對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外,因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為,它所確定的復(fù)數(shù)是表示是實(shí)數(shù)．除了原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義．也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法,即幾何表示方法．三、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)與的和的定義：復(fù)數(shù)與的差的定義：復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律:復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律:乘法運(yùn)算規(guī)則：設(shè),<、、、>是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),那么它們的積其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘,類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘,在所得的結(jié)果中把換成,并且把實(shí)部與虛部分別合并．兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)．乘法運(yùn)算律：〔1〔2〔3復(fù)數(shù)除法定義：滿足的復(fù)數(shù)<、>叫復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)的商,記為：或者除法運(yùn)算規(guī)則：設(shè)復(fù)數(shù)<、>,除以<,>,其商為〔、>,即∵∴由復(fù)數(shù)相等定義可知解這個(gè)方程組,得于是有:②利用于是將的分母有理化得：原式．∴<點(diǎn)評(píng):①是常規(guī)方法,②是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡(jiǎn)無(wú)理分式時(shí),都是采用的分母有理化思想方法,而復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù),相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的的對(duì)偶式,它們之積為是有理數(shù),而是正實(shí)數(shù)．所以可以分母實(shí)數(shù)化．把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法．共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)時(shí),這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。虛部不等于的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)．例題精講例題精講復(fù)數(shù)的概念已知為虛數(shù)單位,那么實(shí)數(shù)a,b的值分別為〔A．2,5B．-3,1C．-1．1D．2,[答案]D計(jì)算：〔表示虛數(shù)單位[答案]∵,而〔,故設(shè),,則下列命題中一定正確的是〔A．的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限B．的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限C．不是純虛數(shù)D．是虛數(shù)[答案]D．在下列命題中,正確命題的個(gè)數(shù)為〔①兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大??；②若是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)；③是虛數(shù)的一個(gè)充要條件是；④若是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù),則是純虛數(shù)；⑤的一個(gè)充要條件是．⑥的充要條件是．A．1 B．2 C．3 D．4[答案]B復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí),可以比較大小,①錯(cuò)；時(shí),,②錯(cuò)；為實(shí)數(shù)時(shí),也有,③錯(cuò)；時(shí),,④錯(cuò)；⑤⑥正確．復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)〔,為虛數(shù)單位在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于〔A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限[答案]A由已知在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)如果在第一象限,則,而此不等式組無(wú)解．即在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第一象限．若,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在〔A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限[答案]B結(jié)合正、余弦函數(shù)的圖象知,當(dāng)時(shí),．如果復(fù)數(shù)滿足,那么的最小值是〔A．1 B． C．2 D．[答案]A設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,因?yàn)?所以點(diǎn)的集合是軸上以、為端點(diǎn)的線段．表示線段上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離．此距離的最小值為點(diǎn)到點(diǎn)的距離,其距離為．滿足及的復(fù)數(shù)的集合是〔A．B．C．D．[答案]D復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)在單位圓與直線上〔表示到點(diǎn)與點(diǎn)的距離相等,故軌跡為直線,故選D．已知復(fù)數(shù)的模為,則的最大值為_______．[答案],,故在以為圓心,為半徑的圓上,表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率．如圖,由平面幾何知識(shí),易知的最大值為．復(fù)數(shù)滿足條件：,那么對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是〔A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線[答案]AA；設(shè),則有,,化簡(jiǎn)得：,故為圓．[點(diǎn)評(píng)]①的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離；②中所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為以復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心,半徑為的圓上的點(diǎn)．復(fù)數(shù),滿足,,證明：．設(shè)復(fù)數(shù),在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,,由知,以,為鄰邊的平行四邊形為矩形,,故可設(shè),所以．也可設(shè),則由向量與向量垂直知,,故．已知復(fù)數(shù),滿足,,且,求與的值．[答案]；4．設(shè)復(fù)數(shù),在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,,由于,故,故以,為鄰邊的平行四邊形是矩形,從而,則；．已知,,,求．設(shè)復(fù)數(shù),在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,由知,以,為鄰邊的平行四邊形是菱形,記所對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)為,由知,〔可由余弦定理得到,故,從而．已知復(fù)數(shù)滿足,求的最大值與最小值．[答案],設(shè),則滿足方程．,又,故當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),有．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算已知,若,則等于〔A．B．C．D．4[答案]B．計(jì)算：．[答案]原式．已知復(fù)數(shù),,則的最大值為〔A．B．C．D．3[答案]A,故當(dāng)時(shí),有最大值．對(duì)任意一個(gè)非零復(fù)數(shù),定義集合．〔１設(shè)是方程的一個(gè)根,試用列舉法表示集合．若在中任取兩個(gè)數(shù),求其和為零的概率；〔2若集合中只有個(gè)元素,試寫出滿足條件的一個(gè)值,并說(shuō)明理由．[答案]〔1；〔2．〔1∵是方程的根,∴或,不論或,,于是．〔2取,則及．于是或?。舱f(shuō)明：只需寫出一個(gè)正確答案．解關(guān)于的方程．[答案]．錯(cuò)解：由復(fù)數(shù)相等的定義得．分析：",且成立"的前提條件是,但本題并未告訴是否為實(shí)數(shù)．法一：原方程變形為,．由一元二次方程求根公式得,．原方程的解為,．法二：設(shè),則有,,由②得：,代入①中解得：或,故方程的根為．已知,,對(duì)于任意,均有成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍．[答案]．,,對(duì)恒成立．當(dāng),即時(shí),不等式恒成立；當(dāng)時(shí),．綜上,．關(guān)于的方程有實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍．[答案]誤：方程有實(shí)根,．解得或．析：判別式只能用來(lái)判定實(shí)系數(shù)一元二次方程根的情況,而該方程中與并非實(shí)數(shù)．正：設(shè)是其實(shí)根,代入原方程變形為,由復(fù)數(shù)相等的定義,得,解得．設(shè)方程的根分別為,,且,求實(shí)數(shù)的值．[答案]或．若,為實(shí)數(shù),則且,解得．若,為虛數(shù),則且,共軛,,解得．綜上,或．用數(shù)學(xué)歸納法證明：．并證明,從而．時(shí),結(jié)論顯然成立；若對(duì)時(shí),有結(jié)論成立,即,則對(duì),由歸納假設(shè)知,上式,從而知對(duì),命題成立．綜上知,對(duì)任意,有．易直接推導(dǎo)知：故有．．若是方程〔的解,求證：．將解代入原方程得：,將此式兩邊同除以,則有：,即,,由復(fù)數(shù)相等的定義得．設(shè)、為實(shí)數(shù),且,則=________．[答案]4由知,,即,故,解得,故．已知是純虛數(shù),求在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡．[答案]以為圓心,為半徑的圓,并去掉點(diǎn)和點(diǎn)．法一：設(shè)〔,則是純虛數(shù),故,即的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心,為半徑的圓,并去掉點(diǎn)和點(diǎn)．法二：∵是純虛數(shù),∴〔且∴,∴,得到,設(shè)〔,則〔∴的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡以為圓心,為半徑的圓,并去掉點(diǎn)和點(diǎn)．設(shè)復(fù)數(shù)滿足,求的最值．由題意,,則．設(shè),則．當(dāng)時(shí),,此時(shí)；當(dāng)時(shí),,此時(shí)．若,,試求．[答案]∵,∴又知,∴設(shè)〔,則,∴,即,由復(fù)數(shù)相等定義得,解得．∴．故．[點(diǎn)評(píng)]復(fù)數(shù)的共軛與模長(zhǎng)的相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)：①設(shè)〔的共軛復(fù)數(shù)為,則；；②為實(shí)數(shù)；③為純虛數(shù)；④對(duì)任意復(fù)數(shù)有；；,特別地有；；．⑤,．,,．以上性質(zhì)都可以通過(guò)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的具體計(jì)算進(jìn)行證明．已知虛數(shù)為的一個(gè)立方根,即滿足,且對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,證明,并求與的值．[答案]0；法一：,解得：或．由題意知,證明與計(jì)算略；法二：由題意知,故有．又實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)出現(xiàn),故的兩根為．由韋達(dá)定理有．．．[點(diǎn)評(píng)]利用的性質(zhì)：,可以快速計(jì)算一 些相關(guān)的復(fù)數(shù)的冪的問(wèn)題．若〔,求證：設(shè),則有,即,,解得,即．設(shè)是虛數(shù),是實(shí)數(shù),且．〔1求的值及的實(shí)部的取值范圍；〔2設(shè),求證：為純虛數(shù)；〔3求的最小值．[答案]〔1；的實(shí)部的取值范圍是；〔31．〔1設(shè),,則,因?yàn)槭菍?shí)數(shù),,所以,即．于是,,,所以的實(shí)部的取值范圍是．〔2．因?yàn)?,所以為純虛數(shù)．〔3．因?yàn)?所以,故．當(dāng),即時(shí),取得最小值．對(duì)任意一個(gè)非零復(fù)數(shù),定義集合．〔1設(shè)是方程的一個(gè)根,試用列舉法表示集合；〔2設(shè)復(fù)數(shù),求證：．[答案]〔1；〔2略〔1∵是方程的根,∴或,當(dāng)時(shí),∵,．∴,當(dāng)時(shí),∵,∴．∴；〔2∵,∴存在,使得．于是對(duì)任意,．由于是正奇數(shù),,∴．已知復(fù)數(shù),和,其中均為實(shí)數(shù),為虛數(shù)單位,且對(duì)于任意復(fù)數(shù),有,．〔1試求的值,并分別寫出和用表示的關(guān)系式；〔2將作為點(diǎn)的坐標(biāo),作為點(diǎn)的坐標(biāo),上述關(guān)系式可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)變換：它將平面上的點(diǎn)變到這一平面上的點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí),試求點(diǎn)經(jīng)該變換后得到的點(diǎn)的軌跡方程；〔3是否存在這樣的直線：它上面的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上?若存在,試求出所有這些直線；若不存在,則說(shuō)明理由．[答案]〔1；〔2；〔3這樣的直線存在,其方程為或〔1由題設(shè),,∴,于是由,且,得,因此由,得關(guān)系式．〔2設(shè)點(diǎn)在直線上,則其經(jīng)變換后的點(diǎn)滿足,消去,得,故點(diǎn)的軌跡方程為．〔3假設(shè)存在這樣的直線,∵平行坐標(biāo)軸的直線顯然不滿足條件,∴所求直線可設(shè)為．∵該直線上的任一點(diǎn),其經(jīng)變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上,∴,即,當(dāng)時(shí),方程組無(wú)解,故這樣的直線不存在．當(dāng),由,得,解得或．故這樣的直線存在,其方程為或．課后檢測(cè)課后檢測(cè)已知,復(fù)數(shù)的實(shí)部為,虛部為1,則的取值范圍是〔A． B． C． D．[答案]C,而