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高等數(shù)學(xué)(下)-第九章知識點:多元函數(shù)概念;偏導(dǎo)數(shù)和全微分的定義;多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)多元函數(shù)的極 1設(shè)f(xy(x2y2求證
f(x,y)
x2證明
f(x,y)0
(x2y2)sin 0x2
x2可見,對應(yīng)任意的正數(shù)ε,總存在正數(shù)δ
0 (x0)2(y0)2P(x,y)∈D∩u(o,δ)f(x,y)0成立,所
f(x,y)2
(x,y解
(x,y)(0,
x
(x,y)
12(x,y)(0,例1求zx23xy 在點(1,2)處的偏導(dǎo)解: z
3
2故故x yx
23
3222注 y
(1)'x)(xn)'nxnx)
(sinx)'cos(cosx)'sinx(lnx)'x(ex)' f'(x) '(
xln例2求z(1 的偏導(dǎo)z(1
eyln(1
y
1
)
(1
yz yln(1xy) xy)y 12(1xy)y[ln(1xy) 22z
1例3 的偏導(dǎo) 由
2zz
1(2 (22)(2)2z(22)( )
2 z4z
x24在點(2,4,5)處的切線對于x傾角是解:由于
xyz
2xx2 tanα=1 5z解:由于
xln(xy)
x1yln(xy)2 ) y 2x2yy(x2)三、全微分zx2y例1計算函 的全微解:由 zz
x22 dzzdx
z2xydx(x22函數(shù)f(x,y)在點(x,y)偏導(dǎo)數(shù)存在 f(x,y)在(x,y)點可微 必要條件;(B) 充分條件;(C) 充要條件;(D) 例1設(shè)ze和
而 x
求 解 z
z
z esinyecosexy[ysin(xy)cos(xz
z
esinxecosexy[xsin(xy)cos(x 2設(shè)fxyzxyz),具有二階連續(xù)偏導(dǎo),求解: xy 則f
3
f1ff
dzzsin 而 dt解:dzzz五、隱t數(shù)的 設(shè)例 4z 設(shè) 解: F(x,y,z) 由于Fx Fz2zz
例1
zx2y21在點(2,1,4)處的切平面解: F(x,y,z)x2y2z法向量為n(FxFyFz)(2x,2即n(2,1,4)即故在點(2,1,4)處的切平即4x2yz6在點(2,1,4)處的法線方程為x-24
y11
z例 求函數(shù)f(x,y,z)xyyz 在點P(1,1,2)處從方向L的方向?qū)?shù),其中L的方向角分別為600,450,600.。 與L同向的單位向量為: e(cos600,cos450,cos600)(, ,由于函數(shù)可微分,且fx(1,1,2)(yz)(1,1,2)
故故
(1,1,2)x)(1,1,2)方向 f(x,y,z)cosaf(x,y,z)cosl fy(x0,y0,z0) (5 2) 例 求gradx21解 f(x,y)x2 f f 2 (x2y2 (x2y2grad x2
fif 2故例 求曲 x2y2z 在點P(1,2,4)的切平面和法線方程解: f(x,y,z)x2y2 f(x,y,z)2i4j
(xi
yj
zk)而梯度的方向就是等值fxyz)P
P2x-1)4(y2)(z4)即2x4yPx-1
y2z 例 設(shè)f(x,y,z)x3xy2 ,問f(x,y,z)z在處沿什么方向變化最快,在這個方向上的變化率是多少?fxyz)fi
jffx,yz)f(x,y,z)p
2i-2j
(1,1,0)2i-2j快 增 的-f(x,y,z) -2i2j 減少在這兩個方向的變化率分別為 22(2)2(1)2f(1,1,0)例 求函 f(x,y,z)解
x3y33x23y29x的極fx(x,y)3x26x9 故 (1,0(1,2(-3,0(-
6y A (x,y)6x B (x,y) Cfyy(x,y)6y在點(1,0)處,由于ACB2126 又故函數(shù)在點1,0)處有極小值,且f(1,0)=-
故點無極值。在點(-3,2)AC
-126
又A<0,故函數(shù)在點-3,2)處有極大值, f(-解:設(shè)長、寬、高各為x,y,z(元)則目標(biāo)函數(shù)f(x,yz)造價成本函數(shù)g(x,yz)3xy2xz2L(xyz)xyz(3xy2xz2yzLyz(3y2z) xz(3x2z)Lxy(2x2y)
3xy2xz2yz36M(2,2,3)例3 解:設(shè)長方體的棱長分別為x,y,z,則表面積2xy2yz2xz (x,y,z)2xy2yz2xza2由于V (x0,y0,z0)作日函數(shù)L(x,y,z)xyz(2xy2yz2xza2 yz2y2z y2y2
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