激光原理第三章

3.1光學(xué)諧振腔的衍射理論3.2對(duì)稱共焦腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布3.3高斯光束的傳播特性

3.4穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性3.5激光器的輸出功率

3.6激光器的線寬極限第三章激光器的輸出特性3.7激光光束質(zhì)量的品質(zhì)因子M2

目標(biāo)：通過(guò)諧振腔衍射理論的描述，掌握自再現(xiàn)模、橫模場(chǎng)分布、縱模間隔等基本概念與描述；理解腔內(nèi)外光場(chǎng)分布特點(diǎn)，掌握高斯光束的傳播特性，理解掌握穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性；理解輸出功率特點(diǎn)與影響因素；掌握線寬極限的物理機(jī)制，品質(zhì)因子的定義式及物理意義。本章任務(wù)：掌握激光輸出特性的理論基礎(chǔ)，會(huì)描述光束的傳播特性，理解掌握功率輸出特性、線寬極限的物理機(jī)制；掌握描述光束質(zhì)量的品質(zhì)因子的物理本質(zhì)，為后期激光控制技術(shù)打下扎實(shí)基礎(chǔ)。第三章激光器的輸出特性§3.1光學(xué)諧振腔的衍射理論開腔模的一般物理概念---自再現(xiàn)?？钻@傳輸線菲涅耳—基爾霍夫衍射積分積分方程物理意義分離變量法

目標(biāo)：通過(guò)諧振腔衍射理論的描述，掌握自再現(xiàn)模、橫模場(chǎng)分布、縱模間隔等基本概念與描述。本節(jié)任務(wù)：理解激光輸出特性的理論基礎(chǔ)，會(huì)解釋自再現(xiàn)模、積分方程及其解的物理含義、掌握縱模間隔表達(dá)式并會(huì)運(yùn)用其進(jìn)行腔模式相關(guān)計(jì)算?！?.1光學(xué)諧振腔的衍射理論一、開腔模的一般物理概念---自再現(xiàn)模1.開腔的自再現(xiàn)?；驒M模:在開腔鏡面上，經(jīng)一次往返能再現(xiàn)的穩(wěn)態(tài)場(chǎng)(不隨時(shí)間變化)分布。2.往返損耗：自再現(xiàn)模往返一次所經(jīng)受的能量損耗。3.往返相移：自再現(xiàn)模往返一次所經(jīng)受的相移。4.諧振條件：往返相移等于2π的整數(shù)倍。二、孔闌傳輸線光在平面開腔中的傳輸特點(diǎn)：往復(fù)傳播；逸出腔外便不能返回腔內(nèi)；腔鏡邊緣存在衍射損耗。當(dāng)經(jīng)過(guò)足夠多次渡越，形成這樣一種場(chǎng)分布:渡越時(shí)分布情況不再受衍射影響，只有整體按同樣比例衰減。二、孔闌傳輸線二、孔闌傳輸線*通過(guò)孔闌傳輸線的光場(chǎng)分布的變化①初始入射平面波在到達(dá)腔鏡時(shí)是均勻平面波。②在到達(dá)反射鏡發(fā)生反射時(shí)，在鏡邊發(fā)生衍射，邊緣場(chǎng)分布出現(xiàn)旁瓣(強(qiáng)度次極大，非等相位面),波前發(fā)生改變，等相位面也發(fā)生改變，不再是均勻平面波。③此后每次在鏡面反射時(shí)均發(fā)生衍射，每經(jīng)過(guò)一次反射，光波的振幅和相位分布就經(jīng)歷一次改變，經(jīng)過(guò)若干次反射后，光波的振幅和相位分布受衍射的影響越來(lái)越小，趨于穩(wěn)定。④當(dāng)?shù)认辔幻娼?jīng)過(guò)腔鏡反射，不再發(fā)生改變時(shí)，就稱存在的模式為自再現(xiàn)模。⑤均勻平面波入射→自再現(xiàn)模。⑥空間相干性：開始自發(fā)輻射—空間非相干。⑦無(wú)源開腔中，自再現(xiàn)模的實(shí)現(xiàn)伴隨著能量的衰減；有源開腔中，自再現(xiàn)模可以形成自激振蕩，得到光放大，形成激光。二、孔闌傳輸線三、菲涅耳-基爾霍夫衍射積分目的：用數(shù)學(xué)方法定量地表示開腔模光場(chǎng)分布方法：如果已知某一腔鏡鏡面上的場(chǎng)分布，求在衍射作用下，經(jīng)一次渡越在另一腔鏡鏡面上生成的光場(chǎng)。

工具：菲涅耳—基爾霍夫衍射積分：如果知道光波場(chǎng)在任一處的空間曲面上的振幅和相位分布，就可以求出該光波場(chǎng)在空間其他任意位置的振幅和相位分布。將以上積分用于開腔的兩個(gè)鏡面上的場(chǎng):三、菲涅耳-基爾霍夫衍射積分假設(shè):S?尺寸遠(yuǎn)大于λ,ρ足夠遠(yuǎn),使來(lái)自S的光都可以作用于P點(diǎn)一次渡越后,鏡Ⅱ：q次渡越后,生成的場(chǎng)uq+1與產(chǎn)生它的場(chǎng)uq之間滿足類似的關(guān)系:由“自再現(xiàn)”的概念,當(dāng)q足夠大時(shí),除了一個(gè)振幅衰減和相移的常數(shù)因子外,uq+1應(yīng)能再現(xiàn)uq,即:代入菲涅耳-基爾霍夫積分方程,簡(jiǎn)化后有:進(jìn)一步簡(jiǎn)化：此即為自再現(xiàn)模場(chǎng)u(x,y)應(yīng)滿足的積分方程式，K(x,y,x’,y’)稱為積分方程的核。|U(x,y)|描述鏡面上場(chǎng)振幅的分布，其輻角argV(x,y)描述鏡面上的相位分布。四、自再現(xiàn)模積分方程(3-7)五、積分方程物理意義本征函數(shù)的模代表對(duì)稱開腔任一鏡面上的光場(chǎng)振幅分布，幅角則代表鏡面上光場(chǎng)的相位分布。表示的是在激光諧振腔中存在的穩(wěn)定的橫向場(chǎng)分布，就是自再現(xiàn)模，通常叫做“橫?！保琺、n稱為橫模序數(shù)。圖3-3為各種橫模光斑。(1)本征函數(shù)和激光橫模圖3-3橫模光斑示意圖復(fù)數(shù)：五、積分方程物理意義α表示衰減系數(shù),自再現(xiàn)模振幅按指數(shù)衰減,α↑,衰減越大,α→0,無(wú)衰減。(-β(β>0)滯后;-β(β<0)超前)表示相位滯后系數(shù)(單位相位滯后),↑相位滯后越多。1.單程損耗:單程相對(duì)功率損耗3.諧振條件:(有激活介質(zhì))一次往返的總相移等于2π的整數(shù)倍,開腔自再現(xiàn)模諧振條件:

(2)本征值和單程衍射損耗、單程相移2.單程渡越的總相移

五、積分方程物理意義3.諧振條件:(有激活介質(zhì))一次往返的總相移等于2π的整數(shù)倍,(2)本征值和單程衍射損耗、單程相移圖(3-4)腔中允許的縱模數(shù)要根據(jù)腔的結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步簡(jiǎn)化積分方程，使之從數(shù)學(xué)上可解。對(duì)于矩形、圓形平面鏡腔、共焦球面腔和一般球面鏡腔等常見腔型，這種簡(jiǎn)化是可行的。關(guān)鍵：簡(jiǎn)化K(x,y,x?,y?),即ρ(x,y,x?,y?)的表達(dá)式條件:x<<1時(shí)六、分離變量法1、矩形平面鏡腔六、分離變量法－矩形平面鏡腔六、分離變量法－矩形平面鏡腔以Um和Un表示第m個(gè)和第n個(gè)解，m和n表示相應(yīng)的復(fù)常數(shù)：積分本征值問(wèn)題，m、n為一系列不連續(xù)的特定值，分別對(duì)應(yīng)相應(yīng)的本征函數(shù)Um(x)和Un(y)。六、分離變量法－矩形平面鏡腔多模性:用和表示它們的第m個(gè)和第n個(gè)解,γm和γn表示相應(yīng)的復(fù)常數(shù),有:*數(shù)學(xué)描述:求解以上積分方程問(wèn)題稱為積分本征值問(wèn)題,當(dāng)γm,γn取不連續(xù)的特定值時(shí),方程才成立,γm,γn稱為方程的本征值,使方程成立的分布函數(shù)和稱為與γm,γn對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)。求解積分方程就是要求出全部的本征值和本征函數(shù)，它們決定開腔自再現(xiàn)模的全部特征，包括場(chǎng)分布(鏡面上場(chǎng)的振幅和相位分布)、傳輸特性(模的衰減、相移和諧振頻率等)。*意義:代表在x方向

寬度為2a,在y方向無(wú)限長(zhǎng)的條狀腔的自再現(xiàn)模；代表在y方向?qū)挾葹?b,在x方向無(wú)限長(zhǎng)的條狀腔的自再現(xiàn)模;矩形鏡腔為二者疊加,,即圖中陰影部分為其自再現(xiàn)模。

當(dāng)滿足L>>a>>λ，六、分離變量法2、圓形球面腔(由圓形對(duì)稱性引入極坐標(biāo))其中

六、分離變量法-圓形球面腔分離變量:設(shè),(m=0,1,2,---)解為多解，將其第n個(gè)解寫成Rmn(r),相應(yīng)的復(fù)常數(shù)γ→γmn,則有:而整個(gè)鏡面上的場(chǎng)分布函數(shù)為:,γmn為與相對(duì)應(yīng)的本征值。代入上式并化簡(jiǎn):六、分離變量法3、一般球面腔P2(x’,y’)P1(x,y)P’1P’2D2D1設(shè)兩反射鏡的曲率半徑分別為R1和R2，腔長(zhǎng)為L(zhǎng)，六、分離變量法一般球面腔①對(duì)稱開腔：R1=R2=R，g1=g2=1-L/R。②對(duì)稱共焦腔：R1=R2=R=L，g1=g2=0，平行平面腔模的自再現(xiàn)膜迭代計(jì)算方法迭代法的意義平行平面腔自再現(xiàn)模的形成對(duì)于對(duì)稱開腔，當(dāng)j足夠大時(shí)，由數(shù)值計(jì)算出的uj、uj+1、uj+2…能否滿足下述關(guān)系：一、迭代計(jì)算方法

用迭代公式：…即出現(xiàn)穩(wěn)定場(chǎng)分布：鏡面上各點(diǎn)的場(chǎng)振幅按同樣比例衰減(損耗)。各點(diǎn)的相位發(fā)生同樣大小的滯后(相移)—即“自再現(xiàn)”。1961年，F(xiàn)oxA.G.andLiT.(BellsystemTech.J.,1961,40:453)首次完成此種方法。求出平行平面腔，圓形鏡共焦腔等的自再現(xiàn)模。⑴迭代法直觀地證明了開腔模式的存在性。⑵迭代法模擬了孔闌傳輸?shù)倪^(guò)程，形象地、具體地說(shuō)明了模的各種特征。⑶普適性：計(jì)算任何幾何形狀的開腔中的自再現(xiàn)模。

二、迭代法的意義

振幅相位300次迭代結(jié)果三、平行平面腔自再現(xiàn)模的形成考察鏡的寬度為2a，腔長(zhǎng)為L(zhǎng)的對(duì)稱條狀腔：由矩形腔結(jié)果，模式迭代方程為：三、平行平面腔自再現(xiàn)模的形成選擇初始波—最簡(jiǎn)單—均勻平面波—u1=1。(等相位面為平面(鏡面)Φ＝0)，且振幅為1。將上式代入，求出u2，然后將u2歸一化，取再計(jì)算u3。特點(diǎn)：⑴開始幾次渡越，振幅和相位發(fā)生很大變化，邊緣的起伏更大。象單邊衍射特征。⑵隨著渡越次數(shù)越多，場(chǎng)分布變化越來(lái)越小。(3)經(jīng)過(guò)300次后，場(chǎng)分布不再變化。獲得自再現(xiàn)模：振幅中心強(qiáng)。兩邊弱。具有對(duì)稱性?；EM00模⑷相位：(相移)中心處無(wú)滯后，兩邊滯后增加，已不是平面波(等相位面已不是平面)。⑸自再現(xiàn)模的建立時(shí)間：(300次渡越)設(shè)λ＝1μm，⑹形成自再現(xiàn)模所需次數(shù)(時(shí)間)與NF有關(guān)。N↑，次數(shù)↑。N↑，δ↓(損耗小)。因而渡越次數(shù)要多。三、平行平面腔自再現(xiàn)模的形成§3.2對(duì)稱共焦腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布積分方程及其精確解鏡面上場(chǎng)的振幅和相位分布單程損耗單程相移和諧振頻率

目標(biāo)：通過(guò)諧振腔衍射理論的解析解描述，掌握自再現(xiàn)模特征表示參數(shù)：鏡面光斑半徑、相位分布、衍射損耗、單程相移、諧振頻率等概念與描述，理解頻率簡(jiǎn)并現(xiàn)象。本節(jié)任務(wù)：理解共焦腔內(nèi)外光場(chǎng)分布的理論求解過(guò)程，會(huì)解釋自再現(xiàn)模特征表示參數(shù)定義及公式并運(yùn)用之，會(huì)解釋頻率高度簡(jiǎn)并現(xiàn)象?！?.2對(duì)稱共焦腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布一、積分方程及其精確解（方形鏡對(duì)稱共焦腔）

尺寸，有。當(dāng)滿足條件：時(shí)，其自再現(xiàn)模umn(x.y)所滿足的積分方程為式：變量代換：分離變量,令：1)一、積分方程及其精確解代入上式，得到Fm(X)、Gn(Y)分別滿足的方程：兩個(gè)積分方程是有限付氏變換，它們的解是長(zhǎng)橢球函數(shù)：(Goyd,Gordon)本征函數(shù)：長(zhǎng)橢球函數(shù)本征值：為徑向長(zhǎng)橢球函數(shù)二、鏡面上場(chǎng)的振幅和相位分布1、厄米—高斯近似：當(dāng)共焦腔有較大的NF，即x<<a、y<<a，(仍有)，(光束半徑較小)，則積分限可擴(kuò)展到-∞→+∞。上式中，先求第一式：對(duì)上式對(duì)X兩次微分，得：考慮如下積分：利用，在∞趨于0二、鏡面上場(chǎng)的振幅和相位分布－厄米-高斯近似將（2）與（3）相加，得：分部積分法：滿足同一形式的方程與線性諧振子的Schr?dinger方程相同：二、鏡面上場(chǎng)的振幅和相位分布－厄米-高斯近似方程的解(本征函數(shù))是厄米－高斯函數(shù)，即有：同理：式中Cm為歸一化常數(shù)，Hm(X)是階厄米多項(xiàng)式。將上式代入并換回坐標(biāo)x，y，得到大菲涅耳數(shù)共焦腔衍射積分方程的本征函數(shù)（場(chǎng)分布）：為歸一化常數(shù)。為m階（n階）厄米函數(shù)。為高斯函數(shù)二、鏡面上場(chǎng)的振幅和相位分布厄米多項(xiàng)式表達(dá)式：2、鏡面上的振幅和相位分布：m,n=0,1,2,…表示取整數(shù)二、鏡面上場(chǎng)的振幅和相位分布階數(shù)為0、1、2最低階次的厄米－高斯分布和鏡面上光強(qiáng)分布圖象：二、鏡面上場(chǎng)的振幅和相位分布*基模：取m=n=0，稱為基模，（最低階）所以，場(chǎng)分布函數(shù)：特征：⑴高斯函數(shù)，⑵當(dāng)時(shí)，振幅下降，⑶通常用半徑的圓來(lái)定義基模光斑的大小,稱共焦腔基模在鏡面上的光斑尺寸(半徑),(3-23)二、鏡面上場(chǎng)的振幅和相位分布注意：（1）理論上，高斯函數(shù)是延伸到處，只是在的區(qū)域內(nèi)光強(qiáng)已很弱。（2）僅與曲率半徑R(焦距)、腔長(zhǎng)、波長(zhǎng)有關(guān)，與鏡面尺寸無(wú)關(guān)。（）（邊緣δ可略）（3）半功率點(diǎn)（基模強(qiáng)度的一半處）的光斑尺寸：強(qiáng)度：當(dāng)，有：解得：（4）借用光斑尺寸，本征函數(shù)（3-18）式為：二、鏡面上場(chǎng)的振幅和相位分布* 高階橫模：例：（1）節(jié)線：TEM10：有x＝0一條節(jié)線。TEM20:有x＝m

兩節(jié)線依此類推：m表示在TEMmn模沿x方向有m條節(jié)線。同理：n表示在TEMmn模沿y方向有n條節(jié)線。特點(diǎn)：不等間距，中間密,由H（X）零點(diǎn)方程決定。邊緣強(qiáng)，中間弱。二、鏡面上場(chǎng)的振幅和相位分布* 高階橫模：x坐標(biāo)：，對(duì)y坐標(biāo)：x坐標(biāo)y坐標(biāo)由ws可求高階模光斑的大小。例：（2）光斑尺寸：* 相位分布：鏡面上的相位分布由umn(x,y)的輻角決定。由于（3-18）為實(shí)數(shù)，這就表明鏡面上的各點(diǎn)相位相同。即：共焦腔反射鏡面本身構(gòu)成了場(chǎng)的一個(gè)等相位面，對(duì)任何m、n都成立。這與平行平面腔不同。三、單程損耗* 共焦腔自再現(xiàn)模TEMmn的單程功率損耗：

結(jié)合其他教材有結(jié)論：⑴均勻平面波的衍射(夫瑯和費(fèi))損耗比平面鏡腔的自再現(xiàn)模的損耗大的多。⑵平面鏡腔的損耗比共焦腔的損耗大的多。見圖4－5。圖4-5不同腔的衍射損耗曲線四、單程相移和諧振頻率1、共焦腔TEMmn模在腔內(nèi)單次渡越的總相移：2、共焦腔諧振條件：而結(jié)論：由相移表達(dá)式可以看出，共焦腔相移與菲涅耳數(shù)無(wú)關(guān)，不同橫模的相移之差為/2的整數(shù)倍。q：縱模m，n：橫模四、單程相移和諧振頻率3、共焦腔的振蕩頻譜：4、頻率簡(jiǎn)并：當(dāng)q一定時(shí)橫模頻率間隔為：通常q表征沿Z軸（腔軸）方向的場(chǎng)分布，稱為縱模。屬于同一橫模（m、n一定）的相鄰縱模頻率間隔為3-16&26式：共焦腔對(duì)于所有（2q+m+n）相同的模式，有相同的諧振頻率，如TEMmnq、TEMm-1,n+1,q、TEMm,n-2,q+1、TEMm-2,n,q+1、…稱為模式的頻率簡(jiǎn)并。注意：不同的橫模的損耗不同，因此，一般頻率簡(jiǎn)并的模式，損耗并不簡(jiǎn)并。圖(3-6)方形鏡共焦腔的振蕩頻譜五、共焦腔行波場(chǎng)與腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布1.腔內(nèi)的光場(chǎng)可以通過(guò)基爾霍夫衍射公式計(jì)算由鏡面M1上的場(chǎng)分布在腔內(nèi)造成的行波求得。腔外的光場(chǎng)則就是腔內(nèi)沿一個(gè)方向傳播的行波透過(guò)鏡面的部分。即行波函數(shù)乘以鏡面的透射率t。

圖3-7計(jì)算腔內(nèi)外光場(chǎng)分布的示意圖§3.2對(duì)稱共焦腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布積分方程及其精確解鏡面上場(chǎng)的振幅和相位分布單程損耗單程相移和諧振頻率§3.3高斯光束傳播特性共焦腔中的厄米－高斯光束振幅分布和光斑尺寸模體積等相位面的分布遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角

目標(biāo)：理解掌握高斯光束傳輸相關(guān)特性本節(jié)任務(wù)：會(huì)表述高斯光束傳輸相關(guān)特性參數(shù)及運(yùn)用相關(guān)公式計(jì)算?！?.3高斯光束傳播特性

BoydandGordon(1961)證明：鏡面上的場(chǎng)能用厄米－高斯函數(shù)描述的條件下，共焦腔場(chǎng)可以解析地表示為3－29式：一、共焦腔中的厄米－高斯光束其中：而：是TEMmn模在腔內(nèi)任意點(diǎn)(x,y,z)處的電場(chǎng)強(qiáng)度，Cmn為歸一化常數(shù)。二、振幅分布和光斑尺寸共焦場(chǎng)的振幅分布：對(duì)基模：二、振幅分布和光斑尺寸定義：在振幅的處的基模的光斑尺寸（z點(diǎn)）：因?yàn)閤，y方向的對(duì)稱性，可理解Eoo(x，y)是以z軸為對(duì)稱軸的旋轉(zhuǎn)。位置z中心（O）鏡面（）任意點(diǎn)（z）光斑w(z)最小光斑w0(z=0)稱為高斯光束的基模腰斑半徑（束腰）。（3-31）可寫為：光斑沿z軸的變化為雙曲線。三、模體積1．概念：模體積就是該模式在腔內(nèi)所占有的空間范圍。

3．共焦腔基模的模體積：2．模體積與輸出功率的關(guān)系（除損耗外）：模體積越大，參與該模式振蕩的反轉(zhuǎn)粒子數(shù)就越多，輸出功率也越大，反之，則小。4．共焦腔高階模的模體積：TEMmn模的模體積是基模的倍，模的階次越高，模體積越大，多模的輸出功率比單模的大。三、模體積5．舉例：

共焦腔CO2激光器：腔長(zhǎng)L＝1m，放電管直徑2a=2cm，。激活介質(zhì)體積：基模的模體積：基模的模體積率：高功率的基模輸出很難，只有用非穩(wěn)腔。

四、等相位面的分布共焦腔場(chǎng)相位分布由相位函數(shù)描述：忽略微小變化（oz<<L）引起的的變化：得：相位隨坐標(biāo)x,y,z而變化，與腔軸相交于zo點(diǎn)的等相位面方程由下式給出：四、等相位面的分布共焦腔基模等相位面特征：---拋物面方程，頂點(diǎn)在z＝zo處拋物面焦距：（3-38）與腔軸線在zo點(diǎn)相交的等相位面的曲率半徑：

⑴zo＞0（等相位面位于右側(cè)），z－zo<0,z在zo左側(cè)，凹向中心zo＜0（等相位面位于左側(cè)），z－zo＞0，z在zo右側(cè)，凹向中心四、等相位面的分布共焦腔基模等相位面特征：⑵曲率半徑R隨zo而變化：當(dāng)時(shí)，,對(duì)稱共焦腔的反射鏡面為等相位面。⑶zo＝0時(shí)，R(zo)，O點(diǎn)等相位面為平面。

zo

時(shí)，R(zo)，無(wú)窮遠(yuǎn)，平面。⑷如果在場(chǎng)的任意一個(gè)等相位面處，放置一個(gè)相同曲率的反射鏡，則入射在該鏡片上的場(chǎng)將準(zhǔn)確地沿原路返回。共焦場(chǎng)不會(huì)被擾動(dòng)。這樣任何一組這樣的鏡片，都可以構(gòu)成與原共焦腔等價(jià)的球面鏡腔。等相位面隨zo變化過(guò)程中，曲率半徑R，曲率中心都在不斷的變化之中。五、遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角發(fā)散角（全角）定義：雙曲線的兩條漸近線之間的夾角2.共焦腔基模光束的理論發(fā)散角具有毫弧度的數(shù)量級(jí)，它的方向性相當(dāng)好。

3.由于高階模的發(fā)散角是隨著模的階次的增大而增大，所以多模振蕩時(shí)，光束的方向性要比單基模振蕩差。

討論1.由波動(dòng)光學(xué)知道，在單色平行光照明下，一個(gè)半徑為r的圓孔夫瑯和費(fèi)衍射角(主極大至第一極小值之間的夾角)。與上式相比較可知．高斯光束半角遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角在數(shù)值上等于以腰斑為半徑的光束的衍射角，即它已達(dá)到了衍射極限。

§3.4圓形鏡共焦腔FoxandLi的數(shù)值解拉蓋爾－高斯近似模的特征圓形鏡共焦腔的行波場(chǎng)一、FoxandLi的數(shù)值解特點(diǎn)：（與平行平面鏡腔相比）⑴振幅：圓形鏡共焦腔中的場(chǎng)更集中在反射鏡的中心附近，在相同的NF時(shí)，鏡的邊緣處的場(chǎng)振幅降落到比平面鏡腔更低的值。⑵等相位面：圓形鏡共焦腔反射鏡面為場(chǎng)的等相位面，即等相位面為球面。⑶相移：模的單程附加相移與菲涅爾數(shù)N無(wú)關(guān),平面鏡腔的與N有關(guān);共焦腔的與N無(wú)關(guān)。單程相移對(duì)m,n是不同的，有：，與方形鏡共焦腔和平面鏡腔不同⑷損耗：不同橫模的衍射損耗不同，隨模的階次增加而迅速增大，在相同的NF下，比平面腔的損耗小的多。但比方形鏡共焦腔的損耗大幾倍。二、拉蓋爾－高斯近似其中為締合拉蓋爾多項(xiàng)式條件：，圓形鏡共焦腔模集中于鏡中心附近，超橢球函數(shù)近似到拉蓋爾－高斯函數(shù)：鏡面上表示自再現(xiàn)模的本征函數(shù)為：n=0、1、2…二、拉蓋爾－高斯近似1、圖象：角向m=0，徑向n取0、1、2（節(jié)圓）：2、圖象：對(duì)于輻角方向的節(jié)線，m取不同的值.共焦腔模的小結(jié)在菲涅耳數(shù)N＞＞1的條件下，共焦腔的自再現(xiàn)模能以厄米－高斯（方鏡）和蓋拉爾－高斯函數(shù)（圓鏡）近似描述。1．鏡面上的場(chǎng)：①振幅：方鏡方向節(jié)線方向節(jié)線圓鏡m輻角方向節(jié)線n徑向r方向節(jié)線基模鏡面光斑：共焦腔模的小結(jié)*基橫模

①振幅：對(duì)稱高斯分布，二者相同高階模：二者不同*高階橫模：方鏡圓鏡方鏡圓鏡共焦腔模的小結(jié)②單程相移和諧振頻率：注意：n腳標(biāo)的頻率間隔不同，頻率簡(jiǎn)并不同（都高度簡(jiǎn)并）③單程衍射損耗相移方鏡圓鏡頻率方鏡圓鏡方鏡圓鏡共焦腔模的小結(jié)式中：在N>>1的條件下，利用菲涅耳－基爾霍夫衍射積分公式，將共焦腔整個(gè)空間的場(chǎng)分布解析地表示出來(lái)。這就是厄米－高斯光束（方鏡）或拉蓋爾－高斯光束（圓鏡）。圓鏡方鏡2．行波場(chǎng)：所以二種高斯光束的行為特性相似，只是輪廓不同。共焦腔模的小結(jié)基橫模體積：遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散全角：3．高斯光束基本特性：光斑尺寸：等相位面曲率半徑：都唯一地由焦距f(腔長(zhǎng)L)決定，與反射鏡橫向尺寸無(wú)關(guān)。所以f或w0（由f決定）可作為表征共焦腔高斯光束的特征參數(shù)。對(duì)比平行平面鏡w(z)、都與鏡尺寸a有關(guān)。

高亮度：共焦腔模的小結(jié)①基橫模體積很小，易產(chǎn)生多橫模振蕩。缺點(diǎn)：4．只有精確解才能正確描述共焦腔的損耗特性。每一橫模的損耗都唯一地由腔的菲涅耳數(shù)NF決定。不同的橫模的損耗也不相同。5．共焦腔具有衍射損耗低、模式鑒別力高、易于調(diào)整。②對(duì)稱共焦腔是理想情況（介穩(wěn)）R1＝R2＝L。如果調(diào)整或加工，使得R1＜L＜R2，則腔成為非穩(wěn)腔。因此對(duì)反射鏡曲率半徑的加工和鏡的間距的調(diào)整是苛刻的§3.3高斯光束傳播特性共焦腔中的厄米－高斯光束振幅分布和光斑尺寸模體積等相位面的分布遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角

目標(biāo)：理解掌握高斯光束傳輸相關(guān)特性本節(jié)任務(wù)：會(huì)表述高斯光束傳輸相關(guān)特性參數(shù)及運(yùn)用相關(guān)公式計(jì)算?！?.3高斯光束傳播特性§3.4穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性穩(wěn)定球面腔的等價(jià)共焦腔穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性

目標(biāo)：與共焦腔比較，理解掌握穩(wěn)定球面腔光束傳輸相關(guān)特性本節(jié)任務(wù)：會(huì)表述并證明穩(wěn)定球面腔的共焦腔的等價(jià)性；會(huì)運(yùn)用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算?！?.4穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性一、一般穩(wěn)定球面腔與共焦腔的等價(jià)性

“等價(jià)”—指是有相同的“自再現(xiàn)?！薄Ｒ怨步骨荒Ｊ降牡认辔幻娣植紴橐罁?jù)。根據(jù)前面的討論，由（3-38）式等相位面曲率公式為：1．任意一個(gè)共焦球面腔與無(wú)窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià)：＊與無(wú)窮多個(gè)球面腔等價(jià)：前已證明，在共焦腔場(chǎng)的任意兩個(gè)等相位面上放置兩塊有相應(yīng)曲率半徑的球面反射鏡，則共焦腔場(chǎng)將不會(huì)受到擾動(dòng)，維持原來(lái)的光波場(chǎng)狀態(tài)和特征。但它們就構(gòu)成一個(gè)新的球面腔。即它的場(chǎng)與共焦腔的完全相同。這就是二者“等價(jià)”的概念。因?yàn)楣步骨坏牡认辔幻婵梢杂袩o(wú)窮多個(gè)，因此構(gòu)成的等價(jià)球面腔也是無(wú)窮多的。

一、一般穩(wěn)定球面腔與共焦腔的等價(jià)性1．任意一個(gè)共焦球面腔與無(wú)窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià)：＊這些等價(jià)球面都是穩(wěn)定腔：圖中，任意c1、c2處的反射鏡的曲率半徑分別為：等價(jià)球面腔的腔長(zhǎng)可證(后面)R1,R2,L滿足,的穩(wěn)定性判據(jù)。故等價(jià)球面腔都是穩(wěn)定的。一、一般穩(wěn)定球面腔與共焦腔的等價(jià)性2.任意一個(gè)穩(wěn)定球面腔唯一等價(jià)于某一個(gè)共焦腔：設(shè)：已找到等價(jià)共焦腔，焦距f，中心為0處，其行波場(chǎng)的某兩個(gè)等相位面與給定的球面腔鏡面重合，則有：3-48：前提：已知R1、R2、L為一穩(wěn)定球面腔。上式聯(lián)立消去一、一般穩(wěn)定球面腔與共焦腔的等價(jià)性2.任意一個(gè)穩(wěn)定球面腔唯一等價(jià)于某一個(gè)共焦腔：必有①若引入諧振腔幾何結(jié)構(gòu)因子：則（3－48）式為：和或②

和但②不能同時(shí)滿足諧振腔穩(wěn)定性條件，只有條件①滿足。所以：－－證明了前題的穩(wěn)定條件，也說(shuō)明球面腔是穩(wěn)定的。二、鏡面上的光斑尺寸按前面共焦腔討論，基模的光斑尺寸為：＊代入f可得出一般穩(wěn)定球面腔的行波場(chǎng)基模光斑尺寸。＊再代入Z1、Z2，可得出兩個(gè)鏡面上的光斑尺寸：利用二、鏡面上的光斑尺寸表示腔長(zhǎng)相同的共焦腔鏡面上的光斑半徑。可得一般穩(wěn)定球面腔中束腰的尺寸：由共焦腔中基模束腰的公式：以上三式只對(duì)穩(wěn)定腔運(yùn)用，因?yàn)楫?dāng)或時(shí)，、成為復(fù)數(shù)。沒意義。當(dāng)，或（但）時(shí)，和中至少一個(gè)趨于發(fā)散。（而）所以試用條件為穩(wěn)定腔二、鏡面上的光斑尺寸原腔鏡面上光斑尺寸3－50二、鏡面上的光斑尺寸作為一般穩(wěn)定球面腔的例子：對(duì)稱球面腔，光腰位于腔中心討論：①（共焦腔）鏡面上光斑最小。②（平行平面腔）鏡面光斑趨于無(wú)窮。③（共心腔）鏡面光斑趨于無(wú)窮。除去兩種極限情況，其它情況，光斑尺寸與共焦腔相差不大。三、等相位面的分布將f代入得：將中的z1和z2代入得：四、諧振頻率從共焦腔的相位函數(shù)式出發(fā):得（方鏡）（圓鏡）以（3－48）式之f、z1、z2、分別代入上式，并利用諧振條件：利用（方鏡）（圓鏡）可見：對(duì)一般穩(wěn)定球面腔而言，共焦腔模的高度簡(jiǎn)并現(xiàn)象已經(jīng)減弱四、諧振頻率例：對(duì)于兩塊全同的大曲率半徑球面鏡構(gòu)成的近平面腔的頻譜，與共焦腔相比，縱模的簡(jiǎn)并已消除，橫模的簡(jiǎn)并仍存在。即：代入方鏡公式得：五、衍射損耗＊由于穩(wěn)定球面腔與等價(jià)共焦腔有相同的行波場(chǎng)，而且反射鏡的鏡面都為等相位面，那么它們的衍射損耗應(yīng)遵守相同的規(guī)律。a：腔鏡尺度（方＿線度；圓＿半徑）＊前面已經(jīng)討論：對(duì)稱共焦腔的單程衍射損耗單值地與菲涅耳數(shù)NF有關(guān)（反比）對(duì)稱共焦腔鏡面上的光斑尺寸為：從此式可以看出：為鏡的面積量綱，為光斑面積，正比于鏡面積與鏡面上光斑的面積之比。鏡面積↑或鏡上光斑面積↓，則。五、衍射損耗＊對(duì)于一般穩(wěn)定球面腔，鏡面半徑為，鏡面上光斑半徑;其等效共焦腔,鏡面半徑為，鏡面上光斑半徑.則說(shuō)明兩腔的單程損耗相同。將的具體表達(dá)式代入上式得：根據(jù)上面的討論：如果引入穩(wěn)定球面腔的有效菲涅耳數(shù)：五、衍射損耗＊從以上分析可見：對(duì)一般穩(wěn)定球面腔，每一個(gè)反射鏡對(duì)應(yīng)著一個(gè)有效菲涅耳數(shù)，即使二鏡的線度相同，相應(yīng)的有效菲涅耳數(shù)也不一定相同。當(dāng)時(shí)：＊求出有效菲涅耳數(shù)后，即可按共焦腔的單程損耗曲線來(lái)查得一般穩(wěn)定腔的損耗值。＊兩鏡的平均單程損耗值：六、基模遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角根據(jù)遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角（全角）的表達(dá)式（：例：將f的表達(dá)式（3－48）代入上式，得到一般穩(wěn)態(tài)球面腔的基模遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角（全角）對(duì)于對(duì)稱穩(wěn)定球面腔，平凹穩(wěn)定腔是以上的特例。非對(duì)稱穩(wěn)定球面腔的所有參數(shù)全部求出

①平凹腔：②對(duì)稱穩(wěn)定球面腔：③對(duì)稱共焦腔：④半共焦腔：小結(jié)

一、任意一個(gè)共焦腔與無(wú)窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià)，而任一穩(wěn)定球面腔唯一等價(jià)于一個(gè)共焦腔。等價(jià)共焦腔位置：①基模鏡面光斑尺寸：3－48二、一般穩(wěn)定球面腔特征：ws為同腔長(zhǎng)共焦腔鏡面的光斑尺寸小結(jié)

②模體積：二、一般穩(wěn)定球面腔特征：⑥發(fā)散角：③等相位面分布：鏡面為等相位面。④諧振頻率（圓鏡）：（方鏡）⑤衍射損耗：求等效菲涅耳數(shù)－－兩鏡平均§3.4穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性穩(wěn)定球面腔的等價(jià)共焦腔穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性

目標(biāo)：與共焦腔比較，理解掌握穩(wěn)定球面腔光束傳輸相關(guān)特性本節(jié)任務(wù)：會(huì)表述并證明穩(wěn)定球面腔的共焦腔的等價(jià)性；會(huì)運(yùn)用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算?！?.4穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性§3.5激光器的輸出功率均勻加寬連續(xù)激光器的輸出功率脈沖激光器的輸出功率

目標(biāo)：理解均勻、非均勻增寬介質(zhì)激光器輸出功率的公式推導(dǎo)思路和過(guò)程；掌握輸出功率的影響參數(shù)。本節(jié)任務(wù)：會(huì)分析均勻、非均勻增寬介質(zhì)激光穩(wěn)定輸出過(guò)程，并運(yùn)用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算，會(huì)解釋蘭姆凹陷形成過(guò)程和結(jié)果?！?.5激光器的輸出功率1.激光器穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)的形成過(guò)程*隨PP↑→Δn↑，當(dāng)Δn≈Δnt時(shí)，G0(νq)=Gt小信號(hào)增益系數(shù)=閾值增益系數(shù)激光開始自激振蕩,但如果僅維持在這個(gè)水平上，腔內(nèi)激光是很弱的。*當(dāng)Δn>Δnt，G0(νq)>Gt，則↑→≈Is，G(νq,

)飽和→Δn↓→G0(νq)↓這樣就出現(xiàn)了一個(gè)矛盾的過(guò)程：pump持續(xù)作用，使G0↑，而增益飽和使G0↓一、均勻加寬連續(xù)激光器的輸出功率§3.5激光器的輸出功率*當(dāng)pump一定時(shí)，僅當(dāng)G(νq,

)=Gt時(shí)，不再增加，系統(tǒng)已達(dá)到平衡---穩(wěn)定的工作狀態(tài)，

)=Gt=G(νq,

此時(shí),已成為大信號(hào)*若再增加pump速率，則重復(fù)上述過(guò)程[G0↑→↑→G(νq,)飽和→Δn↓→G0(νq)↓→G0≈Gt]最后腔內(nèi)光強(qiáng)達(dá)到一個(gè)新的穩(wěn)定狀態(tài)，而增益系數(shù)仍然滿足G(νq,

)=Gt=*當(dāng)激光器穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，大信號(hào)增益總是等于閾值增益的數(shù)值、連續(xù)或長(zhǎng)脈沖激光器的輸出功率1.激光器穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)的形成過(guò)程§3.5激光器的輸出功率*對(duì)于均勻加寬介質(zhì)正比于曲線G0(ν)-Gt所包含的面積*對(duì)于非均勻加寬介質(zhì)正比于G0(ν)

曲線上的燒孔面積2.均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率穩(wěn)定出光時(shí)激光器內(nèi)諸參數(shù)的表達(dá)式、連續(xù)或長(zhǎng)脈沖激光器的輸出功率1.激光器穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)的形成過(guò)程§3.5激光器的輸出功率圖(3-11)諧振腔內(nèi)光強(qiáng)(1)腔內(nèi)最小的光強(qiáng)I+(0)(2)腔內(nèi)最大光強(qiáng)I-(2L)=r2I+(0)exp2L(G-a內(nèi))(3)輸出光強(qiáng)：Iout=t1I-(2L)=t1r2I+(0)exp2L(G-a內(nèi))(4)鏡面損耗：Ih=a1I-(2L)=a1r2I+(0)exp2L(G-a內(nèi))剩余部分：I+’(0)=r1I-(2L)=r1r2I+(0)exp2L(G-a內(nèi))(5)最大最小光強(qiáng)、輸出光強(qiáng)和鏡面損耗之間關(guān)系

由能量守恒定律可得：I-(2L)-I+(0)=Iout+Ih=(a1+t1)I-(2L)(6)平均行波光強(qiáng)對(duì)于腔內(nèi)任何一處z都有兩束傳播方向相反的行波I+(z)和I-(2L-z)引起粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布值發(fā)生飽和，增益系數(shù)也發(fā)生飽和，近似用平均光強(qiáng)2I代替腔內(nèi)光強(qiáng)I+(z)+I-(2L-z)，用作為腔內(nèi)的平均增益系數(shù)，則腔內(nèi)的平均行波光強(qiáng)為：2.均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率穩(wěn)定出光時(shí)激光器內(nèi)諸參數(shù)的表達(dá)式3-612.均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率②激光器的輸出功率對(duì)M1有：激光器的總損耗為：如果很小，將用級(jí)數(shù)展開取一級(jí)近似，可得：(1)理想的情況，將全反射鏡M2上的鏡面損耗都折合到M1上，對(duì)M2有：激光器輸出光強(qiáng)也可以表示為：若激光器的平均截面為A，則其輸出功率為：2.均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率②激光器的輸出功率激光器輸出光強(qiáng)也可以表示為：3-65(1)P與Is的關(guān)系:兩者成正比(2)P與A的關(guān)系:A越大，P越大；而高階橫模的光束截面要比基橫的大(3)P與t1的關(guān)系:實(shí)際中總是希望輸出功率大鏡面損耗小，即希望這要求t1大，a1小，使t1>>a1

t1過(guò)大又使增益系數(shù)的閾值G閾升高，而如果介質(zhì)的雙程增益系數(shù)2LG0不夠大將會(huì)導(dǎo)致腔內(nèi)光強(qiáng)減小，使輸出功率降低。嚴(yán)重時(shí)使腔內(nèi)不能形成激光。t1過(guò)小，雖然使G閾降低,光強(qiáng)增強(qiáng)，但鏡面損耗a1I-(2L)也將增大。2.均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率③輸出功率與諸參量之間的關(guān)系解此方程得：

為了使激光器有最大的輸出功率，必須使部分反射鏡的透射率取最佳值：此時(shí)，激光器得輸出功率為：

2.均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率②激光器的輸出功率3-671).穩(wěn)定出光時(shí)激光器內(nèi)諸參數(shù)的表達(dá)式(1)腔內(nèi)最大光強(qiáng)(2)輸出光強(qiáng)(3)鏡面損耗(4)最小光強(qiáng)：光波在腔內(nèi)傳播情況如圖3-12所示

圖3-12非均勻增寬激光器腔內(nèi)的光強(qiáng)(5)非均勻增寬型介質(zhì)的增益系數(shù)隨頻率而變光波的頻率ν不在非均勻增寬介質(zhì)的中心頻率處，光波在腔內(nèi)傳播時(shí)將有兩部分粒子—和粒子對(duì)它的放大作出貢獻(xiàn)。3.非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率即頻率為的光波，和兩束光在增益系數(shù)的曲線上的兩側(cè)對(duì)稱的“燒”了兩個(gè)孔。如圖3-13所示。非均勻增寬激光器的“燒孔效應(yīng)”腔內(nèi)不同地點(diǎn)的光強(qiáng)不同，取I作為平均光強(qiáng)，當(dāng)增益不太大時(shí)I=I+=I-，則介質(zhì)對(duì)光波的平均增益系數(shù)為：這就是非均勻增寬型介質(zhì)對(duì)非中心頻率光波的增益系數(shù)的表達(dá)式。(5)非均勻增寬型介質(zhì)的增益系數(shù)隨頻率而變光波的頻率ν不在非均勻增寬介質(zhì)的中心頻率處，光波在腔內(nèi)傳播時(shí)將有兩部分粒子—和粒子對(duì)它的放大作出貢獻(xiàn)。3.非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率光波的頻率為線型函數(shù)的中心頻率，它只能使介質(zhì)中速度為的這部分粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值飽和。此時(shí)腔內(nèi)的光強(qiáng)為I++I-，故介質(zhì)對(duì)的增益系數(shù)為：若用平均光強(qiáng)2I來(lái)代替，則光波在腔中的平均增益系數(shù)可表示為：(5)非均勻增寬型介質(zhì)的增益系數(shù)隨頻率而變3.非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率3-74若腔內(nèi)各頻率的光強(qiáng)都等于Is，則以及附近的光波所獲得的增益系數(shù)分別為：若增益系數(shù)的閾值都相等，則和附近頻率為光波的平均光強(qiáng)分別為下值，且前者比后者要弱：(5)非均勻增寬型介質(zhì)的增益系數(shù)隨頻率而變3.非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率3-74若腔內(nèi)只允許一個(gè)諧振頻率，且，激光器在理想的情況下，仍有：依3-72此時(shí)腔內(nèi)的平均光強(qiáng)為：激光器的輸出光強(qiáng)為：若光束的截面為A，則激光器的輸出功率為：(1)單頻激光器的輸出功率

2).激光器的輸出功率3.非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率3-79激光器輸出光強(qiáng)為：若腔內(nèi)單縱模的頻率為，激光器腔內(nèi)平均光強(qiáng)為：若光束的截面為A，激光器的輸出功率為：3.非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率(1)單頻激光器的輸出功率

2).激光器的輸出功率3-823-79與一般情形比較，多了一個(gè)1/2因子，可見νq=ν0時(shí)的輸出功率下降了。①當(dāng)νq=ν1時(shí)，，P=0。

②νq=ν2時(shí)，，在ν2和=2ν0-ν2處形成兩個(gè)燒孔，這兩部分粒子對(duì)頻率ν2模有貢獻(xiàn)，P2∝兩孔(凹陷)面積之和，③當(dāng)νq=ν3時(shí)，兩孔面積增加,則P3>P2。④當(dāng)νq→ν0，且，兩個(gè)靠近的燒孔開始發(fā)生重疊，兩個(gè)燒孔面積之和小于未重合時(shí)的面積和，故P開始小于P3。⑤當(dāng)νq=ν0時(shí)，兩個(gè)燒孔完全重合，此時(shí)僅有υz的一部分粒子對(duì)ν0模有貢獻(xiàn)，雖然，有最大值，但由于燒孔面積減少了(Δn減少了)，所以，P0仍下降到某一極小值。蘭姆凹陷：(Ⅰ)分析輸出功率與單縱模頻率νq的關(guān)系，P∝GD(ν1)∝?zé)酌娣e。3.非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率2).激光器的輸出功率(1)單頻激光器的輸出功率

(Ⅱ)在P～νq關(guān)系曲線上，于中心頻率ν0處出現(xiàn)凹陷，稱為

蘭姆凹陷(多普勒加寬介質(zhì))。(Ⅲ)蘭姆凹陷的寬度:因時(shí)，兩燒孔開始重疊，所以，蘭姆凹陷的寬度≈燒孔的寬度，即(Ⅳ)蘭姆凹陷與氣壓P的關(guān)系：當(dāng)激光管內(nèi)氣壓增高時(shí)，以碰撞加寬為主的均勻加寬ΔνH≈ΔνL增加，則凹陷變寬，變淺；當(dāng)氣壓高到一定程度，譜線以均勻加寬為主時(shí)，蘭姆凹陷消失。蘭姆凹陷：3.非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率2).激光器的輸出功率(1)單頻激光器的輸出功率

圖(3-14)曲線與“蘭姆凹陷”圖(3-14)為曲線；圖(3-15)為蘭姆凹陷與氣壓的關(guān)系曲線圖(3-15)“蘭姆凹陷”與管中氣壓的關(guān)系3.非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率2).激光器的輸出功率若腔內(nèi)允許多個(gè)諧振頻率，且相鄰兩個(gè)縱模的頻率間隔大于燒孔的寬度以及各頻率的燒孔都是彼此獨(dú)立的，則平均光強(qiáng)為：(2)多頻激光器的輸出功率

輸出功率為：多頻激光器的輸出功率為：3.非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率2).激光器的輸出功率若腔內(nèi)多縱模的頻率對(duì)稱的分布在的兩側(cè)，也即有一個(gè)縱模率，必有另一個(gè)縱模頻率，則在理想情況下縱模的增益系數(shù)為：縱模在腔內(nèi)的平均光強(qiáng)為：縱模的輸出功率為：該多模激光器的輸出功率為：(2)多頻激光器的輸出功率

3.非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率2).激光器的輸出功率二、短脈沖(t0<<τ2)激光器的輸出能量閾值泵浦能量Δnt≈n2t，四能級(jí)Δnt≈n/2，三能級(jí)所以，對(duì)于四能級(jí)系統(tǒng)，若泵浦能量為EP，則有：個(gè)粒子從E1經(jīng)E3躍遷到E2能級(jí)當(dāng)EP>EPt→N2>N2t→g>gt=δ/l→(I↑→Is飽和作用)→N2↓當(dāng)N2>N2t，受激輻射迅速衰減至熄滅，剩余的n2tV個(gè)粒子由自發(fā)輻射返回基態(tài)，它們對(duì)激光能量沒有貢獻(xiàn)，所以，凈受激發(fā)射光子數(shù)(對(duì)受激發(fā)射有貢獻(xiàn)的上能級(jí)粒子數(shù))為：§3.5激光器的輸出功率所以，腔內(nèi)產(chǎn)生激光能量為：設(shè)腔由一全反射鏡和一透過(guò)率為T的輸出鏡構(gòu)成，腔內(nèi)光能部分損耗(α)，部分輸出(T)，則輸出能量為：說(shuō)明：E∝EPt，輸出能量與泵浦能量是線性關(guān)系二、短脈沖(t0<<τ2)激光器的輸出能量其中η0=T/(T+α))§3.5激光器的輸出功率§3.5激光器的輸出功率均勻加寬連續(xù)激光器的輸出功率脈沖激光器的輸出功率

目標(biāo)：理解均勻、非均勻增寬介質(zhì)激光器輸出功率的公式推導(dǎo)思路和過(guò)程；掌握輸出功率的影響參數(shù)。本節(jié)任務(wù)：會(huì)分析并運(yùn)用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算。§3.5激光器的輸出功率1.造成線寬的原因2.激光器的線寬§3.6激光器的線寬極限3.造成激光器線寬的原因4.激光線寬與激光器輸出功率成反比

目標(biāo)：理解掌握激光器線寬的起因以及影響。本節(jié)任務(wù)：會(huì)分析激光器的線寬極限?！?.6激光器的線寬極限1.造成線寬的原因(1)能級(jí)的有限壽命造成了譜線的自然寬度(2)發(fā)光粒子之間的碰撞造成了譜線的碰撞寬度(或壓力寬度)。(3)發(fā)光粒子的熱運(yùn)動(dòng)造成了譜線的多普勒寬度。實(shí)際的譜線線型是以上三者共同作用的結(jié)果，我們把這樣的譜線叫做發(fā)光物質(zhì)的熒光譜線，其線寬叫做熒光線寬。2.激光器的線寬§3.6激光器的線寬極限對(duì)一個(gè)激光器來(lái)說(shuō)，當(dāng)它在穩(wěn)定工作時(shí)，其增益正好等于總損耗。這時(shí)的理想情況是：損耗的能量在腔內(nèi)的受激過(guò)程中得到了補(bǔ)充，而且在受激過(guò)程中產(chǎn)生的光波與原來(lái)光波有相同的位相，所以新產(chǎn)生的光波與原來(lái)的光波相干疊加，使腔內(nèi)光波的振幅始終保持恒定，相應(yīng)的就有無(wú)限長(zhǎng)的波列，故線寬應(yīng)為“0”。圖(3-16)熒光譜線與理想的單色激光譜線§3.6激光器的線寬極限2.激光器的線寬如果激光器是單模輸出的話，那么它輸出的譜線應(yīng)該是落在熒光線寬范圍內(nèi)的一條“線”(見圖(3-16))。3.造成激光器線寬的原因另一方面，腔內(nèi)自發(fā)輻射又產(chǎn)生一列一列前后位相無(wú)關(guān)的波列，這些波列和相干的波列的光強(qiáng)相疊加，使腔內(nèi)的光強(qiáng)保持穩(wěn)定。而這樣一些一段一段的互相獨(dú)立的自發(fā)輻射的波列也要造成一定的線寬。首先,實(shí)際的激光器盡管它的自發(fā)輻射相對(duì)于受激輻射來(lái)說(shuō)是極其微弱的，但它畢竟還是不可避免地存在著，而且在激光器的輸出功率中也貢獻(xiàn)它極其微小的一個(gè)份額。這樣，激光器的增益就應(yīng)該包括受激過(guò)程和自發(fā)過(guò)程兩部分的貢獻(xiàn)。在振蕩達(dá)到平衡時(shí)，激光器內(nèi)的能量平衡，應(yīng)該是介質(zhì)的受激輻射增益與自發(fā)輻射增益之和等于腔的總損耗，因而受激輻射的增益應(yīng)略小于總損耗。這樣，對(duì)于受激輻射的相干光來(lái)說(shuō)，每一個(gè)波列都存在一定的衰減率，正是這種衰減造成了一定的線寬，這是問(wèn)題的一面?！?.6激光器的線寬極限