第7章逐步法-對(duì)一般動(dòng)力荷載的反應(yīng)

第七章高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)對(duì)一般動(dòng)力荷載的反應(yīng)—逐步法§7.1一般概念§7.2分段精確方法§7.3數(shù)值近似方法—一般注釋§7.3二階中心差分列式§7.3積分法§7.3非線性分析的增量列式§7.3線加速度法步驟概要第七章對(duì)一般動(dòng)力荷載的反應(yīng)—逐步法

分析承受任意動(dòng)力荷載的線性結(jié)構(gòu)，Duhamel積分或頻域分析，提供了最方便的解法。這兩種方法的推導(dǎo)過程中都使用了疊加原理，只能適用于線性體系，即反應(yīng)過程中體系的特性保持不變。

另一方面，有許多種重要的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題，體系不能視作線性的。如：足以引起嚴(yán)重破壞的地震運(yùn)動(dòng)下的建筑物反應(yīng)等等。因此，還需要發(fā)展適用于非線性體系的其它分析方法?！?.1

一般概念§7.1

一般概念動(dòng)力反應(yīng)分析的方法1、疊加法——線性體系，即反應(yīng)過程中體系的特性保持不變；2、逐步法——體系不能視作線性的，要發(fā)展適用于非線性體系的方法。逐步法的思想將荷載和反應(yīng)歷程分成一系列的時(shí)間間隔或步；每步期間結(jié)構(gòu)特性保持常數(shù)；每步的反應(yīng)為此步開始時(shí)的初始條件（位移及速度）和該步期間的荷載歷程引起；是一個(gè)分段線性化的系統(tǒng)?！?.1

一般概念近似的方法方程的近似方程求解方法的近似1）數(shù)值微分2）數(shù)值積分§7.1

一般概念§7.2分段精確方法§7.2分段精確方法(7-1)(7-2)(7-3)(7-4)(7-5)§7.2分段精確方法其中同樣地，可獲得時(shí)間步長(zhǎng)期間的速度為(7-6)§7.2分段精確方法§7.2分段精確方法圖E7-2分段精確計(jì)算的反應(yīng)§7.2分段精確方法§7.3數(shù)值近似方法——一般注釋數(shù)值方法——數(shù)值微分、數(shù)值積分近似逐步法的要點(diǎn)：1）列式可以為顯式亦可為隱式；2）效率是重要的，關(guān)系到達(dá)到精度的工作量，任何情況下步長(zhǎng)必須短到足以提供荷載和反應(yīng)歷程足夠的精度；3）產(chǎn)生誤差的技術(shù)原因——舍入、不穩(wěn)定性、截?cái)啵?）產(chǎn)生誤差的自身原因——相位的漂移或頻率的顯著改變、人工阻尼?！?.3數(shù)值近似方法——一般注釋§7.4二階中心差分列式§7.4二階中心差分列式（7-7）（7-8）§7.4二階中心差分列式使用中心差分:（7-9）（7-10）§7.4二階中心差分列式（7-11）（7-12）§7.4二階中心差分列式使用平均速度的概念,可以得到;§7.5積分法另一類一般性的逐步進(jìn)行動(dòng)力反應(yīng)分析的數(shù)值方法是，對(duì)每一時(shí)間步，從初始到最終條件應(yīng)用積分前進(jìn)一步。這個(gè)基本概念可用如下式子表示：（7-13a）（7-13b）§7.5積分法§7.5積分法

最終速度和位移依據(jù)這些值的初始值加一個(gè)積分表達(dá)式。速度的變化依賴于加速度歷程的積分，而位移的變化依賴于相應(yīng)的速度積分。

為了進(jìn)行這類分析，首先需要假設(shè)在時(shí)間步的持續(xù)時(shí)間內(nèi)加速度是如何變化的；加速度的假設(shè)也控制了速度的變化，因而可以由這一步向前獲得下一時(shí)間步?！?.5積分法Euler-Gauss方法最簡(jiǎn)單是假設(shè)加速度在時(shí)間步持續(xù)時(shí)間內(nèi)為常數(shù)，結(jié)果是在持續(xù)時(shí)間內(nèi)速度為線性，位移為二次曲線——著名的Euler-Gauss方法。

列式特性的樣式，假設(shè)常量加速度是由初值及步長(zhǎng)持續(xù)時(shí)間內(nèi)所獲得的最終加速度的平均。在此圖中也顯示了速度和位移的表達(dá)式，它們是對(duì)此加速度在這步持續(xù)時(shí)間內(nèi)任意時(shí)刻由逐次積分所獲得的，把代入這些表達(dá)式而獲得最終速度和位移?！?.5積分法圖7-3基于常平均加速度的運(yùn)動(dòng)h

加速度（常數(shù)）

速度（線性）

位移（二次的）為了對(duì)任意步開始這種分析，首先需要計(jì)算初始加速度時(shí)刻式（7-7）所示的動(dòng)力平衡表達(dá)式獲得。另外，最終加速度需要應(yīng)用隱式列式，它的值可以由迭代獲得。對(duì)，這可以解它的值可以由迭代獲得。對(duì)開始時(shí)用任意假設(shè)的值，再用圖7-3所列式（a）和（b）得到和的值。然后，用與式（7-7）相當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式從動(dòng)力平衡方程計(jì)算時(shí)刻值的一個(gè)改進(jìn)，由此再導(dǎo)得速度和和和位移的改進(jìn)值，最后，迭代收斂于這時(shí)間步最終加速度的一個(gè)固定的值，這個(gè)過程可以前進(jìn)一步到下一時(shí)間步?！?.5積分法迭代的列式開始時(shí)用任意假設(shè)的值，再用圖7-3所列式（a）§7.5積分法常平均加速度法的主要優(yōu)點(diǎn)：是無(wú)條件穩(wěn)定的。也就是說(shuō)，從一步到下一步不管時(shí)間步長(zhǎng)選得如何長(zhǎng)，誤差不會(huì)放大。因此時(shí)間步長(zhǎng)的選擇只需要考慮所定義動(dòng)力激勵(lì)和結(jié)構(gòu)的振動(dòng)反映特性。Newmark—β法一種更一般的逐步列式是由Newmark提出的，前面的方法可以作為它的特殊情況。但是也可以在其他一些形式下應(yīng)用。在Newmark列式中，對(duì)最終速度和位移的基本積分[式（7-13）]如下所示：§7.5積分法（7-14a）（7-14b）由式（7-14a）顯然可見，系數(shù)提供了在初始和最終加速度改變影響之間的線性變化的權(quán)重，類似地，系數(shù)β提供了在這些初始和最終加速度對(duì)位移改變貢獻(xiàn)的權(quán)重。

從該列式性能的研究發(fā)現(xiàn)，系數(shù)γ控制了由這個(gè)逐步法導(dǎo)致的人工阻尼量；如果γ=1/2，方法是無(wú)人工阻尼的，因此這個(gè)值被推薦用于標(biāo)準(zhǔn)的單自由度分析。在式（7-14a）和式（7-14b）中令系數(shù)γ=1/2和β=1/4，此時(shí)可以看到，Newmark列式直接退化為圖7-3所示最終速度和位移的表達(dá)式。因此，Newmarkβ=1/4法也可以歸諸于常平均加速度法?！?.5積分法

另一方面，如果β取作1/6（用γ=1/2），最終速度和位移的表達(dá)式成為§7.5積分法（7-15a）（7-15b）這些結(jié)果也可以如圖7-4所示，由假設(shè)在時(shí)間步持續(xù)期間加速度在和的初始到最后值之間線性變化來(lái)得到；因此β=1/6的Newmark法也稱為線加速度法。像常平均加速度法一樣，此法在實(shí)際中也是廣為應(yīng)用的。但是與β=1/4方法對(duì)比，線加速度法僅是條件穩(wěn)定的?？墒?，與二階中心差分法一樣，在單自由度體系分析中這個(gè)限制并不重要，因?yàn)橐@得動(dòng)力荷載和反應(yīng)的滿意表示，必須取比這一限制更短的時(shí)間步長(zhǎng)?！?.5積分法變換到顯式公式

β法的隱式列式是不方便應(yīng)用的，因?yàn)槊恳粫r(shí)間步內(nèi)為了確定此步終點(diǎn)加速度需要進(jìn)行迭代。因此，通常被修改為顯式形式，目的是最終加速度用其他反應(yīng)量表示——選擇一個(gè)基本未知量（位移較好）?！?.5積分法再代入圖7-3式（a）中，獲得最終速度表達(dá)式為（7-16b）§7.5積分法（7-16a）根據(jù)圖7-3式（b）對(duì)最終加速度求解可得在t1時(shí)刻寫出動(dòng)力平衡方程并將式（7-16a）和（7-16b）代入上式，則可導(dǎo)得僅含時(shí)間步終點(diǎn)未知位移v1的表達(dá)式。經(jīng)適當(dāng)歸并同類項(xiàng)，此式可寫為（7-17）這是一個(gè)靜力平衡方程的形式，它包含等效剛度（7-17a）§7.5積分法和等效荷載（7-17b）在式（7-17）里下標(biāo)c用以標(biāo)記常平均加速度法。

§7.5積分法[而不是從式（7-16a）求]，因而保留了平衡條件?！?.5積分法使用這個(gè)顯式公式，時(shí)間步終點(diǎn)位移v1可直接由式（7-17）計(jì)算，所要用到的僅是時(shí)間步開始時(shí)的數(shù)據(jù)。然后，此時(shí)刻的速度可用式（7-16b）計(jì)算，最后，此時(shí)間步終點(diǎn)的加速度由求解該時(shí)刻的動(dòng)力平衡方程而得

采用同樣的方法，使用圖7-4中的式（a）和（b），也可以類似地將線性加速度法轉(zhuǎn)換為顯式形式，這些列式的位移差別就是等效剛度，等效荷載及最終速度的表達(dá)式不同。對(duì)線加速度分析來(lái)說(shuō)，等效靜力平衡方程為（7-18）§7.5積分法圖7-4基于線性變化加速度的運(yùn)動(dòng)

加速度（線性）

速度（二次的）

位移（三次的）h§7.5積分法（7-18b）當(dāng)位移v1由式（7-18）計(jì)算時(shí)，同時(shí)刻的速度可由如下表達(dá)式給出[相當(dāng)于式（7-16b）]:（7-18c）§7.5積分法其中下標(biāo)d表示線加速度法。等效剛度和荷載分別為

（7-18a）

線加速度法僅僅是條件穩(wěn)定，但如前面所述，對(duì)于單自由度體系分析，這一點(diǎn)并不重要。另一方面，假設(shè)每個(gè)步長(zhǎng)持續(xù)時(shí)間內(nèi)加速度線性變化，要比連續(xù)用常加速度法能獲得真實(shí)特性的更好近似。

實(shí)際上，數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果也證明了線加速度法結(jié)果比用常加速度步所得結(jié)果優(yōu)越?；诖死碛桑瑢?duì)單自由度體系的分析推薦使用線加速度（β=1/6）法?！?.5積分法§7.6非線性分析的增量列式上述分析中，體系的動(dòng)力特性保持不變，僅可用于線性體系；在步長(zhǎng)△t足夠小時(shí)，可以認(rèn)為體系的動(dòng)力特性是常數(shù)；采用一系列短時(shí)間增量△t計(jì)算反應(yīng)，為了方便取△t為等步長(zhǎng)；在步長(zhǎng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)建立動(dòng)力平衡條件，并以一個(gè)假設(shè)的反應(yīng)機(jī)理為根據(jù)，近似地計(jì)算在時(shí)間增量范圍內(nèi)體系的運(yùn)動(dòng)(通常忽略去在時(shí)間間隔內(nèi)可能產(chǎn)生的不平衡)；體系的非線性特性可用每個(gè)時(shí)間增量起點(diǎn)所求得的當(dāng)前變形狀態(tài)的特性來(lái)說(shuō)明。利用本計(jì)算時(shí)間區(qū)間終點(diǎn)的速度和位移作為下一計(jì)算時(shí)間區(qū)間的初始條件從而可得到整個(gè)反應(yīng)；§7.6非線性分析的增量列式這個(gè)過程可以逐步地從加荷開始時(shí)起進(jìn)行到任何所要求的時(shí)間，而非線性特性則可用一系列相繼改變的線性體系來(lái)逼近。對(duì)于非線性分析，最有效的方法是逐步積分法；§7.6非線性分析的增量列式圖7-5非線性動(dòng)力體系的定義：(a)基本單自由度結(jié)構(gòu)；(b)力的平衡；(c)非線性阻尼；(d)非線性剛度；(e)作用荷載(a)(b)(c)(d)(e)§7.6非線性分析的增量列式

考慮的結(jié)構(gòu)為圖7-5(a)所示的單自由度體系，體系的特性m，k，c和p(t)可以理解為2-5節(jié)所討論的廣義量，而并不只局限于圖面上所示的簡(jiǎn)單情況。作用于體系質(zhì)量m上的力如圖7-5(b)所示，彈簧力和阻尼力的一般非線性性質(zhì)分別繪于圖7-5(c)和(d)中，任意作用荷載則繪于圖7-5(e)中。

在任一瞬間t，作用于質(zhì)量m上的力系的平衡要求：（7-19a）

而在暫短時(shí)間△t以后，平衡方程將為（7-19b）

從方程(7-19b)減去方程(7-19a)則可得時(shí)間間隔t的運(yùn)動(dòng)方程的增量形式：（7-20）§7.6非線性分析的增量列式

這個(gè)方程中的增量力可表示如下：（7-21a）

其中，質(zhì)量m不言而喻被假設(shè)為常量，而c(t)和k(t)項(xiàng)則表示與時(shí)間間隔內(nèi)速度和位移相應(yīng)的阻尼和剛度特性，分別如圖7-5(c)和(d)所示。實(shí)際上，因?yàn)樵跁r(shí)間增量末端的速度和位栘將依賴于這些特性，故所示割線斜率只能用迭代法進(jìn)行計(jì)算。因此，通常用時(shí)間間隔起點(diǎn)所定義的切線斜率來(lái)代替。（7-22）（7-21b）（7-21c）（7-21d）§7.6非線性分析的增量列式

將方程(7-21)代入方程(7-20)，可導(dǎo)得時(shí)間t的增量平衡方程的最終形式為：（7-23）

在這種類型的分析中，所討論的材料特性可以包括任何的非線性形式。因此，沒有必要規(guī)定彈簧力fs像非線性彈性材那樣僅僅依賴于位移。同樣也可以很好地說(shuō)明非線性滯變材料，在這種材料中，力依賴于變形的過去時(shí)程以及位移的當(dāng)前值，唯一的要求是剛度特性必須完全由變形的過去和目前狀態(tài)所確定。此外，隱含的質(zhì)量不變的假定顯然是可以改動(dòng)的：質(zhì)量也可以表示為隨時(shí)間變化的量?！?.6非線性分析的增量列式

有很多方法可以用來(lái)進(jìn)行方程(7-23)的數(shù)值積分。

引入假定：在每個(gè)時(shí)間增量?jī)?nèi)加速度線性變化，而且體系的特性在這個(gè)間隔內(nèi)保持為常量。質(zhì)量在時(shí)間間隔內(nèi)的運(yùn)動(dòng)用圖形的形式繪于圖7-6中，與所假定的加速度為線性變化的方程一起，圖中還分別繪出了相應(yīng)的速度二次變化、位移三次變化的圖形。計(jì)算在間隔終點(diǎn)(τ≡Δt)時(shí)后的值，導(dǎo)得速度和位移的增量方程如下：（7-6a*）（7-6b*）§7.6非線性分析的增量列式圖7-6基于線性變化加速度的增量運(yùn)動(dòng)§7.6非線性分析的增量列式問題：由已知的ti時(shí)刻的反應(yīng)——，求ti+△t時(shí)刻的反應(yīng)——？增量的表達(dá)方式——三量相關(guān)，用哪個(gè)做基本的未知量？§7.6非線性分析的增量列式線性加速度的假定：在t=ti,ti+△t的間隔內(nèi)，τ=0--△t，t=ti+τ§7.6非線性分析的增量列式§7.6非線性分析的增量列式

位移增量作為分析的基本變量，解式(7-6a*)可得加速度增量，并將這個(gè)表達(dá)式代入方程(7-6b*)，得：（7-7a*）（7-7b*）獲得了用位移增量表達(dá)的速度和加速度增量。把方程(7-7*)代入方程(7-23),可導(dǎo)得下列的運(yùn)動(dòng)方程：（7-8*）§7.6非線性分析的增量列式最終把所有含已知初始條件的各項(xiàng)移到右邊，給出（7-9a*）（7-9b*）

方程(7-8*)相當(dāng)于靜力增量平衡關(guān)系，即可將荷載增量除以剛度求得位移增量。在等效荷載和剛度項(xiàng)中包含慣性和阻尼的項(xiàng)反映了動(dòng)力特性。解方程（7-8*），得出位移增量后，將此值代入方程(7-7b*)即可獲得速度增量。下一時(shí)段的初始條件由該時(shí)段起點(diǎn)速度和位移值加上這些增量值得到。（7-8*）其中：§7.6非線性分析的增量列式

分析包含兩個(gè)重要假定：

(1)加速度為線性變化；

(2)質(zhì)量、阻尼和剛度特性在時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)保持常量。雖然時(shí)間步長(zhǎng)很短時(shí)誤差甚小，但這兩個(gè)假定都不是完全正確的。因此，誤差在增量平衡關(guān)系中出現(xiàn)，并積累。為了避免誤差的積累，在分析的每一步中利用總的平衡條件消除誤差。只要從總外荷載中減去總阻尼力和彈性力以表示時(shí)間步長(zhǎng)起點(diǎn)的加速度就行了?！?.6非線性分析的增量列式§7.7線性加速度法步驟概要

對(duì)任一給定的時(shí)間增量，按如下程序進(jìn)行運(yùn)算：

(1)初始速度和位移值是已知的。它們或是前一增量的終點(diǎn)值或是問題的初始條件值；

(2)利用這些值及結(jié)構(gòu)特定的非線性特性，可找出時(shí)間間隔內(nèi)的阻尼c(t)、剛度k(t)以及阻尼力fD(t)和彈性力fS(t)的當(dāng)前值，例如圖7-5(c)和7-5(d)中所示；

(3)初始加速度由下式給出：（7-25）時(shí)間t時(shí)平衡方程的重新排列；

(4)等效荷載增量和等效剛度按方程(7-9*)計(jì)算；§7.7線性加速度法步驟概要

(5)由方程（7-8*）可求得位移增量，從而由方程(7-7b*)可求得速度增量；

(6)最后，獲得時(shí)段終點(diǎn)速度和位移：（7-26a）（7-26b）§7.7線性加速度法步驟概要

當(dāng)?shù)?步運(yùn)算完成時(shí)，這個(gè)時(shí)段的分析結(jié)束；下一個(gè)時(shí)段的分析，只需將上述整個(gè)程序重復(fù)進(jìn)行即可。顯然，連續(xù)進(jìn)行上述運(yùn)算，就可進(jìn)行任意多個(gè)時(shí)間增量的分析，這樣就能算出具有任何非線性性質(zhì)的單自由度體系的全部反應(yīng)時(shí)程。線性體系自然也可以用同樣的方法進(jìn)行處理。此時(shí)阻尼和剛度特性保持不變，因此分析的過程將稍為簡(jiǎn)單一些?！?.7線性加速度法步驟概要

逐步積分法的精度，依賴于時(shí)間增量Δt的長(zhǎng)度，選取時(shí)注意三個(gè)因素：(1)作用荷載p(t)的變化速率；(2)非線性阻尼和剛度特性的復(fù)雜性；(3)結(jié)構(gòu)振動(dòng)周期T。

§7.7線性加速度法步驟概要

為可靠地反映這些因素，時(shí)間增量必須足夠的短，其中最后一個(gè)因素是和體系的自由振動(dòng)特性聯(lián)系在一起的。一般來(lái)說(shuō)，材料特性的變化不是關(guān)鍵性的因素，如果發(fā)生一個(gè)重大的突然變化，例如一個(gè)彈塑性彈簧的屈服，這時(shí)可以引入一個(gè)特殊再細(xì)分的時(shí)間增量來(lái)精確地處理這個(gè)影響。同時(shí)，要估算能恰當(dāng)?shù)啬M動(dòng)力荷載主要形狀的時(shí)間增量也并不困難?！?.7線性加速度法步驟概要

因此，如果加載過程比較簡(jiǎn)單，時(shí)間間隔的選取主要依賴于結(jié)構(gòu)的振動(dòng)周期。這個(gè)線性加速度方法只是有條件穩(wěn)定的，如果時(shí)間增量大于振動(dòng)周期的一半左右，則將給出擴(kuò)散的解。但是，為了提供適當(dāng)?shù)木龋瑫r(shí)間增量必須比這個(gè)短的多，因此不穩(wěn)定是不會(huì)成為問題的。一般來(lái)說(shuō)，按照經(jīng)驗(yàn)，如果增量一周期比Δt/T≤1/10，則可獲得可靠的結(jié)果。如果對(duì)