第4章 正弦交流電路-2

電工技術第4章正弦交流電路

教學目標基本概念基本定律

應用相量阻抗電壓三角形相量形式的各種電路基本定律功率因數(shù)收音機調諧無線電通信功率因數(shù)補償4.1正弦交流電的基本概念

本章目錄4.2正弦量的相量表示法4.3電阻元件的正弦響應4.4電感元件的正弦響應4.5電容元件的正弦響應4.6電阻、電感與電容串聯(lián)電路的正弦響應

4.7正弦交流電路的響應4.8功率因素的提高4.9交流電路的頻域分析4.10非正弦周期交流電路正弦量4.1正弦交流電的基本概念

隨時間按正弦規(guī)律做周期變化的量。+_正弦交流電的優(yōu)越性:大小和方向都隨時間改變的電流或電壓周期性交流電流或電壓交流電

交流電變化為周期性重復，如正弦波、方波、三角波、鋸齒波等，記作u(t)=u(t+T)。

便于傳輸；易于變換；便于運算；有利于電器設備的運行。u,i,e設正弦交流電流角頻率決定正弦量變化快慢

幅值決定正弦量的大小三要素

初相角決定正弦量起始位置iImT

與交流熱效應相等的直流定義為交流電的有效值Im、Um、EmIR直流iR交流瞬時值此適用于任何周期性變化的電壓和電流。一、瞬時值、幅值和有效值交流直流根據(jù)做功等效，有i、u、e正弦量在任一瞬間的值幅值瞬時值中的最大值有效值同理：交流電壓、電流表測量數(shù)據(jù)為有效值交流設備銘牌標注的電壓、電流均為有效值

注意周期T角頻率頻率f

（Hz、kHz）*無線電通信的頻率：30kHz~3×104MHz*電網(wǎng)頻率：我國50Hz，美國、日本60Hz*高頻加熱設備的頻率：200~300kHz*有線通信的頻率：300~5000Hz二、周期、頻率和角頻率變化一周所需的時間每秒鐘變化的周期數(shù)每秒鐘變化的弧度數(shù)（s、ms）（rad/s）給出了觀察正弦波的起點或參考點相位（角）初相（位）反映正弦量變化的進程相位差

三、相位、初相和相位差表示正弦量在t=0時的相位角兩個同頻率的正弦量之間的初相位之差i設兩個同頻率的正弦量分別為：則相位差為：⑷當時，電壓u超前于電流i

角討論

1.兩個同頻率的正弦量之間的相位差為常數(shù)，與計時的選擇起點和計時時刻無關。2.不同頻率的正弦量比較無意義。注意⑴當時，電壓u與電流i同相⑵當時，電壓u與電流i反相⑶當時，電壓u滯后于電流i

角uiuiuiui電流滯后于電壓電壓與電流同相

電流超前電壓

電壓與電流反相b.瞬時值表達式這兩種表示方法不便于運算，重點介紹相量表示法。a.波形圖

一、正弦量的表示方法波形圖三角函數(shù)式相量法4.2正弦量的相量表示法uu1u21.正弦量的相量表示(1)復數(shù)表示形式1)代數(shù)式A=a+jb復數(shù)的模復數(shù)的幅角實質：用復數(shù)表示正弦量式中:2)三角式由歐拉公式4)極坐標式3)指數(shù)式可得:

xy

一個正弦量的瞬時值可以用一個旋轉的有向線段在縱軸上的投影值來表示。2.正弦量用旋轉有向線段表示ω設正弦量:u0相量——表示正弦量的復數(shù)相量的模=正弦量的有效值

相量輻角=正弦量的初相角相量的模=正弦量的最大值

相量輻角=正弦量的初相角有效值相量幅值相量,則稱是正弦量的有效值相量，是正弦量的幅值相量。設正弦量1.相量只是表示正弦量，而不等于正弦量；？=2.只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示；3.只有同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上。注意4.相量的書寫方式

模用最大值表示，則用符號相量圖相量式

實際應用中，模多采用有效值，符號如：已知則或3.相量的兩種表示形式把相量表示在復平面的圖形可不畫坐標軸有效值相量幅值相量5.“j”的數(shù)學意義和物理意義+1+j0旋轉因子：相量乘以將逆時針旋轉，得到相量乘以將順時針旋轉，得到設相量正誤判斷1.已知？？2.已知？3.已知？4.已知？？解:例題求：已知1)

用相量式求+1+j8V6V10V1.2.2)用相量圖求判斷題在下列幾種情況下，哪些可以用相量進行運算，如何運算？二、KCL和KVL的相量表示根據(jù)KCL，對任一結點，,即有式子兩邊同除以得寫成一般形式為：

此式稱為KCL的相量形式，它表明電路任一結點上的電流相量代數(shù)和為零。用類似的方法可以得到KVL的相量形式為此式表明沿任一回路，各支路電壓相量的代數(shù)和為零。1.電壓與電流的關系設根據(jù)歐姆定律:相量圖4.3電阻元件的正弦響應2.功率關系(1)瞬時功率結論:(耗能元件),且隨時間變化。瞬時電壓與瞬時電流的乘積設則OpO瞬時功率在一個周期內的平均值

(2)平均功率(有功功率)瓦(W)注意：通常銘牌數(shù)據(jù)或測量的功率均指有功功率。pωtOP④相位關系：u、i

相位相同②有效值大小關系：①頻率相同

⑤相位差：③相量式：相量圖電阻元件的交流電路1.電壓與電流的關系設相量圖+-+-uωtu,ii4.4電感元件的正弦響應或

感抗直流：

f=0,XL=0，L視為短路有效值關系：交流：fXL電感元件復數(shù)形式的歐姆定律相量圖0d)(2sind10===òòttωUIT1tpTPT0T2.功率關系(1)瞬時功率(2)平均功率t)ωIUt)(ωt)(ωIU(2sin2cossinmmmm==L是儲能元件儲能p<0+p>0分析瞬時功率+p>0p<0放能儲能放能pO結論純電感不消耗能量，只和電源進行能量交換（能量的吞吐)。

用以衡量電感電路中能量交換的規(guī)模,用瞬時功率達到的最大值表征。(var、kvar)(3)無功功率

電感元件的交流電路①頻率相同②大小關系③相量式

⑤有功功率⑥無功功率④相位關系

超前相量圖例題

在一個電感元件兩端加上正弦電壓源已知L=1H。求i；如保持U不變，而電源f=5000Hz,問i為多少？解：(1)電壓的相量形式為根據(jù)電感元件伏安關系的相量形式，可得(2)當f=5000Hz時，電感元件具有通低頻阻高頻的特性。1.電流與電壓的關系設：則4.5電容元件的正弦響應或（Ω）有效值關系隔直耦交直流：XC，C視為開路XC交流：f電容電路中復數(shù)形式的歐姆定律相量圖

容抗2.功率關系(1)瞬時功率

(2)平均功率ＰC是儲能元件瞬時功率：充電放電充電放電p<0+p>0+p>0p<0pO結論純電容不消耗能量，只和電源進行能量交換（能量的吞吐)。無功功率等于瞬時功率達到的最大值，即(3)無功功率Q（var、kvar）則設

電容元件的交流電路①頻率相同②大小關系③相量式

⑤有功功率⑥無功功率④相位關系

滯后相量圖指出下列各式中哪些是對的、哪些是錯的。在電阻電路中在電感電路中在電容電路中思考題單一元件參數(shù)電路中的基本關系參數(shù)LCR基本關系復阻抗相量式相量圖設則1.瞬時值表達式

根據(jù)KVL可得一、電流、電壓的關系4.6

RLC串聯(lián)電路的正弦響應2.相量法1)

相量式設（參考相量）則令則總電壓與總電流的相量關系式復阻抗阻抗角阻抗模阻抗三角形表示u、i的大小關系為u、i

的相位差Z是一個復數(shù)，不是相量。+j+1Zba|Z|0U，I有效值的關系式電路參數(shù)與電路性質的關系：當XL>XC

時，

>0

，u

超前i

電路呈感性當XL<XC

時，<0

，u

滯后i

電路呈容性當XL=XC

時，=0

，u.

i同相電路呈電阻性復阻抗R、L、C串聯(lián)正弦交流電路的特性復數(shù)形式的歐姆定律2)

相量圖(

>0

感性)電路呈感性由電壓三角形可得:電壓三角形(

<0容性)XL

<

XC電路呈容性電壓三角形由相量圖可求得阻抗三角形電壓三角形二、功率關系儲能元件上的瞬時功率耗能元件上的瞬時功率

在每一瞬間,電源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分與儲能元件進行能量交換。1.瞬時功率設：2.平均功率P（有功功率）(W、kW)根據(jù)電壓三角形可得3.無功功率Q(var、kvar)

電壓三角形根據(jù)電壓三角形可得

4.視在功率S

電路中總電壓與總電流有效值的乘積。(VA、kVA)

注：SN＝UN

IN

稱為發(fā)電機、變壓器等供電設備的容量，可用來衡量發(fā)電機、變壓器可能提供的最大有功功率。

P、Q、S

都不是正弦量，不能用相量表示。R阻抗三角形、電壓三角形、功率三角形將電壓三角形的有效值同除I得到阻抗三角形將電壓三角形的有效值同乘I得到功率三角形SQPjsinZX=jcosZR=

如圖所示電路中，已知U=12V，R=3，jXL=j4

。試求：⑴XC為何值時(XC≠0)，開關S閉合前后，電流I的有效值不變。這時的電流是多少？⑵XC為何值時，開關S閉合前電流I最大，這時的電流是多少？例題(1)開關閉合前后，電流I有效值不變，說明開關閉合前后電路的阻抗模相等。即解:∵

XC≠0

，∴

XC=XL時，最小，電流最大，故此時的電流為⑵

開關S閉合前，例題求:(1)感抗、容抗、阻抗;(2)電流的有效值I與瞬時值i;(3)各部分電壓的有效值與瞬時值的表示式;(4)做相量圖;(5)功率P、Q和S。(1)解:已知:在RLC串聯(lián)交流電路中，。（2）（3）（4）相量圖（5）或：或：呈容性

因此，不能只是憑借L、C的大小決定正弦交流電路的性質。1.假設R、L、C的串聯(lián)電路中，R、L、C

已定，電路性質能否確定？阻性？感性？容性？思考解：時，電路呈現(xiàn)電感性，時，電路呈現(xiàn)電容性，時，電路呈現(xiàn)電阻性，4.在RLC串聯(lián)電路中當L>C時，u超前i，當L<C時，u滯后i，這樣分析對嗎？解：解：2.RLC串聯(lián)電路的是否一定小于1？時，3.RLC串聯(lián)電路中的是會出現(xiàn)的情況？一、阻抗的串、并聯(lián)

分壓公式對于阻抗模，一般+-++--+-通式1.阻抗的串聯(lián)4.7正弦交流電路的分析1.下列各圖中給定的電路電壓、阻抗是否正確？2.兩個阻抗串聯(lián)時,在什么情況下成立?U=7V?注意(a)34

6V8V+_(b)68

3V4V+_U=14V?

+-+-2.阻抗的并聯(lián)通式分流公式對于阻抗模，一般電路中，導納導納：阻抗的倒數(shù)+-導納電導感納容納導納模（單位：西門子S）支路電流與電壓之間的相位差同理用導納計算并聯(lián)交流電路時

當并聯(lián)支路較多時，計算等效阻抗比較麻煩，因此常應用導納計算。導納同阻抗串聯(lián)形式相同通式

下列各圖中給定的電路電流、阻抗是否正確？兩個阻抗并聯(lián)時,在什么情況下成立?I=8A?4A44A4A2A1I=8A?4A44A4A2A1思考44A44A4A2A1+-？解：相量圖？,電流表A1的讀數(shù)為3A,試問:1.圖示電路中,已知(1)A2和A3的讀數(shù)為多少?(2)并聯(lián)等效阻抗Z為多少?解：設3思考A2的讀數(shù)為4.24A345°+-,則該電路呈感性,對不對?2.圖示電路中,已知解：A3和A1的讀數(shù)為3A時，電路呈電容性基爾霍夫定律

相量形式

相量（復數(shù)）形式的歐姆定律

電阻純電感純電容一般電路二、一般正弦交流電路的分析

若正弦量用相量表示，電路參數(shù)用復數(shù)阻抗(

)表示，則直流電路中介紹的基本定律、定理及各種分析方法在正弦交流電路中都能使用。通過分析計算，解出待求量的相量，再反變換為以t為變量的正弦電壓或正弦電流。,1.根據(jù)原電路圖畫出相量模型圖(電路結構不變)2.根據(jù)相量模型列出相量方程式或畫相量圖3.用相量法或相量圖求解4.將結果變換成要求的形式一般正弦交流電路的解題步驟

同計算復雜直流電路一樣,支路電流法、結點電壓法、疊加原理、戴維寧等方法也適用于計算復雜交流電路。所不同的是電壓和電流用相量表示，電阻、電感、和電容及組成的電路用阻抗或導納來表示，采用相量法計算。例題一般正弦交流電路的分析+-+-圖示電路中，已知，試用支路電流法求電流I3。（一）應用基爾霍夫定律列出相量表示方程代入已知數(shù)據(jù)，可得解之，得：解:+-+-（二）應用疊加原理計算上例（1）當單獨作用時+=（2）當單獨作用時+-+-+-+-（三）應用結點電壓法計算上例。(2)(1)求結點電壓+-+-（四）應用戴維寧定理計算上例+-+-+-(3)+-+-(1)斷開Z3支路，求開路電壓(2)求等效內阻抗

求：總電壓表和總電流表的讀數(shù)。下圖電路中已知：I1=10A、UAB=100V。解題方法有兩種：1.用相量（復數(shù)）計算2.利用相量圖分析求解例題VAB

C1A解法1:

用相量計算則：設：A

讀數(shù):

10A解:

讀數(shù)：200VVAB

C1A解法2:利用相量圖分析求解由相量圖可求得：I=10A1045°設：100UR=IR

=100VU

=200V100VAB

C1A超前滯后同相已知開關閉合后u，i

同相。開關閉合前求:開關S閉合前后I2的值不變。例題解法1：利用復阻抗的概念求XC解:RXLXC+–

S

開關閉合后u，i

同相，即電路呈電阻性，復阻抗Z的虛部為0。W==2202RXC0Z，則的虛部為要使得由相量圖可求得

RL串聯(lián)支路中電壓超前電流45°。開關閉合后

u，i

同相解法2:利用相量圖求XC解法3：用相量法計算∵開關閉合后u，i

同相，由實部相等可得由虛部相等可得RXLXC+–

S設有功功率P

電路中各電阻有功功率之和，或各支路有功功率之和

電路中各電感、電容無功功率之和，或各支路無功功率之和無功功率Q或正弦交流電路中功率的計算視在功率S或1.由部分到整體無功功率Q單位：瓦(W)，千瓦(kW)單位：乏(var)，千乏(kvar)單位：V·A將無源二端網(wǎng)絡用一個等效復阻抗Z表示,則有

視在功率S有功功率P2.歸一法4.6功率因數(shù)的提高功率因數(shù):X

的意義：時,電路中發(fā)生能量互換,出現(xiàn)無功當功率這樣引起兩個問題:1.電源設備的容量不能充分利用2.增加線路和發(fā)電機繞組的功率損耗對電源利用程度的衡量。電壓與電流的相位差，阻抗的輻角。-+1.電源設備的容量不能充分利用若用戶：,則電源可發(fā)出的有功功率為

若用戶：,則電源可發(fā)出的有功功率為

需提供無功功率為提高可使發(fā)電設備的容量得以充分利用無需提供無功功率。設:2.增加線路和發(fā)電機繞組的功率損耗(費電)提高電網(wǎng)功率因數(shù)對國民經濟的發(fā)展有重要意義。設輸電線和發(fā)電機繞組的電阻為要求:(Ｐ、Ｕ定值時)提高可減小線路和發(fā)電機繞組的損耗。(導線截面積)相量圖[例]40W220V白熾燈

[例]40W220V日光燈

供電局一般要求用戶的，否則受處罰。日常生活中多為感性負載，如電動機、日光燈。一、功率因數(shù)cos低的原因

感性等效電路+---++二、功率因數(shù)的提高

可采用在感性負載兩端并聯(lián)電容的方法進行補償，使總的功率因數(shù)達到規(guī)定的要求。

必須保證原負載的工作狀態(tài)不變，即：加至負載上的電壓和負載的有功功率不變。

提高功率因數(shù)的原則提高功率因數(shù)的措施1.提高功率因數(shù)的措施在感性負載兩端并聯(lián)電容+-I

結論（并聯(lián)電容C后）3)

電路總的有功功率不變1)電路的總電流，電路總功率因數(shù)

，電路總視在功率S

。

I2)原感性支路的工作狀態(tài)不變:不變感性支路的功率因數(shù)不變感性支路的電流由相量圖可得：2.并聯(lián)電容值的計算⑶并聯(lián)電容后用戶一年為配電所節(jié)約電能多少度？（以每年365天，每天用電8小時計算）用戶用電量有無變化？⑴在保證用戶電壓為額定值時，配電所電源電壓應為多少？線路損失功率△P1為多少？⑵若用戶擬將功率因數(shù)cos提高到0.98，應并聯(lián)多大電容器？配電所電源電壓應為多少？線路損失功率△P2為多少？

例題

某用戶等值電阻R=10，感抗XL=10.2，額定電壓220V。配電所至用戶的輸電線的電阻r0＝0.5，感抗XL0=1，電路如圖所示。試問：⑴線路損失功率

用戶ZL取用負載電流為解:用戶消耗的功率并聯(lián)電容(2)并聯(lián)電容前并聯(lián)電容后即即求并C前后的線路電流并C前并C后電源電壓為線路損失功率為:

節(jié)省功率為:⑶一年節(jié)約電能為:

通過例題可以得到，在感性負載兩端并聯(lián)電容后，減小了線路電流，從而減小了線路損耗，為配電所節(jié)約了電能。由于用戶的額定電壓和功率均未發(fā)生改變，故用戶用電量無任何變化。cos1時再繼續(xù)提高，則所需電容值很大（不經濟），所以一般不必提高到1。

在同時含有L

和C

的交流電路中，如果總電壓和總電流同相，稱電路處于諧振狀態(tài)。此時電路與電源之間不再有能量的交換，電路呈電阻性。L與C串聯(lián)時，u、i

同相L與C并聯(lián)時，u、i

同相

研究諧振的目的，就是一方面在生產上充分利用諧振的特點，(如在無線電工程、電子測量技術等許多電路中應用)。另一方面又要預防它所產生的危害。諧振4.7諧振電路串聯(lián)諧振并聯(lián)諧振1.諧振時：同相，電路呈現(xiàn)電阻性

串聯(lián)諧振電路的特點一、串聯(lián)諧振或即諧振條件諧振頻率復阻抗諧振角頻率電路發(fā)生諧振的方法1）電源頻率f

一定，調參數(shù)L、C，使f0=f2）電路參數(shù)LC

一定，調電源頻率f，使f=f02.

阻抗最小當電源電壓U不變時，諧振時電路的電流值最大：諧振電路的特性阻抗：3.電源與電路間不發(fā)生能量的互換，能量互換只發(fā)生在電容和電感線圈之間。4.電壓關系當電阻電壓:UR=I0R=U電容、電感電壓:電源電壓的Q倍。諧振時,與相互抵消，但其本身不為零，而是6.串聯(lián)電路的諧振曲線1）阻抗隨頻率變化的關系2）電流隨頻率變化的關系曲線表征串聯(lián)諧振電路的諧振質量5.品質因數(shù)電壓諧振二、并聯(lián)諧振復阻抗諧振頻率諧振角頻率1.諧振條件由于諧振電路的電阻R一般都比較小，L/C比較大，故并聯(lián)諧振電路的特點等效復阻抗虛部為03.恒壓源供電時，總電流最小。4.品質因數(shù)2.諧振時阻抗最大，呈電阻性。電流諧振例題

如圖所示電路中，R=10，L=250，C1、C2為可調電容。先調節(jié)C1使并聯(lián)部分在時的阻抗達到最大；然后再調節(jié)C2，使整個電路在時的阻抗最小。求：⑴電容C1、C2的值。⑵當外加電壓U=1V，且時，電流、和。⑴依題意，當時，電路發(fā)生并聯(lián)諧振，并聯(lián)部分的阻抗為

解：諧振時有

可求得

當時，電路發(fā)生串聯(lián)諧振，電路的總阻抗為將代入上式得諧振時有

可求得

⑵設，當，此電路發(fā)生并聯(lián)諧振，電路總阻抗為

相頻特性幅頻特性

在交流電路中，當電源電壓或電流（激勵）的頻率改變時，容抗和感抗隨之改變，從而使電路中產生的電壓和電流（響應）的大小和相位也隨之改變。頻率特性(頻率響應)

濾波4.8交流電路的頻率特性響應隨頻率變化的函數(shù)關系。電壓或電流的大小與頻率的關系。電壓或電流的相位與頻率的關系。

利用容抗或感抗隨頻率而改變的特性,對不同頻率的輸入信號產生不同的響應,讓需要的某一頻帶的信號通過,抑制不需要的其它頻率的信號。1.電路輸入信號輸出信號電路輸出電壓與輸入電壓的比值2.傳遞函數(shù)一、低通濾波電路令則均為角頻率的函數(shù)3.頻率特性幅頻特性相頻特性高端截止頻率

通頻帶：

上限截止頻率:二、RC高通濾波電路1.電路2.傳遞函數(shù)輸入信號輸出信號均為角頻率的函數(shù)3.頻率特性一階RC高通濾波器具有高通濾波特性幅頻特性相頻特性令低端截止頻率

通頻帶：0≤＜∞

截止頻率:0=1/RC三、RC帶通濾波電路1.電路2.傳遞函數(shù)輸出信號輸入信號均為角頻率的函數(shù)頻率特性設:3.頻率特性曲線RC串并聯(lián)電路具有帶通濾波特性012幅頻特性相頻特性高端截止頻率低端截止頻率通頻帶4.9非正弦周期信號的諧波分析

分析非正弦周期電流的電路，仍然要應用電路的基本定律，但和正弦交流電路的分析還是有不同之處；本章主要討論一個非正弦周期量可以分解為恒定分量（如果有的話）和一系列頻率不同的正弦量。一、非正弦周期交流信號如：半波整流電路的輸出信號1.特點

2.非正弦周期交流信號的