第5章 數(shù)字控制器的連續(xù)設(shè)計方法(改)

離散化設(shè)計方法（也稱為直接設(shè)計方法）：將被控對象和保持器組成的連續(xù)部分離散化，直接應(yīng)用離散控制理論的方法進(jìn)行分析和綜合，設(shè)計出滿足控制指標(biāo)的離散控制器，由計算機(jī)實現(xiàn)。連續(xù)化設(shè)計方法(也稱模擬化設(shè)計方法)：忽略控制回路中所有的零階保持器和采樣器，在s域中按連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行初步設(shè)計，求出連續(xù)控制器，再通過某種近似，將連續(xù)控制器變換為離散控制器，由計算機(jī)去實現(xiàn)。2/3/20231

將D(s)離散成D(z)的方法有多種，離散化的實質(zhì)是求得一個等效的控制器脈沖傳遞函數(shù)，使之與連續(xù)域的控制器傳遞函數(shù)在很多方面是相似的

比如在脈沖響應(yīng)特性、階躍響應(yīng)特性、頻率特性、穩(wěn)態(tài)增益和零、極點(diǎn)分布等方面

2/3/202326種常用的離散化方法一階差分變換法（后向差分、前向差分）雙線性變換法（突斯汀變換法）頻率預(yù)畸變的雙線性變換法脈沖響應(yīng)不變法（即Z變換法）加零階保持器的脈沖響應(yīng)不變法零極點(diǎn)對應(yīng)法2/3/20233一階差分變換法（后向差分）（1）離散化公式Ts為采樣周期2/3/20234

后向差分的近似式是：

等式左邊取拉氏變換為：

等式右邊取Z變換為：

這樣可以得到變換關(guān)系：結(jié)論：2/3/20235后向差分法的映射關(guān)系分析S平面的虛軸映射為Z平面半徑為1/2的圓S左半平面的映射特點(diǎn)：2、后向差分變換在ω從0→時，唯一映射到半徑為1/2的圓上，因此沒有出現(xiàn)頻率混疊現(xiàn)象，但是頻率被嚴(yán)重壓縮了，不能保證頻率特性不變，變換精度低，工程應(yīng)用上受限制。優(yōu)點(diǎn)是簡單易做。圖5-10后向差分法的映射關(guān)系1、(即表示S平面左半平面)，|z|<1,說明映射到Z平面的單位圓內(nèi)，因此D(s)是穩(wěn)定的，經(jīng)后向差分變換后，D(z)也是穩(wěn)定的。2/3/20236前向差分的近似式是：變換式為：或者一階差分變換法（前向差分）結(jié)論：2/3/20237

圖5-11前向差分變換法的映射關(guān)系

令則

S平面的虛軸，映射到Z平面是一條過實軸1，平行于虛軸的直線令

要使除外，還要較小時才行，可見這種變換會產(chǎn)生不穩(wěn)定的前向差分法的映射關(guān)系分析則顯見，前向差分變換法中穩(wěn)定的D(s)不能保證變換成穩(wěn)定的D(z)，要穩(wěn)定采樣周期縮小，且不能保證有相同的脈沖響應(yīng)和頻率響應(yīng)。2/3/20238用后向差分變換法離散假設(shè)等效差分方程（控制算法）為：

2/3/20239雙線性變換法梯形面積公式逼近積分運(yùn)算原理

定積分

兩邊求拉氏變換

積分傳遞函數(shù)

圖5-12梯形面積運(yùn)算求Z變換

積分Z的傳遞函數(shù)離散化方法是：

**2/3/202310雙線性變換的映射關(guān)系分析

變換式的另一種形式設(shè)則

說明:從

z的相角單調(diào)的從0變換到

s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)結(jié)論：從這樣的映射關(guān)系可以看出，如果是穩(wěn)定的，雙線性變換后也是穩(wěn)定的，并且不出現(xiàn)頻率的混疊現(xiàn)象設(shè)則

s平面的虛軸，唯一映射到z平面的單位圓上2/3/202311[例4-4]

將

Ts=1s雙線性變換成D(z)

等效差分方程（控制算法）為：結(jié)論：連續(xù)控制器零點(diǎn)少于極點(diǎn)數(shù)，經(jīng)雙線性變換后，零、極點(diǎn)數(shù)相等，這點(diǎn)可以做如下解釋：由于雙線性變換將整個S平面一一對應(yīng)變換到Z平面，因此在無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)，經(jīng)雙線性變換后被變換到z=-1處。2/3/202312應(yīng)用：使用方便，有一定精度和好的特性，應(yīng)用較為普遍。不需要校正穩(wěn)態(tài)增益。但高頻特性嚴(yán)重失真，主要用于低通環(huán)節(jié)的離散化。2/3/2023131.定義：

圖5-8脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法所謂脈沖響應(yīng)不變是指所設(shè)計出的D(z)其單位脈沖響應(yīng)與D(s)的單位脈沖響應(yīng)h(t)的采樣值相等

2/3/202314假設(shè)由連續(xù)設(shè)計求得（5-5）其脈沖響應(yīng)為（5-6）

單位脈沖的響應(yīng)離散時間值為

對D(z)求Z反變換得到，所以符合單位脈沖響應(yīng)不變的條件，D(z)是D(s)的離散化。這一方法實質(zhì)上是由D(s)直接求Z變換的方法，當(dāng)D(s)很簡單時，可以直接查Z變換表，如果D(s)較復(fù)雜，則必須先用部分分式展開成可查表的形式對上式求Z變換

（5-8）（5-7）2/3/202315[例5-1]用脈沖響應(yīng)不變法將

離散成D(z)，假設(shè)采樣周期Ts=1s

查Z變換表等效差分方程（控制算法）：2/3/202316

補(bǔ)充例子

已知模擬控制器

求數(shù)字控制器D(z)。解：控制算法為：

2/3/202317脈沖響應(yīng)不變法的特點(diǎn)是：(1)D(z)與D(s)的脈沖響應(yīng)相同(2)若D(s)穩(wěn)定，則D(z)也穩(wěn)定(3)D(z)不能保持D(s)的頻率響應(yīng)(4)D(z)將的整數(shù)倍頻率變換到Z平面上的同一個點(diǎn)的頻率，因而出現(xiàn)了頻率混疊現(xiàn)象。注意！兩種避免頻率混疊現(xiàn)象發(fā)生的方法

①采樣器前串聯(lián)低通濾波器，以衰減高頻分量②使用足夠高的采樣頻率其應(yīng)用范圍是：連續(xù)控制器D(s)應(yīng)具有部分分式結(jié)構(gòu)或能較容易地分解為并聯(lián)結(jié)構(gòu)。D(s)具有陡衰減特性，且為有限帶寬信號的場合。這時采樣頻率足夠高，可減少頻率混疊影響，從而保證D(z)的頻率特性接近原連續(xù)控制器D(s)。2．特點(diǎn)及應(yīng)用范圍2/3/2023185.3.3加零階保持器的脈沖響應(yīng)不變法1.定義：保持器用于將離散模擬信號變換成連續(xù)模擬信號，當(dāng)把零階保持器加進(jìn)D(s)再離散，雖然仍采用脈沖響應(yīng)不變法，但等效D(s)輸入的是連續(xù)的模擬信號，因此較單純使用脈沖響應(yīng)不變法離散D(s)更接近于連續(xù)系統(tǒng)。2.特點(diǎn)：(1)

D(s)是穩(wěn)定的，變換后D(z)也是穩(wěn)定的。(2)由于零階保持器具有低通濾波特性，將使信號最大頻率低些，因此頻率混疊現(xiàn)象將比單純采用脈沖響應(yīng)不變法要有所改善。(3)

零階保持器的引入將帶來相位滯后，故穩(wěn)定裕度要差些。圖5-9加零階保持器的脈沖響應(yīng)不變法2/3/202319[例4-2]

用加零階保持器的脈沖響應(yīng)不變法離散離，假定采樣周期Ts=1s

等效差分方程（控制算法）:

2/3/2023205.3.5頻率預(yù)畸變的雙線性變換法

經(jīng)雙線性變換后，模擬頻率與離散頻率兩者之間存在著非線性關(guān)系將帶入雙線性變換式：與之間的非線性關(guān)系式

圖5-13之間的非線性關(guān)系2/3/202321

在模擬頻率和離散頻率之間卻存在非線性關(guān)系。當(dāng)

取值0～π時，的值為0～∞。這意味著，模擬控制器的全部頻率響應(yīng)特性被壓縮到離散控制器的的頻率范圍之內(nèi)。這兩種頻率之間的非線性特性，使得由雙線性變換所得的離散頻率響應(yīng)產(chǎn)生畸變，可以采用預(yù)畸變的辦法來補(bǔ)償頻率特性的畸變。2/3/202322頻率預(yù)畸變原理假設(shè)

當(dāng)考慮頻率響應(yīng)時，將代入在臨界頻率

處有

將中的變換成則再實施雙線性變換，代入當(dāng)保證了臨界頻率處與有相同的特性

2/3/202323預(yù)畸變的雙線性變換法步驟將所期望的極點(diǎn)和零點(diǎn)（s+a）,以a﹡代替a2.將D(s,a﹡)變換成D(z,a)3.調(diào)整增益，因為頻率預(yù)畸變之后。零極點(diǎn)挪動，直流增益發(fā)生了變化，所以必須保證變化前后直流增益不變出發(fā)，進(jìn)行增益調(diào)整。2/3/202324[例4-5]已知Ts=1s的臨界頻率用頻率預(yù)畸變的雙線性變換法變換成D(z)

1）進(jìn)行頻率預(yù)畸變2）對進(jìn)行雙線性變換2/3/202325（3）調(diào)整直流增益令等效差分方程(控制算法):（4）求的D(z)為2/3/202326(1)將S平面左半面映射到Z平面單位圓內(nèi)預(yù)畸變雙線性變換的特點(diǎn)：(2)穩(wěn)定的D(s)變換成穩(wěn)定的D(z)(3)沒有頻率混疊現(xiàn)象(4)D(z)不能保持D(s)的脈沖響應(yīng)和頻率響應(yīng)。2/3/202327定義：S域中零極點(diǎn)的分布直接決定了系統(tǒng)的特性，Z域中亦然。因此，當(dāng)S域轉(zhuǎn)換到Z域時，應(yīng)當(dāng)保證零極點(diǎn)具有一一對應(yīng)的映射關(guān)系，根據(jù)S域與Z域的轉(zhuǎn)換關(guān)系z=eTs，可將S平面的零極點(diǎn)直接一一對應(yīng)地映射到Z平面上，使D(z)的零極點(diǎn)與連續(xù)系統(tǒng)D(s)的零極點(diǎn)完全相匹配，這等效離散化方法稱為“零極點(diǎn)對應(yīng)法”或“根匹配法”。5.3.6極點(diǎn)零點(diǎn)對應(yīng)法

2/3/202328將s平面的零點(diǎn)或極點(diǎn)用關(guān)系映射到Z平面上可以定義為下列變換關(guān)系：

對于復(fù)數(shù)極點(diǎn)或零點(diǎn)1同一個用極點(diǎn)零點(diǎn)對應(yīng)法和脈沖響應(yīng)不變法變換后的極點(diǎn)相同而零點(diǎn)不同。2通常D(s)的零點(diǎn)數(shù)小于極點(diǎn)數(shù)，D(s)的某些零點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處的映射關(guān)系，對于具有低通濾波特性的D(s)把無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)映射到3要保證直流增益不變,即:不存在頻率混疊現(xiàn)象；D(s)穩(wěn)定，變換后D(z)穩(wěn)定零極點(diǎn)對應(yīng)法特點(diǎn)：2/3/202329(1)從上述各方法的原理看，除了前向差分外，只要原有的連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則變換以后得到的離散系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。(2)采樣頻率對設(shè)計結(jié)果有影響，當(dāng)采樣頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于系統(tǒng)的截止頻率時(100倍以上)，用任何一種設(shè)計方法所構(gòu)成的系統(tǒng)特性與連續(xù)系統(tǒng)相差不大。隨著采樣頻率的降低，各種方法就有差別。按設(shè)計結(jié)果的優(yōu)劣進(jìn)行排序，以雙線性變換法為最好，即使在采樣頻率較低時，所得的結(jié)果還是穩(wěn)定的。其次是零極點(diǎn)匹配法和后向差分。再次是脈沖響應(yīng)不變法。各種離散化方法的比較2/3/202330(3)上述各種設(shè)計方法都有自己的特點(diǎn)，脈沖響應(yīng)不變法可以保證離散系統(tǒng)的響應(yīng)與連續(xù)系統(tǒng)相同。零極點(diǎn)匹配法能保證變換前后直流增益相同。雙線性變換法可以保證變換前后持征頻率不變。以上各種設(shè)計方法在實際工程中都有應(yīng)用，可根據(jù)需要進(jìn)行選擇。(4)對連續(xù)傳遞函數(shù)D(s)=D1(s)D2(s)…Dn(s)，可分別對D1(s)、D2(s)、…、Dn(s)等效離散得到