第5章 數(shù)字控制器的連續(xù)設計方法(改)

離散化設計方法（也稱為直接設計方法）：將被控對象和保持器組成的連續(xù)部分離散化，直接應用離散控制理論的方法進行分析和綜合，設計出滿足控制指標的離散控制器，由計算機實現(xiàn)。連續(xù)化設計方法(也稱模擬化設計方法)：忽略控制回路中所有的零階保持器和采樣器，在s域中按連續(xù)系統(tǒng)進行初步設計，求出連續(xù)控制器，再通過某種近似，將連續(xù)控制器變換為離散控制器，由計算機去實現(xiàn)。2/3/20231

將D(s)離散成D(z)的方法有多種，離散化的實質是求得一個等效的控制器脈沖傳遞函數(shù)，使之與連續(xù)域的控制器傳遞函數(shù)在很多方面是相似的

比如在脈沖響應特性、階躍響應特性、頻率特性、穩(wěn)態(tài)增益和零、極點分布等方面

2/3/202326種常用的離散化方法一階差分變換法（后向差分、前向差分）雙線性變換法（突斯汀變換法）頻率預畸變的雙線性變換法脈沖響應不變法（即Z變換法）加零階保持器的脈沖響應不變法零極點對應法2/3/20233一階差分變換法（后向差分）（1）離散化公式Ts為采樣周期2/3/20234

后向差分的近似式是：

等式左邊取拉氏變換為：

等式右邊取Z變換為：

這樣可以得到變換關系：結論：2/3/20235后向差分法的映射關系分析S平面的虛軸映射為Z平面半徑為1/2的圓S左半平面的映射特點：2、后向差分變換在ω從0→時，唯一映射到半徑為1/2的圓上，因此沒有出現(xiàn)頻率混疊現(xiàn)象，但是頻率被嚴重壓縮了，不能保證頻率特性不變，變換精度低，工程應用上受限制。優(yōu)點是簡單易做。圖5-10后向差分法的映射關系1、(即表示S平面左半平面)，|z|<1,說明映射到Z平面的單位圓內，因此D(s)是穩(wěn)定的，經后向差分變換后，D(z)也是穩(wěn)定的。2/3/20236前向差分的近似式是：變換式為：或者一階差分變換法（前向差分）結論：2/3/20237

圖5-11前向差分變換法的映射關系

令則

S平面的虛軸，映射到Z平面是一條過實軸1，平行于虛軸的直線令

要使除外，還要較小時才行，可見這種變換會產生不穩(wěn)定的前向差分法的映射關系分析則顯見，前向差分變換法中穩(wěn)定的D(s)不能保證變換成穩(wěn)定的D(z)，要穩(wěn)定采樣周期縮小，且不能保證有相同的脈沖響應和頻率響應。2/3/20238用后向差分變換法離散假設等效差分方程（控制算法）為：

2/3/20239雙線性變換法梯形面積公式逼近積分運算原理

定積分

兩邊求拉氏變換

積分傳遞函數(shù)

圖5-12梯形面積運算求Z變換

積分Z的傳遞函數(shù)離散化方法是：

**2/3/202310雙線性變換的映射關系分析

變換式的另一種形式設則

說明:從

z的相角單調的從0變換到

s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內結論：從這樣的映射關系可以看出，如果是穩(wěn)定的，雙線性變換后也是穩(wěn)定的，并且不出現(xiàn)頻率的混疊現(xiàn)象設則

s平面的虛軸，唯一映射到z平面的單位圓上2/3/202311[例4-4]

將

Ts=1s雙線性變換成D(z)

等效差分方程（控制算法）為：結論：連續(xù)控制器零點少于極點數(shù)，經雙線性變換后，零、極點數(shù)相等，這點可以做如下解釋：由于雙線性變換將整個S平面一一對應變換到Z平面，因此在無窮遠處的零點，經雙線性變換后被變換到z=-1處。2/3/202312應用：使用方便，有一定精度和好的特性，應用較為普遍。不需要校正穩(wěn)態(tài)增益。但高頻特性嚴重失真，主要用于低通環(huán)節(jié)的離散化。2/3/2023131.定義：

圖5-8脈沖響應不變法脈沖響應不變法所謂脈沖響應不變是指所設計出的D(z)其單位脈沖響應與D(s)的單位脈沖響應h(t)的采樣值相等

2/3/202314假設由連續(xù)設計求得（5-5）其脈沖響應為（5-6）

單位脈沖的響應離散時間值為

對D(z)求Z反變換得到，所以符合單位脈沖響應不變的條件，D(z)是D(s)的離散化。這一方法實質上是由D(s)直接求Z變換的方法，當D(s)很簡單時，可以直接查Z變換表，如果D(s)較復雜，則必須先用部分分式展開成可查表的形式對上式求Z變換

（5-8）（5-7）2/3/202315[例5-1]用脈沖響應不變法將

離散成D(z)，假設采樣周期Ts=1s

查Z變換表等效差分方程（控制算法）：2/3/202316

補充例子

已知模擬控制器

求數(shù)字控制器D(z)。解：控制算法為：

2/3/202317脈沖響應不變法的特點是：(1)D(z)與D(s)的脈沖響應相同(2)若D(s)穩(wěn)定，則D(z)也穩(wěn)定(3)D(z)不能保持D(s)的頻率響應(4)D(z)將的整數(shù)倍頻率變換到Z平面上的同一個點的頻率，因而出現(xiàn)了頻率混疊現(xiàn)象。注意！兩種避免頻率混疊現(xiàn)象發(fā)生的方法

①采樣器前串聯(lián)低通濾波器，以衰減高頻分量②使用足夠高的采樣頻率其應用范圍是：連續(xù)控制器D(s)應具有部分分式結構或能較容易地分解為并聯(lián)結構。D(s)具有陡衰減特性，且為有限帶寬信號的場合。這時采樣頻率足夠高，可減少頻率混疊影響，從而保證D(z)的頻率特性接近原連續(xù)控制器D(s)。2．特點及應用范圍2/3/2023185.3.3加零階保持器的脈沖響應不變法1.定義：保持器用于將離散模擬信號變換成連續(xù)模擬信號，當把零階保持器加進D(s)再離散，雖然仍采用脈沖響應不變法，但等效D(s)輸入的是連續(xù)的模擬信號，因此較單純使用脈沖響應不變法離散D(s)更接近于連續(xù)系統(tǒng)。2.特點：(1)

D(s)是穩(wěn)定的，變換后D(z)也是穩(wěn)定的。(2)由于零階保持器具有低通濾波特性，將使信號最大頻率低些，因此頻率混疊現(xiàn)象將比單純采用脈沖響應不變法要有所改善。(3)

零階保持器的引入將帶來相位滯后，故穩(wěn)定裕度要差些。圖5-9加零階保持器的脈沖響應不變法2/3/202319[例4-2]

用加零階保持器的脈沖響應不變法離散離，假定采樣周期Ts=1s

等效差分方程（控制算法）:

2/3/2023205.3.5頻率預畸變的雙線性變換法

經雙線性變換后，模擬頻率與離散頻率兩者之間存在著非線性關系將帶入雙線性變換式：與之間的非線性關系式

圖5-13之間的非線性關系2/3/202321

在模擬頻率和離散頻率之間卻存在非線性關系。當

取值0～π時，的值為0～∞。這意味著，模擬控制器的全部頻率響應特性被壓縮到離散控制器的的頻率范圍之內。這兩種頻率之間的非線性特性，使得由雙線性變換所得的離散頻率響應產生畸變，可以采用預畸變的辦法來補償頻率特性的畸變。2/3/202322頻率預畸變原理假設

當考慮頻率響應時，將代入在臨界頻率

處有

將中的變換成則再實施雙線性變換，代入當保證了臨界頻率處與有相同的特性

2/3/202323預畸變的雙線性變換法步驟將所期望的極點和零點（s+a）,以a﹡代替a2.將D(s,a﹡)變換成D(z,a)3.調整增益，因為頻率預畸變之后。零極點挪動，直流增益發(fā)生了變化，所以必須保證變化前后直流增益不變出發(fā)，進行增益調整。2/3/202324[例4-5]已知Ts=1s的臨界頻率用頻率預畸變的雙線性變換法變換成D(z)

1）進行頻率預畸變2）對進行雙線性變換2/3/202325（3）調整直流增益令等效差分方程(控制算法):（4）求的D(z)為2/3/202326(1)將S平面左半面映射到Z平面單位圓內預畸變雙線性變換的特點：(2)穩(wěn)定的D(s)變換成穩(wěn)定的D(z)(3)沒有頻率混疊現(xiàn)象(4)D(z)不能保持D(s)的脈沖響應和頻率響應。2/3/202327定義：S域中零極點的分布直接決定了系統(tǒng)的特性，Z域中亦然。因此，當S域轉換到Z域時，應當保證零極點具有一一對應的映射關系，根據S域與Z域的轉換關系z=eTs，可將S平面的零極點直接一一對應地映射到Z平面上，使D(z)的零極點與連續(xù)系統(tǒng)D(s)的零極點完全相匹配，這等效離散化方法稱為“零極點對應法”或“根匹配法”。5.3.6極點零點對應法

2/3/202328將s平面的零點或極點用關系映射到Z平面上可以定義為下列變換關系：

對于復數(shù)極點或零點1同一個用極點零點對應法和脈沖響應不變法變換后的極點相同而零點不同。2通常D(s)的零點數(shù)小于極點數(shù)，D(s)的某些零點在無窮遠處的映射關系，對于具有低通濾波特性的D(s)把無窮遠處的零點映射到3要保證直流增益不變,即:不存在頻率混疊現(xiàn)象；D(s)穩(wěn)定，變換后D(z)穩(wěn)定零極點對應法特點：2/3/202329(1)從上述各方法的原理看，除了前向差分外，只要原有的連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則變換以后得到的離散系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。(2)采樣頻率對設計結果有影響，當采樣頻率遠遠高于系統(tǒng)的截止頻率時(100倍以上)，用任何一種設計方法所構成的系統(tǒng)特性與連續(xù)系統(tǒng)相差不大。隨著采樣頻率的降低，各種方法就有差別。按設計結果的優(yōu)劣進行排序，以雙線性變換法為最好，即使在采樣頻率較低時，所得的結果還是穩(wěn)定的。其次是零極點匹配法和后向差分。再次是脈沖響應不變法。各種離散化方法的比較2/3/202330(3)上述各種設計方法都有自己的特點，脈沖響應不變法可以保證離散系統(tǒng)的響應與連續(xù)系統(tǒng)相同。零極點匹配法能保證變換前后直流增益相同。雙線性變換法可以保證變換前后持征頻率不變。以上各種設計方法在實際工程中都有應用，可根據需要進行選擇。(4)對連續(xù)傳遞函數(shù)D(s)=D1(s)D2(s)…Dn(s)，可分別對D1(s)、D2(s)、…、Dn(s)等效離散得到