有限元法的理論基礎(chǔ)

有限元法的理論基礎(chǔ)

1求解彈性力學(xué)問(wèn)題方法概述

4彈性力學(xué)問(wèn)題近似求解的加權(quán)殘數(shù)法

2基于最小勢(shì)能原理的變分法

3基于虛位移原理的變分法1求解彈性力學(xué)問(wèn)題方法概述上圖給出了求解彈性力學(xué)問(wèn)題的5條途徑：圖3-4求解彈性力學(xué)問(wèn)題的原理與方法框圖1、①——①路徑——直接法（從力平衡關(guān)系、幾何關(guān)系以及物理關(guān)系出發(fā)，推導(dǎo)出一個(gè)或一組關(guān)于應(yīng)力或者關(guān)于應(yīng)變、有時(shí)是同時(shí)含有應(yīng)力、應(yīng)變的微分方程或偏微分方程，通過(guò)求解微分方程，解出應(yīng)力、應(yīng)變和變形量。）一、幾種常用的能量原理和適用條件24、②——④——①或②——④——③路徑，這兩種方法都不經(jīng)常使用。因?yàn)樽兎址ū戎苯臃ㄊ褂玫妮^晚，所以總是用變分法沿②——④路徑推出控制方程，以證明變分的正確性。3、①——③路徑，這是在已知控制方程的條件下經(jīng)常使用的近似計(jì)算方法。（加權(quán)殘數(shù)法）一、幾種常用的能量原理和適用條件2、②——②路徑——能量法這是經(jīng)常使用的基于能量原理的近似計(jì)算方法。（變分法）3要利用能量原理去求解力學(xué)問(wèn)題，必須會(huì)計(jì)算功（內(nèi)力功、外力功）與能（外力勢(shì)能、彈性能，如應(yīng)變能）。與能量原理有關(guān)的基本知識(shí)4在彈性力學(xué)分析靜力問(wèn)題時(shí)，加載過(guò)程永遠(yuǎn)是逐加、緩加過(guò)程。在這一過(guò)程中，所有外加載荷都是由零逐漸加到它的額定值，由其引起的位移和應(yīng)變也是由零逐漸達(dá)到它的額定值的。對(duì)于線彈性體，外力（內(nèi)力）與其作用點(diǎn)的位移之間的關(guān)系，以及其應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系都是線性關(guān)系（如圖3－10所示）。（1）實(shí)功如圖3－10（a）所示，力Pk在其作用方向上直接引起的位移vkk上所作的功叫做實(shí)功。對(duì)于線彈性體，Pk與vkk呈圖3－10（b）所示的線性關(guān)系，實(shí)功的計(jì)算公式為：圖3－10二向應(yīng)力模型一功與能的計(jì)算5（2）虛功如圖3－11所示，力Pk在別的原因（如Pm）引起的位移vkm上所做的功叫做虛功。其計(jì)算公式為：（3）應(yīng)變能應(yīng)變能是由內(nèi)力（或應(yīng)力）所做的實(shí)功來(lái)計(jì)算的。直粱彎曲應(yīng)變能：圖3－11二向應(yīng)力模型一功與能的計(jì)算6（3）外力虛功計(jì)算公式式中vi——Pi對(duì)應(yīng)的虛位移。式中——虛轉(zhuǎn)角；M——原平衡力系引起的彎矩（4）內(nèi)力虛功計(jì)算公式1）直粱彎曲內(nèi)力虛功式中——虛轉(zhuǎn)角；——原平衡力系引起的彎矩二、虛功原理2）一般彈性體的內(nèi)力虛功式中—對(duì)應(yīng)虛位移的虛應(yīng)變；—原平衡力系引起的應(yīng)力7總勢(shì)能的計(jì)算包括彈性勢(shì)能（以應(yīng)變能形式表示）和外力勢(shì)能兩部分，對(duì)于不同的結(jié)構(gòu)有不同的表達(dá)式。對(duì)于任何一個(gè)彈性結(jié)構(gòu)，當(dāng)有外力作用以后，必然會(huì)發(fā)生彈性變形，在這一變形過(guò)程中，結(jié)構(gòu)會(huì)積蓄彈性勢(shì)能，而作用其上的外力勢(shì)能也會(huì)發(fā)生變化。根據(jù)能量原理可知，當(dāng)該結(jié)構(gòu)的能量最小時(shí)，它會(huì)達(dá)到穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。最小勢(shì)能原理：對(duì)于任何彈性結(jié)構(gòu)，若其總勢(shì)能表達(dá)為彈性位移（位移函數(shù)），則當(dāng)它處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，其總勢(shì)能必取極小值。即達(dá)到穩(wěn)定平衡狀態(tài)的彈性體，真實(shí)的位移是使得彈性體的總勢(shì)能取最小值時(shí)發(fā)生的位移三最小勢(shì)能原理8（1）直粱的總勢(shì)能有一受橫向載荷的兩端簡(jiǎn)支粱（如圖3－12）所示，其彈性勢(shì)能是由于粱彎曲變形引起的應(yīng)變能，而外力勢(shì)能是由于粱的擾度引起橫向載荷勢(shì)能的變化。設(shè)粱的擾度為v（x），彈性勢(shì)能為2

，外力勢(shì)能為1，由（3－18）式彈性勢(shì)能為由外力勢(shì)能的定義有：總勢(shì)能＝1＋2，即（外力沿其正方向做功，總使其勢(shì)能減小，故上式為負(fù)值）圖3－12兩端簡(jiǎn)支粱三、最小勢(shì)能原理9（2）一般彈性體的總勢(shì)能圖3－13所示為一個(gè)一般體，其一部分邊界為B1固定，其余的邊界為B2自由；其體積力為q，在自由邊界作用有分布力p。設(shè)其彈性勢(shì)能為2，外力勢(shì)能為1；再設(shè)q＝（qx

qy

qz）T，p＝（px

py

pz）T，＝（uvw）T，則由3－24式有：由外力勢(shì)能的定義有：總勢(shì)能＝1＋2，即圖3－13受載的一般彈性體三、最小勢(shì)能原理10（3）最小勢(shì)能原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式由最小勢(shì)能原理可知，彈性體受力以后，其總勢(shì)能就是其位移函數(shù)v或的泛函，而其平衡位置就是使取極小值的位置。因而最小勢(shì)能原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：三、最小勢(shì)能原理112基于最小勢(shì)能原理的變分法一、利用變分法推導(dǎo)控制方程圖3-14受均布載荷簡(jiǎn)支粱1、求總勢(shì)能（建立泛函）2、由最小勢(shì)能原理求控制方程（求泛函極值）由最小勢(shì)能原理可知，粱在外力作用下處于穩(wěn)定平衡的條件是其總勢(shì)能取極小值。即（3－32）式12將上式第一項(xiàng)中的微分變分符號(hào)互調(diào)，并將該式代入（3－32）式有由（3－30）式將上式的第一項(xiàng)分步積分兩次變?yōu)椋?－35）式中前兩項(xiàng)給出了邊界條件，而后一項(xiàng)則給出了控制方程?，F(xiàn)按李景涌給出的三類(lèi)邊界條件分別寫(xiě)出。2基于最小勢(shì)能原理的變分法13（3－35）式前兩項(xiàng)得0，據(jù)變分法的基本預(yù)備定理，必得控制方程：（1）兩端固定粱（2）兩端簡(jiǎn)支粱2基于最小勢(shì)能原理的變分法（3－35）式前兩項(xiàng)得0，據(jù)變分法的基本預(yù)備定理，必得控制方程：14（3－35）式前兩項(xiàng)得0，據(jù)變分法的基本預(yù)備定理，必得控制方程：（3）一端固定一端自由由對(duì)（3－35）式的分析可知，（3－22）式，也即＝0這個(gè)算式中已全部包含了由直接方法得出的控制方程和邊界條件。由此，可以得到重要結(jié)論：2基于最小勢(shì)能原理的變分法由變分法可以推出控制方程和相應(yīng)的邊界條件，然后去求解方程。這是②—④—①的思路。15由此可見(jiàn)，不去直接求解控制方程式（3－35），而直接利用＝0這一算式去尋求位移函數(shù)v（x），同樣可以使問(wèn)題得到解答。由（3－35）式可知，若能找到一個(gè)位移函數(shù)v(x)，它既滿足（3－35）式的前兩項(xiàng)（邊界條件），又滿足最后一項(xiàng)（控制方程），則它就是問(wèn)題的精確解。但是，由于選擇一個(gè)精確位移函數(shù)v(x)很不容易，在實(shí)際應(yīng)用中往往只讓v(x)精確地滿足（3－35）式中的部分項(xiàng)，而近似地滿足另外的項(xiàng)，這就是“利用變分法直接近似計(jì)算”的理論依據(jù)。2基于最小勢(shì)能原理的變分法圖3-1516（1）設(shè)位移函數(shù)根據(jù)位移邊界條件vx=0=0，vx=l=0，設(shè)該方法是假設(shè)一位移函數(shù)v（x），只令其先滿足位移邊界條件，然后再通過(guò)＝0（最小勢(shì)能原理）去近似滿足力邊界條件和平衡方程（控制方程）式。(以圖3－12所示簡(jiǎn)支梁為例)（2）求（總勢(shì)能）對(duì)上式進(jìn)行積分得1）、里茲法17由（3－42）式可知，v（x）的函數(shù)形式是已知的，當(dāng)它產(chǎn)生變分v時(shí)，只是它的幅值a產(chǎn)生一個(gè)微小變化a。當(dāng)把（3－43）式代入（3－32）時(shí)，將有（3）由＝0求解a因?yàn)閍不得為0，所以上式變?yōu)椋汗蕦ⅲ?－44）式代入（3－42）式得1）里茲法181）中點(diǎn)擾度（4）求各點(diǎn)的擾度、內(nèi)力和應(yīng)力精確解為1）里茲法2）各截面彎矩3）截面上任一點(diǎn)應(yīng)力位移函數(shù)v（x）可以選取任何形式的函數(shù)，對(duì)項(xiàng)數(shù)和參數(shù)a的個(gè)數(shù)也沒(méi)有限制，只要滿足它們的邊界條件即可。19（1）設(shè)位移函數(shù)該方法是在里茲法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，其特點(diǎn)是在設(shè)定位移函數(shù)時(shí)除了使v（x）滿足位移邊界條件外，還要求它滿足力邊界條件，然后通過(guò)＝0使其近似滿足控制方程式。仍以圖3－12所示簡(jiǎn)支粱為例進(jìn)行介紹。（2）求（總勢(shì)能）2）伽遼金法20由＝0求解a1、a2、a3上式進(jìn)行積分得將（3－50）式代入（3－32）式有將上式中ai（i=1,2,3）相同的項(xiàng)合并，則2）伽遼金法代入（3－30）式，得21求解（3－53）式得由于ai的任意性，且不得為0，必有將（3－54）式代入（3－49）式有2）伽遼金法22（1）思路里茲法所設(shè)位移函數(shù)在全域內(nèi)連續(xù)（如3－11）式），而有限元法所設(shè)位移函數(shù)是在單元內(nèi)連續(xù)，在全域內(nèi)并非完全連續(xù)（只一階或二階連續(xù)）。至于求解原理兩個(gè)方法是相同的。將簡(jiǎn)支粱分為n個(gè)單元，其單元號(hào)與節(jié)點(diǎn)號(hào)如圖3－16所示。若任一節(jié)點(diǎn)i處的擾度為vi，轉(zhuǎn)角為i，則可以每個(gè)單元的插值函數(shù)：3）有限元法所連成的曲線作為粱的位移函數(shù)，如圖（3－16）（b）所示。這樣，在求總勢(shì)能時(shí)沿粱長(zhǎng)l的積分將變成沿每個(gè)單元長(zhǎng)度le之和，即圖3-16簡(jiǎn)支粱受彎的插值函數(shù)撓度曲線23將（3－57）代入（3－32）式將有式中由（3－59）式可知，只要求得每個(gè)單元的e，然后代入（3－59）式，就可以求得每個(gè)節(jié)點(diǎn)的vi和i（i=1，2，n，n+1），從而得到位移函數(shù)ve（x），使問(wèn)題得解（因?yàn)樵诖?，?jié)點(diǎn)的位移vi，i是位移函數(shù)的待定系數(shù)）。3）有限元法24圖（3－17）所示為任一單元（e）變形后的位移曲線ve（x），其在i，j節(jié)點(diǎn)處所示的位移與轉(zhuǎn)角均為正方向?，F(xiàn)設(shè)單元位移函數(shù)ve（x）（插值函數(shù)）為（2）求單元位移函數(shù)ve（x）式中ai（i=0，1，2，3）為待定系數(shù)。若其兩端的位移與轉(zhuǎn)角為已知，則由邊界條件可求出ai。邊界條件為：3）有限元法將和代入（3－61）有圖3-17粱單元位移函數(shù)25將ai代入（3－60）式，并按vi，i，vj，j的順序加以整理，則聯(lián)立求解得上式就是插值形式的位移函數(shù)。寫(xiě)成矩陣形式為：（3－62）式可以進(jìn)一步縮寫(xiě)成3）有限元法式中式中26（3－63）式中的Ni（i=1，2，3，4）叫做形狀函數(shù)。在粱單元中，它表示一個(gè)兩端固定粱只產(chǎn)生一個(gè)單位位移時(shí)粱彎曲成的形狀。見(jiàn)圖3－18。（3）形狀函數(shù)3）有限元法圖3－18粱單元的形狀函數(shù)27再將（3－64）式寫(xiě)成如下形式：求e（單元總勢(shì)能）由（3－64）式得：將(3-66),(3-67)式代入（3－58）式，有（4）求e因?yàn)镹i是x的已知函數(shù)，所以是由節(jié)點(diǎn)位移的變分eT而引起的。故（3－68）式的變分為：3）有限元法28對(duì)（3－70）式第一項(xiàng)進(jìn)行積分將eT和e提到積分號(hào)外將Ni”代入（3－71）式并積分得：3）有限元法29對(duì)（3－70）式第二項(xiàng)進(jìn)行積分將Ni代入（3－73）式并積分得：3）有限元法將（3－72），（3－74）式及e表達(dá)式代入（3－70）式得：30將（3－72）式和（2－9）式作比較發(fā)現(xiàn)，若不考慮軸向位移，（3－72）式恰是粱單元的剛度矩陣Ke，而（3－75）式中大括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)，恰是粱單元由節(jié)點(diǎn)位移vi，i，vi，j引起的節(jié)點(diǎn)力Vi，Mi，Vj，Mj。3）有限元法313）有限元法將（3－74）式和（2－29）式作比較發(fā)現(xiàn)，（3－74）式恰是承受均布載荷q的兩端固定粱的固端反力，由上向下依次為V0i，M0i，V0j，M0j。由上面的分析，（3－75）式可寫(xiě)成下面的矩陣形式。32由（3－75）式可見(jiàn)，在eT與e中節(jié)點(diǎn)位移的排列順序是一樣的。若將（3－77）式各項(xiàng)按整個(gè)粱的節(jié)點(diǎn)順序排列，并注意到＝（v11vn+1n＋1）的任意性，則由（3－77）式可得。（5）由＝0求解節(jié)點(diǎn)位移式中KZ是由每個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嘖e集合而成（整體剛度矩陣），F(xiàn)Z0是由每個(gè)單元的固端反力集合而成，若將該矩陣前加“—”號(hào)，它就是等效節(jié)點(diǎn)載荷。3）有限元法將每個(gè)單元的e（如3－76式）代入（3－59）式，得：33將其移到等號(hào)右邊，則（3－78）式變?yōu)椋?）有限元