激光原理第二章23

第三節(jié)開腔模式的物理概念

和衍射理論分析方法

開腔模的一般物理概念自再現(xiàn)模的衍射理論問題：在開腔中是否存在電磁場的本征態(tài)或不隨時(shí)間變化的穩(wěn)態(tài)場分布?如何求場分布?與輸出相關(guān)的是鏡面上的場!穩(wěn)態(tài)場分布的形成:可看成光在兩鏡面間往返傳播的結(jié)果!方法一個(gè)鏡面上的場另一個(gè)鏡面上的場求解衍射積分方程!一、開腔模的一般物理概念1、理想開腔模型兩塊反射鏡面放在無限大的均勻的各向同性介質(zhì)中?？珊雎郧粋?cè)壁的不連續(xù)性，決定衍射效應(yīng)的孔徑由鏡的邊緣決定！2、決定腔模形成的損耗：主要是腔鏡邊緣的衍射損耗，其他的損耗只使橫截面上各點(diǎn)的場按照相同比例衰減！3、穩(wěn)態(tài)場的形成——模的“自再現(xiàn)”鏡1上的場分布，到達(dá)鏡2時(shí)，由于衍射，要經(jīng)歷一次能量的損耗和場分布的變化，中間能量損失小，鏡邊緣損失大，每單程渡越一次，都會(huì)發(fā)生類似的能量損耗和場分布變化，多次往返后，從而逐漸形成中間強(qiáng)、邊緣弱的基本不受衍射影響的穩(wěn)態(tài)場分布，該穩(wěn)態(tài)場分布一個(gè)往返后可“自再現(xiàn)”出發(fā)時(shí)的場分布，唯一變化是鏡面上各點(diǎn)的場振幅按同樣的比例衰減，各點(diǎn)相位發(fā)生同樣大小的滯后。(1)自再現(xiàn)模：往返一次能再現(xiàn)自身的穩(wěn)態(tài)場分布。(2)模的往返損耗：自再現(xiàn)模一次往返所經(jīng)受的能量損耗。(3)往返相移：自再現(xiàn)模往返一次的相位變化，等于2π的整數(shù)倍。二、自再現(xiàn)物理過程的形象化描述和定性解釋

孔闌傳輸線模型：由一系列同軸的孔徑構(gòu)成，這些孔徑開在平行放置著的無限大完全吸收屏上，相鄰兩個(gè)孔徑間的距離等于腔長，孔徑大小等于鏡的大小。（1）當(dāng)模擬對稱開腔時(shí)，所有孔徑大小和形狀都應(yīng)相同。（2）如果考慮到光的吸收、散射等損耗，則可以在每一個(gè)空面上引入一衰減濾光片。（3）如果開腔的反射鏡為球面鏡，則在每個(gè)孔闌應(yīng)裝入相應(yīng)焦距的透鏡稱為透鏡波導(dǎo)。

用波在孔闌傳輸線中的行進(jìn)，模擬它在開腔中的往復(fù)反射。考慮平面開腔的情形橫向場振幅分布和相位分布都均勻的平面波入射，經(jīng)過多次孔闌的衍射影響后，二者都變得不再均勻，成為相對場振幅和相對相位分布都不受衍射影響的穩(wěn)態(tài)場分布。1、只有不受衍射影響的場分布才能形成穩(wěn)定的場分布，成為自再現(xiàn)模。說明：2、衍射起“篩子”作用，將腔中允許存在的自再現(xiàn)模從各種自發(fā)輻射模中篩選出來。3、自再現(xiàn)模是多次衍射的結(jié)果，與初始波形在一定意義上無關(guān)緊要，但不同的初始波形最終形成的場分布不同，而自發(fā)輻射可提供不同的初始波形,因此決定了自再現(xiàn)模的多樣性。4、理解激光的空間相干性。每經(jīng)過一次衍射，光束橫截面上各點(diǎn)的相位關(guān)聯(lián)度變增加一次，則由于經(jīng)過足夠多次衍射的作用后，光束橫截面上各點(diǎn)的相位關(guān)聯(lián)越來越緊密，從而使光的空間相干性變強(qiáng)。5、在無源開腔中，自再現(xiàn)模的形成過程和場的空間相干性的增強(qiáng)過程，都不可避免地伴隨著初始入射波能量的衰減，不足以形成激光。

在激活腔中，只要某一自再現(xiàn)模能滿足閾值條件，則該模在腔內(nèi)就可以形成自激振蕩。自再現(xiàn)模的形成過程伴隨著光的受激放大，其結(jié)果是，光譜不斷變窄，空間相干性不斷增強(qiáng)，光強(qiáng)不斷增大，最終形成高強(qiáng)度的激光輸出。2、定量處理開腔模式問題的數(shù)學(xué)理論：菲涅耳—基爾霍夫衍射積分功能：如果知道了光波場在其所達(dá)到的任意空間曲面上的振幅和相位分布，就可以求出該光波場在空間其他任意位置處的振幅和相位分布。1、分析衍射的理論基礎(chǔ)：惠更斯—菲涅耳原理三、菲涅耳—基爾霍夫衍射積分各子波源發(fā)出的球面波傾斜因子S1S2經(jīng)過j次渡越后所生成的場uj+1與產(chǎn)生它的場uj之間也應(yīng)滿足類似的迭代關(guān)系：3、將積分公式應(yīng)用到開腔的兩個(gè)鏡面上的場四、對稱開腔中自再現(xiàn)模應(yīng)滿足的積分方程式按照自再現(xiàn)理論，當(dāng)渡越次數(shù)j足夠大時(shí)，除了一個(gè)表示振幅衰減和相位移動(dòng)的復(fù)常數(shù)因子

以外，uj+1應(yīng)該再現(xiàn)uj，則：代入迭代關(guān)系得則不受衍射影響的穩(wěn)態(tài)場分布函數(shù)v(x,y)為：其中的積分核為：開腔自再現(xiàn)模應(yīng)滿足的積分方程式滿足上述方程的任意一個(gè)分布函數(shù)v(x,y)就描述腔的一個(gè)自再現(xiàn)模或橫模。一般v(x,y)應(yīng)為復(fù)函數(shù)，它的模描述鏡面上場的振幅分布，而其輻角描述鏡面上場的相位分布.則初步簡化后的自再現(xiàn)模方程為：

當(dāng)腔長L和鏡線度a滿足：L>>a，或曲面反射鏡的曲率半徑R和鏡線度a滿足：R>>a時(shí)，有：開腔模的問題，歸結(jié)為求解積分方程的數(shù)學(xué)問題。五、復(fù)常數(shù)的物理意義e-

：單程渡越的振幅衰減！越大，則衰減愈厲害，若0

，則模無損耗傳播。表示每經(jīng)單程渡越后模的相位滯后，愈大，相位滯后愈多。(1)對稱開腔中模的單程損耗δd：自再現(xiàn)模單程渡越后的相對功率損耗。(2)對稱開腔中模的單程總相移δФ若滿足：一般的諧振條件注意：若對非對稱開腔，則應(yīng)按照往返一次進(jìn)行討論！結(jié)論：的模反映單程或往返一次的相對功率損耗，輻角反映單程或往返一次的總相移，從而決定諧振頻率。六、分離變量法1、求解自再現(xiàn)模方程的思路由開腔的具體結(jié)構(gòu)，給出方程的具體形式并做簡化具體做法：由對稱性引入適當(dāng)坐標(biāo)系由λ

、a、L的數(shù)量級關(guān)系，將積分核

做泰勒展開舍去展開式中無關(guān)緊要的高階小量，從而將方程簡化(2)進(jìn)行變量分離，將化簡后的積分方程化為兩個(gè)單元函數(shù)的積分方程。2、可行性分析計(jì)算表明，對矩形及圓形平面鏡腔、共焦球面或拋物面腔和一般球面鏡腔等幾種常見的幾何結(jié)構(gòu)，以上的簡化和變量分離是可能的！3、方程簡化和分離變量的事例分析(1)對稱矩形平面鏡腔(2a×2b)數(shù)量關(guān)系：若滿足：可做菲涅耳近似：則模方程變?yōu)椋悍蛛x變量，令：則積分核為：模方程變?yōu)閮尚问酵耆粯拥姆匠蹋笠粋€(gè)即可：方程的解有多個(gè)，其中第m和第n個(gè)分別為vm(x)和vn(y)，m和n為相應(yīng)的復(fù)常數(shù)，則：——積分本征值方程鏡面上的場分布為：相應(yīng)的復(fù)常數(shù)為：本征值方程成立的條件：m和n取一系列特定值——本征值。對應(yīng)本征值m和n，且滿足該方程的場分布函數(shù)vm(x)和vn(y)為本征函數(shù)。本征函數(shù)：決定鏡面上的場分布，包括場的振幅和相位分布。本征值：決定自再現(xiàn)模的傳輸特性，包括模的衰減、相移、諧振頻率等。鏡面上場的振幅分布。鏡面上場的位相分布。求解衍射積分本征值方程的目的意義：求出