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微積分1微積分的概念2微積分的創(chuàng)立3微積分學(xué)的主要概念4微積分學(xué)的主要概念微積分創(chuàng)立的意義及其應(yīng)用1：微積分的概念微積分（Calculus）是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分（Differentiation）、積分(Integration)以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。2：微積分的創(chuàng)立微積分學(xué)的建立從微積分成為一門(mén)學(xué)科來(lái)說(shuō)，是在十七世紀(jì)，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。極限的產(chǎn)生公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問(wèn)題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來(lái)說(shuō)，早在古代以有比較清楚的論述。比如中國(guó)的莊周所著的《莊子》一書(shū)的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”。三國(guó)時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無(wú)所失矣?！边@些都是樸素的、也是很典型的極限概念。微積分出現(xiàn)背景☆微積分產(chǎn)生

到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問(wèn)題需要解決，這些問(wèn)題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。共有四類(lèi)：第一類(lèi)是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問(wèn)題。第二類(lèi)問(wèn)題是求曲線的切線的問(wèn)題。第三類(lèi)問(wèn)題是求函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題。第四類(lèi)問(wèn)題是求曲線長(zhǎng)、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績(jī)是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問(wèn)題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問(wèn)題（微分學(xué)的中心問(wèn)題），一個(gè)是求積問(wèn)題（積分學(xué)的中心問(wèn)題）。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，因此這門(mén)學(xué)科早期也稱(chēng)為無(wú)窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱(chēng)的來(lái)源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)牛頓牛頓在1671年寫(xiě)了《流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)》，這本書(shū)直到1736年才出版，它在這本書(shū)里指出：變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無(wú)窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量，把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問(wèn)題是：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度（微分法）；已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程（積分法）。萊布尼茨德國(guó)的萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個(gè)很長(zhǎng)而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無(wú)理量，以及這種新方法的奇妙類(lèi)型的計(jì)算》。就是這樣一篇說(shuō)理也頗含糊的文章，卻有劃時(shí)代的意義。它已含有現(xiàn)代的微分符號(hào)和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響。現(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。牛頓和萊布尼茨雖然把微積分系統(tǒng)化，但是他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，它還是不夠嚴(yán)謹(jǐn)?？墒钱?dāng)微積分被成功地用來(lái)解決許多問(wèn)題，卻使得十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家偏向其應(yīng)用，而少致力于其嚴(yán)謹(jǐn)。當(dāng)時(shí)，微積分學(xué)的發(fā)展幸而掌握在幾個(gè)非常優(yōu)越的數(shù)學(xué)家，如歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、達(dá)朗貝爾及伯努利世家等人的手里。后來(lái)，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，這門(mén)學(xué)科才得以嚴(yán)密化。

3微積分學(xué)的主要概念

微積分主要有三大類(lèi)分支：極限、微分學(xué)、積分學(xué)。微積分的基本理論表明了微分和積分是互逆運(yùn)算，牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理以后才引起了其他學(xué)者對(duì)于微積分學(xué)的狂熱的研究，而這個(gè)發(fā)現(xiàn)也使得我們?cè)谖⒎趾头e分之間可以互相轉(zhuǎn)換。這個(gè)基本理論也提供了一個(gè)用代數(shù)計(jì)算許多積分問(wèn)題的方法，也就是用不定積分法取代極限運(yùn)算法。該理論也可以解決一些微分方程的問(wèn)題，解決未知數(shù)的積分。微分問(wèn)題在科學(xué)領(lǐng)域無(wú)處不在。極限微積分中最重要的概念是“極限”。微商（即導(dǎo)數(shù)）是一種極限。定積分也是一種極限。從牛頓實(shí)際使用它到制定出周密的定義，數(shù)學(xué)家們奮斗了200多年?，F(xiàn)在使用的定義是魏爾斯特拉斯于19世紀(jì)中葉給出的。數(shù)列極限就是當(dāng)一個(gè)有順序的數(shù)列往前延伸時(shí)，如果存在一個(gè)有限數(shù)（非無(wú)限大的數(shù)），使這個(gè)數(shù)列可以無(wú)限地接近這個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是這個(gè)數(shù)列的極限。數(shù)列極限的表示方法是：其中就是極限的值。例如當(dāng)時(shí)，它的極限為。就是說(shuō)越大（越往前延伸），這個(gè)值越趨近于0。導(dǎo)數(shù)我們知道在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，平均速度等于通過(guò)的距離除以所花費(fèi)的時(shí)間——在一小段間隔的時(shí)間內(nèi)，除上其走過(guò)的一小段距離，等于這一小段時(shí)間內(nèi)的速度，但是當(dāng)這一小段間隔的時(shí)間趨于零，也就是瞬時(shí)速度時(shí)，則無(wú)法按照通常的除法計(jì)算，這時(shí)的速度為時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，得用求導(dǎo)的方法計(jì)算。也就是說(shuō)，一個(gè)函數(shù)的自變量趨近某一極限時(shí)，其因變量的增量與自變量的增量之商的極限即為導(dǎo)數(shù)。在速度問(wèn)題上，距離是時(shí)間的因變量，隨時(shí)間變化而變化；當(dāng)時(shí)間趨于某一極限時(shí)，距離增量除以時(shí)間增量的極限即為距離對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率。微分學(xué)微分學(xué)主要研究的是在函數(shù)自變量變化時(shí)如何確定函數(shù)值的瞬時(shí)變化率（或微分）。換言之，計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法就叫微分學(xué)。微分學(xué)的另一個(gè)計(jì)算方法是牛頓法，該算法又叫應(yīng)用幾何法，主要通過(guò)函數(shù)曲線的切線來(lái)尋找點(diǎn)斜率。費(fèi)馬常被稱(chēng)作“微分學(xué)的鼻祖”。積分學(xué)積分學(xué)是微分學(xué)的逆運(yùn)算，即從導(dǎo)數(shù)推算出原函數(shù),又分為定積分與不定積分。一個(gè)一元函數(shù)的定積分可以定義為無(wú)窮多小矩形的面積和，約等于函數(shù)曲線下包含的實(shí)際面積。因此，我們可以用積分來(lái)計(jì)算平面上一條曲線所包含的面積、球體或圓錐體的表面積或體積等。而不定積分的用途較少，主要用于微分方程的解。微積分的基本概念還包括函數(shù)、無(wú)窮序列、無(wú)窮級(jí)數(shù)和連續(xù)等，運(yùn)算方法主要有符號(hào)運(yùn)算技巧，該技巧與初等代數(shù)和數(shù)學(xué)歸納法緊密相連。微積分被延伸到微分方程、向量分析、變分法、復(fù)分析、時(shí)域微分和微分拓?fù)涞阮I(lǐng)域。微積分的現(xiàn)代版本是實(shí)分析。微積分創(chuàng)立的意義及其應(yīng)用微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過(guò)去很多初等數(shù)學(xué)束手無(wú)策的問(wèn)題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。微積分學(xué)的發(fā)展與應(yīng)用幾乎影響了現(xiàn)代生活的所有領(lǐng)域。它與大部分科學(xué)分支關(guān)系密切，特別是物理學(xué)；經(jīng)濟(jì)學(xué)亦經(jīng)常會(huì)用到微積分學(xué)。在天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等多個(gè)分支中，也有越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。一微分學(xué)在幾何中的應(yīng)用二微分學(xué)在物理中的應(yīng)用三微分學(xué)在近似計(jì)算中的應(yīng)用四微分學(xué)在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用五積分學(xué)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用六

積分學(xué)在幾何，物理中的應(yīng)用曲線的切線問(wèn)題微分學(xué)在幾何中的應(yīng)用1.自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題取極限得二微分學(xué)在物理中的應(yīng)用2.交流電路:電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度.3.非均勻的物體:質(zhì)量對(duì)長(zhǎng)度(面積,體積)的導(dǎo)數(shù)為物體的線(面,體)密度.解三微分學(xué)在近似計(jì)算中的應(yīng)用1邊際函數(shù)的應(yīng)用定義1：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I可導(dǎo)，則稱(chēng)導(dǎo)函數(shù)f’(x)為f(x)的邊際函數(shù)。在經(jīng)濟(jì)應(yīng)用上相應(yīng)地有邊際收益，邊際利潤(rùn)，邊際成本等。由導(dǎo)數(shù)的定義知，f’(x)是f(x0)在x點(diǎn)的變化率。即當(dāng)x=x0時(shí)，x改變一個(gè)單位，y改變了f’(x0)個(gè)單位。如邊際成本C’(x0)表示生產(chǎn)x0個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)，再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，成本增加C′(x0)。四微分學(xué)在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用這表明當(dāng)生產(chǎn)第901臺(tái)時(shí)所花費(fèi)的成本為1.5元。同時(shí)也說(shuō)明邊際成本與平均成本有區(qū)別。2極值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用利用微積分理論中求極值的必要條件和充分條件，可以解決求最小成本，最大利潤(rùn)等經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。某廠每天生產(chǎn)某商品x單位的總成本函數(shù)為C(x)=0.5x2+36x+9800（元），那么每天生產(chǎn)多少個(gè)單位的產(chǎn)品時(shí)平均成本最低？平均成本:C(x)=0.5x+36+9800/xC’(x)=0.5-9800/x2

令C′(x)=0，x=140又C″(140)=1/140>