自控原理5(第五章)

第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法5-1引言控制系統(tǒng)中的信號(hào)可以表示為不同頻率正弦信號(hào)的合成。控制系統(tǒng)的頻率特性反映正弦信號(hào)作用下系統(tǒng)響應(yīng)的性能。應(yīng)用頻率特性研究線性系統(tǒng)的經(jīng)典方法稱為頻域分析法。頻域分析法具有以下特點(diǎn)：

1）控制系統(tǒng)及其元部件的頻率特性可以運(yùn)用分析法和實(shí)驗(yàn)方法獲得，并可用多種形式的曲線表示，因而系統(tǒng)分析和控制器設(shè)計(jì)可以應(yīng)用圖解法進(jìn)行。2）頻率特性物理意義明確。對(duì)于一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)，頻域性能指標(biāo)和時(shí)域性能指標(biāo)有確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系；對(duì)于高階系統(tǒng)，可建立近似的對(duì)應(yīng)關(guān)系。3）控制系統(tǒng)的頻域設(shè)計(jì)可以兼顧動(dòng)態(tài)響應(yīng)和噪聲抑制兩方面的要求。4）頻域分析法不僅適用于線性定常系統(tǒng)，還可以推廣應(yīng)用于某些非線性控制系統(tǒng)。本章介紹：1）頻率特性的基本概念；

2）頻率特性曲線的繪制方法；3）研究頻率域穩(wěn)定判據(jù)；4）頻域性能指標(biāo)的估算?？刂葡到y(tǒng)的頻域綜合問題，將在第六章介紹。5-2頻率特性1．頻率特性的基本概念首先以圖5-1所示的RC濾波網(wǎng)絡(luò)為例，建立頻率特性的基本概念。設(shè)電容C的初始電壓為圖5-1RC濾波網(wǎng)絡(luò)

（5-1）

取輸入信號(hào)為正弦信號(hào)：

記錄網(wǎng)絡(luò)的輸入、輸出信號(hào)。當(dāng)輸出響應(yīng)

u0呈穩(wěn)態(tài)時(shí)，記錄曲線如圖5-2所示。圖5-2RC網(wǎng)絡(luò)的輸入和穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)由圖5-2可見，RC網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)仍然為正弦信號(hào)，頻率與輸入信號(hào)的頻率相同，幅值較輸入信號(hào)有一定衰減，其相位存在一定延遲。RC網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出的關(guān)系可由以下微分方程描述：

（5-2）

式中，T=RC，為時(shí)間常數(shù)。取拉氏變換并代入初始條件uo(0)=uo0，得：（5-3）

再由拉氏反變換求得：

（5-4）

式中第一項(xiàng)，由于T

>0，將隨時(shí)間增大而趨于零，為輸出的瞬態(tài)分量；而第二項(xiàng)正弦信號(hào)為輸出的的穩(wěn)態(tài)分量：（5-5）

在式(5-5)中，分別反映RC網(wǎng)絡(luò)在正弦信號(hào)作用下，輸出穩(wěn)態(tài)分量的幅值和相位的變化，稱為幅值比和相位差，

且皆為輸入正弦信號(hào)頻率的函數(shù)。注意到RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為：

（5-6）

取s

=j，則有：（5-7）

比較式（5-5）和式（5-7）可知，A()

和

()

分別為

G(

j)

的幅值G(

j)和相角

G(j)。這一結(jié)論非常重要，反映了A()

和

()與系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)關(guān)系，具有普遍性。

[上述結(jié)論證明]：設(shè)有穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為：（5-8）

系統(tǒng)輸入為諧波信號(hào)：（5-9）

（5-10）

由于系統(tǒng)穩(wěn)定，利用留數(shù)定理，輸出響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量的拉氏變換為：（5-12）

（5-11）

設(shè)：因?yàn)?/p>

G(s)的分子和分母多項(xiàng)式為實(shí)系數(shù)，故式（5-12）中的a()

和

c()

為關(guān)于

的偶次冪實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，b()

和

d()

為關(guān)于

的奇次冪實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，即

a()

和

c()

為

的偶函數(shù)，b()和

d()

為

的奇函數(shù)。（注：需先將R(s)用(5-10)式代入，并將分子、分母相同項(xiàng)約去）因而，（5-15）

再由式（5-11）及歐拉公式得：（5-16）

鑒于：（5-13）

（5-14）

上式與式（5-5）相比較，得：（5-17）

式(5-6)表明，對(duì)于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，由諧波輸入產(chǎn)生的輸出穩(wěn)態(tài)分量仍然是與輸入同頻率的諧波函數(shù)，而幅值和相位的變化是頻率

的函數(shù)，且與系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型相關(guān)。為此，定義諧波輸入下，輸出響應(yīng)中與輸入同頻率的諧波分量與諧波輸入的幅值之比

A()

為幅頻特性，相位之差

()為相頻特性，并稱其指數(shù)表達(dá)形式：（5-18）

為系統(tǒng)的頻率特性。上述頻率特性的定義既可以適用于穩(wěn)定系統(tǒng)，也可適用于不穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性可以用實(shí)驗(yàn)方法確定，即在系統(tǒng)的輸入端施加不同頻率的正弦信號(hào)，然后測(cè)量系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，再根據(jù)幅值比和相位差作出系統(tǒng)的頻率特性曲線。頻率特性也是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種表達(dá)形式。RC濾波網(wǎng)絡(luò)的頻率特性曲線如圖5-3所示。圖5-3RC網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性和相頻特性曲線對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)，輸出響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量中含有由系統(tǒng)傳遞函數(shù)的不穩(wěn)定極點(diǎn)產(chǎn)生的呈發(fā)散或振蕩的分量，所以不穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性不能通過實(shí)驗(yàn)方法確定。線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為零初始條件下，輸出和輸入的拉氏變換之比：

上式的反變換式為：

式中位于G(s)的收斂域。若系統(tǒng)穩(wěn)定，則可以取為零。如果r(t)的傅氏變換存在，可令

s=j

因而（5-19）

由此可知，穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性等于輸出和輸入的傅氏變換之比，而這正是頻率特性的物理意義。頻率特性與微分方程和傳遞函數(shù)一樣，也表征了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，成為系統(tǒng)頻域分析的理論依據(jù)。系統(tǒng)三種描述方法的關(guān)系可用圖5-4說明。圖5-4頻率特性、傳遞函數(shù)和微分方程三種系統(tǒng)描述之間的關(guān)系2．頻率特性的幾何表示法在工程分析和設(shè)計(jì)中，通常把線性系統(tǒng)的頻率特性畫成曲線，再運(yùn)用圖解法進(jìn)行研究。常用的頻率特性曲線有以下三種：它又簡(jiǎn)稱為幅相曲線或極坐標(biāo)圖。以橫軸為實(shí)軸、縱軸為虛軸，構(gòu)成復(fù)數(shù)平面。對(duì)于任一給定的頻率，頻率特性值為復(fù)數(shù)。若將頻率特性表示為實(shí)數(shù)和虛數(shù)的形式，則實(shí)部為實(shí)軸坐標(biāo)值，虛部為虛軸坐標(biāo)值。（1）幅相頻率特性曲線若將頻率特性表示為復(fù)指數(shù)形式，則為復(fù)平面上的向量，而向量的長(zhǎng)度為頻率特性的幅值，向量與實(shí)軸正方向的夾角等于頻率特性的相位。由于幅頻特性為的偶數(shù)，相頻特性為

的奇函數(shù)，則從零變化至和從零變化至的幅相曲線關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，因此一般只繪制從零變化至的幅相曲線。在系統(tǒng)幅相曲線中，頻率為參變量，一般用小箭頭表示增大時(shí)幅相曲線的變化方向。對(duì)于RC網(wǎng)絡(luò)，故有：表明

RC

網(wǎng)絡(luò)的幅相曲線是以

(1/2,j0)

為圓心，半徑為1/2的半圓，如圖5-5所示。

圖5-5RC網(wǎng)絡(luò)的幅相曲線（2）對(duì)數(shù)頻率特性曲線它又稱為伯德曲線或伯德圖。對(duì)數(shù)頻率特性曲線由對(duì)數(shù)幅頻曲線和對(duì)數(shù)相頻曲線組成，是工程中廣泛使用的一組曲線。對(duì)數(shù)頻率特性曲線的橫坐標(biāo)按lg分度，單位為弧度/秒(rad/s)，對(duì)數(shù)幅頻曲線的縱坐標(biāo)按：（5-20）

線性分度，單位是分貝(dB)。對(duì)數(shù)相頻曲線的縱坐標(biāo)按

()線性分度，單位為度

()。由此構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系。

對(duì)數(shù)分度和線性分度如圖5-6所示，在線性分度中，當(dāng)變量增大或減小1時(shí)，坐標(biāo)間距離變化一個(gè)單位長(zhǎng)度；而在對(duì)數(shù)分度中，當(dāng)變量增大或減小10倍，稱為十倍頻程

(dec)

，坐標(biāo)間距離變化一個(gè)單位長(zhǎng)度。設(shè)對(duì)數(shù)分度中的單位長(zhǎng)度為

L,

的某個(gè)十倍頻程的左端點(diǎn)為0，則坐標(biāo)點(diǎn)相對(duì)于左端點(diǎn)的距離為表5-l所示值乘以L。圖5-6對(duì)數(shù)分度與線性分度表5–l十倍頻程中的對(duì)數(shù)分度

對(duì)數(shù)頻率特性采用的對(duì)數(shù)分度實(shí)現(xiàn)了橫坐標(biāo)的非線性壓縮，便于在較大頻率范圍反映頻率特性的變化情況。對(duì)數(shù)幅頻特性采用20lgA()則將幅值的乘除運(yùn)算化為加減運(yùn)算，可以簡(jiǎn)化曲線的繪制過程。

RC網(wǎng)絡(luò)中取T

=0.5，其對(duì)數(shù)頻率特性曲線如圖5-7所示。圖5-7的對(duì)數(shù)頻率特性曲線(3)對(duì)數(shù)幅相曲線

對(duì)數(shù)幅相曲線又稱尼科爾斯曲線或尼科爾斯圖。其特點(diǎn)是縱坐標(biāo)為

L()，單位為分貝

(dB)；橫坐標(biāo)為

()

，單位為度

()

，均為線性分度，頻率為參變量。圖5-8為RC網(wǎng)絡(luò)

T=0.5時(shí)的尼科爾斯曲線。

圖5-8的對(duì)數(shù)幅相曲線在尼科爾斯曲線對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系中，可以根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)和閉環(huán)的關(guān)系，繪制關(guān)于閉環(huán)幅頻特性的等M

簇線和閉環(huán)相頻特性的等簇線，因而根據(jù)頻域指標(biāo)要求確定校正網(wǎng)絡(luò)，簡(jiǎn)化系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程。5-3開環(huán)系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)分解和開環(huán)頻率特性曲線的繪制

設(shè)線性定常系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖5-9所示，其開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)，為了繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線，本節(jié)先研究開環(huán)系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)及相應(yīng)的頻率特性。1.典型環(huán)節(jié)由于開環(huán)傳遞函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)皆為實(shí)數(shù)，因此系統(tǒng)開環(huán)零極點(diǎn)或?yàn)閷?shí)數(shù)或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)。根據(jù)開環(huán)零極點(diǎn)可將分子和分母多項(xiàng)式分解成因式，再將因式分類，即得典型環(huán)節(jié)。典型環(huán)節(jié)可分為兩大類。一類為最小相位環(huán)節(jié)；另一類為非最小相位環(huán)節(jié)。5）二階微分環(huán)節(jié)；1）比例環(huán)節(jié)K（K>0）；

2）慣性環(huán)節(jié)1/(Ts+1)（T>0）；3）一階微分環(huán)節(jié)Ts+1（T>0）；4）振蕩環(huán)節(jié)；6）積分環(huán)節(jié)1/s；

7）微分環(huán)節(jié)s；最小相位環(huán)節(jié)有下列七種：4）振蕩環(huán)節(jié)；非最小相位環(huán)節(jié)共有五種：

1）比例環(huán)節(jié)K（K<0）；2）慣性環(huán)節(jié)1/(Ts+1)（T>0）；

3）一階微分環(huán)節(jié)Ts+1（T>0）；5）二階微分環(huán)節(jié)；圖5-9典型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

除了比例環(huán)節(jié)外，非最小相位環(huán)節(jié)和與之相對(duì)應(yīng)的最小相位環(huán)節(jié)的區(qū)別在于開環(huán)零極點(diǎn)的位置。非最小相位2)~5)環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)于s右半平面的開環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)；而最小相位2)~5)環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)

s

左半平面的開環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)。

開環(huán)傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)分解可將開環(huán)系統(tǒng)表示為若干個(gè)典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式：（5-21）

設(shè)典型環(huán)節(jié)的頻率特性為：（5-22）

（5-23）

則系統(tǒng)開環(huán)頻率特性：系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性和開環(huán)相頻特性：（5-24）

系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性：（5-25）

式（5-24）和式（5-25）表明，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性表現(xiàn)為系統(tǒng)的諸典型環(huán)節(jié)頻率特性的合成；而系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性，則表現(xiàn)為諸典型環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性疊加這一更為簡(jiǎn)單的形式。因此本節(jié)研究典型環(huán)節(jié)頻率特性的特點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，介紹開環(huán)頻率特性曲線的繪制方法。2.典型環(huán)節(jié)的頻率特性由典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和頻率特性的定義，取(0,)可以繪制典型環(huán)節(jié)的幅相曲線和對(duì)數(shù)頻率特性曲線，分別如圖5-10和圖5-11所示。圖5-10典型環(huán)節(jié)幅相曲線圖5-11典型環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性曲線為了加深對(duì)典型環(huán)節(jié)頻率特性的理解，以下介紹典型環(huán)節(jié)頻率特性曲線的若干重要特點(diǎn)：（1）非最小相位環(huán)節(jié)和對(duì)應(yīng)的最小相位環(huán)節(jié)

對(duì)于每一種非最小相位的典型環(huán)節(jié)，都有一種最小相位環(huán)節(jié)與之對(duì)應(yīng)，其特點(diǎn)是典型環(huán)節(jié)中的某個(gè)參數(shù)的符號(hào)相反。最小相位的比例環(huán)節(jié)G(s)=K

(K

>0)，簡(jiǎn)稱為比例環(huán)節(jié)，其幅頻和相頻特性為：

（5-26）

而非最小相位的比例環(huán)節(jié)G(s)=

K

(K

>0)，其幅頻和相頻特性為：（5-27）

最小相位的慣性環(huán)節(jié)后，其幅頻和相頻特性為：

（5-28）

而非最小相位的慣性環(huán)節(jié)，又稱為不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)，，其幅頻和相頻特性為：（5-29）

由式

(5-28)

和式

(5-29)

可知，最小相位慣性環(huán)節(jié)和非最小相位的慣性環(huán)節(jié)，其幅頻特性相同，相頻特性符號(hào)相反，幅相曲線關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；對(duì)數(shù)幅頻曲線相同，對(duì)數(shù)相頻曲線關(guān)于0

線對(duì)稱。上述特點(diǎn)對(duì)于振蕩環(huán)節(jié)和非最小相位（或不穩(wěn)定）振蕩環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)和非最小相位一階微分環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)和非最小相位二階微分環(huán)節(jié)均適用。（5-30）

設(shè)，則，（5-31）

（2）傳遞函數(shù)互為倒數(shù)的典型環(huán)節(jié)

最小相位典型環(huán)節(jié)中，積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)和一階微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)，即有下述關(guān)系成立：

由此可知，傳遞函數(shù)互為倒數(shù)的典型環(huán)節(jié)，對(duì)數(shù)幅頻曲線關(guān)于

0dB

線對(duì)稱，對(duì)數(shù)相頻曲線關(guān)于0線對(duì)稱。

在非最小相位環(huán)節(jié)中，同樣存在傳遞函數(shù)互為倒數(shù)的典型環(huán)節(jié)，其對(duì)數(shù)頻率特性曲線的對(duì)稱性亦成立。（3）振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：

（5-32）

或：

振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性：（5-33）

（5-34）

顯然，(0)=0,()=180，故相頻特性曲線從

0單調(diào)減至180。當(dāng)

=n時(shí)，(n)=

90，由式（5-33）得A(n)=1/2，表明振蕩環(huán)節(jié)與虛軸的交點(diǎn)為j1/2。由式（5-33）可得A(0)=1，A()=0。為分析

A()

的變化，我們求A()的極值。令：（5-35）

得諧振頻率：（5-36）

將r代入式（5-33），求得諧振峰值：

（5-37）

{因?yàn)闀r(shí)，Mr=1，當(dāng)時(shí)，

（5-38）

可見r，Mr均為阻尼比的減函數(shù)。當(dāng)，且(0,r)

時(shí)，A()單調(diào)增；(r,)時(shí)，A()

單調(diào)減。而當(dāng)時(shí)，A()單調(diào)減。不同阻尼比

情況下，振蕩環(huán)節(jié)的幅相曲線和對(duì)數(shù)頻率特性曲線分別如圖

5-12

和圖

5-13

所示，其中u=/n。}

圖5-12振蕩環(huán)節(jié)的幅相曲線圖5-13振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率曲線

二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的倒數(shù)，按對(duì)稱性可得二階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率曲線，并有（5-39）當(dāng)阻尼比時(shí)，A()從1單調(diào)增至；當(dāng)阻尼比，且(0,r)時(shí)，A()從1單調(diào)減至：(r,)時(shí)，A()單調(diào)增。二階微分環(huán)節(jié)的幅相曲線如圖5-14所示。圖5-14二階微分環(huán)節(jié)的幅相曲線非最小相位的二階微分環(huán)節(jié)和不穩(wěn)定振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性曲線可按前述(1)中結(jié)論以及二階微分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性曲線加以確定。（4）對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線在控制工程中，為簡(jiǎn)化慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻曲線的作圖，常用低頻和高頻漸近線近似表示對(duì)數(shù)幅頻曲線，稱之為對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線。（5-40）（5-41）當(dāng)

>>1/T時(shí)，2T2>>1，有：當(dāng)

1/T

時(shí)，2T2

0，有：（5-42）（a)對(duì)于慣性環(huán)節(jié)，對(duì)數(shù)幅頻特性為：因此，慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻漸近特性為：（5-43）慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線如圖

5-15

所示，低頻部分是零分貝線，高頻部分是斜率為

20dB/dec的直線，兩條直線交于

=1/T

處，稱頻率1/T為慣性環(huán)節(jié)的交接頻率。用漸近特性近似表示對(duì)數(shù)幅頻特性存在如下誤差：（5-44）圖5-15慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線誤差曲線如圖5-16所示。在交接頻率處誤差最大，約為3dB。根據(jù)誤差曲線，可修正漸近特性曲線獲得準(zhǔn)確曲線。圖5-16慣性環(huán)節(jié)的誤差曲線（1）由于非最小相位慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性與慣性環(huán)節(jié)相同，故其對(duì)數(shù)幅頻漸近特性亦相同。（2）根據(jù)一階微分環(huán)節(jié)和非最小相位一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性相等，且與慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性互為倒數(shù)的特點(diǎn)，可知一階微分環(huán)節(jié)和非最小相位一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線以

0dB

線互為鏡象。

（5-46）

當(dāng)n時(shí)，L()0，低頻漸近線為

0dB。而當(dāng)n時(shí)，L()=

40lg/n，高頻漸近線為過(n，0)點(diǎn)，斜率為40dB/dec的直線。振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率為n，對(duì)數(shù)幅頻漸近特性為：（b）振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為：（5-45）由于La()

與阻尼比

無關(guān)，用漸近線近似表示對(duì)數(shù)幅頻曲線存在誤差，誤差的大小不僅和

有關(guān)，而且也和

有關(guān)，誤差曲線

L(,)為一曲線簇，如圖5-17所示。根據(jù)誤差曲線可以修正漸近特性曲線而獲得準(zhǔn)確曲線。根據(jù)對(duì)數(shù)幅頻特性定義還可知：（1）非最小相位振蕩環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線相同；（2）二階微分環(huán)節(jié)和非最小相位二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線關(guān)于0dB線對(duì)稱。圖5-17振蕩環(huán)節(jié)的誤差曲線這里還應(yīng)指出，半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中的直線方程為：（5-47）其中[1，La(1)]和[2，La(2)]為直線上的兩點(diǎn)，k(dB/dec)為直線斜率。3．開環(huán)幅相曲線繪制

根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的表達(dá)式可以通過取點(diǎn)、計(jì)算和作圖繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。這里著重介紹結(jié)合工程需要，繪制概略開環(huán)幅相曲線的方法。概略開環(huán)幅相曲線應(yīng)反映開環(huán)頻率特性的三個(gè)重要因素：1）開環(huán)幅相曲線的起點(diǎn)(=

0+)和終點(diǎn)(=)2）開環(huán)幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)設(shè)=

x時(shí)，G(jx)H(jx)的虛部為零：

（5-48）或：（5-49）稱

x

為穿越頻率，而開環(huán)頻率特性曲線與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值為：

（5-50）3）開環(huán)幅相曲線的變化范圍（象限、單調(diào)性）。

開環(huán)系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)分解和典型環(huán)節(jié)幅相曲線的特點(diǎn)是繪制概略開環(huán)幅相曲線的基礎(chǔ)，下面結(jié)合具體的系統(tǒng)加以介紹。[例5-1]某0型單位反饋系統(tǒng)：試概略繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。[解]由于慣性環(huán)節(jié)的角度變化為0~

90，故該系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線起點(diǎn)：A(0)=K，(0)=0終點(diǎn)：A()=0，()=2(90)=180系統(tǒng)開環(huán)頻率特性：令

ImG(jx)=0，得x=0，即系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線除在=0處外與實(shí)軸無交點(diǎn)。由于慣性環(huán)節(jié)單調(diào)地從0變化至90，故該系統(tǒng)幅相曲線的變化范圍為第Ⅳ和第III

象限，系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線如圖5-18實(shí)線所示。若取K<0，由于非最小相位比例環(huán)節(jié)的相角恒為180，其相角變化為：180

~0，故此時(shí)系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線由原曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180而得，如圖5-18中虛線所示。（此題最好還能求出開環(huán)幅相曲線與虛軸的交點(diǎn)，可令ReG(j)=0得到。這樣，可將曲線畫得更準(zhǔn)確一些）圖5-18例5-1系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線[例5-2]設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：繪制系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線。[解]系統(tǒng)開環(huán)頻率特性：幅值變化：A(0+)=，A()=0

相角變化：起點(diǎn)處位置：與實(shí)軸的交點(diǎn)：令，得，于是：由此作系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線如圖5-19中曲線①所示。圖中虛線為開環(huán)幅相曲線的低頻漸近線。由于開環(huán)幅相曲線用于系統(tǒng)分析時(shí)不需要準(zhǔn)確知道漸近線的位置，故一般根據(jù)

(0+)取漸近線為坐標(biāo)軸，圖中曲線②為相應(yīng)的開環(huán)概略幅相曲線。本例中系統(tǒng)型次即開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)

=1，若分別取

=2，3和4，則根據(jù)積分環(huán)節(jié)的相角，可將圖5-19曲線分別繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

90，180

和

270

即可得相應(yīng)的開環(huán)概略幅相曲線，如圖5-20所示。圖5-19例5-2系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線圖5-20

=1,2,3,4時(shí)系統(tǒng)開環(huán)概略幅相曲線

[例5-3]

已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線。[解]系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為：開環(huán)幅相曲線的起點(diǎn)：G(j0+)=90

終點(diǎn)：G(j)=0180變化范圍：時(shí)，開環(huán)幅相曲線位于第III象限或第Ⅳ與第III象限。當(dāng)時(shí)，開環(huán)幅相曲線位于第III象限與第Ⅱ象限。開環(huán)概略幅相曲線如圖5-21所示。與實(shí)軸的交點(diǎn)：當(dāng)時(shí)得：圖5-21例5-3系統(tǒng)開環(huán)概略幅相曲線應(yīng)該指出，由于開環(huán)傳遞函數(shù)具有一階微分環(huán)節(jié)，系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線有凹凸現(xiàn)象，因?yàn)槔L制的是概略幅相曲線，故這一現(xiàn)象無須準(zhǔn)確反映。[例5-4]

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試概略繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。[解]

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為：開環(huán)幅相曲線的起點(diǎn)：A(0+)

=，(0+)=

90

終點(diǎn)：A()

=0，()=

270與實(shí)軸的交點(diǎn)：令虛部為零，解得：因?yàn)?)從90單調(diào)減至270，故幅相曲線在第III與Ⅱ象限之間變化。開環(huán)概略幅相曲線如圖5-22所示。

圖5-22例5-4系統(tǒng)概略幅相曲線在例5-4中，系統(tǒng)含有非最小相位一階微分環(huán)節(jié)，稱開環(huán)傳遞函數(shù)含有非最小相位環(huán)節(jié)的系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，而開環(huán)傳遞函數(shù)全部由最小相位環(huán)節(jié)構(gòu)成的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。比較例5-2、例5-3和例5-4可知，非最小相位環(huán)節(jié)的存在將對(duì)系統(tǒng)的頻率特性產(chǎn)生一定的影響，

故在控制系統(tǒng)分析中必須加以重視。[例5-5]設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)概略幅相曲線。[解]

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為：開環(huán)幅相曲線的起點(diǎn)：G(j0+)H(j0+)=90

終點(diǎn)：G(j)H(j)=0360由于開環(huán)頻率特性表達(dá)式知，G(j)H(j)的虛部不為零，故與實(shí)軸無交點(diǎn)。注意到開環(huán)系統(tǒng)含有等幅震蕩環(huán)節(jié)(=0)，當(dāng)

趨于n

時(shí)，A(n)趨于無窮大。即()

在

=n

的附近相角突變

180，幅相曲線在

n

處呈現(xiàn)不連續(xù)現(xiàn)象。作系統(tǒng)開環(huán)概略幅相曲線如圖5-23所示。圖5-23例5-5系統(tǒng)開環(huán)概略幅相曲線而相頻特性：根據(jù)以上例子，可以總結(jié)繪制開環(huán)概略幅相曲線的規(guī)律如下：

1）開環(huán)幅相曲線的起點(diǎn)，取決于比例環(huán)節(jié)K

和系統(tǒng)積分或微分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)(系統(tǒng)型別)。

<0，起點(diǎn)為原點(diǎn)；=0，起點(diǎn)為實(shí)軸上的點(diǎn)K處(K為系統(tǒng)開環(huán)增益，注意K有正負(fù)之分)；>0，設(shè)=4k+i(k=0,1,2,;i=1,2,3,4)，則

K>0時(shí)為i(90)的無窮遠(yuǎn)處；K<0時(shí)為i(90)180的無窮遠(yuǎn)處。

2）開環(huán)幅相曲線的終點(diǎn)，取決于開環(huán)傳遞函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式中最小相位環(huán)節(jié)和非最小相位環(huán)節(jié)的階次和。設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式的階次分別為

m

和

n，記除

K

外，分子多項(xiàng)式中最小相位環(huán)節(jié)的階次和為

m1，

非最小相位環(huán)節(jié)的階次和為

m2，

分母多項(xiàng)式中最小相位環(huán)節(jié)的階次和為

n1，非最小相位環(huán)節(jié)的階次和為n2，則有：

特殊地，當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)時(shí)，若：（5-52）（5-53）其中K*為系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益。（5-51）G1(s)H1(s)

不含

jn

的極點(diǎn)，則當(dāng)

趨于n

時(shí)，A()

趨于無窮，而即()

在

=n

附近，相角突變

l180。3）如開環(huán)系統(tǒng)存在等幅震蕩環(huán)節(jié)（=

0），重?cái)?shù)

l

為正整數(shù)，即開環(huán)傳遞函數(shù)具有下述形式：4.開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線（1）將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)分解為典型環(huán)節(jié)；

（2）畫出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線；（3）采用疊加法繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。

鑒于系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中具有十分重要的作用，以下著重介紹開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線的繪制方法。注意到典型環(huán)節(jié)中，K

及K

(K>0)、微分環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線均為直線，可直接取其為漸近特性。由式(5-25)得系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性：

（5-54）

對(duì)于任意的開環(huán)傳遞函數(shù)，可按典型環(huán)節(jié)分解，將組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)分為三部分：1）或；2）一階環(huán)節(jié)，包括慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)以及對(duì)應(yīng)的非最小相位環(huán)節(jié)。它們的交接頻率都為1/T。3）二階環(huán)節(jié)，包括振蕩環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)以及對(duì)應(yīng)的非最小相位環(huán)節(jié)。它們的交接頻率為n

。

記min為最小交接頻率，稱<min的頻率范圍為低頻段。

開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線的繪制按以下步驟進(jìn)行：1）開環(huán)傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)分解；2）確定一階環(huán)節(jié)、二階環(huán)節(jié)的交接頻率，將各交接頻率標(biāo)注在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的

軸上；3）繪制低頻段漸近特性線：由于一階環(huán)節(jié)或二階環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線在交接頻率前斜率為0dB/dec，在交接頻率處斜率發(fā)生變化，故在<min頻段內(nèi)，開環(huán)系統(tǒng)幅頻漸近特性的斜率取決于K/，因而直線斜率為20dB/dec。為獲得低頻漸近線，還需確定該直線上的一點(diǎn)，可以采用以下三種方法：方法一：在<min范圍內(nèi)，任選一點(diǎn)0，計(jì)算：（5-55）方法二：取頻率為特定值0=1，則：（5-56）方法三：取La(0)為特殊值0，則有K/0

=1（5-57）過(0，La(0))在<min范圍內(nèi)作斜率為20dB/dec的直線。顯然，若有0

>min，則點(diǎn)(0，La(0))位于低頻漸近特性曲線的延長(zhǎng)線上。4）作min頻段漸近特性線：在min頻段，系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線表現(xiàn)為分段折線：（1）每?jī)蓚€(gè)相鄰交接頻率之間為直線；（2）在每個(gè)交接頻率點(diǎn)處，斜率發(fā)生變化，變化規(guī)律取決于該交接頻率對(duì)應(yīng)的典型環(huán)節(jié)的種類，如表5-2所示。表5-2交接頻率點(diǎn)處斜率的變化表應(yīng)該注意的是，當(dāng)系統(tǒng)的多個(gè)環(huán)節(jié)具有相同交接頻率時(shí)，該交接頻率點(diǎn)處斜率的變化應(yīng)為各個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)的斜率變化值的代數(shù)和。以k

=

20dB/dec的低頻漸近線為起始直線，按交接頻率由小到大順序和由表

5-2確定斜率變化，再逐一繪制直線。[例5-6]

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅相頻率漸近特性曲線。[解]

開環(huán)傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)分解為：開環(huán)系統(tǒng)由六個(gè)典型環(huán)節(jié)串聯(lián)而成：非最小相位比例環(huán)節(jié)、兩個(gè)積分環(huán)節(jié)、非最小相位一階微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)和震蕩環(huán)節(jié)。1）確定各交接頻率i，i=1,2,3及斜率變化值非最小相位一階微分環(huán)節(jié)：2=2，斜率：+20dB/dec慣性環(huán)節(jié)：1=1，斜率：20dB/dec振蕩環(huán)節(jié)：3=20，斜率：40dB/dec最小交接頻率min=1

=1。

2）繪制低頻段

(<min)

漸近特性曲線。因?yàn)?/p>

=2，則低頻漸近線斜率

k

=

40dB/dec，按方法二得直線上一點(diǎn)：(0，La(0))=(1,20dB)。3）繪制頻段min漸近特性曲線：系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線如圖5-24所示。

（增加了一個(gè)慣性環(huán)節(jié)）

（增加了一階微分環(huán)節(jié)）

（增加了一個(gè)振蕩環(huán)節(jié)）圖5-24例5-6系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線

開環(huán)對(duì)數(shù)相頻曲線的繪制，一般由典型環(huán)節(jié)分解下的相頻特性表達(dá)式，取若干個(gè)頻率點(diǎn)，列表計(jì)算各點(diǎn)的相角并標(biāo)注在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖中，最后將各點(diǎn)光滑連接。具體計(jì)算相角時(shí)應(yīng)注意判別象限。例如在例5-6中5.延遲環(huán)節(jié)和延遲系統(tǒng)

輸出量經(jīng)恒定延時(shí)后不失真地復(fù)現(xiàn)輸入量變化的環(huán)節(jié)稱為延遲環(huán)節(jié)。含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)稱為延遲系統(tǒng)?；ぁ㈦娏ο到y(tǒng)多為延遲系統(tǒng)。延遲環(huán)節(jié)的輸入輸出的時(shí)域表達(dá)式為：（5-58）式中為延遲時(shí)間，應(yīng)用拉氏變換的實(shí)數(shù)位移定理，可得延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：（5-59）延遲環(huán)節(jié)的頻率特性為：（5-60）由式(5-60)可知，延遲環(huán)節(jié)幅相曲線為單位圓。當(dāng)系統(tǒng)存在延遲現(xiàn)象，即開環(huán)系統(tǒng)表現(xiàn)為延遲環(huán)節(jié)和線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式時(shí)，延遲環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的影響造成了相頻特性的明顯變化。如圖5-25所示，當(dāng)線性環(huán)節(jié)G(s)=10/(1+s)與延遲環(huán)節(jié)e0.5s串聯(lián)后，系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線為螺旋線。圖中以

(5,j0)

為圓心，半徑為5的半圓為慣性環(huán)節(jié)的幅相曲線。任取頻率點(diǎn)，設(shè)慣性環(huán)節(jié)的頻率特性點(diǎn)為

A，則延遲系統(tǒng)的幅相曲線的B點(diǎn)位于以|OA|為半徑，距A點(diǎn)圓心角=57.30.5的圓弧處。圖5-25延遲系統(tǒng)及其開環(huán)幅相曲線6．傳遞函數(shù)的頻域?qū)嶒?yàn)確定由前可知，穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為與輸入同頻率的正弦信號(hào)，而幅值衰減和相角滯后為系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性，因此可以運(yùn)用頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)確定穩(wěn)定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。（1）頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)原理如圖5-26所示。首先選擇信號(hào)源輸出的正弦信號(hào)的幅值，以使系統(tǒng)處于非飽和狀態(tài)。在一定頻率范圍內(nèi)，改變輸入正弦信號(hào)的頻率，記錄各頻率點(diǎn)處系統(tǒng)輸出信號(hào)的波形。由穩(wěn)態(tài)段的輸入輸出信號(hào)的幅值比和相位差繪制對(duì)數(shù)頻率特性曲線。圖5-26頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)原理（2）傳遞函數(shù)確定從低頻段起，將實(shí)驗(yàn)所得的對(duì)數(shù)幅頻曲線用斜率為0dB/dec，士20dB/dec，士40dB/dec，…等直線分段近似，獲得對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線。由對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線可以確定最小相位條件下系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，這是對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線繪制的逆問題，下面舉例說明其方法和步驟。[例5-7]圖5-27為由頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)獲得的某最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻曲線和對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線，試確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)。圖5-27系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線[解]

1）確定系統(tǒng)積分或微分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。因?yàn)閷?duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線的低頻漸近線的斜率為20

dB/dec，而由圖5-27知低頻漸近線斜率為+20dB/dec，故有

=1，系統(tǒng)含有一個(gè)微分環(huán)節(jié)。2）確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)形式。由于對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線為分段折線，其各轉(zhuǎn)折點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率為所含一階環(huán)節(jié)或二階環(huán)節(jié)的交接頻率，每個(gè)交接頻率處斜率的變化取決于環(huán)節(jié)的種類。本例中共有兩個(gè)交接頻率：

=1處，斜率變化

20dB/dec，對(duì)應(yīng)慣性環(huán)節(jié)。

=2處，斜率變化

40dB/dec，可以對(duì)應(yīng)振蕩環(huán)節(jié)也可以為重慣性環(huán)節(jié)，本例中對(duì)數(shù)幅頻特性在2附近存在諧振現(xiàn)象，故應(yīng)為振蕩環(huán)節(jié)。因此，所測(cè)系統(tǒng)應(yīng)具有下述傳遞函數(shù)：其中參數(shù)1、2、及

K

待定。3）由給定條件確定傳遞函數(shù)參數(shù)。低頻率漸近線的方程為：由給定點(diǎn)(，La())=(1,0)及=1得K=1。根據(jù)直線方程式(5-47)及給定點(diǎn)：得：再由給定點(diǎn)：得：由前知，在諧振頻率r處，振蕩環(huán)節(jié)的諧振峰值為：因?yàn)閳D中振蕩環(huán)節(jié)的諧振峰值被其它環(huán)節(jié)抬高了12dB。故有：解得：因?yàn)?<

<0.707時(shí)存在諧振峰值，故應(yīng)選1=0.196。而根據(jù)疊加性質(zhì)，本例中，于是，所測(cè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：值得注意的是，實(shí)際系統(tǒng)并不都是最小相位系統(tǒng)，而最小相位系統(tǒng)可以和某些非最小相位系統(tǒng)具有相同的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線，因此具有非最小相位環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，還需依據(jù)上述環(huán)節(jié)對(duì)相頻特性的影響并結(jié)合實(shí)測(cè)相頻特性予以確定?？刂葡到y(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性是系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)所需解決的首要問題。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)（簡(jiǎn)稱奈氏判據(jù)）和對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)是常用的兩種頻域穩(wěn)定判據(jù)。

頻域穩(wěn)定判據(jù)的特點(diǎn)是根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)頻率特性曲線判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。頻域判據(jù)使用方便，易于推廣。5-4頻率域穩(wěn)定判據(jù)1．奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)變函數(shù)中的幅角原理是奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，幅角原理用于控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性的判定還需選擇輔助函數(shù)和閉合曲線。（1）幅角原理

設(shè)

s

為復(fù)數(shù)變量，F(xiàn)(s)

為

s

的有理分式函數(shù)。對(duì)于s

平面上任意一點(diǎn)

s，通過復(fù)變函數(shù)

F(s)

的映射關(guān)系，在

F(s)平面上可以確定關(guān)于

s

的象。在

s

平面上任選一條閉合曲線

，且不通過

F(s)

的任一零點(diǎn)和極點(diǎn)，s

從閉合曲線

上任一點(diǎn)

A

起，順時(shí)針沿

運(yùn)動(dòng)一周，再回到

A

點(diǎn)，則相應(yīng)地，F(xiàn)(s)

平面上亦從點(diǎn)

F(A)

起，到

F(A)

點(diǎn)止亦形成一條閉合曲線

F

。為討論方便，取

F(s)

為下述簡(jiǎn)單形式：（5-61）其中z1、z2為F(s)的零點(diǎn)；p1、p2為F(s)的極點(diǎn)。不失一般性，取s平面上F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)以及閉合曲線

的位置如圖5-28(a)所示，圖中，

包圍F(s)的零點(diǎn)z1和極點(diǎn)p1。設(shè)復(fù)變量

s

沿閉合曲線

順時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周，研究F(s)相角的變化情況：（5-62）因?yàn)椋海?-63）圖5-28s和F(s)平面的映射關(guān)系

[F(s)

平面][s

平面]因而，（5-64）由于z1和p1被

所包圍，故按復(fù)平面向量的相角定義，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)，所以：而對(duì)于零點(diǎn)z2，由于z2未被

所包圍，過z2作兩條直線與閉合曲線

相切，設(shè)s1、

s2為切點(diǎn)，則在

的

s1s2段，s

z2的角度減小，在

的

s2s1

段，角度增大，且有：即(sz2)

=

0。p2未被

包圍，同理可得(sp2)=

0。上述討論表明，當(dāng)

s

沿

s

平面任意閉合曲線

運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，F(xiàn)(s)

繞

F(s)

平面原點(diǎn)的圈數(shù)只和

F(s)

被閉合曲線

所包圍的極點(diǎn)和零點(diǎn)的代數(shù)和有關(guān)。上例中：

F(s)

=

2

+0

(2)+0=

0幅角原理：設(shè)

s

平面閉合曲線

包圍

F(s)

的Z個(gè)零點(diǎn)和

P

個(gè)極點(diǎn)，則

s

沿

順時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，在F(s)平面上，F(xiàn)(s)

閉合曲線

F

包圍原點(diǎn)的圈數(shù)：R=PZ

（5-65）

(1)

R

<0和

R

>

0分別表示F

順時(shí)針包圍和逆時(shí)針包圍F(s)平面的原點(diǎn)；

(2)R

=

0表示不包圍

F(s)平面的原點(diǎn)。

（2）復(fù)變函數(shù)F(s)的選擇

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定是在已知開環(huán)傳遞函數(shù)的條件下進(jìn)行的。為應(yīng)用幅角原理，選擇F(s)

為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程：（5-66）由式(5-66)可知，F(xiàn)(s)具有以下特點(diǎn)：1）F(s)的零點(diǎn)為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，F(xiàn)(s)的極點(diǎn)為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；2）因?yàn)殚_環(huán)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的階次一般大于或等于分子多項(xiàng)式的階次，故

F(s)

的零點(diǎn)和極點(diǎn)數(shù)相同；3）s沿閉合曲線

運(yùn)動(dòng)一周所產(chǎn)生的兩條閉合曲線F和GH，在位置上只相差常數(shù)1，即閉合曲線

F

可由GH

沿實(shí)軸正方向平移一個(gè)單位長(zhǎng)度獲得。閉合曲線F

包圍F(s)平面原點(diǎn)的圈數(shù)等于閉合曲線GH

包圍F(s)平面點(diǎn)

(1,j0)的圈數(shù)。其幾何關(guān)系如圖5-29所示。圖5-29F和GH的幾何關(guān)系

由F(s)的特點(diǎn)可以看出F(s)取上述特定形式具有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)，其一是建立了系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)和閉環(huán)極點(diǎn)與

F(s)的零極點(diǎn)之間的直接聯(lián)系；其二是建立了閉合曲線F

和閉合曲線GH之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。在已知開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的條件下，上述優(yōu)點(diǎn)為幅角原理的應(yīng)用創(chuàng)造了條件。（3）s

平面閉合曲線

的選擇

系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)，即F(s)的零點(diǎn)的位置，因此當(dāng)選擇

s

平面閉合曲線

包圍

s

平面的右半平面時(shí)，若Z

=0

(即F(s)在右半s平面無零點(diǎn))，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

考慮到前述閉合曲線

應(yīng)不通過

F(s)

的零、極點(diǎn)的要求，

可取圖5-30所示的兩種形式（只考慮右半

s

平面）。圖5-30s平面的閉合曲線

[s

平面][s

平面]（1）當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在虛軸上沒有極點(diǎn)時(shí)，見圖5-30(a)，s平面閉合曲線

由兩部分組成：1）s

=

ej,

[0,90]，即圓心為原點(diǎn)、第Ⅳ象限中半徑為無窮大的1/4圓；s=j，(,0]

，即負(fù)虛軸。2）s=j，[0,+)，即正虛軸；s

=

ej,

[0,90]，即圓心為原點(diǎn)、第

I

象限中半徑為無窮大的1/4圓。

（2）當(dāng)

G(s)H(s)

在虛軸上有極點(diǎn)時(shí)，為避開開環(huán)虛極點(diǎn),在圖5-30(a)所選閉合曲線

的基礎(chǔ)上加以擴(kuò)展，構(gòu)成圖5-30(b)所示的閉合曲線

。1）開環(huán)系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)時(shí)，在原點(diǎn)附近，取s

=

ej（

為正無窮小量，

[90,+90]），即圓心為原點(diǎn)、半徑為無窮小的半圓。2）開環(huán)系統(tǒng)含有等幅振蕩環(huán)節(jié)時(shí)，在jn

附近，取s

=

jn+

ej（

為正無窮小量，

[90,+90]），

即圓心為jn、半徑為無窮小的半圓。按上述曲線，函數(shù)

F(s)

位于

s

右半平面的極點(diǎn)數(shù)即開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)位于s右半平面的極點(diǎn)數(shù)

P

應(yīng)不包括G(s)H(s)位于

s

平面虛軸上的極點(diǎn)數(shù)。

（4）G(s)H(s)閉合曲線的繪制

由圖5-30知，s平面閉合曲線關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，鑒于G(s)H(s)為實(shí)系數(shù)有理分式函數(shù)，故閉合曲線GH亦關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，因此只需繪制GH

在

Ims≥0，s

對(duì)應(yīng)的曲線段,得G(s)H(s)

的半閉合曲線,稱為奈奎斯特曲線,仍記為GH。G(s)H(s)

具體繪制方法如下：1）若G(s)H(s)無虛軸上極點(diǎn)

GH在s=j，[0,+)時(shí)，對(duì)應(yīng)開環(huán)幅相曲線；GH在s

=

ej,

[0,+90]時(shí)，對(duì)應(yīng)原點(diǎn)(n>m時(shí))或(K*,j0)點(diǎn)（n=m時(shí)），K*為系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益。

2）若G(s)H(s)有虛軸極點(diǎn)。當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)時(shí)，設(shè)：（5-67）（5-68）在原點(diǎn)附近，閉合曲線為s

=

ej，

[0,+90]且有G1(

ej

)=G1(

j0)，故：（5-69）在原點(diǎn)（0,j0）處：圖5-31F(s)平面的半閉合曲線對(duì)應(yīng)的曲線為從G1(

j0)點(diǎn)起，半徑為∞、圓心角為()的圓弧，即可從G(

j0+)H(

j0+)點(diǎn)起逆時(shí)針作半徑無窮大、圓心角為90的圓弧，如圖5-3l(a)中虛線所示。當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)含有等幅震蕩環(huán)節(jié)時(shí)，設(shè)（5-70）考慮

s

在

jn

附近，沿

運(yùn)動(dòng)時(shí)GH

的變化：（5-71）因?yàn)?/p>

為正無窮小量，所以式（5-70）可寫為（5-72）故有：（5-73）因此，s

沿

在

jn

附近運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的GH

閉合曲線為半徑無窮大，圓心角等于1

180的圓弧，即應(yīng)從G(

jn

)H(

jn

)

點(diǎn)起以半徑為無窮大順時(shí)針作1

180

的圓弧至G(

jn

+)H(

jn

+)點(diǎn)，如圖5-31(b)中虛線所示。[結(jié)論]

半閉合曲線GH

由開環(huán)幅相曲線和根據(jù)開環(huán)虛軸極點(diǎn)所補(bǔ)作的無窮大半徑的虛線圓弧兩部分組成。（5）閉合曲線F包圍原點(diǎn)圈數(shù)

R

的計(jì)算

根據(jù)半閉合曲線GH可獲得F

包圍原點(diǎn)的圈數(shù)

R。設(shè)N

為

GH穿越(1,j0)點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸的次數(shù)，N+

表示正穿越的次數(shù)和(從上向下穿越)，N表示負(fù)穿越的次數(shù)和(從下向上穿越)，則：（5-74）圖5-32系統(tǒng)開環(huán)半閉合曲線GH

在圖5-32中，虛線為按系統(tǒng)型次

或等幅振蕩環(huán)節(jié)數(shù)1補(bǔ)作的圓弧，點(diǎn)A，B為奈氏曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)，按穿越負(fù)實(shí)軸上(,1)段的方向，分別有：（圖a）A點(diǎn)位于(1,j0)點(diǎn)左側(cè)，GH

從下向上穿越，為一次負(fù)穿越。故N=1，N+=0，R

=

2N=

2。（圖b）A點(diǎn)位于(1,j0)點(diǎn)的右側(cè)，N+=N=0，R=0。（圖c）A，B點(diǎn)均位于(1,j0)點(diǎn)左側(cè)，而在A點(diǎn)處GH從下向上穿越，為一次負(fù)穿越；B點(diǎn)處則GH

從上向下穿越，為一次正穿越，故有N+=N=1，R=0。（圖d）A，B點(diǎn)均位于(1,j0)點(diǎn)左側(cè)，A點(diǎn)處GH從下向上穿越，為一次負(fù)穿越；B點(diǎn)處GH從上向下運(yùn)動(dòng)至實(shí)軸并停止，為半次正穿越，故

N=1，N+=1/2，R

=

1。

（圖e）A，B點(diǎn)均位于點(diǎn)(1,j0)的左側(cè)，A點(diǎn)應(yīng)=0，隨增大，GH

離開負(fù)實(shí)軸，為半次負(fù)穿越，而B點(diǎn)處為一次負(fù)穿越，故有N=3/2，N+=0，R=

3。

F

包圍原點(diǎn)的圈數(shù)

R

等于GH包圍(1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)。

計(jì)算R的過程中應(yīng)注意正確判斷GH穿越(1,j0)點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸時(shí)的方向、半次穿越和虛線圓弧所產(chǎn)生的穿越次數(shù)。2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

由于選擇閉合曲線如圖5-30所示，在已知開環(huán)系統(tǒng)右半平面的極點(diǎn)數(shù)（不包括虛軸上的極點(diǎn)）

和半閉合曲線

GH的情況，根據(jù)幅角原理和閉環(huán)穩(wěn)定條件，可得下述奈氏判據(jù)。[奈氏判據(jù)]

反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是半閉合曲線GH不穿過

(1,j0)

點(diǎn)且逆時(shí)針包圍臨界點(diǎn)

(1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)

R

等于開環(huán)傳遞函數(shù)的正實(shí)部極點(diǎn)數(shù)

P。由幅角原理可知，閉合曲線

包圍

F(s)=1+G(s)H(s)

的零點(diǎn)數(shù)即反饋控制系統(tǒng)正實(shí)部極點(diǎn)數(shù)為：

（5-75）當(dāng)PR

時(shí)，Z0，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。而當(dāng)半閉合曲線GH穿過(1,j0)點(diǎn)時(shí)，表明存在s=

jn，使得：（5-76）即系統(tǒng)閉環(huán)特征方程存在共軛存虛根，則系統(tǒng)可能臨界穩(wěn)定。計(jì)算GH的穿越次數(shù)

N

時(shí)，應(yīng)該注意不計(jì)GH穿越(1,j0)點(diǎn)的次數(shù)。[例5-8]

已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線(K=10，P=0，=1)如圖5-33所示，試確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)K

值的范圍。[解]如圖所示，開環(huán)幅相曲線與負(fù)實(shí)軸有三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)處穿越頻率分別為1,2,3，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)形如：由題設(shè)條件

=1，，和當(dāng)取K=10時(shí)，若令G(

ji)=

1，可得對(duì)應(yīng)的K值：對(duì)應(yīng)地，分別取

0<

K<K1，K1<

K<K2，K2<

K<K3和K>K3時(shí)，開環(huán)幅相曲線分別如圖

5-34

(a)，(b)，(c)和(d)所示，圖中按

補(bǔ)作虛圓弧的半閉合曲線G。根據(jù)G曲線計(jì)算包圍次數(shù)，并判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性：0<

K<K1，R=0，Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；K1<

K<K2，R=2，Z=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；K2<

K<K3，N+=N=1，R=0，Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；K>K3，N+=1，N=2，R=2，Z=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；綜上可得，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)的K值范圍為(0,5)和(20/3,20)。當(dāng)K

等于5，20/3和20時(shí)，G穿過臨界點(diǎn)(1,j0)，且在這三個(gè)值的鄰域，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定或不穩(wěn)定，因此系統(tǒng)閉環(huán)臨界穩(wěn)定。

圖5-34例5-8系統(tǒng)在不同

K

值條件下的開環(huán)幅相曲線G曲線[例5-9]

已知延遲系統(tǒng)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：試根據(jù)奈氏判據(jù)確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)，延遲時(shí)間值的范圍。[解]

由圖5-25可知，延遲系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線即半閉合曲線GH為螺旋線，且為順時(shí)針方向，若開環(huán)幅相曲線與(1,j0)點(diǎn)左側(cè)的負(fù)實(shí)軸有

l

個(gè)交點(diǎn)，則GH包圍

(1,j0)

點(diǎn)的圈數(shù)為2l，由于P

=

0，故

Z

=

2l，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。若系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，則必須有

l=0。設(shè)

x

為開環(huán)幅相曲線穿越負(fù)實(shí)軸時(shí)的頻率，有：鑒于：當(dāng)x

增大時(shí)，A(x)減小。而在頻率

為最小的xm時(shí)，開環(huán)幅相曲線第一次穿過負(fù)實(shí)軸，因此xm由下式求得：此時(shí)A(xm)達(dá)到最大。為使

l

=0，必須使A(xm)<1，即：由

(x)=

(2k+1)解得：注意到：

為x

的減函數(shù)，因此xm

亦為

的減函數(shù)。當(dāng)：時(shí)，，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；當(dāng)：時(shí)，，系統(tǒng)不穩(wěn)定。故系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)值的范圍應(yīng)為：3.對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)奈氏判據(jù)基于復(fù)平面的半閉合曲線GH判定系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性，由于半閉合曲線GH可以轉(zhuǎn)換為半對(duì)數(shù)坐標(biāo)下的曲線，因此可以推廣運(yùn)用奈氏判據(jù)，其關(guān)鍵問題是需要根據(jù)半對(duì)數(shù)坐標(biāo)下的GH曲線確定穿越次數(shù)

N或

N+和N。復(fù)平面GH曲線一般由兩部分組成：開環(huán)幅相曲線和開環(huán)系統(tǒng)存在積分環(huán)節(jié)和等幅振蕩環(huán)節(jié)時(shí)所補(bǔ)作的半徑為無窮大的虛圓弧。而N

的確定取決于A(

)>1時(shí)GH

穿越負(fù)實(shí)軸的次數(shù)，因此應(yīng)建立和明確以下對(duì)應(yīng)關(guān)系：（1）穿越點(diǎn)確定

設(shè)=c時(shí)，（5-77）稱c

為截止頻率。對(duì)于復(fù)平面的負(fù)實(shí)軸和開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性，當(dāng)取頻率為穿越頻率x時(shí)：（5-78）設(shè)半對(duì)數(shù)坐標(biāo)下GH

的對(duì)數(shù)幅頻曲線和對(duì)數(shù)相頻曲線分別為L(zhǎng)和。由于L等于L()曲線，則GH在A(

)>1時(shí)，穿越負(fù)實(shí)軸的點(diǎn)等于GH在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)下，對(duì)數(shù)幅頻特性L()>0時(shí)對(duì)數(shù)相頻特性曲線與(2k+1);k=0,1,,

平行線的交點(diǎn)。（2）確定

1）開環(huán)系統(tǒng)無虛軸上極點(diǎn)時(shí)，等于()曲線。2）開環(huán)系統(tǒng)存在積分環(huán)節(jié)

1/s(>0)時(shí)，復(fù)數(shù)平面的GH曲線，需從=0+的開環(huán)幅相曲線的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G(j0+)H(j0+)

起，逆時(shí)針補(bǔ)作

90半徑為無窮大的虛圓弧。對(duì)應(yīng)地，需從對(duì)數(shù)相頻特性曲線

較小且

L()>0

的點(diǎn)處向上補(bǔ)作

90的虛直線，()曲線和補(bǔ)作的虛直線構(gòu)成。3）開環(huán)系統(tǒng)存在等幅振蕩環(huán)節(jié)：時(shí)，復(fù)數(shù)平面的GH曲線，需從

=

n-的開環(huán)幅相曲線的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

G(jn-)H(jn-)

起，逆時(shí)針補(bǔ)作

1

180半徑為無窮大的虛圓弧至

=

n+

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

G(jn+)H(jn+)

處。對(duì)應(yīng)地，需從對(duì)數(shù)相頻特性曲線

(n-)點(diǎn)起向上補(bǔ)作1

180的虛直線至(n+)處，()曲線和補(bǔ)作的虛直線構(gòu)成。（3）穿越次數(shù)計(jì)算

正穿越一次：GH

由上向下穿越

(1,j0)點(diǎn)左側(cè)的負(fù)實(shí)軸一次，等價(jià)于：在L()>0時(shí)，由下向上穿越(2k+1)

線一次。

負(fù)穿越一次：

GH

由下向上穿越

(1,j0)

點(diǎn)左側(cè)的負(fù)實(shí)軸一次，等價(jià)于：在L()>0時(shí)，由上向下穿越(2k+1)線一次。

正穿越半次：GH

由上向下止于或由上向下起于(1,j0)點(diǎn)左側(cè)的負(fù)實(shí)軸，等價(jià)于：在L()>0時(shí)，由下向上止于或由下向上起于

(2k+1)

線一次。

負(fù)穿越半次：GH由下向上止于或由下向上起于(1,j0)點(diǎn)左側(cè)的負(fù)實(shí)軸，等價(jià)于：在

L()>0

時(shí)，由上向下止于或由上向下起于

(2k+1)

線一次。

應(yīng)該指出的是，補(bǔ)作的虛直線所產(chǎn)生的穿越皆為負(fù)穿越。[對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)]

設(shè)P為開環(huán)系統(tǒng)正實(shí)部的極點(diǎn)數(shù)，反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是(c)(2k+1);k

=0,1,2,和

L()>0時(shí)，

曲線穿越

(2k+1)

線的次數(shù)：（5-79）

對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)和奈氏判據(jù)本質(zhì)相同，其區(qū)別僅在于前者在L()>0的頻率范圍內(nèi)依曲線

確定穿越次數(shù)N。滿足：[例5-10]已知某系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，開環(huán)幅相曲線如圖5-35所示，試將開環(huán)幅相曲線表示為開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線，并運(yùn)用對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。圖5-35某系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線[解]開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線如圖5-36所示，然而相角表示具有不惟一性，圖中(a)和(b)為其中的兩種形式。圖5-36某系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線

因?yàn)殚_環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，P=0。由開環(huán)幅相曲線知=

0，不需補(bǔ)作虛直線。

圖(a)中，L()>0

頻段內(nèi)，()曲線與180線有兩個(gè)交點(diǎn)，依頻率由小到大，分別為一次負(fù)和一次正穿越，故

N=

N+N=0。

圖(b)中，L()>0頻段內(nèi)，()曲線與180線和180線有四個(gè)交點(diǎn)，以頻率由小到大分別為半次負(fù)穿越、半次負(fù)穿越、半次正穿越和半次正穿越，故N=

N+N=0。按對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)，圖(a)和圖(b)都有Z=P2N=0且(c)(2k+1);k

=0,1,2,，故系統(tǒng)穩(wěn)定。[例5-11]

已知開環(huán)系統(tǒng)型次=3，P=0，開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性曲線如圖5-37所示，圖中<c時(shí)，L()>L(c)。試確定閉環(huán)不穩(wěn)定極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。[解]

因?yàn)?3，需在低頻處由()曲線向上補(bǔ)作270的虛直線于180，如圖所示。在L()>L(c)=0dB頻率內(nèi)，存在兩個(gè)與(2k+1)

線的交點(diǎn)，1

處為一次負(fù)穿越，=0處為半次穿越，故N=1.5，N+=0，按對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)故閉環(huán)不穩(wěn)定極點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3。4.條件穩(wěn)定系統(tǒng)例5-8系統(tǒng)的分析表明，若開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)

P

=

0，當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)的某些系數(shù)(如開環(huán)增益)改變時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性將發(fā)生變化。這種閉環(huán)穩(wěn)定有條件的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。相應(yīng)地，無論開環(huán)傳遞函數(shù)的系數(shù)怎樣變化，例如：

系統(tǒng)總是閉環(huán)不穩(wěn)定的，這樣的系統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。5-5穩(wěn)定裕度

根據(jù)奈氏判據(jù)可知，對(duì)于系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，

若右半