全國(guó)中考數(shù)學(xué)真題解析20考點(diǎn)匯編菱形的性質(zhì)與判定

20232023120考點(diǎn)匯編菱形的性質(zhì)與判定17/44(2023年1月最最細(xì)2023全國(guó)中考真題解析120的性質(zhì)與判定一、選擇題1.〔2023江蘇無(wú)錫，5，3分〕菱形具有而矩形不肯定具有的性質(zhì)是〔 〕A．對(duì)角線相互垂直 B．對(duì)角線相等C．對(duì)角線相互平分 D．對(duì)角互補(bǔ)考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)。專題：推理填空題。分析：依據(jù)菱形對(duì)角線垂直平分的性質(zhì)及矩形對(duì)交線相等平分的性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)展分析，從而得到最終的答案．解答：解：A、菱形對(duì)角線相互垂直，而矩形的對(duì)角線則不垂直；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、菱形和矩形的對(duì)角線都相等；故本選項(xiàng)正確；C、菱形和矩形的對(duì)角線都相互平分；故本選項(xiàng)正確；D、菱形對(duì)角相等，但不互補(bǔ)；故本選項(xiàng)正確；A．形的性質(zhì)，但是菱形的特性是：對(duì)角線相互垂直、平分，四條邊都相等．2.〔2023江蘇淮安，5，3分〕在菱形ABCD中，AB=5cm，則此菱形的周長(zhǎng)為〔 〕A.5cm B.15cm C.20cm D.25cm考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)。專題：計(jì)算題。分析：依據(jù)菱形的四條邊長(zhǎng)都相等的性質(zhì)、菱形的周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4解答解答：解：∵在菱形ABCD，AB=BC=CD=DA，AB=5cm，∴菱形的周長(zhǎng)=AB×4=20cm；C．點(diǎn)評(píng)3.〔20235，3〕ABCD中，∠BAD=60°，BD=4ABCD的周長(zhǎng)是 ．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)。是等邊三角形，即可求得菱形的邊長(zhǎng)，繼而求得菱形ABCD的周長(zhǎng)．解答：解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AB=AD=BD=4，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)是：4×4=16．故答案為：16．?dāng)?shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4.〔2023?西寧用直尺和圓規(guī)作一個(gè)菱形如圖能得到四邊形ABCD是菱形的依據(jù)〔 〕A、一組臨邊相等的四邊形是菱形 B、四邊相等的四邊形是菱形C、對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形 D、每條對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形考點(diǎn)：菱形的判定；作圖—簡(jiǎn)單作圖。專題：推理填空題。分析：關(guān)鍵菱形的判定定理〔有四邊都相等的四邊形是菱形〕推斷即可．解答：解：由圖形做法可知：AD=AB=DC=BC，∴四邊形ABCDB．此題主要考察對(duì)作圖﹣性質(zhì)進(jìn)展推理是解此題的關(guān)鍵．52023?青海菱形ABCD的對(duì)角線ABD的長(zhǎng)度是6和則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)〔 A、20 B、14C、28 D、24考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；勾股定理。專題：計(jì)算題。長(zhǎng)．則由菱形對(duì)角線性質(zhì)知，AO=AC=3，BO=BD=4，且則由菱形對(duì)角線性質(zhì)知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，∴AB=5，∴周長(zhǎng)L=4AB=20，A．點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用．6〔2023，臺(tái)灣省，21,5〕ABCD△ABEDBEAB=17，BD=16，AE=25，則DE的長(zhǎng)度為何？〔 〕A、8 B、9 C、11 D、12考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；勾股定理。分析：首先連接AC，設(shè)ACBDO點(diǎn)，由四邊形ABCD且平分的性質(zhì)及勾股定理，即可求得DE解答：解：連接ACACBD于O∴AC⊥BD，且BO=DO==∴AC⊥BD，且BO=DO==8，∴AO===15，在△AOD∴AO===15，∴OE===20，在△AOE∴OE===20，OD=8，∴DE=OE﹣OD=20﹣8=12．D．點(diǎn)評(píng)：此題考察了勾股定理與菱形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是留意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．〔2023，臺(tái)灣省，32,5〕ABCDEFGHECD上，ADGH相交于I點(diǎn)，且AD∥HE．假設(shè)∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，則梯形HEDI面積為何？〔〕A、6B、8C、10﹣2D、10+2考點(diǎn)：梯形；菱形的性質(zhì)。A、6B、8C、10﹣2D、10+2利用菱形和正方形的性質(zhì)分別求得HEIDDE梯形的面積即可．解答：解：四邊形ABCD為菱形且∠A=60°?∠ADE=180°﹣60°=120°，AD∥HE∠DEH=180°﹣120°=60°，DE=4EM=2，DM=2，DM⊥HEMDE=4EM=2，DM=2，HEDI=8．且四邊形EFGH為正方形?∠H=∠I=90°，即四邊形HEDI=8．B．形的底和高．〔20237，3〕ABCD16，∠A=60°，BD的長(zhǎng)度為〔〕33A．2 B．2 C．4 D．433考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)。分析：ABCD16AB=AD=4，又由∠A=60°，即可證得△ABD是等邊三角形，則可求得對(duì)角線BD的長(zhǎng)度．解答：解：∵菱形ABCD16，∴AB=AD=CD=BC=4，∵∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AB=AD=BD=4．∴對(duì)角線BD4．C．點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．〔2023?萊蕪〕如圖，E、F、G、H分別是BD、BC、AC、ADAB=CD．以下結(jié)論：1①EG⊥FH，②EFGH，③HF∠EHG，④EG=2〔BC﹣AD〕，⑤EFGH是菱形．其中正確的個(gè)數(shù)是〔 〕A、1 B、2C、3 D、4考點(diǎn)：三角形中位線定理；菱形的判定與性質(zhì)。專題：推理填空題。分析：依據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半與AB=CD可得四邊形EFGH．解答：解：∵E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD1 1 1 1∴EF=2CD，F(xiàn)G=2AB，GH=2CD，HE=2AB，∵AB=CD，∴EF=FG=GH=HE，∴四邊形EFH∴①EG⊥FH，正確；②四邊形EFGH③HF∠EHG，正確；1④EG=2〔BC﹣AD〕，AD∥BCADBC題錯(cuò)誤；⑤四邊形EFGH3C．AB=CDEFGH〔2023廣東佛山，6，3分〕依次連接菱形的各邊中點(diǎn)，得到的四邊形是〔 〕A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形考點(diǎn)矩形的判定；三角形中位線定理；菱形的性質(zhì)。分析先連接AC、BDE、HAB、AD中點(diǎn)，利用三角形中位線定理可知EH∥BD，同理FG∥BDEH∥FGEF∥HGEFGH是平行四邊形，而四邊ABCD是菱形，利用其性質(zhì)有AC⊥BD，就有∠AOB=90°，再利用EF∥AC以及EH∥BD，兩次利用平行線的性質(zhì)可得∠HEF=∠BME=90°，即可得證．∵E、HAB、AD中點(diǎn)，∴EH∥BD，同理有FG∥BD，∴EH∥FG，EF∥HGEFGH是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°，又∵EF∥AC，∴∠BME=90，∵EH∥BD，∴∠HEF=∠BME=90°，∴EFGH是矩形．應(yīng)選A．點(diǎn)評(píng)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明四邊形EFGH是平行四邊形以及∠HEF=∠BME=90°．〔20235，3〕l、lOC1 2A、B、DAB=BC=CD=DA=5Cl的距14公里，則村莊C到大路l2

的距離是〔 〕A、3公里 B、4公里C、5公里 D、6公里考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：依據(jù)菱形的對(duì)角線平分對(duì)角，作出關(guān)心線，即可證明．解答：解：如圖，連接ACCF⊥l，CE⊥l；1 2∴四邊形ABCD是菱形，∴∠CAE=∠CAF，B．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察角平分線的性質(zhì)，由能夠留意到四邊形ABCD是菱形：菱形的對(duì)角線平分對(duì)角，是解題的關(guān)鍵．12.〔2023湖南益陽(yáng),7,4分〕如圖，小聰在作線段AB的垂直平分線時(shí)，他是這樣操作的：1分別以AB2ABCD據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC肯定是〔 〕A．矩形 B．菱形C．正方形 D．等腰梯形考點(diǎn)：菱形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)．專題：幾何圖形問(wèn)題．分析：依據(jù)垂直平分線的畫法得出四邊形ADBC四邊的關(guān)系進(jìn)而得出四邊形肯定是菱形．1解答：解：∵分別以A和B2AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于C．D，∴AC=AD=BD=BC，∴四邊形ADBC肯定是菱形，應(yīng)選：B．問(wèn)題的關(guān)鍵．包頭分菱形ABCD中對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)則該菱形的面積是〔 〕A、163 B、16 C、83 D、8考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)。1 1分析：ABCDAC⊥BD，OA=2AC，，∠BAC=2∠BAD，然后在直角三角形AOB中，利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半與勾股定理即可求得OB的長(zhǎng)，然后由菱形的面積等于其對(duì)角線積的一半，即可求得該菱形的面積．解答：解：∵四邊形ABCD是菱形，1 1 1 1∴AC⊥BD，OA=OC=2AC=2×4=2，∠BAC=2∠BAD=2×120°=60°，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=30°，∴AB=2OA=4，OB=23，∴BD=2OB=43，1AB?BD=1×4×43=83．2 2C．的應(yīng)用，留意菱形的面積等于其對(duì)角線積的一半．(202310，3ABCD各邊的中點(diǎn)所得四邊形是菱形，則四邊形ABCD肯定是( )A．菱形 B．對(duì)角線相互垂直的四邊形C．矩形 D．對(duì)角線相等的四邊形考點(diǎn)：三角形中位線定理；平行四邊形的判定；菱形的判定。專題：證明題。1分析：依據(jù)三角形的中位線定理得到EH∥FG，EF＝FG，EF＝2BD，要是四邊形為菱形，得EF＝EH，即可得到答案．解答：解：∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AD，DC，CB，AB的中點(diǎn)，1 1 1∴EH∥FG，EF＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵平行四邊形EFGH是菱形，∴EF＝EH，即對(duì)角線相等的四邊形，D．解和把握，敏捷運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)展推理是解此題的關(guān)鍵．〔202311，3〕如圖，菱形OABCOAx軸上，將菱形OABC繞原3點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°至O′′的位置假設(shè)O=2 ∠=120°則點(diǎn)′的坐標(biāo)〔 〕3A．(3，3) B．(3，－3)C．(6，6) D．(6，－6)考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)；菱形的性質(zhì)。解答：解：過(guò)點(diǎn)BBE⊥OAE，過(guò)點(diǎn)B′作B′F⊥OAF，分析：首先依據(jù)菱形的性質(zhì)，即可求得∠AOBOABCO順時(shí)針旋75°OA′B′C解答：解：過(guò)點(diǎn)BBE⊥OAE，過(guò)點(diǎn)B′作B′F⊥OAF，∴∠BE0=B′FO=90°，∵四邊形OABC是菱形，1∴∠AOC+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠AOC=60°，∴∠AOB=30°，∵菱形OABC繞原點(diǎn)O75°至OA′B′C′的位置，3∴∠BOB′=75°，OB′=OB=2 ，3∴∠B′OF=45°，Rt△B′OF中，

263×2 = ，2636∴B′F= ，666∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為：〔 ，﹣ 〕．66D．等學(xué)問(wèn)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是留意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．〔2023湖南衡陽(yáng)，8，3分〕如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形MNPO的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是〔3，4〕，則頂點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別是〔 〕A、M〔5，0〕，N〔8，4〕 B、M〔4，0〕，N〔8，4〕C、M〔5，0〕，N〔7，4〕 D、M〔4，0〕，N〔7，4〕考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)。專題：數(shù)形結(jié)合。分析：此題可過(guò)P作PE⊥OM，依據(jù)勾股定理求出OP的長(zhǎng)度，則M、N解答：解：過(guò)PPE⊥OM，∵頂點(diǎn)P〔3，4〕，∴OE=3，PE=4，∴OP=32 42=5，M〔5，0〕，∵5+3=8，N〔8，4〕．A．點(diǎn)評(píng)P破口．〔2023湖南長(zhǎng)沙，16，3分〕菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是6cm和8cm，則菱形的周長(zhǎng)是 cm．考點(diǎn)：菱形勾股定理專題：四邊形分析：三角形的兩條直角邊是兩條對(duì)角線長(zhǎng)的一半，斜邊為菱形的邊長(zhǎng)．故菱形的邊長(zhǎng)為32 42＝5cm，因此該菱形的周長(zhǎng)為20cm．32 42點(diǎn)評(píng)：的數(shù)學(xué)思想，要引起重視．18.〔202310，3〕如圖．假設(shè)要使平行四邊形ABCD成為菱形．則需要添加的條件是〔〕A.AB＝CD B.AD＝BCC.AB＝BCD.AC＝BD考點(diǎn)：菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì).專題：證明題.分析：菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等；③對(duì)角線相互垂直平分的四邊形是菱形．∴可添加：AB＝ADAC⊥BD．解答：形，那么可添加的條件是：AB=BCC．點(diǎn)評(píng)：此題考察菱形的判定，答案不唯一．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形．〔2023梧州，4，3分〕假設(shè)一個(gè)菱形的一條邊長(zhǎng)為4cm，則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)為〔 〕A、20cm B、18cmC、16cm D、12cm考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)。專題：計(jì)算題。分析：依據(jù)菱形的四條邊都相等，現(xiàn)在其一條邊長(zhǎng)為4cm，即可求出菱形的周長(zhǎng)．解答：解：∵菱形的四條邊都相等，4cm，∴菱形的周長(zhǎng)=4×4cm=16cm．C．點(diǎn)評(píng)：此題考察菱形的性質(zhì)，屬于根底題，比較簡(jiǎn)潔，把握菱形的四條邊相等是解題關(guān)鍵．〔2023浙江嘉興，10，3分〕30°內(nèi)角的菱形EFG〔不重疊無(wú)縫隙．假設(shè)①②③④四個(gè)平行四邊形面積的和為14c，四邊形面積是11c2，則①②③④四個(gè)平行四邊形周長(zhǎng)的總和為〔〕A．48cmB．36cmC．24cmD．18cm考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．專題：計(jì)算題．依據(jù)①②③④四個(gè)平行四邊形面積的和為1c，四邊形ABCD面積是1c2，可求出平行四邊形周長(zhǎng)的總和．1ABCD面積-2〔①+②+③+④=cEFGH的面=14+4=1c，又∵∠F=30°，∴6cm，=48cm．A．點(diǎn)評(píng)：此題考察了菱形的性質(zhì)及平行四邊形的學(xué)問(wèn)，難度較大，關(guān)鍵是求出菱形的面積，解答此題需要用到平行四邊形的對(duì)角線平分平行四邊形的面積．二、填空題〔202312，2〕如圖，菱形ABCD2cm，EAB的中點(diǎn)，且DE丄AB，則菱形ABCD的面積為2

3cm2．3考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；勾股定理。分析：由于DEAB，E是AB的中點(diǎn)，所以AE=1cm，依據(jù)勾股定理可求出BD的長(zhǎng)，菱形的面積=底邊×高，從而可求出解．解答：解：∵EAB的中點(diǎn)，∴AE=1，∵DEAB，22 12322 12333∴菱形的面積為：2× =2 ．333故答案為：2 ．3點(diǎn)評(píng)：此題考察菱形的性質(zhì)，四邊都相等，菱形面積的計(jì)算公式以及勾股定理的運(yùn)用等．〔202317，4〕菱形ABCD8，點(diǎn)E在直線AD上，假設(shè)DE＝3，MCBE與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)MAM的值是.考點(diǎn)：相像三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．專題：幾何圖形問(wèn)題；分類爭(zhēng)論．E在線段AD上與E在AD的性質(zhì)可得AD∥BC，則可證得△MAE∽△MCB，依據(jù)相像三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得答案．解答：解：∵菱形ABCD8，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，1：當(dāng)E在線段AD上時(shí)，∴AE＝AD－DE＝8－3＝5，AEM圖1CD A AEM圖1CB B C圖2MC BC 8AM

AE

5；2，當(dāng)E在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，∴AE＝AD＋DE＝8＋3＝11，MC BC 8

AM

AE11．MC 8 8∴AM

5或11．8 85或11．題分為E在線段AD上與EAD的延長(zhǎng)線上兩種狀況，留神不要漏解．〔202314，4〕如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC＝8，BD＝6，過(guò)點(diǎn)OOHABH，則點(diǎn)O到邊AB的距離考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；點(diǎn)到直線的距離；勾股定理。專題：計(jì)算題。分析：OH的長(zhǎng)．解答：解：∵AC＝8，BD＝6，∴BO＝3，AO＝4，∴AB＝5．1 1AB?OH，12OH＝5．．12故答案為：5．點(diǎn)評(píng)：此題考察菱形的根本性質(zhì)，菱形的對(duì)角線相互垂直平分，菱形的四邊相等相等，可求出AB邊上的高OH．ABCD，假設(shè)ABCD，假設(shè)AD=6cm，∠ABC=60°，則四邊形ABCD的面積等于18cm2．考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)。專題：數(shù)形結(jié)合。分析：易得該四邊形是一個(gè)菱形，作出高，求出高，即可求得相應(yīng)的面積．解答：解：∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD∵紙條等寬，∴AB=BC，∴該四邊形是菱形，AE⊥BCE．AE=3cm．∴四邊形AE=3cm．∴四邊形ABCD=6×3=18cm2，18．18．菱形ABCD8E在直線ADDE＝3BE與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)MCMAM的值是.考點(diǎn)：相像三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．專題：幾何圖形問(wèn)題；分類爭(zhēng)論．E在線段AD上與EAD質(zhì)可得AD∥BC，則可證得△MAE∽△MCB，依據(jù)相像三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得答案．解答：解：∵菱形ABCD8，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，1：當(dāng)E在線段AD上時(shí)，∴AE＝AD－DE＝8－3＝5，AEM圖1CD A AEM圖1CB B C圖2MC BC 8AM

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5；2，當(dāng)E在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，∴AE＝AD＋DE＝8＋3＝11，MC BC 8

AM

AE11．MC 8 8∴AM

5或11．8 85或11．E在線段AD上與E在AD的延長(zhǎng)線上兩種狀況，留神不要漏解．6.〔202317,3OABC的頂點(diǎn)B〔8，4〕，則C考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)。分析：首先由四邊形ABCD是菱形，可得OC=OA=AB=BC，BC∥OA，然后過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OADAB=xOA=x，AD=8﹣xRt△ABDBCC∵四邊形ABCD解答：解：過(guò)點(diǎn)BBD⊥OA∵四邊形ABCD∴OC=OA=AB=BC，BC∥OA，AB=x，則OA=x，AD=8﹣x，Rt△ABDAB2=AD2+BD2，x2=〔8﹣x〕2+16，解得：x=5，∴BC=5，∴C〔3，4〕．故答案為：〔3，4〕．想的應(yīng)用．〔202314，3〕ABCDA，B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－41，則BC＝．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；數(shù)軸。分析：依據(jù)數(shù)軸上A，B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－41，得出AB的長(zhǎng)度，再依據(jù)BC＝AB即可得出答案．解答：解：∵菱形ABCD，其頂點(diǎn)A，B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－41，則AB＝1－〔－4〕＝5，故答案為：5．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了菱形的性質(zhì)以及數(shù)軸上點(diǎn)的距離求法，求出AB的長(zhǎng)度以及利用菱形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．〔202315，3〕如圖，菱形ABCD8cm．∠BAD=60°，AC=cm．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；解直角三角形.分析：依據(jù)條件和菱形的性質(zhì)，可推出△AOB為直角三角形，AB=2，∠OAB=30°，依據(jù)銳角三角函數(shù)推出OA的長(zhǎng)度，即可求得AC的長(zhǎng)度解答：解：∵菱形ABCD周長(zhǎng)為8cm．∠BAD=60°∴△AOB為直角三角形，AB=2，∠OAB=30°，OA=OC，∴OA=3∴AC=23 23．點(diǎn)評(píng)：推出邊和相關(guān)角的度數(shù)，解直角三角形．〔202314,4〕如圖，?ABCD中，對(duì)角形AC，BD相交于點(diǎn)O，添加一個(gè)條件，能使?ABCD成為菱形．你添加的條件是〔不再添加關(guān)心線和字母〕考點(diǎn)：菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì)。專題：開放型。分析：菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等；③對(duì)角線相互垂直平分的四邊形是菱形．所以可添加AB=BC．解答：解：AB=BCAC⊥BD等．故答案為：AB=BC或AC⊥BD等．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了菱形的判定，嫻熟地把握菱形的判定定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．〔202320，4分〕如圖，依次連結(jié)第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，再依次連結(jié)菱形各邊的中點(diǎn)得到其次個(gè)矩形，依據(jù)此方法連續(xù)下去.第一個(gè)矩形的面積為1，則第n個(gè)矩形的面積為. ……考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì).1 分析：易得其次個(gè)矩形的面積為( )2，第三個(gè)矩形的面積為( )4，依次類推，第n個(gè)矩2 21形的面積為( )2n2．2解答：解：第一個(gè)矩形的面積為1；1 1其次個(gè)矩形的面積為原來(lái)的〔〕2×2﹣2=；2 4第三個(gè)矩形的面積是〔1

1；2 16…1n個(gè)矩形的面積為：〔2

〕2n﹣2．點(diǎn)評(píng)：應(yīng)找出哪些局部發(fā)生了變化，是依據(jù)什么規(guī)律變化的．〔20235,3〕如圖，在菱形ABCD，∠BAD=60°，BD=4ABCD的周長(zhǎng)是16．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)。分析：由四邊形ABCD是菱形，即可得AB=BC=CD=AD，又由∠BAD=60°，BD=4，即可證得△ABD繼而求得菱形ABCD解答：解：∵四邊形ABCD∴AB=BC=CD=AD，∵∠BAD=60°，∴△ABD∴AB=AD=BD=4，∴菱形ABCD：4×4=16．故答案為：16．?dāng)?shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．三、解答題〔2023?泰州，24，10〕如圖，四邊形ABCD是矩形，直線l垂直平分線段AC，垂足為O，直線lAD、CBE、F．△ABC△FOA試判定四邊形AFCE的外形，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)：相像三角形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；菱形的判定；矩形的性質(zhì)。專題：證明題；綜合題。分析：〔1〕依據(jù)角平分線的定義，同角的余角相等可知∠AFO=∠CAB，依據(jù)垂直的定義，矩形的性質(zhì)可知∠ABC=∠FOA，由相像三角形的判定可證△ABC與△FOA〔2〕先證明四邊形AFCE是平行四邊形，再依據(jù)對(duì)角線相互垂直平分的平行四邊形是菱形作出推斷．解答：解：〔1〕∵直線l垂直平分線段AC，∴∠AFO=∠CFO，∵∠CFO+∠FCO=∠CAB+∠FCO=90°，∴∠AFO=∠CAB，∵∠AOF=∠CBA=90°，∴△ABC∽△FOA．〔2〕∵直線lAC，∴AF=CF，可證△AOF≌△AOE，∴AE=CF，F(xiàn)O=EO．∵四邊形ABCD∴四邊形AFCE∴四邊形AFCE點(diǎn)評(píng)：考察了線段垂直平分線的性質(zhì)，相像三角形的判定，矩形的性質(zhì)，菱形的判定，綜合性較強(qiáng)，有肯定的難度．EAB中點(diǎn)，求證：四邊形BCDE是菱形．考點(diǎn)：菱形的判定．專題：證明題．分析：由題意易得DE=BE，再證四邊形BCDE是平行四邊形，即證四邊形BCDE是菱形．解答：證明：∵AD⊥BD，∴△ABD是Rt△∵E是AB的中點(diǎn)，1 1∴BE2AB，DE2AB〔直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半〕，∴BE=DE，∴∠EDB=∠EBD，∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB，∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD〔SAS〕，∴BE=BC，∴CB=CD=BE=DE，∴菱形BCDE．〔四邊相等的四邊形是菱形〕點(diǎn)評(píng)：此題主要考察菱形的判定，綜合利用了直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)．3.〔202325，6〕：如圖1，圖形①滿足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°．圖形②與圖形①恰好拼成一個(gè)菱形〔如圖2〕．記AB的長(zhǎng)度為a，BM的長(zhǎng)度為b．〔1〕圖形①中∠B=72°，圖形②中∠E=36°；〔2〕小明有兩種紙片各假設(shè)干張，其中一種紙片的外形及大小與圖形①一樣，這種紙片稱為“風(fēng)箏一號(hào)”；另一種紙片的外形及大小與圖形②一樣，這種紙片稱為“飛鏢一號(hào)”．①小明僅用“風(fēng)箏一號(hào)”紙片拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正十邊形，需要這種紙片5張；②小明假設(shè)用假設(shè)干張“風(fēng)箏一號(hào)”紙片和“飛鏢一號(hào)”紙片拼成一個(gè)“大風(fēng)箏”〔如圖3〕，其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=a+b，IQ=JQ3跡．〔此題中均為無(wú)重疊．無(wú)縫隙拼接〕考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；正多邊形和圓；作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．專題：操作型．分析：〔1〕連接AM，依據(jù)三角形ADM和三角形ABM的三邊對(duì)應(yīng)相等，得到兩三角形全等，依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到角B和角D360°DABDMB的度數(shù)，即可求出角B的度數(shù)；依據(jù)菱形的對(duì)邊平行，得到ABDC平行，得到同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即角A加角ADBMDC180°，由角A和角ADB的度數(shù)即可求出角FEC的度數(shù)；〔2〕ADAB72°，360°，360°72°即可得到需要“風(fēng)箏一號(hào)”紙片的張數(shù)；P為圓心，a長(zhǎng)為半徑畫弧，與PIPJ分別交于兩點(diǎn)，然后以兩交點(diǎn)為圓心，以b長(zhǎng)為半徑在角IPJ的內(nèi)部畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，連接這點(diǎn)與點(diǎn)Q，畫出滿足題意的拼接線．解答：解：〔1〕連接AM，如下圖：為公共邊，∴△ADM≌△ABM，∴∠D=∠B，又由于四邊形ABMD的內(nèi)角和等于360°，∠DAB=72°，∠DMB=144°，36007201440∴∠B= 2 =72°；2中，由于四邊形ABCD為菱形，所以AB∥CD，∴∠A+∠ADC=∠A+∠ADM+∠CEF=180°，∠A=72°，∠ADM=72°，∴∠CEF=180°﹣72°﹣72°=36°；①用“風(fēng)箏一號(hào)”紙片拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正十邊形，得到“風(fēng)箏一號(hào)”紙片的點(diǎn)A與正十邊形的中心重合，又∠A=72°，3600則需要這種紙片的數(shù)量=

72 =5；②依據(jù)題意可知：“風(fēng)箏一號(hào)”紙片用兩張和“飛鏢一號(hào)”紙片用一張，畫出拼接線如下圖：故答案為：〔1〕72°；36°；〔2〕①．5．面的秘訣，熬煉學(xué)生的動(dòng)手操作力量，培育學(xué)生的發(fā)散思維，是一道中檔題．4.〔202320，6〕如圖，四邊形ABCD為菱形，A〔0，4〕，B〔﹣3，0〕．求點(diǎn)D的坐標(biāo)；求經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的反比例函數(shù)解析式．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式。專題：代數(shù)幾何綜合題；數(shù)形結(jié)合。分析：〔1〕菱形的四邊相等，對(duì)邊平行，依據(jù)此可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．〔2〕求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出反比例函數(shù)的解析式，依據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)可求出確定函數(shù)式．解答：解：〔1〕∵A〔0，4〕，B〔﹣3，0〕，∴OB=3，OA=4，∴AB=5．在菱形ABCD中，AD=AB=5，∴OD=1，∴D〔0，﹣1〕．〔2〕∵BC∥AD，BC=AB=5，∴C〔﹣3，﹣5〕．k 15設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)Cyx．把〔﹣3，﹣5〕代入解析式得：k=15，∴y=x．點(diǎn)評(píng)：此題考察菱形的性質(zhì)，四邊相等，對(duì)邊平行，以及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式．〔202323，8〕5ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC交1BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：DE＝2BE．ADB C AD圖5圖考點(diǎn)：關(guān)系專題：四邊形1分析：思路一：易知四邊形ACED是平行四邊形，則AD＝CE＝BCBC＝2BE，1要說(shuō)明DE＝2BE，只需說(shuō)明DE＝BC即可．BD，先證∠BDE＝90°，再證∠DBE＝30°，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可直接獲得結(jié)論〔自己完成證明過(guò)程〕．解答：∵ABCD是菱形，又∵∠ABC＝60°，∴BC＝AC＝AD．∵DE∥AC∴ACED為平行四邊形．∴CE＝AD＝BC，DE＝AC．∴DE＝CE＝BC，1∴DE＝2BE．相等的線段，可實(shí)現(xiàn)線段的等量代換〔轉(zhuǎn)移〕，這就為證明線段相等或倍、分關(guān)系制造了條件．〔202320，？〕如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，點(diǎn)E、F分別是CDAAG∥BD，交CBG．求證：四邊形DEBF是菱形；請(qǐng)推斷四邊形AGBD是什么特別四邊形？并加以證明．考點(diǎn)：矩形的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定。專題：證明題。分析：〔1〕利用平行四邊形的性質(zhì)證得△AED是等邊三角形，從而證得DE＝BE，問(wèn)題得證；〔2〕利用平行四邊形的性質(zhì)證得∠ADB＝90°，利用有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形判定矩形．解答：證明：〔1〕∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CDAB＝CD，AD∥BCAD＝BC1 1∵E，F(xiàn)分別為AB，CD，∴BE＝∴四邊形DEBF

AB，DF＝CD，2 21在△ABDEAB，∴AE＝BE＝2

AB＝AD，而∠DAB＝60°∴△AED是等邊三角形，即DE＝AE＝ADDE＝BE∴平行四邊形DEBF〔2〕四邊形AGBD∵AD∥BCAG∥DB∴四邊形AGBD由〔1〕的證明知AD＝DE＝AE＝BE，∴∠ADE＝∠DEA＝60°，∠EDB＝∠DBE＝30°故∠ADB＝90°∴平行四邊形AGBD的關(guān)鍵是弄清菱形及矩形的判定方法．7.〔202318，8〕如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線ACPE⊥AB，PF⊥ADE、FPE=PFABCD是菱形嗎？為什么？考點(diǎn)：菱形的判定；角平分線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)。分析：首先依據(jù)定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，可得到∠DAC=∠CAE，然后證明∠DAC=∠DCA，可得到DA=DC，再依據(jù)菱形的判定定理：鄰邊相等的平行四邊形是菱形，進(jìn)而可得到結(jié)論．解答：解：是菱形．PE⊥AB，PF⊥AD且PE=P，∴AC是∠DAB的角平分線，∴∠DAC=∠CAE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∴平行四邊形ABCD是菱形．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了菱形的判定，證明∠DAC=∠DCA是解此題的關(guān)鍵．10.〔2023?貴港〕ABCD，AD∥BC，AB=AD，∠BADAEBCE，連接DE．求證：四邊形ABED是菱形；假設(shè)∠ABC=60°，CE=2BE，試推斷△CDE的外形，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)：梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)。專題：幾何綜合題。分析：〔1〕AB=ADAE∠BAD∠1=∠2，從而證得△BAE≌△DAE，這樣就得出四邊形ABED〔2〕DDF∥AEBCFDF=AE，AD=EF=BECE=2BEDE=EF，從而結(jié)合∠ABC=60°，AB∥DE解答：〔1〕證明：如圖，∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB=AD，AE=AE，∴△BAE≌△DAE，∴BE=DE，∵AD∥BC，∴∠2=∠3=∠1，∴AB=BE，∴AB=BE=DE=AD，∴四邊形ABED〔2〕解：△CDE如圖，過(guò)點(diǎn)DDF∥AEBC于點(diǎn)F，則四邊形AEFD∴DF=AE，AD=EF=BE，∵CE=2BE，∴BE=EF=FC，∴DE=EF，又∵∠ABC=60°，AB∥DE，∴∠DEF=60°，∴△DEF∴DF=EF=FC，∴△CDE點(diǎn)評(píng)：此題綜合考察了梯形、全等三角形的判定及性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)，難度較大，解斜邊的一半．〔2023?安順〕如圖，在△ABC，∠ACB=90°，BCDEBCD，ABE，F(xiàn)在DEAF=CE=AE．說(shuō)明四邊形ACEF是平行四邊形；當(dāng)∠B滿足什么條件時(shí)，四邊形ACEF是菱形，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)分析：〔1〕證明△AEC≌△EAF，即可得到EF=CA，依據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可推斷；〔2〕當(dāng)∠B=30°時(shí)，四邊形ACEF是菱形．依據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可證得AC=EC，依據(jù)菱形的定義即可推斷．解答：〔1〕證明：由題意知∠FDC=∠DCA=90°，∴EF∥CA，∴∠AEF=∠EAC，∵AF=CE=AE，∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA．又∵AE=EA，∴△AEC≌△EAF，∴EF=CA，∴四邊形ACEF∴AC=，〔2〕當(dāng)∠B=30°時(shí)，四邊形ACEF是菱形．∴AC=，∵DE垂直平分BC，∴BE=CE，∴CE=，∴CE=，∴AC=CE，∴四邊形ACEF關(guān)鍵．〔2023?湘西州〕如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于O，∠ACB=30°，AB=2．求AC求∠AOB以O(shè)B、OC為鄰邊作菱形OBEC，求菱形OBEC考點(diǎn)30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性質(zhì)。專題：綜合題。分析：〔1〕依據(jù)AB的長(zhǎng)結(jié)合三角函數(shù)的關(guān)系可得出AC的長(zhǎng)度．依據(jù)矩形的對(duì)角線相互平分可得出△OBC為等腰三角形，從而利用外角的學(xué)問(wèn)可得出∠AOB分別求出△OBC△BCEOBEC解答：解〔1〕在矩形ABCD，∠ABC=90°，∴Rt△ABC，∠ACB=30°，∴AC=2AB=4．〔2〕在矩形ABCD∴AO=OA=2，又∵AB=2，∴△AOB〔3〕由勾股定理，得BC=〔3〕由勾股定理，得BC=，．，所以菱形OBEC2，所以菱形OBEC2．〔2023?西寧〕如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DE∥CA，AE∥BD．求證：四邊形AODE是菱形；假設(shè)將題設(shè)中“矩形ABCD”這一條件改為“菱形ABCD”AODE是矩形．考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；矩形的性質(zhì)；矩形的判定。專題：證明題。分析：〔2〕依據(jù)矩形的性質(zhì)求出OA=OD，證出四邊形AODE是平行四邊形即可；〔2〕依據(jù)菱形的性質(zhì)求出∠AOD=90°，再證出四邊形AODE是平行四邊形即可．解答：解：〔1〕證明：∵矩形ABCD，∴OA=OC，OD=OB，AC=BD，∴OA=OD，∵DE∥CA，AE∥BD，∴四邊形AODE∴四邊形AODE〔2〕∵DE∥CA，AE∥BD，∴四邊形AODE∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∴平行四邊形AODE故答案為：矩形．的理解和把握，能推出四邊形是平行四邊形和正出∠AOD=90°、OA=OD〔2023?臨沂，22，7〕如圖，△ABCAB=AC，AD、CD△ABC分線．求證：AC=AD；假設(shè)∠B=60°，求證：四邊形ABCD是菱形．考點(diǎn)：菱形的判定；等腰三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析〔1依據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠FAD=∠BAD∥BC∠D=∠ACDAC=A；〔2〕依據(jù)平行四邊形的判定方法得出四邊形ABCD是平行四邊形，再利用菱形的判定得出．解答：證明：〔1〕∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，∵AD∠FAC，∴∠FAD=∠B，∴AD∥BC，∴∠D=∠DCE，∵CD∠ACE，∴∠ACD=∠DCE，∴∠D=∠ACD，∴AC=AD；證明：〔2〕∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC∴AB=BC，∴∠ACB=60°，∠FAC=∠ACE=120°，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠B=∠D=60°，∴四邊形ABCD∵AB=BC，∴平行四邊形ABCD形與平行四邊形的區(qū)分，得出AB=BC〔202327，10〕：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝2AD，EBC的中點(diǎn)，連接AE．AC．點(diǎn)FDC上一點(diǎn)，連接EFAC于點(diǎn)O〔1〕，求證：△AOE∽△COF；假設(shè)點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接BDAE與點(diǎn)G〔2〕，求證：四邊形EFDG是菱形．考點(diǎn)：相像三角形的判定；菱形的判定。專題：證明題；數(shù)形結(jié)合。分析：〔1〕由點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BC＝2AD，可證得四邊形AECD為平行四邊形，即可得△AOE∽△COF；〔2〕DEABED是平行四邊形，又由∠ABE＝90°，ABED是矩形，依據(jù)矩形的性質(zhì)，易證得EF＝GD＝GE＝DFEFDG是菱形．解答：〔1〕證明：∵點(diǎn)EBC的中點(diǎn)，BC＝2AD，1又∵AD∥DC，∴四邊形AECD為平行四邊形，∴AE∥DC，∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，∴△AOE∽△COF；〔2〕證明：連接DE，∵DE平行且等于BE，∴四邊形ABED是平行四邊形，又∠ABE＝90°，∴□ABED是矩形，1 1∴E．F分別是BC．CD的中點(diǎn)，∴EF．GE是△CBD的兩條中線，1 1∴EF＝GD＝GE＝DF，∴四邊形EFDG是菱形．與性質(zhì)等學(xué)問(wèn)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是要留意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．〔202325，9〕如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接CP延長(zhǎng)，交ADE，交BAF．求證：∠DCP=∠DAP；假設(shè)AB=2，DP：PB=1：2，且PA⊥BF，求對(duì)角線BD考點(diǎn)：相像三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；菱形的性質(zhì)。專題：計(jì)算題。分析：〔1〕依據(jù)菱形的性質(zhì)得CD=AD，∠CDP=∠ADP，證明△CDP≌△ADP即可；〔2〕由菱形的性質(zhì)得CD∥BA，可證△CPD∽△FPB，利用相像比，結(jié)合DP：PB=1：2，CD=BA為BFPA⊥BFPB=PPA=CRt△PAB中，由勾股定理，列方程求解．解答：〔1〕證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴CD=AD，∠CDP=∠ADP，∴△CDP≌△ADP，∴∠DCP=∠DAP；〔2〕解：∵四邊形ABCD∴CD∥BA，CD=BA，∴△CPD∽△FPB，DP CD∴

CP 1=，PB BF PF 21 1∴CD=BF，CP=PF，2 2∴A為BF又∵PA⊥BF，∴PB=PF，由〔1〕可知，PA=CP，1 1∴PA=

PB，在Rt△PABPB2

22

( PB)22 24解得PB= 3，32則PD= 3，33∴BD=PB+PD=2 ．3鍵是依據(jù)菱形的四邊相等，對(duì)邊平行及菱形的軸對(duì)稱性解題．〔202323，8〕5ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：DE＝1BE．2A DB C E圖，等邊三角形的判定與性質(zhì)考點(diǎn)：菱形的性質(zhì) 平行四邊形的判定與性質(zhì)線段的倍分關(guān)系圖，等邊三角形的判定與性質(zhì)專題：四邊形1分析：思路一：易知四邊形ACED是平行四邊形，則AD＝CE＝BCBC＝2BE，1要說(shuō)明DE＝2BE，只需說(shuō)明DE＝BC即可．BD，先證∠BDE＝90°，再證∠DBE＝30°，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可直接獲得結(jié)論〔自己完成證明過(guò)程〕．解答：∵ABCD是菱形，又∵∠ABC＝60°，∴BC＝AC＝AD．∵DE∥AC∴ACED為平行四邊形．∴CE＝AD＝BC，DE＝AC．∴DE＝CE＝BC，1∴DE＝2BE．點(diǎn)評(píng)：相等的線段，可實(shí)現(xiàn)線段的等量代換〔轉(zhuǎn)移〕，這就為證明線段相等或倍、分關(guān)系制造了條件．〔202325，14〕菱形ABCD1，∠ADC=60o，等邊△AEF邊分別交DC、CB于點(diǎn)E、F?！?〕〔4〕特別覺(jué)察：如圖1，假設(shè)點(diǎn)E、F分別是DC、CB的中點(diǎn)，求證菱形ABCD對(duì)角母AC、BD的交點(diǎn)O即為等邊△AEF的外心；〔2〕假設(shè)點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動(dòng)，記等邊△AEF的外心為點(diǎn)P。①〔4〕2，猜測(cè)△AEF的外心P落在哪始終線上，并加以證明；②〔5〕拓展運(yùn)用：如圖3，猜測(cè)△AEFP任作始終線分別交邊DA于點(diǎn)1 1M，交邊DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，試推斷DM DN是否為定值，假設(shè)是，懇求出該定值；假設(shè)不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。考點(diǎn)：質(zhì)；三角形的外接圓與外心．分析：〔1〕首先分別連接OE、0F，由四邊形ABCD是菱形，即可得AC⊥BD，BD平分∠F分別為CB，則可得點(diǎn)O的外心；〔2〕①首先分別連接PE、PAP分別作PI⊥CDI，PJ⊥ADJ，即可求得∠IPJ的P是等邊△AEF的外心，易證得△PIE≌△PJAPI=PJPADC的平分線上，即點(diǎn)P落在直線DB上．AE⊥DC時(shí)．△AEF面積最小，此時(shí)點(diǎn)E、F分別為DC、CB中點(diǎn)．連接BD、AC交于點(diǎn)P，由〔1〕可得點(diǎn)PAEF的外心．由△GBP∽△MDP2．解答：〔1〕1，分別連接OE、0F，CFCFEOD A第25題圖1 ∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BDADC．AO=DC=BC，∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．∠ADO=∠ADC=×60°=30°，又∵E、F分別為DC、CB中點(diǎn)，∴OE=CD，OF=BC，AO=AD，∴0E=OF=OA，O即為△AEF〔2〕①猜測(cè)：外心P肯定落在直線DB上．CFCFIPED J A252證明：如圖 2，分別連接PE、PA，過(guò)點(diǎn)P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥ADJ，∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°，∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°，P是等邊△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA，∴△PIE≌△PJA，∴PI=PJ，∴點(diǎn)PADCPDB上．2．AE⊥DC時(shí)．△AEF面積最小，此時(shí)點(diǎn)E、F分別為DC、CB中點(diǎn)．BD、AC交于點(diǎn)P，由〔1〕可得點(diǎn)P即為△AEF的外心．3．設(shè)MNBC于點(diǎn)G，CN=y-1，∵BC∥DA，∴△GBP∽△MDP．∴BG=DM=x．NCNCFEPD M A253∴CG=1-x∵BC∥DA，∴△GBP∽△NDM，∴，∴，∴x+y=2xy，∴+=2，即=2點(diǎn)評(píng)：等學(xué)問(wèn)．此題綜合性很強(qiáng)，圖形也比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)〔202318,分〕如圖，在平行四邊形ABCDP是對(duì)角線AC一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分別為E、F，且PE=PF，平行四邊形ABCD是菱形嗎？為什么？考點(diǎn)：菱形的判定；角平分線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)。分析：首先依據(jù)定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，可得到∠DAC=∠CAE，然后證明∠DAC=∠DCA，可得到DA=DC，再依據(jù)菱形的判定定理：鄰邊相等的平行四邊形是菱形，進(jìn)而可得到結(jié)論．解答：解：是菱形．理由如下：∵PE⊥AB，PF⊥AD，且PE=PF，∴AC∠DAB∴∠DAC=∠CAE，∵四邊形ABCD∴DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∴平行四邊形ABCD點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了菱形的判定，證明∠DAC=∠DCA是解此題的關(guān)鍵．〔202323，？〕如圖，在□ABCDE、F分別為邊AB、CDBD對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)AAG∥DBCBG．求證：DE∥BF；假設(shè)∠G＝90°，求證：四邊形DEBF是菱形．考點(diǎn)：菱形的判定；平行線的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：〔1〕依據(jù)條件證明∴△ADE≌△CBF，即∠3＝∠CBF，再依據(jù)角平分線的性質(zhì)可知∴∠BDE＝∠FBD，依據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，即可證明DE∥BF，依據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，可以得出∠1＝∠2，再依據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，從而得出結(jié)論．解答：證明：〔1〕∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠4＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．E、F分別是AB、CD∴AE＝

1 1AB，CF＝CD．∴AE＝CF，∴△ADE≌△CBF，2 2∴∠3＝∠CBF，∵∠ADB＝∠CBD，∴∠2＝∠FBD，∴DE∥BF，〔2〕∵∠G＝90°，∴四邊形AGBD，∠ADB＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴2∠2+2∠3＝180°．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∴DE＝AE＝BE，∵AB∥CD，DE∥BF，∴四邊形DEBF18.〔202318.〔202324，12〕圖形既關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，又關(guān)于直線AC，BD對(duì)稱，AC=10，BD=6，點(diǎn)E，M是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)〔不與端點(diǎn)重合〕，點(diǎn)O到EF，MN的距離分別為h，h，△OEF與△OGH組成的圖形稱為蝶形．1 2求蝶形面積S的最大值；EH為直徑的圓與以MQ為直徑的圓重合時(shí)，求h1

h滿足的關(guān)系式，并求h2 2的取值范圍．考點(diǎn)：相像三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)；軸對(duì)稱的性質(zhì)；中心對(duì)稱；平行線分線段成比例．專題：計(jì)算題；幾何圖形問(wèn)題．分析：〔1〕ABCDEF∥BD，求證△ABD∽△AEF，然后利用其對(duì)邊成比例求得EF，然后利用三角形面積公式即可求得蝶形面積S的最大值．〔2〕依據(jù)題意，得OE=OM．作OR⊥ABR，OB關(guān)于OR對(duì)稱線段為OS，①當(dāng)點(diǎn)E，M不重合OE，OMORRE=RMBRML∥EK∥OB，利用平h h 9行線分線段求得1+ 2 即可知h的取值范圍；②當(dāng)點(diǎn)E，M重合時(shí)，則h=h，此時(shí)可5 5 17 1 1 2h的取值范圍．1解答：解：〔1〕由題意，得四邊形ABCD是菱形．∵EF∥BD，∴△ABD∽△AEF，EF 5h 6∴ 1，即EF (5h)6 5 5 1所以當(dāng)h1

2

max

15．2〔2〕〔2〕依據(jù)題意，得OE=OM．如圖，作OR⊥AB于R，OB關(guān)于OR對(duì)稱線段為OS，①當(dāng)點(diǎn)E，M不重合時(shí)，則OE，OM在OR的兩側(cè)，易知RE=RM．∵AB 5232 34，∴OR1534，∴BR 32(1534)2934由ML∥EK∥OB，得OAAB,OAAB∴OAOAABABOK BE OL BMOK OL BE BM2BRAB，h即5 5 171+ 2h9∴h+h 1 2451714517且h14534②當(dāng)點(diǎn)E，M重1合時(shí)，則h=h，此時(shí)h的取值范圍為0＜h＜5．1 2 1 1點(diǎn)評(píng)：此題主要考察相像三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，中心對(duì)稱，平行線分線段成比例等學(xué)問(wèn)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，有肯定的拔高難度，屬于難題．19.〔202322，10〕如圖，E、F分別是ABCD的邊BC、AD上的點(diǎn)，且BE=DF．求證：四邊形AECF是平行四邊形；假設(shè)BC=10，∠BAC=90°，AECF是菱形，求BE的長(zhǎng)．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì).專題：證明題.分析：〔1〕AF∥EC，BE=DFAECF是平行四邊形．〔2〕由先證明AE=BEBE=AE=CEBE的長(zhǎng)．解答：〔1〕證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BCAD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=ECAECF是平行四邊形．1

BC=5．2平行四邊形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)推出結(jié)論．〔202322，10如圖，△ABC中，AD是邊BCAAE∥BC，DDE∥AB，DE與AC、AE分別交于點(diǎn)O、點(diǎn)E，連接EC．當(dāng)∠BAC=Rt∠ADCE是菱形．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；菱形的判定。專題：證明題。分析：〔1〕先證四邊形ABDE是平行四邊形，再證四邊形ADCE是平行四邊形，即得AD=CE；〔2〕由∠BAC=Rt∠，AD上斜邊BC上的中線，即得AD=BD=CD，證得四邊形ADCE是平行四邊形，即證；解答：〔1〕證明：∵DE∥AB，AE∥BC，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE∥BD，且AE=BD又∵ADBC邊上的中線，∴BD=CD∴AE∥CD，且AE=CD∴四邊形ADCE是平行四邊形∴AD=CE〔2〕證明：∵∠BAC=Rt∠，AD上斜邊BC上的中線，∴AD=BD=CD又∵四邊形ADCE是平行四邊形∴四邊形ADCE是菱形點(diǎn)評(píng)：此題考察了平行四邊形的判定和性質(zhì)，〔1〕證得四邊形ABDE，四邊形ADCE為平行BA=Rt∠AD上斜邊BCA=B=C是平行四邊形，從而證得四邊形ADCE是菱形．〔202323，12〕以四邊形ABCDAB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH．如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們覺(jué)察四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊ABCD為矩形時(shí)，請(qǐng)推斷：四邊形EFGH的外形〔不要求證明〕；如圖3，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)∠ADC＝α〔0°＜α＜90°〕，①試用含α的代數(shù)式表示∠HAE；②求證：HE＝HG；③四邊形EFGH是什么四邊形？并說(shuō)明理由．考點(diǎn)：正方形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；菱形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：〔1〕依據(jù)等腰直角三角形得到角都是直角，且邊都相等即可推斷答案；222HA＝90°BA＝180°HAD是等腰直角三角形，得到∠HAD＝∠EAB＝45°，求出∠HAE即可；22②依據(jù)△AEB和△DGC是等腰直角三角形，得出AE＝

2

CD，平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝CD，求出∠HDG＝90°＋a＝∠HAE，證△HAE≌△HDCHE＝HG；，推出，得出菱形求出∠AHD＝90°，∠EHG＝90°，即可推出結(jié)論．解答：〔1〕答：四邊形EFGH的外形是正方形．〔2〕解：①∠HAE＝90°＋a，在平行四邊形ABCDAB∥CD，∴∠BAD＝180°－∠ADC＝180°－a，∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，∴∠HAD＝∠EAB＝45°，∴∠HAE＝360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－〔180°－a〕＝90°＋a，答：用含α的代數(shù)式表示∠HAE90°＋a．2②證明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，22∴AE＝22

CD，在平行四邊形ABCD中，AB＝CD，∴AE＝DG，∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形，∴∠HDA＝∠CDG＝45°，∴∠HDG＝∠HDA＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE，∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA＝HD，∴△HAE≌△HDC，∴HE＝HG．③答：四邊形EFGH是正方形，理由是：由②同理可得：GH＝G