氣象統(tǒng)計(jì)方法第四章一元線性回歸分析

氣象統(tǒng)計(jì)方法主講：溫娜南京信息工程大學(xué)大氣科學(xué)學(xué)院2014年9月本課件主要參考南信大李麗平老師的課件第四章一元線性回歸（huang28）

主要內(nèi)容概述基本概念原理方差分析相關(guān)系數(shù)和線性回歸回歸方程的顯著性檢驗(yàn)1.概述

回歸分析是用來尋找若干變量之間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系一種方法，利用找到的統(tǒng)計(jì)關(guān)系對(duì)某一變量作出未來時(shí)刻的估計(jì)，稱為預(yù)報(bào)值。包括線性回歸和非線性回歸，常用的線性回歸。

如：為了預(yù)報(bào)某地某月平均氣溫（預(yù)報(bào)量）未來時(shí)刻的變化，選擇預(yù)報(bào)前期已發(fā)生的多個(gè)有關(guān)的氣象要素（預(yù)報(bào)因子），利用回歸分析方法分析多個(gè)預(yù)報(bào)因子和預(yù)報(bào)變量之間的相互關(guān)系，建立統(tǒng)計(jì)關(guān)系方程式，最后利用其對(duì)未來時(shí)刻的氣溫作出預(yù)報(bào)估計(jì)?；貧w模型的類型2.基本概念一元回歸處理的是兩個(gè)變量之間的關(guān)系，即一個(gè)預(yù)報(bào)量和一個(gè)預(yù)報(bào)因子之間的關(guān)系。3.原理

一般來說，對(duì)樣本量為n的預(yù)報(bào)量y與預(yù)報(bào)因子x的一組樣本，如果認(rèn)為y與x是一種線性統(tǒng)計(jì)關(guān)系，預(yù)報(bào)量的估計(jì)量與x有如下關(guān)系：（1）或者寫為一般的回歸方程

a是截距，b是斜率。對(duì)所有的，若與的偏差最小，就認(rèn)為（1）所確定的直線能最好地代表所有實(shí)測(cè)點(diǎn)的散布規(guī)律。為了消除偏差符號(hào)的影響，可以用偏差的平方來反映偏差的絕對(duì)值偏離情況。

xy(xn,yn)(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)｝ei=yi-yi＾全部觀測(cè)值與回歸估計(jì)值的離差平方和記為它刻畫了全部觀測(cè)值與回歸直線偏離程度。顯然，Q值越小越好。a和b是待定系數(shù)，根據(jù)微積分學(xué)中的極值原理，要求：滿足上面關(guān)系的Q值最小。整理得到：上式稱為求回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方程組。展開：回歸系數(shù)也可直接表示為：上述求回歸系數(shù)的方法稱為最小二乘法距平形式的回歸方程:

即當(dāng)變量為距平時(shí)，回歸方程可以不用求a,因?yàn)閍=0,回歸直線通過原點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)化距平形式的回歸方程:4.回歸問題的方差分析（1）意義評(píng)價(jià)回歸方程的優(yōu)劣。（2）預(yù)報(bào)量的方差可以表示成回歸估計(jì)值的方差（回歸方差）和誤差方差（殘差方差）之和。即：方差分析表明，預(yù)報(bào)量y的變化可以看成由前期因子x的變化所引起的，同時(shí)加上隨機(jī)因素e變化的影響，這種前期因子x的變化影響可以歸為一種簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，這部分關(guān)系的變化可以用回歸方差的大小來衡量。如果回歸方差大，表明用線性關(guān)系解釋y與x的關(guān)系比較符合實(shí)際情況，回歸模型比較好。誤差方差回歸方差預(yù)報(bào)量方差有時(shí)候，兩邊同時(shí)乘以n變成各變量離差平方和的關(guān)系。U和Q分別稱為回歸平方和及殘差平方和，稱為總離差平方和。1.總離差平方和()反映因變量的n個(gè)觀察值與其均值的總離差。2.回歸平方和(U）反映自變量x的變化對(duì)因變量y取值變化的影響，或者說，是由于x與y之間的線性關(guān)系引起的y的取值變化，也稱為可解釋的平方和。3.殘差平方和(Q)反映除x以外的其它因素對(duì)y取值的影響，也稱為不可解釋的平方和或剩余平方和。5.相關(guān)系數(shù)與線性回歸----（1）因?yàn)榛貧w方差不可能大于預(yù)報(bào)量的方差，可以用它們的比值來衡量方程的擬合效果。即：b代入上式得:上式含義：表明了預(yù)報(bào)因子x對(duì)預(yù)報(bào)量y方差的線性關(guān)系程度，這一比值又稱為解釋方差(方差貢獻(xiàn)率)。也可以說明相關(guān)系數(shù)的含義：它是衡量?jī)蓚€(gè)變量線性關(guān)系密切程度的量，又被稱為回歸方程的判決系數(shù)。判決系數(shù)R2(coefficientofdetermination)1.回歸平方和占總離差平方和的比例；反映回歸直線的擬合程度；取值范圍在[0,1]之間；

R21，說明回歸方程擬合的越好；R20，說明回歸方程擬合的越差；判決系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即R2＝r2（2）回歸系數(shù)b與相關(guān)系數(shù)之間的關(guān)系r與b同號(hào)。6.回歸方程的顯著性檢驗(yàn)

原假設(shè)回歸系數(shù)b為0的條件下，上述統(tǒng)計(jì)量遵從分子自由度為1，分母自由度為（n-2）的F分布，若線性相關(guān)顯著，則回歸方差較大，因此統(tǒng)計(jì)量F也較大；反之，F(xiàn)較小。對(duì)給定的顯著性水平,查表得到F臨界值，如果,則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為線性相關(guān)顯著。上式還可以表示為：由于回歸系數(shù)b已經(jīng)知道，根據(jù)計(jì)算出x和y的相關(guān)系數(shù)，然后可以求得F.注意:

對(duì)于一元線性回歸來說，因?yàn)镕的相關(guān)系數(shù)表達(dá)式開方就是相關(guān)系數(shù)t檢驗(yàn)的表達(dá)式,故回歸方程的檢驗(yàn)與相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)一致。提出假設(shè)H0：1=0,線性關(guān)系不顯著計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F確定顯著性水平，并根據(jù)分子自由度1和分母自由度n-2找出臨界值F

作出決策：若F>F

,拒絕H0；若F<F

,不能拒絕H0線性關(guān)系檢驗(yàn)的步驟概括如下：7.回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

氣象中經(jīng)常使用回歸方程的距平形式，對(duì)回歸方程的顯著性檢驗(yàn)可以只對(duì)因子的回歸系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。

遵從自由度為n-2的t分布；或者根據(jù)F分布與t分布的關(guān)系有：

上式與之前方差檢驗(yàn)的公式完全一致，但在檢驗(yàn)單個(gè)變量在回歸方程中的作用時(shí)更為常用。8.預(yù)報(bào)的置信區(qū)間（95%置信區(qū)間）因?yàn)榭梢钥闯勺駨牡姆植?，所以?5%的置信區(qū)間為。

是總體均方差（誤差均方差）的無偏估計(jì)量。

例1：1）計(jì)算回歸系數(shù)，確定方程X變化一個(gè)單位，氣溫降低0.23度。2）回歸方程顯著性檢驗(yàn)：3）計(jì)算預(yù)報(bào)值得置信區(qū)間，作出預(yù)測(cè):總離差平方和x離差平方和X和y離差積之和

一組計(jì)算公式回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別1.相關(guān)分析中，變量x

變量y處于平等的地位；回歸分析中，變量y稱為因變量，處在被解釋的地位，x稱為自變量，用于預(yù)測(cè)因變量的變化。2.相關(guān)分析中所涉及的變量x和y都是隨機(jī)變量；回歸分析中，因變量y是隨機(jī)變量，自變量x

可以是隨機(jī)變量，也可以是非隨機(jī)的確定變量。3.相關(guān)分析主要是描述兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的密切程度；回歸分析不僅