高二物理競賽剛體力學(xué)基礎(chǔ)課件

第5章剛體力學(xué)基礎(chǔ)

第5章剛體力學(xué)基礎(chǔ)本章主要內(nèi)容：1、剛體運動學(xué)（運動狀態(tài)的描述）2、定軸轉(zhuǎn)動剛體的功和能3、定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理及守恒定律1、剛體:在外力作用下形狀和大小完全不變的物體為剛體。剛體是一種理想模型。剛體上任兩點間的距離始終保持不變。5.1.1、剛體平動與轉(zhuǎn)動2、剛體的平動:剛體上任意兩點的連線在運動中保持平行,這種運動稱為剛體的平動。平動的剛體可當(dāng)作質(zhì)點。注意：剛體平動時，運動軌跡不一定是直線。特征：各個質(zhì)點的位移、速度、加速度相等。3、剛體的轉(zhuǎn)動:剛體上的各點繞同一直線做圓周運動。4、剛體的一般運動：可看成是平動和轉(zhuǎn)動的疊加。

定軸轉(zhuǎn)動

:轉(zhuǎn)軸在空間的位置固定不動。1）各點的角位移、角速度、角加速度相同。2）各點的線位移、線速度、線加速度不同。特征：5.1剛體運動學(xué)所以，剛體定軸轉(zhuǎn)動用角量描述比較方便。由于不同點的線速率、線位移一般不同；剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點1、剛體各點的軌跡分別是過該點垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)的圓。圓心是平面與轉(zhuǎn)軸的交點，半徑：該點到轉(zhuǎn)軸的距離。2、在同一時間內(nèi)，剛體上任意點的角位移都相同。３、任意時刻不同點的和都相同。5.1.2、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角量描述平均角速度：角速度：（矢量）角加速度：（矢量）角位移:規(guī)定

ox

軸逆時針轉(zhuǎn)動為正方向，反之為負方向。角位置：剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)方程。定軸轉(zhuǎn)動只有兩個轉(zhuǎn)動方向。剛體作勻變速轉(zhuǎn)動時，相應(yīng)公式如下：

角量與線量的關(guān)系：線速度與角速度之間的矢量關(guān)系為:

由于在定軸轉(zhuǎn)動中軸的位置不變，故只有沿軸的正負兩個方向，可以用代數(shù)值代替。

例題5-1一半徑為R=0.1m

的砂輪作定軸轉(zhuǎn)動，其角位置隨時間t

的變化關(guān)系為

=

(

2

+

4

t

3

)

rad，式中

t以秒計。試求：1）在

t=2s

時,砂輪邊緣上一質(zhì)點的法向加速度和切向加速度的大小。2）當(dāng)角

為多大時，該質(zhì)點的加速度與半徑成

45

o。

解：

1)2)(舍去t=0

和t=-0.55)此時砂輪的角度：

例題5-2

一飛輪從靜止開始加速，在6s內(nèi)其角速度均勻地增加到200rad/min,然后以這個速度勻速旋轉(zhuǎn)一段時間，再予以制動，其角速度均勻減小。又過了5s后，飛輪停止了轉(zhuǎn)動。若飛輪總共轉(zhuǎn)了100轉(zhuǎn)，求共運轉(zhuǎn)了多少時間？解：整個過程分為三個階段①加速階段②勻速階段③制動階段

解：

1)棒做變加速運動：

例題補一細棒繞O點自由轉(zhuǎn)動，并知,L為棒長。求:1)棒自水平靜止開始運動，θ=π/3時,角速度ω?2)此時端點A和中點B的線速度為多大?1、剛體:在外力作用下形狀和大小完全不變的物體為剛體。

2、剛體的平動:剛體上任意兩點的連線在運動中保持平行,這種運動稱為剛體的平動。特征：各個質(zhì)點的位移、速度、加速度相等。3、剛體的轉(zhuǎn)動:剛體上的各點繞同一直線做圓周運動。

定軸轉(zhuǎn)動

:轉(zhuǎn)軸在空間的位置固定不動。各點的角位移、角速度、角加速度相同。特征：復(fù)習(xí)剛體上任兩點間的距離始終保持不變。剛體是一種理想模型。平動的剛體可當(dāng)作質(zhì)點。平動動能：轉(zhuǎn)動動能：5.2.1、剛體的動能5.2定軸轉(zhuǎn)動剛體的功和能剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動慣量：則：注意：轉(zhuǎn)動動能實質(zhì)與平動動能相同，表達式不同。一般剛體動能：2、轉(zhuǎn)動慣量的計算：若質(zhì)量離散分布：（質(zhì)點，質(zhì)點系）若質(zhì)量連續(xù)分布：其中：1、定義：剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：5.2.2、轉(zhuǎn)動慣量的計算：描述剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量。SI單位：kg.m

例題5-4(1)求質(zhì)量為m，半徑為R的均勻圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。解:

設(shè)質(zhì)量線密度為λ

例題5-4(2)求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻薄圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量

取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán),解:

設(shè)質(zhì)量面密度為σ質(zhì)點作圓周運動滑輪例題5-4

求長為L、質(zhì)量為m的均勻細棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。解1）取A點為坐標(biāo)原點。在距A點為x處取dm=λdx。2）取C點為坐標(biāo)原點。在距C點為x

處取dm。2)同一剛體對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量不同，凡提到轉(zhuǎn)動慣量必須指明它是對哪個軸的。剛體的轉(zhuǎn)動慣量是由剛體的總質(zhì)量、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸的位置三個因素共同決定;說明3、平行軸定理：

若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，且兩軸相距為d，剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，則有：說明：兩軸平行；JC

為剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量d

為兩平行軸間距離。例1

均勻圓盤對O軸的轉(zhuǎn)動慣量。例2

均勻細棒對A軸的轉(zhuǎn)動慣量。4、垂直軸定理設(shè)一薄板，過其上一點作z軸垂直于板面，x、y軸在平板面內(nèi)，若取一質(zhì)元⊿mi，則有薄板形剛體對于板面內(nèi)的兩條正交軸的轉(zhuǎn)動慣量之和等于這個物體對過該二軸交點并垂直于板面的那條轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。

---垂直軸定理練習(xí)：求下列剛體對O軸的轉(zhuǎn)動慣量：5.2.3、對轉(zhuǎn)軸的力矩剛體繞Oz

軸旋轉(zhuǎn),力作用在剛體上點P，且在轉(zhuǎn)動平面內(nèi),

為由點O到力的作用點P的徑矢。

有兩個方向，可用正負表示。方向：d=rsinθ稱為力F對轉(zhuǎn)軸的力臂。由右手螺旋定則確定。1、F在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)把F分解為徑向Fr、橫向Ft和沿轉(zhuǎn)軸方向Fz的三個分量。力矩的大小:(d力臂)①Fr

對轉(zhuǎn)軸的力矩為零；②Fz的力矩不為零，但產(chǎn)生的力矩垂直于轉(zhuǎn)軸不影響剛體的定軸轉(zhuǎn)動，或它在轉(zhuǎn)軸上的投影為零；③Ft的力矩沿軸向，它對剛體定軸轉(zhuǎn)動有貢獻。2、F不在轉(zhuǎn)軸平面內(nèi)

2、當(dāng)有n個力作用于剛體，則

合外力矩等于各外力對轉(zhuǎn)軸力矩的代數(shù)和。3、剛體的內(nèi)力對轉(zhuǎn)軸的力矩：剛體的內(nèi)力對轉(zhuǎn)軸的力矩的矢量和為零。1、由于角動量、力矩的方向都只有沿轉(zhuǎn)軸方向的兩個可能的指向，所以通常用標(biāo)量（正、負）表示。

與轉(zhuǎn)軸平行的力對轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩。

與轉(zhuǎn)軸垂直但通過轉(zhuǎn)軸的力對轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩。

剛體內(nèi)各質(zhì)點間的內(nèi)力對轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩。結(jié)論：討論5.2.4、定軸轉(zhuǎn)動定律設(shè)剛體以角速度和角加速度繞軸轉(zhuǎn)動，點表示剛體上的一質(zhì)元,質(zhì)量為點的矢徑為，此質(zhì)元所受的外力為，內(nèi)力為

,且均在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)

由牛頓第二定律得:

故只討論切向方程：由于法向力的作用線穿過轉(zhuǎn)軸，其力矩為零，對切向方程兩邊同乘以，可得

即：——剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律由于各質(zhì)元的角加速度均相同，則對剛體：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體上所有外力對該軸力矩的代數(shù)和。1、轉(zhuǎn)動定律適用條件：剛體定軸轉(zhuǎn)動。2、M

一定：作用不同剛體上，J大時，β

小，轉(zhuǎn)速不宜改變，轉(zhuǎn)動慣性大。反之，J

小，轉(zhuǎn)動慣性小。

—轉(zhuǎn)動慣量是物體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。3、剛體轉(zhuǎn)動定律是解決剛體轉(zhuǎn)動問題的重要定律。應(yīng)用時應(yīng)注意以下問題：③當(dāng)系統(tǒng)中既有轉(zhuǎn)動物體，又有平動物體時，用隔離法解題。對轉(zhuǎn)動物體應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律建立方程，對平動物體則用牛頓第二定律建立方程。①力矩和轉(zhuǎn)動慣量必須對同一轉(zhuǎn)軸而言。②選定轉(zhuǎn)軸的正方向，以確定力矩或角加速度、角速度的正負。類比說明：

例題5-7質(zhì)量為m1、半徑為R的定滑輪可繞軸自由轉(zhuǎn)動，一質(zhì)量為m2的物體懸掛于繞過滑輪的細繩上。求：物體m2的下落加速度a和

滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度β.聯(lián)合解得：

關(guān)聯(lián)方程：

解對m1分析力矩；取滑輪轉(zhuǎn)動方向為正方向。對m2分析受力，取向下為正方向。由轉(zhuǎn)動定律：由牛頓運動定律：

的薄圓盤）的定滑輪（視為半徑為

例題5-6一輕繩跨過一質(zhì)量為兩物體，且和繩兩端掛質(zhì)量為，繩與滑輪無相對滑動，滑輪軸間摩擦阻力矩為求物體的加速度和繩中的張力。

對

（2）對（1）對滑輪分析力矩，由轉(zhuǎn)動定律：

（3）

（4）

（5）對m1

、m2分析受力。由牛頓定律：關(guān)聯(lián)方程：

解：由于m2＞m1

，m1向上加速運動，m2向下加速運動，滑輪順時針轉(zhuǎn)動。規(guī)定物體運動方向為正方向。聯(lián)立（1）,（2），（3），（4），(5)式可解得比較：當(dāng)不計滑輪質(zhì)量m和摩擦阻力矩Mf時，有

例題5-8一剛體由長為

l，質(zhì)量為m的均勻細棒和質(zhì)量為m的小球組成，且可繞O軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，且軸處無摩擦。求:1）剛體繞軸O的轉(zhuǎn)動慣量。2）若棒自水平靜止開始運動到棒與豎直方向成θ角時,小球的角速度和法向加速度。2）取逆時針轉(zhuǎn)動為正方向，棒與豎直方向成θ角時，合外力矩:解1）分離變量積分得:小球的法向加速度：由轉(zhuǎn)動定律:

解選取斜面為參考系，規(guī)定滑輪的轉(zhuǎn)動方向為轉(zhuǎn)動正向，沿斜面向上為重物運動的正方向．隔離物體分析受力。對重物應(yīng)用牛頓第二定律，得對滑輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律，得關(guān)聯(lián)方程為：

例題補一恒力矩M作用于斜面頂點的滑輪上，滑輪的半徑為r,質(zhì)量為m1，質(zhì)量為m2的重物通過一不可伸長的輕繩固定在輪的邊緣，重物沿傾角為α的斜面上升．重物與斜面間的摩擦系數(shù)為μ。求：輪子由靜止開始轉(zhuǎn)過角后獲得多大的角速度？聯(lián)立得：由于為常量，故滑輪作勻變速轉(zhuǎn)動．則1、如圖所示，A、B為兩個相同的繞著輕繩的定滑輪．A滑輪掛一質(zhì)量為M的物體，B滑輪受拉力F，而且F＝Mg．設(shè)A、B兩滑輪的角加速度分別為βA和βB，不計滑輪軸的摩擦，則有(A)β

A＝β

B．(B)β

A＞β

B．(C)β

A＜β

B．(D)開始時β

A＝β

B，以后β

A＜β

B．√練習(xí)題2、一輕繩跨過一具有水平光滑軸、質(zhì)量為M的定滑輪，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體(m1＜m2)，如圖所示．繩與輪之間無相對滑動．若某時刻滑輪沿逆時針方向轉(zhuǎn)動，則繩中的張力

(A)處處相等．(B)左邊大于右邊．(C)右邊大于左邊．(D)哪邊大無法判斷．√一、剛體:受力時形狀和大小完全不變的的物體為剛體。剛體定軸轉(zhuǎn)動:轉(zhuǎn)軸相對參考系固定不動的轉(zhuǎn)動。剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：二、剛體對轉(zhuǎn)軸的力矩：小結(jié)三、剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律:作業(yè)P124：5-2-3，5-4一、剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：二、剛體對轉(zhuǎn)軸的力矩：復(fù)習(xí)三、剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律:基本步驟：隔離法分析研究對象。確定各物體運動的正方向。分別列出質(zhì)點和剛體的運動方程。

剛體的定軸轉(zhuǎn)動

:轉(zhuǎn)軸在空間的位置固定不動。特征：各點的角位移、角速度、角加速度相同。5.2.5、力矩的功和功率力矩功的表達式由功的定義式:4）力矩的功與力的功實質(zhì)相同，表達式不同。2）幾個力矩同時作用時3）內(nèi)力矩做功為零。1）M恒定時說明---合外力矩根據(jù)功率的定義，力矩的功率可表示為

對比5.2.6、定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定理定軸轉(zhuǎn)動的動能定理設(shè)定軸轉(zhuǎn)動剛體受到的合外力矩為M，根據(jù)轉(zhuǎn)動定律合外力矩對剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。例題補充沖床的飛輪m=600kg,飛輪半徑r=0.4m.正常速度為n1=240r/min,沖一次孔轉(zhuǎn)速減低20%。求沖一次孔沖頭做的功。

解:

沖孔前后的角速度分別表示為ω1和ω2

孔鐵板阻力對沖頭做功：故沖頭做功：剛體的重力勢能等于全部質(zhì)量集中于質(zhì)心處的質(zhì)點的重力勢能。5.2.7、剛體的重力勢能5.2.8、剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理和機械能守恒定律剛體的重力勢能剛體中各質(zhì)元的重力勢能的總和稱為定軸轉(zhuǎn)動剛體的重力勢能。若剛體定軸轉(zhuǎn)動中受重力矩M重

及其它外力矩M外的作用，則根據(jù)勢能定理Zc是剛體質(zhì)心相對重力勢能參考點的高度例：長為質(zhì)量為m的均勻細棒作如圖所示的定軸轉(zhuǎn)動時，重力矩所做的功為重力矩所做的功等于重力勢能增量的負值。

（選逆時針方向為正）剛體定軸轉(zhuǎn)動功能原理的積分形式

剛體定軸轉(zhuǎn)動功能原理的微分形式

如果在剛體定軸轉(zhuǎn)動的過程中，除重力矩以外的其它外力矩對剛體做的功始終為零，M外——除重力矩以外的其它外力對轉(zhuǎn)軸的合力矩則定軸剛體轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的機械能守恒。其中，剛體的重力勢能為。下擺。求:例題5-9一長為l質(zhì)量為m的勻質(zhì)細棒，如圖所示，可繞圖中水平軸o在豎直面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，若軸間光滑，今使棒從水平位置自由（1）在水平位置和豎直位置棒的角加速度（2）在豎直位置時棒的角速度、質(zhì)心的速度和加速度各為多少？解：（1）由定軸轉(zhuǎn)動定律可得在水平位置

在豎直位置

N（2）先取任一中間狀態(tài)進行受力分析，細棒的機械能守恒。若設(shè)細棒在水平位置時為重力勢能零點，則有豎直位置棒的角速度為N質(zhì)心的速度質(zhì)心的切向加速度和法向加速度例題5-10已知滑輪的質(zhì)量為M，，半徑為R，物體的質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為k，斜面的傾角為θ，物體與斜面間光滑，物體從靜止釋放，釋放時彈簧無形變。設(shè)細繩不伸長且與滑輪間無相對滑動，忽略軸間摩擦阻力矩。求物體沿斜面下滑x米時的速度為多大？（滑輪視作薄圓盤）解選取定軸轉(zhuǎn)動的滑輪、彈簧、物體和地球為系統(tǒng)，重力、彈性力均為系統(tǒng)內(nèi)保守力，而其它外力和非保守內(nèi)力均不做功，故系統(tǒng)的機械能守恒。設(shè)m未釋放時為初態(tài)，取此時重力勢能為零。當(dāng)m下滑x后為末態(tài)。由機械能守恒定律：聯(lián)立得角量與線量的關(guān)系:又有：5.3定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理和角動量守恒定律一、剛體對定軸的角動量對OZ軸的元角動量:質(zhì)元一個以角速度ω繞OZ

軸轉(zhuǎn)動的均勻細棒均勻細棒對OZ

軸的角動量：剛體對定軸的角動量注意：L為剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量,方向與轉(zhuǎn)軸平行。二、剛體的角動量定理作用在剛體上沿轉(zhuǎn)軸方向的合外力矩等于剛體繞此軸的角動量隨時間的變化率。作用在剛體上的沖量矩等于剛體角動量的增量。剛體定軸轉(zhuǎn)動時，當(dāng)轉(zhuǎn)動慣量J不變時，轉(zhuǎn)動定律可表示為微分形式積分形式三、剛體的角動量守恒定律1)定軸轉(zhuǎn)動的剛體，若J=C，角動量守恒即剛體保持靜止或勻角速轉(zhuǎn)動。2）若J不為恒量時，角動量守恒即Jω=恒量。這時，剛體的角速度隨轉(zhuǎn)動慣量的變化而變化，但乘積保持不變．當(dāng)剛體所受的外力對某固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時，剛體對此轉(zhuǎn)軸的總角動量保持不變。3）角動量守恒定律中的都是相對于同一轉(zhuǎn)軸的．4）守恒條件：例:說明例題5-11一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0射穿靜止懸于頂端的均質(zhì)長棒的下端。子彈穿出后其速度損失了3/4，求子彈穿出后棒的角速度ω。已知棒的長度為l，質(zhì)量為M。解取細棒和子彈為系統(tǒng)，在碰撞過程中，系統(tǒng)受到的外力：重力和軸的作用力，它們對轉(zhuǎn)軸的力矩為零。所以系統(tǒng)的角動量守恒。設(shè)m射穿前為初態(tài)，m射穿后為末態(tài)。初態(tài)末態(tài)由角動量守恒定律，得

例題5-12

如圖所示，一長為2l

，質(zhì)量為M的均勻細棒，可繞中點的水平軸o在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，開始時棒靜止在水平位置，一質(zhì)量為m的小球以速度v0垂直下落在棒的端點，設(shè)小球與棒作彈性碰撞，求碰撞后小球的回跳速度v及棒轉(zhuǎn)動的角速度ω各為多少？解:以小球和棒組成的系統(tǒng)為研究對象。取小球和棒碰撞中間的任意狀態(tài)分析受力，則系統(tǒng)對軸o的角動量守恒。取垂直紙面向里為角動量正向。根據(jù)彈性碰撞，機械能守恒。聯(lián)立可解得例題5-13一質(zhì)量為M半徑為R的水平轉(zhuǎn)臺（可看作勻質(zhì)圓盤）可繞通過中心的豎直光滑軸自由轉(zhuǎn)動，一個質(zhì)量為m的人站在轉(zhuǎn)臺邊緣。人和轉(zhuǎn)臺最初相對地面靜止。求當(dāng)人在轉(zhuǎn)臺上邊緣走一周時，人和轉(zhuǎn)臺相對地面各轉(zhuǎn)過的角度是多少？解:如圖，對盤和人組成的系統(tǒng)，當(dāng)人走動時系統(tǒng)所受的對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零，因此系統(tǒng)的角動量守恒。設(shè)人沿轉(zhuǎn)臺邊緣相對地面以角速度ω逆時針方向繞軸走動（正方向），人的轉(zhuǎn)動慣量為J1。轉(zhuǎn)臺以角速度ω’相對地面順時針方向繞軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)動慣量為J2。起始狀態(tài)系統(tǒng)的角動量為零。則有令，當(dāng)人在盤上走完一周時，應(yīng)有

該式兩邊乘dt并積分，有：

可得：

[補充]質(zhì)量為M，長為l的均勻細桿，可繞垂直于棒的一端的水平軸O無摩擦地轉(zhuǎn)動。現(xiàn)有一質(zhì)量為m的子彈以速度水平射入桿中。求：子彈與桿一起運動時的角速度ω及轉(zhuǎn)過的最大角度θ？解：第一階段：取子彈與細桿為一個系統(tǒng)。在碰撞過程中，合外力不為零，而合外力矩為零。系統(tǒng)相對于O軸的角動量守恒。第二階段：系統(tǒng)繞O軸轉(zhuǎn)動過程中，合外力不為零，且合外力矩也不為零，但只有重力作功，則系統(tǒng)的機械能守恒。取碰撞時桿最底端為重力勢能零點剛體的勢能解得：子彈與桿一起運動時的角速度ω：子彈隨桿轉(zhuǎn)過的最大角度θ：注意：當(dāng)系統(tǒng)的合外力不為零時，該系統(tǒng)的合外力矩卻可以為零，即系統(tǒng)的動量不守恒。而系統(tǒng)的角動量守恒。1、一人站在旋轉(zhuǎn)平臺的中央，兩臂側(cè)平舉，整個系