第二章 直線方程、直線及平面關(guān)系

兩直線共面的條件定理8.0兩直線共面的充要條件是行列式形式為：推論8.2兩直線相交的充要條件為設(shè)直線的一般式方程為其中系數(shù)與不成比例。對(duì)于任意常數(shù)建立三元一次方程：或3平面束由于系數(shù)與不成比例，所以對(duì)任意常數(shù)不同時(shí)為零，因此方程(3)表示一個(gè)平面。又由于滿足的方程的點(diǎn)必滿足此平面方程，因此方程(3)一定通過(guò)直線的平面。反之，通過(guò)直線的平面（除(2)外）都包含在(3)所表示的一族平面中。通過(guò)定直線的所有平面的全體稱為平面束，而方程(13)稱為通過(guò)直線的平面束方程。例7求過(guò)直線和點(diǎn)的平面方程。解法一將直線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式所以已知直線的方向向量為且過(guò)點(diǎn)因此所求平面的法向量為所以所求平面方程為即解法二過(guò)已知直線的平面束方程為所求平面過(guò)點(diǎn)所以所求平面方程為例8求直線在平面上的投影直線方程。解所求直線在與已知平面垂直的平面上，和已知平面垂直，過(guò)已知直線且與已知平面垂直的平面方程，首先求過(guò)已知直線的平面束方程為即所求直線方程為因此點(diǎn)的距離為到平面

：Ax+By+Cz+D=0d機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束到直線的距離為點(diǎn)d機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)

空間平面一般式點(diǎn)法式截距式三點(diǎn)式1.空間直線與平面的方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束為直線的方向向量.空間直線一般式對(duì)稱式參數(shù)式為直線上一點(diǎn);機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束面與面的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:2.線面之間的相互關(guān)系機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束直線線與線的關(guān)系直線垂直:平行:夾角公式:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面:垂直：平行：夾角公式：面與線間的關(guān)系直線:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.相關(guān)的幾個(gè)問(wèn)題(1)過(guò)直線的平面束方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)點(diǎn)的距離為到平面

：Ax+By+Cz+D=0d機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束到直線的距離為(3)

點(diǎn)d機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、實(shí)例分析例1.

求與兩平面x–4z=3和2x–y–5z=1的交線提示:

所求直線的方向向量可取為利用點(diǎn)向式可得方程平行,且過(guò)點(diǎn)(–3,2,5)的直線方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

求直線與平面的交點(diǎn).提示:

化直線方程為參數(shù)方程代入平面方程得從而確定交點(diǎn)為（1，2，2）.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

求過(guò)點(diǎn)(2,1,3)且與直線垂直相交的直線方程.提示:先求二直線交點(diǎn)P.化已知直線方程為參數(shù)方程,代入①式,可得交點(diǎn)最后利用兩點(diǎn)式得所求直線方程的平面的法向量為故其方程為①過(guò)已知點(diǎn)且垂直于已知直線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

求直線在平面上的投影直線方程.提示：過(guò)已知直線的平面束方程從中選擇得這是投影平面即使其與已知平面垂直：從而得投影直線方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.

設(shè)一平面平行于已知直線且垂直于已知平面求該平面法線的的方向余弦.提示:已知平面的法向量求出已知直線的方向向量取所求平面的法向量機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束所求為例6.求過(guò)直線L:且與平面夾成角的平面方程.提示:過(guò)直線L

的平面束方程其法向量為已知平面的法向量為選擇使從而得所求平面方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思路:先求交點(diǎn)例7.求過(guò)點(diǎn)且與兩直線都相交的直線L.提示