第八章 應力狀態(tài)分析與強度理論

第八章應力狀態(tài)分析和強度理論主要內容：

應力狀態(tài)概論

平面應力狀態(tài)分析

利用應力圓確定主應力大小和主平面方位

用應力圓確定極值切應力及其所在平面的位置

廣義胡克定律

強度理論§8－1應力狀態(tài)概念不都是沿著橫截面破壞的，因此需要研究各不同斜截面的應力。即危險點的應力狀態(tài)。一點的應力狀態(tài)：就是受力構件內任一點處不同方位的截面上應力的分布情況。（單元體）單元體尺寸極細微小，可認為單元體各面上的應力均勻分布，且兩個平行面上的應力相同。單元體上切應力為零的平面稱為主平面。主平面上的正應力稱為主應力。一般，在受力構件的任意點皆可找到三個相互垂直的主平面，因而每一點都有三個主應力。σ1≥σ2≥σ3

單向拉伸或壓縮，三個主應力中只有一個不等于零---單向應力狀態(tài)三個主應力中有兩個不等于零---二向應力狀態(tài)（平面應力狀態(tài)）三個主應力都不等于零---三向應力狀態(tài)（空間應力狀態(tài)）單向應力狀態(tài)二向應力狀態(tài)三向應力狀態(tài)二向應力狀態(tài)和三向應力狀態(tài)統(tǒng)稱為復雜應力狀態(tài)。σ1≥σ2≥σ3

§8－2平面應力狀態(tài)分析

平面應力狀態(tài)應力分析的解析法任意斜截面上的應力

在圖示單元體上取任意斜截面a,其外法線n與x軸正向的夾角為α

。規(guī)定：α角自x軸正向逆時針轉到n為正。截面ef把單元體分成兩部分,現(xiàn)研究aef部分的平衡。斜截面ef上的應力以正應力σα和切應力τα表示。若ef的面積為dA，則af面和ae面的面積分別是dAsinα和dAcosα

。由靜力平衡方程

式中τxy=τyx，代入上式，化簡后得

平面應力狀態(tài)任意斜截面上的應力計算公式

將式對α求導數(shù)，并令dσ/dα=0，得

主平面和主應力

分析構件強度時，考慮的是應力的極值及斜截面的位置α=α0時，導數(shù)為零。帶入上式：主應力即為最大（最小）正應力若σx≥σy,確定的兩個角度α0中,絕對值較小的一個確定σmax所在的主平面。可得兩個α0,相差90度，即確定兩個相互垂直的平面大小方位

極值切應力

令dτx/dα=0，由式這說明最大或最小切應力所在平面與主平面成45o角。此處所指的極值切應力是指平面應力狀態(tài)下與零應力面垂直的各斜截面中的切應力的極值,并不是指三向應力狀態(tài)下單元體的最大切應力。得切應力的極值和他們所在的平面

例1一鑄鐵材料的圓軸,試分析扭轉時邊緣上點A的應力情況。

解：圓軸受扭時，橫截面邊緣處切應力最大，其值為：取邊緣上的點A分析主應力方向：例8-1§8－6廣義胡克定律

廣義胡克定律

對應于主應力σ1、σ2、σ3方向的線應變分別為ε1、ε2、ε3，稱為主應變。各向同性材料，小變形條件下，應變滿足疊加原理，主應變ε1可看成各主應力單獨作用時，在σ1方向上產生的應變疊加的結果。在σ1的單獨作用下，沿σ1方向的線應變?yōu)樵讦?和σ3的單獨作用下，在σ1方向引起的線應變分別為根據(jù)疊加原理，在σ1、σ2、σ3三個主應力的共同作用下，沿σ1方向的主應變?yōu)橥?，可求出沿?和σ3方向的主應變ε2和ε3，結果有廣義胡克定律（主應力表示主應變）廣義胡克定律（正應力表示正應變）

對于各向同性材料，當變形很小且應力不超過比例極限時，線應變只與正應力有關，與切應力無關；切應變只與切應力有關，與正應力無關：9個應力分量表示該點處的應力狀態(tài)§8－7

強度理論

強度理論的概念由于材料破壞主要有兩種形式,相應地存在兩類強度理論。一類是斷裂破壞理論,主要有最大拉應力理論和最大拉應變理論等；另一類是屈服破壞理論,主要是最大切應力理論和形狀改變比能理論。根據(jù)不同的強度理論可以建立相應的強度條件,從而為解決復雜應力狀態(tài)下構件的強度計算提供了依據(jù)。

常用的四種強度理論

最大拉應力理論(第一強度理論)

引起材料斷裂破壞的主要因素是最大拉應力。因此，材料發(fā)生破壞的條件為相應的強度條件是

σ1—構件危險點處的最大拉應力；[σ]—單向拉伸時材料的許用力。

試驗表明，這個理論對于脆性材料，在單向、二向或三向拉斷裂時，最大拉應力理論與試驗結果基本一致。在存在有壓應力的情況下，則只有當最大壓應力值不超過最大拉應力值時，拉應力理論才正確。這個理論沒有考慮其他兩個主應力對斷裂破壞的影響。同時對于壓縮應力狀態(tài)，由于根本不存在拉應力，這個理論無法應用。最大伸長線應變理論(第二強度理論)

不論材料處于何種應力狀態(tài)，只要最大伸長應變ε1達到材料單向拉伸斷裂時的最大伸長應變值ε01，材料即發(fā)生斷裂破壞。因此，材料發(fā)生斷裂破壞的條件為對于鑄鐵等脆性材料，從受力到斷裂，其應力、應變關系基本符合胡克定律，強度條件為試驗表明，脆性材料在二向拉伸——壓縮應力狀態(tài)下，且壓應力絕對值較大時，試驗與理論結果比較接近；二向壓縮與單向壓縮強度有所不同，但混凝土、花崗石和砂巖在兩種情況下的強度并無明顯差別；鑄鐵在二向拉伸時應比單向拉伸時更安全，而試驗并不能證明這一點。

最大切應力理論(第三強度理論)

不論材料處于何種應力狀態(tài)，只要最大切應力τmax

達到材料單向拉伸屈服時的最大切應力τ0max

，材料即發(fā)生屈服破壞，屈服條件為相應的強度條件為

試驗表明,對塑性材料，如常用的Q235A、45鋼、銅、鋁等，此理論與試驗結果比較接近。

形狀改變比能理論(第四強度理論)

積蓄在單位體積內的變形能，包括因體積改變和因形狀改變而產生的比能兩個部分。相應的強度條件為

四種強度理論的適用范圍

大量的工程實踐和實驗結果表明,上述四種強度理論的有效性取決于材料的類別以及應力狀態(tài)的類型。1)在三向拉伸應力狀態(tài)下,不論是脆性材料還是塑性材料，都會發(fā)生斷裂破壞，應采用最大拉應力理論。2)在三向壓縮應力狀態(tài)下,不論是塑性材料還是脆性材料，都會發(fā)生屈服破壞，適于采