第六章立體及平面相交

第六章平面與立體相交6.1平面與平面體相交6.2平面與回轉(zhuǎn)體相交相關(guān)概念：截平面：與立體相交的平面，稱為截平面。截交線：平面與立體表面的交線，稱為截交線。截?cái)嗝妫航亟痪€圍成的圖形稱截?cái)嗝妗?.1平面與平面體相交一、截交線的特性：1、平面體截交線是平面和平面體表面的共有線。2、一般情況下，平面截切平面體時(shí)，截交線是一個(gè)封閉的平面多邊形。截交線的形狀取決截平面與立體的相對(duì)位置。二、求平面立體截交線的方法1、單個(gè)截平面與平面體的截交線2、多個(gè)截平面與平面體的截交線1、單個(gè)截平面與平面體的截交線例1、求正垂面與三棱椎的截交線?？臻g分析：截平面P與三棱錐的三條棱線均相交。截交線是一平面三角形，頂點(diǎn)是三棱錐的棱線與截平面P的交點(diǎn)，它的邊是截平面P與平面立體表面的交線。PI

II

III

例1、求正垂面與三棱椎的截交線。作圖步驟:（1）在棱線的正面投影s’a’、s’b’、s’c’與截平面P的有積聚性的跡線Pv的相交處，作出交點(diǎn)的正面投影1’、2’、3’，與Pv相重合的直線1’2’3’

即為截交線的正面投影。(2)由1’、2’、3’引投影連線，分別與sa、sb、sc和s”a、s”b、s”c交出1、2、3和1”、2”、3”,其中3”不可見。1231‘2‘3‘1“2“(3“)(3)連接這些點(diǎn)的同名投影,作出截交線的水平投影123和側(cè)面投影1”2”3”，注意可見性。例2、求四棱柱被截切后的三面投影?？臻g分析：截平面Ｐ與四棱柱的四個(gè)棱面及上底面均相交，所以截交線是一個(gè)凸五邊形，五個(gè)頂點(diǎn)分別是截平面Ｐ與四棱柱三條棱線和上底面兩條邊線的交點(diǎn)。即點(diǎn)I、II、III、IV、V。PI

IIIII

IVV

例2、求四棱柱被截切后的三面投影。作圖步驟:（1）截交線的正面投影重合Pv，作出1’、2’、3’、4’、5’。（2）由正面投影，作出水平投影1、2、3、4、5。（3）作出側(cè)面投影1”、2“、3”、4“、5”。例2、求四棱柱被截切后的三面投影。作圖步驟:（1）截交線的正面投影重合Pv，作出1’、2’、3’、4’、5’。（2）由正面投影，作出水平投影1、2、3、4、5。（3）作出側(cè)面投影1”、2“、3”、4“、5”。（4）分清截交線及截交形體在各投影中線條的可見性，描深三面投影圖。1、多個(gè)截平面與平面體的截交線例1、求梯形四棱柱被截切后的三面投影圖?？臻g分析：梯形四棱柱被P、Q1、Q2三平面截切，因而截交線由三部分組成。即P平面與梯形四棱柱的表面交線，以及Q1、Q2平面與梯形四棱柱被P平面截切后形體的表面交線。例1、求梯形四棱柱被截切后的三面投影圖。(1)：只考慮P平面截切四棱柱產(chǎn)生的截交線，由正面投影1‘、2’、3‘、4’可作出側(cè)面投影1“、2”、3“、4”與水平投影1、2、3、4。PIIIIIIIV作圖步驟:例1、求梯形四棱柱被截切后的三面投影圖。作圖步驟:(2)在第一步的基礎(chǔ)上，考慮Q1、Q2平面截切。Q2HQ1HQ1Q1PQ2作圖步驟:(3)Q1平面截切平面體的截交線可由水平投影a、b、c、d求出正面投影a’、b’、c’、d’。ABCABCDEFGHQ1Q1Q2D例1、求梯形四棱柱被截切后的三面投影圖。Q1HQ2H作圖步驟:(4)由水平投影a、b、c、d及正面投影a’、b’、c’、d’作出側(cè)面投影a”、b”、c”、d”。例1、求梯形四棱柱被截切后的三面投影圖。ABCDQ1Q2EFGH例1、求梯形四棱柱被截切后的三面投影圖。作圖步驟:(5)按同樣的方法求出平面Q2截切平面體產(chǎn)生的截交線EFGH的三面投影。ABCDQ1Q2EFGH作圖步驟:(6)分清截交線及截交形體在各投影中線條的可見性，描深三面投影圖。例1、求梯形四棱柱被截切后的三面投影圖。1、多個(gè)截平面與平面體的截交線例2、補(bǔ)全有缺口四棱錐的水平投影和側(cè)面投影。PvQv空間分析：四棱錐的缺口可看作是由水平面P與正垂面Q切割四棱錐而成的，因此，除了要分別求出P、Q兩平面與四棱錐表面交線之外，還要求出P、Q兩平面的交線。PQ兩平面交線例2、補(bǔ)全有缺口四棱錐的水平投影和側(cè)面投影。作圖步驟:(1)畫出未截切時(shí)的四棱錐的側(cè)面投影。(2)水平面P與正垂面Q正面投影有積聚性，因此截交線的正面投影可直接得出。作出截交線正面投影1'2’3‘4’5‘6’7‘8’。PQ例2、補(bǔ)全有缺口四棱錐的水平投影和側(cè)面投影。作圖步驟:(3)由正面投影作出水平投影12345678及側(cè)面投影1“2”3“4”5“6”7“。例2、補(bǔ)全有缺口四棱錐的水平投影和側(cè)面投影。作圖步驟:(4)依此連接同一表面的各點(diǎn)。其中，34為兩平面交線的水平投影，3“4”為兩平面交線的側(cè)面投影。例2、補(bǔ)全有缺口四棱錐的水平投影和側(cè)面投影。作圖步驟:(5)分清截交線及切割立體在水平投影與側(cè)面投影的可見性，描深三面投影圖。6.2平面與回轉(zhuǎn)體相交一、截交線的特性及作圖方法：1、平面與回轉(zhuǎn)體交線是平面曲線（特殊情況下為直線），是截平面與回轉(zhuǎn)面的共有線。2、若截交線為非圓曲線，則先作出截交線上的特殊點(diǎn)，再作出其上若干個(gè)一般點(diǎn)（也稱中間點(diǎn)），然后將這些共有點(diǎn)連成光滑曲線（尖點(diǎn)處例外）。特殊點(diǎn)，是指截交線上確定其大小范圍的最高、最低、最左、最右、最前、最后點(diǎn)，投影上截交線的虛實(shí)分界點(diǎn)，橢圓長短軸的端點(diǎn)，以及拋物線雙曲線的頂點(diǎn)，這些特殊點(diǎn)的投影絕大多數(shù)位于回轉(zhuǎn)體的視圖輪廓線上。二、平面與圓柱面相交平面與圓柱面相交時(shí)，根據(jù)平面對(duì)圓柱軸線的位置不同，其截交線有三種情形－－圓、橢圓或兩平行直線。表7-1平面與圓柱面相交的各種情形截平面位置截交線形狀立體圖投影圖與軸線垂直與軸線傾斜與軸線平行圓橢圓兩平行直線例1圓柱面被正垂面P所截切，已知它的主視圖和俯視圖，求作左視圖。作圖步驟：（1）作出完整圓柱的左視圖。（2）作出特殊點(diǎn)的投影。abcda’c’d’b’b”a”d”c”eee’最低最左點(diǎn)A最高最右點(diǎn)B最前點(diǎn)C，最后點(diǎn)D(3)作必要的一般點(diǎn)E(4)連線檢查后加深，注意整理輪廓線。e’e’例2已知切口圓柱的主視圖和左視圖，求作俯視圖?？臻g分析：軸線為側(cè)垂線的圓柱被垂直于圓柱軸線、平行于圓柱軸線和傾斜于圓柱軸線的三平面截切，因而截交線分別是圓、兩平行直線和橢圓。例2已知切口圓柱的主視圖和左視圖，求作俯視圖。作圖步驟:（1）作出側(cè)垂面截切圓柱所產(chǎn)生的截交線。（2）作出水平面截切圓柱所產(chǎn)生的截交線。（3）作出正垂面截切圓柱所產(chǎn)生的截交線。（4）連線、檢查后加深。例2完成被截切圓柱的主視圖，并求作俯視圖。空間分析：軸線為側(cè)垂線的圓柱被兩個(gè)正垂面和一個(gè)正平面截切。作圖時(shí)逐個(gè)截面分析并畫其截交線。例2完成被截切圓柱的主視圖，并求作俯視圖。作圖步驟:(1)作出正垂面截切圓柱產(chǎn)生的截交線(2)作出正平面截切圓柱產(chǎn)生的截交線(3)檢查加深整理輪廓線。例2完成被截切圓柱的主視圖，并求作俯視圖。二、平面與圓錐面相交平面與圓錐面相交時(shí)，根據(jù)平面對(duì)圓錐軸線的位置不同，其截交線有五種情形－－圓、橢圓、拋物線、雙曲線或兩相交直線。平面和圓錐面交線立體圖與投影圖截平面垂直于圓錐軸線(=90)，交線為圓。α截平面傾斜于圓錐軸線，且>，交線為橢圓。α截平面傾斜于圓錐軸線，且=，交線為拋物線。αα截平面通過錐頂，交線為過錐頂?shù)膬蓷l相交直線。截平面平行于圓錐軸線(=0)，或<，交線為雙曲線。ααα例1圓錐被正垂面P所截切，補(bǔ)全俯視圖并作出左視圖。Pv空間分析：截平面P傾斜于圓錐軸線，而且與所有的素線都相交，所以截交線為橢圓。由于圓錐前后對(duì)稱，所以正垂面P與它的截交線也是前后對(duì)稱，斷面橢圓的長軸是截平面P與圓錐前后對(duì)稱面的交線（正平線），端點(diǎn)在最左最右素線上；而短軸則是通過長軸中點(diǎn)的正垂線。截交線PvABCD投影分析：由分析可知截交線是一個(gè)橢圓，正面投影積聚成一直線，與Pv重合，而水平投影和側(cè)面投影仍為橢圓。PvP作圖步驟：1、作出完整圓錐的左視圖。作圖步驟：2、作出截交線上特殊點(diǎn)的投影。作出橢圓長軸兩端點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的投影，這兩點(diǎn)也是截交線上最高點(diǎn)與最低點(diǎn)。ABCDa’b’aba’’b’’作圖步驟：2、作出截交線上特殊點(diǎn)的投影（續(xù)上頁）。作出橢圓短軸兩端點(diǎn)C、D兩點(diǎn)的投影，這兩點(diǎn)也是截交線上最前點(diǎn)與最后點(diǎn)。ABCDc’d’cdc’’d’’a’b’aba’’b’’作圖步驟：2、作出截交線上特殊點(diǎn)的投影（續(xù)上頁）。作出截交線上位于圓錐左視圖輪廓線上的特殊點(diǎn)E、F兩點(diǎn)的投影。e’f’efe’’f’’a’b’aba’’b’’c’d’cdc’’d’’作圖步驟：3、作出截交線上必要的一般點(diǎn)的投影。作出截交線上一般點(diǎn)M、N的投影。m’n’mnm’’n’’e’f’efe’’f’’a’b’aba’’b’’c’d’cdc’’d’’作圖步驟：4連線，加深，整理輪廓線。m’n’mnm’’n’’e’f’efe’’f’’a’b’aba’’b’’c’d’cdc’’d’’將所求截交線上的特殊點(diǎn)與一般點(diǎn)的水平投影與側(cè)面投影依次光滑連成封閉曲線。作圖步驟：5、檢查整理。例3補(bǔ)全切割圓錐的左視圖，并補(bǔ)畫俯視圖。空間分析：圓錐面被通過錐頂?shù)恼姑鍼、側(cè)平面Q以及平行于最高素線正垂面R

所截切，因而截交線分別為兩條素線、圓弧、拋物線。PQR兩條素線圓弧圓弧拋物線PvQvRv投影分析：截交線的正面投影分別積聚在截平面P、Q、R

的正面跡線上，它們的側(cè)面投影和水平投影都可見。作圖步驟：1、作出完整圓錐的水平投影。作圖步驟：2、在主視圖中標(biāo)注出各段截交線的特殊點(diǎn)。1’2’3’4’5’6’7’ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ1’2’3’4’5’6’7’作圖步驟：3、作出平面P、Q與圓錐的截交線以及P與Q、Q

與R的交線的側(cè)面投影與水平投影。（首先作出相應(yīng)點(diǎn)的投影）1”2”3”4”125634ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ平面P與圓錐面的截交線為直線段ⅠⅢ、ⅡⅣ，與圓錐底圓交線為ⅠⅡ。平面Q與圓錐面的截交線為圓?、螈?、ⅣⅥ，P與Q的交線為ⅢⅣ，Q與R的交線為ⅤⅥ。PQR作圖步驟：3、作出平面P、Q與圓錐的截交線以及P與Q、Q

與R的交線的側(cè)面投影與水平投影。（續(xù)上頁）1’2’3’4’5’6’7’11”2”3”4”256346”5”ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦPQR分別將所求點(diǎn)的側(cè)面投影與水平投影依次相連。作圖步驟：4、作出平面R與圓錐面的截交線。1’2’3’4’5’6’7’11”2”3”4