高中數(shù)學高考二輪復習 5

1.【2023湖南湘潭鳳凰中學月考】下列命題正確的是（）A．側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐B．六條棱長均相等的四面體是正四面體C．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱D．用一個平面去截圓錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫圓臺【答案】B【解析】底面是等邊三角形，且各側面全等才是正三棱錐，Ａ錯；選項還要保證各側面的公共邊互相平行，Ｃ錯；截面要平行底面，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫圓臺，Ｄ錯．2.【2023成都市第一次診斷性檢測】若一個幾何體的正視圖和側視圖是兩個全等的正方形，則這個幾何體的俯視圖不可能是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由題意可得，A是正方體，B是三棱柱，C是半個圓柱，D是圓柱，C不能滿足正視圖和側視圖是兩個全等的正方形，故選C.3.【2023遼寧省大連市期末】若一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°且腰和上底均為1的等腰梯形，則原平面圖形的面積是（）A.B.C. D．【答案】Ｃ【解析】可得直觀圖中等腰梯形的下底為，據(jù)斜二測畫法規(guī)則，可知原平面圖形為直角梯形，上底為１，下底為，高為２，所以其面積為4.【2023四川宜賓市第一次診斷測試】一個三棱柱的側視圖、俯視圖如圖所示，則三棱柱的表面積是(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】由正視圖知：幾何體是以底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，高為3的正三棱柱，所以底面積為2××22=4，側面積為3×（2+2+2）=，所以其表面積為．5.【2023浙江省嘉興市第一中學等五校高三上學期第一次聯(lián)考】如圖為一個幾何體的側視圖和俯視圖，若該幾何體的體積為，則它的正視圖為()【答案】B【解析】由幾何體的側視圖和俯視圖，可知幾何體為組合體，上方為棱錐，下方為正方體，由俯視圖可得，棱錐頂點在底面上的射影為正方形一邊上的中點，頂點到正方體上底面的距離為1，所以選B.6.【2023江西省九校聯(lián)考】半球內有一個內接正方體，則這個半球的體積與正方體的體積之比為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】正方體一底面的中心即球的球心，設球的半徑為R，正方體的棱長為a，則有，得，所以半球的體積與正方體的體積之比.7.【2023一中高三上期半期考試】若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積是()cm44322正視圖側視圖俯視圖A.B.C.D.【答案】B【解析】由三視圖可知此幾何體是：底面半徑為2，高為3得圓錐的一半，所以其體積為，故選B.8.[2023河北省衡水中學四調考試]在棱長為1的正方體中，著點P是棱上一點，則滿足的點P的個數(shù)為 A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】若點P在棱AD上，設AP=x，則，所以，解得，同理點P可以是棱的中點，顯然點P不能在另外六條棱上，故選B.9.【2023山西大學附中月考】在三棱錐中，側棱兩兩垂直，，則三棱錐的外接球的表面積為【答案】14π【解析】三棱錐P-ABC的外接球即為以P-ABC為頂點的長方體的外接球，所求球的直徑為，則球的表面積為.10.【2023四川石室中學“一診”模擬考試】正方體為棱長為1，動點分別在棱上，過點的平面截該正方體所得的截面記為，設其中，下列命題正確的是（寫出所有正確命題的編號）=1\*GB3①當時，為矩形，其面積最大為1；=2\*GB3②當時，為等腰梯形；=3\*GB3③當時，為六邊形；=4\*GB3④當時，設與棱的交點為，則。【答案】②④【解析】當時，為矩形，其最大面積為1，所以①錯誤；當時，截面如圖所示，所以②正確；當時，截面如圖，所以③錯誤；當時，如圖，設S與棱C1D1的交點為R，延長DD1，使DD1∩QR=N，連接AN交A1D1于S，連接SR，可證AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，∴④正確；綜上可知正確的序號應為②④..11.【2023福建省南安第一中學期末】已知是兩條異面直線，，那么與的位置關系（）A．一定是異面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能相交【答案】C【解析】若c與b平行，而，據(jù)公理4則a與b平行，這與是兩條異面直線矛盾，所以選C.12．【2023福建南平質檢】已知命題：，為異面直線，命題：直線，不相交，則是的（） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，為異面直線，則，不相交；反之，若，不相交，則，可能是異面直線，也可能是平行直線.故選A.13.【2023遼寧大連市第二十高級中學期末】在空間內,可以確定一個平面的條件是（A）三條直線,它們兩兩相交,但不交于同一點（B）三條直線,其中的一條與另外兩條直線分別相交（C）三個點 （D）兩兩相交的三條直線【答案】A【解析】對于A，交于不在一直線的三點，這三線可確定一個平面，正確；若兩異面直線與第三線相交，則不能確定一個平面，B錯；若三點在一直線上不能確定一平面，C錯；若兩兩相交的直線交于一點，這三線也不一定能確定一平面，錯.14．【2023鄭州模擬】設，是兩個不同的平面，是一條直線，給出以下命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則.其中，正確命題的個數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】對于①，可能還有；對于②，同樣可能還有；③是正確的；對于④，直線與平面的關系：，，，與相交都有可能.因此只有命題③正確.故選A.15.【2023遼師附中期中考試】設m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題正確的是()．A．m∥α，n∥β，且α∥β，則m∥nB．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥nC．m⊥α，n?β，m⊥n，則α⊥βD．m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β【答案】B【解析】對于A，若m∥α，n∥β且α∥β，說明m、n是分別在平行平面內的直線，它們的位置關系應該是平行或異面，故A錯；對于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m與n一定不平行，否則有α∥β，與已知α⊥β矛盾，通過平移使得m與n相交，且設m與n確定的平面為γ，則γ與α和β的交線所成的角即為α與β所成的角，因為α⊥β，所以m與n所成的角為90°，故命題B正確．對于C，根據(jù)面面垂直的性質，可知m⊥α，n?β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β=l，也可能α⊥β，故C不正確；

對于D，若“m?α，n?α，m∥β，n∥β”，則“α∥β”也可能α∩β=l，所以D不成立．故選B．16.【2023河北省唐山一中高三上學期12月調研考試】對于平面、、和直線、、、,下列命題中真命題是()A．若則B．若,則C．若則D．若,則【答案】A【解析】根據(jù)線面垂直的垂直的判定定理可知，m，n必須是相交直線，所以A錯誤．

B．根據(jù)直線和平面平行的判定定理可知，a必須在平面α外，所以B錯誤．

C．根據(jù)面面平行的性質定理可知，兩個平行平面同時和第三個平面相交，則交線平行，所以C正確．D．根據(jù)面面平行的判定定理可知，直線a，b必須是相交直線，才能得到面面平行．所以D錯誤．17．【2023黑龍江佳木斯市一中第三次調研】如圖，E，F(xiàn)分別是三棱錐的棱、的中點，，，，則異面直線與所成的角為()A.B.C.D.【答案】C【解析】取中點，連接，，則，，且或其補角為異面直線與所成的角，因為，所以，故其補角為異面直線與所成的角且等于，故選C.18.【2023上海市六校聯(lián)考】如圖所示，在直三棱柱中，，，分別為的中點，給出下列結論：①平面；②；③平面平面，其中正確的結論個數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】如圖所示，由于為直三棱柱，，，分別為的中點，得，所以平面，①正確，又因為，且平面，所以可證得，所以②正確，由得平面平面，所以③正確，正確命題共有3個，故選D.19.【2023河南、河北、山西三省高考考前質量監(jiān)測（一）】【答案】C【解析】因為AB、DE都垂直平面ACD，所以DE∥AB，所以DE平行平面ABF，①正確；當F為CE的中點時，取CD的中點G，連AG，F(xiàn)G，于是FG∥DE，則AB∥DE，且，所以ABFG為平行四邊形，則AG∥BF，又AC=AD，所以AG垂直CD，又DE垂直平面ACD，所以AG垂直DE，所以AG垂直平面CDE，則BF垂直平面CDE,②正確；因為AC與平面CBE交于C，而BF在平面CBE內，所以直線BF與AC不可能平行，所以③錯；當F為CE中點時，由②知BF垂直平面CDE，則DF垂直BF，而CD=DE，所以DF垂直CE，于是DF垂直平面CBE，則DF垂直BC,④正確.選C.20.【2023江西臨川二中與考】設，，是三個平面，，是兩條不同直線，有下列三個條件：①，；②，；③，.如果命題“，，且________，則”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是________（把所有正確的題號填上）．【答案】①或③【解析】由面面平行的性質定理可知，①正確；當，時，和在同一平面內，且沒有公共點，所以平行，③正確．故應填入的條件為①或③.21.【2023江西新余四中月考】如圖，在正方體中，給出以下四個結論：①直線平面②直線與平面相交③直線平面④平面平面上面結論中，所有正確結論的序號為.【答案】①④.【解析】因為面平行面,所以①對；直線在平面內，②錯；顯然AD不垂直BD,所以AD不會垂直平面，③錯；因為BC平面，所以平面平面,④對.22．【2023甘肅嘉峪關一中期末】若直線不平行于平面，且，則（）（A）內的所有直線與異面（B）內不存在與平行的直線（C）與直線至少有兩個公共點（D）內的直線與都相交【答案】B【解析】據(jù)直線與平面的三種位置關系，因為，所以直線平行平面，或直線與平面相交，又直線不平行于平面，所以直線只能與平面相交，于是直線與平面只有一個公共點，所以C錯.又如圖，平面內的直線分別與直線相交和異面，所以A,D也錯，于是選B.23．【2023云南昆明一?！咳绻鰽BC的三個頂點到平面的距離相等且不為零，那么△ABC的()A、三邊均與平行B、三邊中至少有一邊與平行C、三邊中至多有一邊與平行D、三邊中至多有兩邊與平行【答案】B【解析】若三角形所在平面平行于平面，即三邊均與平行，三頂點到平面的距離相等；若三角形的兩頂點在平面一側，另一頂點在平面另一側，也可以滿足三頂點到平面的距離相等，此時三角形存在一邊平行平面，所以選B.24.【2023江西新余一中第三次段考】【答案】D25.【2023浙江省嘉興市第一中學等五校第一次聯(lián)考】已知直線，平面滿足，則“”是“”的（）（A）充要條件（B）充分不必要條件（C）必要不充分條件（D）既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為，若，兩面α、β可能平行可能相交，所以充分性不滿足，若，則l⊥β,由線面垂直的性質可得，所以必要性滿足，綜上知選C.26.【2023四川省綿陽中學高三第五次月考】設為兩兩不重合的平面，為兩兩不重合的直線．給出下列四個命題：①若則；②若則；③若，，則；④若則．其中真命題個數(shù)是（）．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】若，則可以垂直也可以平行.故①錯；若，則可以相交也可以平行，只有直線相交才有故②錯；若，，則；故③正確；若則，故③正確.所以正確命題有兩個，故選擇B．27.【2023遼寧省五校協(xié)作體高三期中考試】設l為直線,,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是A．若,,則 B．若,,則C．若,,則 D．若,,則【答案】D【解析】若,，則,可能平行、可能相交，故A不正確；若,,則與相交都有可能,故B不正確；若,,則，故C不正確；只有D正確.所以選D.28.【2023綿陽市高中第二次診斷性考試】已知是兩個不同點平面，下列條件中可以推出的是（A）存在一條直線a，；（B）存在一個平面；（C）存在兩條平行直線a，b,;（D）存在兩條異面直線a，b,【答案】D【解析】由a∥α，a⊥β，得到α⊥β，選項A錯誤；

由γ⊥α，γ⊥β可得α∥β或α與β相交，選項B錯誤；

由a?α，b?β，a∥β，b∥α可得α∥β或α與β相交，選項C錯誤；

對于D，如圖，

a?α，b?β，a∥β，b∥α，在β內過b上一點作c∥a，則c∥α，

則β內有兩相交直線平行于α，則有α∥β．

選項D正確，

故選：D．29．【2023惠州市第三次調研考試】下列命題正確的是（）A．若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B．若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C．若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D．若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行【答案】C【解析】若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所以A錯；兩平面相交時也可以有三個點到另一個平面的距離相等，故B錯；若兩個平面垂直同一個平面兩平面可以平行，也可以垂直；故D錯；故選項C正確.30.【2023銀川一中期末】如圖，正方體ABCD－中，E，F(xiàn)分別為棱AB，的中點，在平面內且與平面平行的直線()A．不存在B．有1條C．有2條D．有無數(shù)條【答案】D【解析】在上取一點G，使得，連EG，DG，可證得，所以共面，于是在平面內，平行的直線均平行平面，這樣的直線有無數(shù)條.31.【2023江蘇省揚州中學第一學期質量檢測】已知為直線，為平面，給出下列命題：①；②；③④其中正確的命題是（填寫所有正確的命題的序號）【答案】②③【解析】命題①或，故不正確；命題②，由線面垂直的性質定理易知正確；命題③，由線面垂直的性質定理易知正確；命題④或m、n異面，所以不正確．故答案為②③．32.【2023武漢一模】如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是棱長為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP＝eq\f(a,3)，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________．【答案】eq\f(2\r(2),3)a【解析】如圖所示，連接AC，易知MN∥平面ABCD，∴MN∥PQ.又∵MN∥AC，∴PQ∥AC.又∵AP＝eq\f(a,3)，∴eq\f(PD,AD)＝eq\f(DQ,CD)＝eq\f(PQ,AC)＝eq\f(2,3)，∴PQ＝eq\f(2,3)AC＝eq\f(2\r(2),3)a.33．【2023廣州模擬】如圖所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M滿足條件________時，有MN∥平面B1BDD1【答案】M∈線段FH【解析】連接FH，HN，F(xiàn)N，由平面HNF∥平面B1BDD1知當M點滿足在線段FH上時，有MN∥面B1BDD1.34.【2023梅州一?！吭O，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】B【解析】兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.故選B.35.【2023廣東揭陽一中期末】設l是直線，α，β是兩個不同的平面()A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l⊥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β【答案】B【解析】對于A，還可以相交，錯；對于C，有或，錯；對于D，與的關系是不確定的，可任意，錯.選B.36.【2023海南省文昌中學月考】下列命題中錯誤的是()A.如果平面α⊥平面β，那么平面α內一定存在直線平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α內所有直線都垂直于平面β【答案】D【解析】對于命題A，在平面α內存在直線l平行于平面α與平面β的交線，則l平行于平面β，故命題A正確．對于命題B，若平面α內存在直線垂直于平面β，則平面α與平面β垂直，故命題B正確．對于命題C，設α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ內取一點P不在l上，過P作直線a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，則a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，a?γ，b?γ，∴l(xiāng)⊥γ.故命題C正確．對于命題D，設α∩β＝l，則l?α，但l?β.故在α內存在直線不垂直于平面β，即命題D錯誤，故選D.37．【2023山東濰坊第一直中學月考】PA垂直于正方形ABCD所在平面，連接PB，PC，PD，AC，BD，則下列垂直關系正確的是()①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC.A．①②B．①③C．②③D．②④【答案】A【解析】易證BC⊥平面PAB，則平面PAB⊥平面PBC，又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，則平面PAD⊥平面PAB，因此選A.38.【2023廣東實驗中學高三階段考試（一）】已知直線平面，直線平面，則“”是“”的A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】直線平面，，則，又直線平面，所以；反之，若，與還可以異面，或與相交（即平面）.所以選C.39.【2023福建泉州五校高中畢業(yè)班摸底】若m,n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下面命題中的真命題是（）A.若，則B.若，則C.若，，則D.若，則【答案】C【解析】A中，只有當m垂直于的交線時，才有，A錯；B中，可能相交，如三棱柱的三個側面，故B錯；C中，根據(jù)直線與平面垂直的定義可知C正確；D中，可能平行，也可能相交.40.【2023遼寧師大附中高三上學期期中考試試題】已知平面,則下列命題中正確的是() A．B．C．D．【答案】D【解析】A選項中b可能跟斜交，B選項中可能與垂直，C選項中a可能與b不垂直，故D選項正確，故選D.41.【2023廣東省廣州市執(zhí)信中學期末】下列四個說法：①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．正確的是（）Ａ．①和②Ｂ．②和③Ｃ．③和④Ｄ．②和④【答案】D【解析】據(jù)面面垂直的判定定理知②正確，對于④，若此線垂直另一平面則一定垂直交線，顯然矛盾，所以④正確.42.【2023河南省周口中英文學校第三次月考】如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構成三棱錐A－BCD，則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【答案】D【解析】過A作AE垂直BD于E，因為平面ABD垂直平面BCD，所以AE垂直平面BCD，即AE垂直CD，又BD垂直CD，所以CD垂直平面ABD，所以CD垂直AB，又AB垂直AD，所以AB垂直平面ADC，從而平面ADC垂直平面ABC43.【2023河北故城高級中學月考】如圖，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_________時，有A1B⊥B1D1．(【答案】對角線AC與BD互相垂直【解析】當對角線AC與BD互相垂直，且,所以，易得，所以.44.【2023合肥一模】如圖，在直角梯形中，，，、分別是、的中點，將三角形沿折起.下列說法正確的是．（填上所有正確的序號）①不論折至何位置（不在平面內）都有平面；②不論折至何位置都有；③不論折至何位置（不在平面內）都有；④在折起過程中，一定存在某個位置，使.【答案】①②④【解析】如圖，Q，P分別為CE，DE中點，可證是矩形，所以①②正確；當平面平面時，有，④正確.故填①②④.45.【2023成都市一診】【答案】B【解析】以D為坐標原點，DA，DC，DD1分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，則H(4，0，3)，P(x,4,z)，F(xiàn)(1，4，3)，又P到平面CDD1C1的距離等于PF的長，所以有，得，所以，當x=3時，最小為22.46.【2023遼寧師大附中高三上學期期中考試試題】已知點分別是正方體的棱的中點，點分別是線段與上的點，則與平面垂直的直線有條。（）A．0B．1C．2【答案】B【解析】設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，以C為原點建立空間直角坐標系，

則D1（2，0，2），E（1，2，0），=（-1，2，-2），C1（0，0，2），F(xiàn)（2，2，1），=（2，2，-1），設，則M（2-λ，2λ，2-2λ），

設，則N（2t，2t，2-t），

∴=（2t-2+λ，2t-2λ，2λ-t），

∵直線MN與平面ABCD垂直，∴，解得λ=t=，

∵方程組只有唯一的一組解，∴與平面ABCD垂直的直線MN有1條．故選：B．47.【2023黑龍江雙鴨山一中高三數(shù)學期末試題】如圖：四棱錐中，（1）證明：平面（2）在線段上是否存在一點，使直線與平面成角正弦值等于，若存在，指出點位置，若不存在，請說明理由.解：(1）證明：取線段BC中點E，連結AE．因為AD＝，∠PDA=30°，所以PA=1．因為AD∥BC，∠BAD=150°所以∠B=30°．

又因為AB=AC，所以AE⊥BC，而BC＝2，所以AC＝AB＝=2，因為PC＝，所以PC2=PA2+AC2，即PA⊥AC．

因為PA⊥AD，且AD，AC?平面ABCD，AD∩AC=A，所以PA⊥平面ABCD．

（2）解：以A為坐標原點，以AE，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，

建立空間直角坐標系如圖所示，則P(0，0，1),B(1，,,0),處（1，,，0），D(0，,,0)，設，因為點F在線段PD上，設,可得，即，所以，設平面PBC的法向量為，則有，即，令x=1，得，因為直線CF與平面PBC所成角的正弦值等于，所以，解得，所以點F是線段PD的中點．.48.【2023綿陽市第二次診斷性考試】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側面PD底面ABCD,PD=DC,點E是PC的中點，作EFPB,垂足為F,求證：平面;求二面角的余弦值解：（1）如圖，連結AC、BD交于O，連結OE．由ABCD是正方形，易得O為AC的中點，從而OE為△PAC的中位線，∴EOBACPDEFOxyz2023湖北省部分重點中學期末聯(lián)考】BACPDEFOxyz如圖1，在直角梯形SABC中，∠B=∠C=，D為邊SC上的點，且AD⊥SC，現(xiàn)將△SAD沿AD折起到達PAD的位置（折起后點S記為P），并使得PA⊥AB.（1）求證：PD⊥平面ABCD；（2）已知PD=AD，PD+AD+DC=6，當線段PB取得最小值時，請解答以下問題：①設點E滿足，則是否存在λ，使得平面EAC與平面PDC所成的銳角是？若存在，求出λ；若不存在，請說明理由；②設G是AD的中點，則在平面PBC上是否存在點F，使得FG⊥平面PBC？若存在，確定點F的位置，若不存在，請說明理由.50.【2023吉林東北師大附中第一次模擬】在四棱錐S—ABCD中，SA底面ABCD，ADAB,AD∥BC，AD=1，AB=BC=2,（I）求直線BS與平面SCD所成角的正弦值（II）求面SAB與面SCD所成二面角的正弦值解：（Ⅰ）設SA=m，∵SA2=DS2+DB2﹣2DS?DBcos＜＞，∴4+m2=1+m2+5﹣2××，解得m=2，以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系A﹣xyz，則D（1，0，0），C（2，2，0），S（0，0，2），B（0，2，0），=（0，﹣2，2），=（1，2，0），=（﹣1，0，2），設平面SCD的法向量為=（x，y，z），則，令z=1，則=（2，﹣1，1），設直線BS與平面SCD所成角為θ，則sinθ===．（Ⅱ）∵SA⊥底面ABCD，AD⊥AB，∴平面SAB的法向量為=（1，0，0），cos＜＞==，平面SAB與面SCD所成的二面角的正弦值為=．51.【2023豫東、豫北十所名校聯(lián)考】如圖，在四棱錐P-ABCD中，ADDB，其中三棱錐P-BCD的三視圖如圖所示，且(1)求證：ADPB(2)若PA與平面PCD所成角的正弦值為，求AD的長解：由三視圖可知又，又。(2)由(1)可知，PD,AD,BD兩兩互相垂直，以D為原點，建立如圖所示空間直角坐標系.設AD=,結合sin∠BDC=可得.所以設為平面PCD的法向量，由題意得即，令y=3,則x=4,z=0，得平面PCD的一個法向量.設PA與平面PCD所成角為，可得，解之得，即AD=6.52.【2023福建泉州五校畢業(yè)班摸底統(tǒng)一考試】如圖，在三棱柱中，是邊長為的正方形，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）證明：在線段上存在點，使得，并求的值。解：（1）因為AA1C1C為正方形，所以AA因為平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個平面的交線AC,所以AA1⊥平面ABC.………3分（2）由（=1\*ROMANI）知AA1⊥AC，AA1⊥AB.由題知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC.如圖，以A為原點建立空間直角坐標系A－,則B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4，0，4)，設平面A1BC1的法向量為，則,即，令，則，，所以.………6分同理可得，平面BB1C1的法向量為,所以.由題知二面角A1－BC1－B1為銳角，所以二面角A1－BC1－B1的余弦值為.………8分(3)設D是直線BC1上一點，且.所以.解得，，.所以.由，即.解得.………11分因為，所