第5章對(duì)沖擊荷載的反應(yīng)

第五章高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)對(duì)沖擊荷載的反應(yīng)§5.1

沖擊荷載的一般性質(zhì)§5.2正弦波脈沖§5.3矩形脈沖§5.4三角形脈沖§5.5震動(dòng)譜或反應(yīng)譜§5.6沖擊荷載反應(yīng)的近似分析第五章對(duì)沖擊荷載的反應(yīng)圖5-1任意沖擊荷載

討論單自由度體系動(dòng)力荷載的另一種特殊類(lèi)型——沖擊荷載．如圖6-1的例子所示，這種荷載由一個(gè)單獨(dú)的主要脈沖組成，一般來(lái)說(shuō)它的持續(xù)時(shí)間很短。與承受周期性荷載或諧振荷載的結(jié)構(gòu)比較，在控制結(jié)構(gòu)的最大反應(yīng)中，阻尼就顯得不太重要了。在沖擊荷載下，結(jié)構(gòu)的最大反應(yīng)將在很短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到。在這之前，阻尼力還來(lái)不及從結(jié)構(gòu)吸收較多的能量。鑒于此，僅討論沖擊荷載下體系的無(wú)阻尼反應(yīng)．§5.1

沖擊荷載的一般性質(zhì)§5.1

沖擊荷載的一般性質(zhì)沖擊荷載的特點(diǎn)1、持續(xù)時(shí)間很短,結(jié)構(gòu)的最大反應(yīng)將在很短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到；2、在控制結(jié)構(gòu)的最大反應(yīng)中，阻尼就顯得不太重要了?！?.1

沖擊荷載的一般性質(zhì)§5.2正弦波脈沖圖5-2正弦波脈沖

對(duì)可用簡(jiǎn)單解析函數(shù)表達(dá)的沖擊荷載來(lái)說(shuō)，可以得到運(yùn)動(dòng)方程的閉合解。討論一下圖5-2所示的正弦波脈沖。

反應(yīng)可分為兩個(gè)階段：第一階段荷載作用期間內(nèi)的反應(yīng)，另一階段則為隨后發(fā)生的自由振動(dòng)反應(yīng)?！?.2正弦波脈沖階段Ⅰ：結(jié)構(gòu)承受諧振荷載，從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。包含瞬態(tài)以及穩(wěn)態(tài)的無(wú)阻尼反應(yīng)由下式給出：

當(dāng)0≤t≤t1時(shí)階段Ⅱ：結(jié)構(gòu)發(fā)生自由振動(dòng)，干擾為階段Ⅰ最終時(shí)刻的位移v(t1)和速度v(t1)?？梢杂萌缦卤磉_(dá)式表示：當(dāng)t=t-t1≥0時(shí)此處引入新的時(shí)間變量：（5-1*）（5-2*）§5.2正弦波脈沖

沖擊荷載產(chǎn)生的動(dòng)力反應(yīng)，依賴(lài)于荷載持續(xù)時(shí)間與結(jié)構(gòu)振動(dòng)周期的比；對(duì)t1/T=3/4的反應(yīng)比R(t)=v(t)/(p0/k)示于圖5-3*。

P(t)/k曲線，其峰值等于1(與反應(yīng)比具有相同的比例尺)．圖5-3*由正弦脈沖引起的反應(yīng)比(t1=3/4T)§5.2正弦波脈沖

結(jié)構(gòu)工程師更關(guān)心沖擊荷載的最大反應(yīng)，它比全部反應(yīng)過(guò)程更有意義；出現(xiàn)反應(yīng)峰值的時(shí)間，可由方程(5-1*)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)并令其等于零來(lái)確定。于是：得：因此（5-3*）§5.2正弦波脈沖

表達(dá)式僅在ωt≤π時(shí)才是正確的，這就是說(shuō)，最大反應(yīng)出現(xiàn)在沖擊荷載作用時(shí)間內(nèi)。對(duì)于最有意義的荷載情況來(lái)說(shuō)，此時(shí)荷載頻率趨近于自由振動(dòng)頻率，即ω→ω，最大反應(yīng)發(fā)生的時(shí)間可用方程(5-3*)求出，將n=1代入并在(5-3*)式中取負(fù)號(hào)：（5-4*）§5.2正弦波脈沖最大反應(yīng)幅值可將方程(5-4*)代入方程(5-1*)而得到。這個(gè)結(jié)果僅在假定ωt≤π時(shí)才是正確的，也即只有當(dāng)β＜1或ω＜ω的情況下才是正確的。

當(dāng)β＞1（ω＞ω）時(shí)，最大反應(yīng)出現(xiàn)在自由振動(dòng)階段內(nèi)（階段Ⅱ）。這一階段的初位移和初速度可將ωt=π代入方程（5-1*）而得到：因此，這種情況下的放大系數(shù)為：當(dāng)β＞1，t＞t1時(shí)根據(jù)方程（2-37），這個(gè)自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)的幅值為（5-5*）（5-6*）§5.2正弦波脈沖圖5-4矩形脈沖

討論圖5-4所示的矩形脈沖。反應(yīng)再次分為加荷階段和接著發(fā)生的自由振動(dòng)階段。§5.3矩形脈沖§5.3矩形脈沖階段I在階段I期間突然施加的恒荷載，稱(chēng)為單階荷載。單階荷載的特解即為它所引起的靜撓度（5-10）從這個(gè)結(jié)果，一般解中的自由振動(dòng)常數(shù)可由滿(mǎn)足靜止的初始條件來(lái)確定，從而很容易得到一般解：

當(dāng)0≤t≤t1時(shí)：（5-7*）階段Ⅱ在此階段內(nèi)，自由振動(dòng)再次由方程(5-2*)給出：

當(dāng)t=t-t1≥0時(shí)：

（5-8*）§5.3矩形脈沖對(duì)于這種矩形脈沖，顯然，如果t1≥T/2的話，最大反應(yīng)將總是在階段Ⅰ出現(xiàn)，此時(shí)的動(dòng)力放大系數(shù)D為2。對(duì)于持續(xù)時(shí)間比較短的荷載，最大反應(yīng)將在階段Ⅱ的自由振動(dòng)期間出現(xiàn)，而反應(yīng)幅值將由方程(2-37)給出如下：（5-9*）從該式可得（5-10*）因此當(dāng)t1/T小于1/2時(shí)，動(dòng)力放大系數(shù)是一個(gè)正弦函數(shù)，它隨荷載脈沖長(zhǎng)度比t1/T而變化。§5.3矩形脈沖圖5-5三角形脈沖討論沖擊荷載為圖5-5所示的隨時(shí)間而減小的三角形脈沖荷載。§5.4三角形脈沖§5.4三角形脈沖階段Ⅰ在這個(gè)階段，荷載為p0(1-t/t1)，不難證明，在此荷載下的特解為（5-11*）如果假定為零初始條件，可以算出在一般解中的自由振動(dòng)常數(shù)，從而求得（5-12*）階段Ⅱ計(jì)算階段Ⅰ結(jié)束時(shí)（t=t1）的方程（5-12*）及其一階導(dǎo)數(shù)的值，得到

（5-13*）再將上式代人方程(5-2*)，則可獲得階段Ⅱ的自由振動(dòng)反應(yīng)?！?.4三角形脈沖這些反應(yīng)函數(shù)的最大值，如在其他情況一樣，可用在速度為零這個(gè)條件下的時(shí)間值來(lái)計(jì)算。對(duì)于持續(xù)時(shí)間很短的加荷情況（t1/T＜0.4），最大反應(yīng)在階段Ⅱ的自由振動(dòng)期間出現(xiàn)；否則，最大反應(yīng)在加荷階段內(nèi)出現(xiàn)（階段Ⅰ）。不同加荷持續(xù)時(shí)間的動(dòng)力放大系數(shù)D=vmax/(p0/k)的值，示于表5-1。

表5-1三角形沖擊荷載作用下的動(dòng)力放大系數(shù)t1/T0.200.400.500.751.001.502.00D0.661.051.201.421.551.691.76§5.4三角形脈沖

由上述表達(dá)式，在無(wú)阻尼單自由度結(jié)構(gòu)里，給定的沖擊荷載形式所引起的最大反應(yīng)僅依賴(lài)于脈沖的持續(xù)時(shí)間與結(jié)構(gòu)的固有周期的比值t1/T。對(duì)于各種沖擊荷載形式，畫(huà)出動(dòng)力放大系數(shù)作為t1/T的函數(shù)的曲線?！?.5震動(dòng)或反應(yīng)譜（1）§5.5震動(dòng)或反應(yīng)譜（1）

根據(jù)表5-1所示數(shù)據(jù)可作出圖5-6中的一條曲線，其它曲線亦可用相同的方法畫(huà)出，分別對(duì)應(yīng)于其它沖擊荷載形式。這些曲線稱(chēng)為沖擊荷裁的位移反應(yīng)譜或簡(jiǎn)稱(chēng)反應(yīng)譜。利用這些曲線可以在工程所需精度內(nèi)，估計(jì)作用在簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)上的給定沖擊荷載所產(chǎn)生的最大效應(yīng)?！?.5震動(dòng)或反應(yīng)譜§5.5震動(dòng)或反應(yīng)譜（2）圖5-6對(duì)于三種脈沖型式的位移反應(yīng)譜（震動(dòng)譜）§5.5震動(dòng)或反應(yīng)譜這些反應(yīng)譜也可用來(lái)求出結(jié)構(gòu)對(duì)作用在它基底的加速度脈沖的反應(yīng)。如果作用于基底的加速度為，則它所引起的等效沖擊荷載為[參看方程（2-17）]。若以代表最大基底加速度，則最大等效沖擊荷載為。此時(shí)動(dòng)力放大系數(shù)為（5-16）其中為質(zhì)量的最大總加速度。這是根據(jù)在無(wú)阻尼體系里，質(zhì)量與加速度乘積的大小必然等于彈性恢復(fù)力得到的?！?.5震動(dòng)或反應(yīng)譜通常僅對(duì)反應(yīng)的絕對(duì)值大小感興趣.上式可以改寫(xiě)為（5-17）因此，像用來(lái)估計(jì)沖擊荷載下的最大位移反應(yīng)一樣，圖5-6的反應(yīng)譜曲線，顯然也同樣可以用來(lái)估計(jì)質(zhì)量m在基底承受加速度脈沖時(shí)的最大加速度反應(yīng)，當(dāng)用于這種目的時(shí)，此曲線通常稱(chēng)作震動(dòng)譜?！?.5震動(dòng)或反應(yīng)譜

對(duì)圖5—6所示的反應(yīng)譜及其它形式荷載的譜的研究，得出關(guān)于沖擊荷載下結(jié)構(gòu)反應(yīng)的兩個(gè)結(jié)論：(1)對(duì)于長(zhǎng)持續(xù)時(shí)間荷載（t1/T＞1），動(dòng)力放大系數(shù)主要依賴(lài)于荷載達(dá)到它的最大值的增加速度；具有足夠持續(xù)時(shí)間的單階荷載所產(chǎn)生的動(dòng)力放大系數(shù)為2；而緩慢地逐漸增加的荷載，其動(dòng)力放大系數(shù)為1?！?.6沖擊荷載反應(yīng)的近似分析§5.6沖擊荷載反應(yīng)的近似分析(2)對(duì)于持續(xù)時(shí)間短的荷載，例如t1/T＜1/4，最大位移幅值主要依賴(lài)于作用沖量的大小,而脈沖荷載的形式對(duì)它影響不大。但是，動(dòng)力放大系數(shù)D卻十分依賴(lài)于荷載的形式，因?yàn)閯?dòng)力放大系數(shù)與脈沖面積對(duì)荷載峰值的比成比例。比較圖5—6中短周期范圍內(nèi)的各條曲線，就可看出這一點(diǎn)．因此，是反應(yīng)的更有效的尺度．§5.6沖擊荷載反應(yīng)的近似分析

用第（2）條結(jié)論的數(shù)學(xué)表示法計(jì)算持續(xù)時(shí)間短的沖擊荷載下最大反應(yīng)，對(duì)于質(zhì)量m的脈沖—沖量的關(guān)系可寫(xiě)成

(5-18)

荷載引起的速度的改變。t1值小時(shí)，在荷載作用期間所引起的位移是屬于量級(jí)的，而速度改變是屬于t1量級(jí)的．因此，既然沖量也是t1量級(jí)的，故當(dāng)t1趨近于零時(shí)彈性力項(xiàng)自表達(dá)式消失，而對(duì)持續(xù)時(shí)間短的荷載，它的值很小，可以忽略．§5.6沖擊荷載反應(yīng)的近似分析應(yīng)用如下的近似關(guān)系：(5-19)或

(5-20)加荷結(jié)束之后的反應(yīng)為自由振動(dòng)：有如下的近似關(guān)系：

（5-21）其中§5.6沖擊荷載反應(yīng)的近似分析

例題E5-2

作為應(yīng)用這個(gè)近似公式的一個(gè)例子，討論圖E5-2中的結(jié)構(gòu)在所示沖