2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)5.1估計(jì)總體的分布5.2估計(jì)總體的數(shù)字特征學(xué)案3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE18學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE5．1估計(jì)總體的分布5．2估計(jì)總體的數(shù)字特征[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.學(xué)會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫(huà)頻率分布直方圖.2.會(huì)用頻率分布表或頻率分布直方圖估計(jì)總體分布,并作出合理解釋.3。在解決問(wèn)題過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的實(shí)際作用，初步經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的全過(guò)程．知識(shí)點(diǎn)一頻率分布表與頻率分布直方圖1．用樣本估計(jì)總體的兩種情況(1)用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布．（2）用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征．2．作頻率分布直方圖的步驟（1)求極差：即一組數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差;（2）決定組距與組數(shù)：將數(shù)據(jù)分組時(shí),組數(shù)應(yīng)力求合適，以使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來(lái)．這時(shí)應(yīng)注意：①一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多；②為方便起見(jiàn)，組距的選擇應(yīng)力求“取整"；③當(dāng)樣本容量不超過(guò)120時(shí),按照數(shù)據(jù)的多少,通常分成5～12組．（3）將數(shù)據(jù)分組：按組距將數(shù)據(jù)分組，分組時(shí),各組均為左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一組是閉區(qū)間．(4）列頻率分布表：一般分四列：分組、頻數(shù)累計(jì)、頻數(shù)、頻率，最后一行是合計(jì)．其中頻數(shù)合計(jì)應(yīng)是樣本容量，頻率合計(jì)是1.(5）畫(huà)頻率分布直方圖：畫(huà)圖時(shí),應(yīng)以橫軸表示分組，縱軸表示頻率/組距．其相應(yīng)組距上的頻率等于該組上的小長(zhǎng)方形的面積．即每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積＝組距×eq\f（頻率,組距)＝頻率．思考為什么要對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分組？答不分組很難看出樣本中的數(shù)字所包含的信息，分組后，計(jì)算出頻率,從而估計(jì)總體的分布特征．知識(shí)點(diǎn)二頻率折線(xiàn)圖在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加一個(gè)區(qū)間．從所加的左邊區(qū)間的中點(diǎn)開(kāi)始，用線(xiàn)段依次連接各個(gè)矩形的頂端中點(diǎn)，直至右邊所加區(qū)間的中點(diǎn)，就可以得到一條折線(xiàn)，我們稱(chēng)之為頻率折線(xiàn)圖．隨著樣本量的增大，所劃分的區(qū)間數(shù)也可以隨之增多，而每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度則會(huì)相應(yīng)隨之減小，相應(yīng)的頻率折線(xiàn)圖就會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線(xiàn)．題型一頻率分布直方圖的繪制例1調(diào)查某校高三年級(jí)男生的身高，隨機(jī)抽取40名高三男生,實(shí)測(cè)身高數(shù)據(jù)(單位：cm)如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170168160174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161（1）作出頻率分布表；（2)畫(huà)出頻率分布直方圖．解(1）最低身高151cm,最高身高180cm，它們的差是180－151＝29，即極差為29；確定組距為4，組數(shù)為8，列表如下:分組頻數(shù)頻率［149.5，153。5)10.025［153。5，157。5）30。075［157。5,161。5）60。15［161.5,165。5）90.225[165。5,169.5）140.35［169。5,173.5）30。075［173.5，177.5）30.075[177.5,181.5]10。025合計(jì)401（2)頻率分布直方圖如圖所示．反思與感悟1.組數(shù)的決定方法是：設(shè)數(shù)據(jù)總數(shù)目為n，一般地,當(dāng)n≤50，則分為5~8組；當(dāng)50≤n≤120時(shí)，則分為8～12組較為合適．2．分點(diǎn)數(shù)的決定方法是：若數(shù)據(jù)為整數(shù)，則分點(diǎn)數(shù)據(jù)減去0.5；若數(shù)據(jù)是小數(shù)點(diǎn)后一位的數(shù)，則分點(diǎn)減去0.05,以此類(lèi)推．3．畫(huà)頻率分布直方圖小長(zhǎng)方形高的方法是:假設(shè)頻數(shù)為1的小長(zhǎng)方形的高為h，則頻數(shù)為k的小長(zhǎng)方形高為kh.跟蹤訓(xùn)練1美國(guó)歷屆總統(tǒng)中,就任時(shí)年紀(jì)最小的是羅斯福,他于1901年就任,當(dāng)時(shí)年僅42歲；就任時(shí)年紀(jì)最大的是里根,他于1981年就任，當(dāng)時(shí)69歲．下面按時(shí)間順序（從1789年的華盛頓到2009年的奧巴馬，共44任）給出了歷屆美國(guó)總統(tǒng)就任時(shí)的年齡：57，61，57，57,58，57,61，54，68，51,49,64，50，48,65,52，56，46，54,49，51,47,55,55，54，42,51,56,55，51，54，51,60,62,43，55,56，61，52，69，64,46，54,48（1）將數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M，并畫(huà)出相應(yīng)的頻率分布直方圖和頻率分布折線(xiàn)圖．（2)用自己的語(yǔ)言描述一下歷屆美國(guó)總統(tǒng)就任時(shí)年齡的分布情況．解(1）以4為組距，列表如下：分組頻數(shù)頻率[41.5，45。5）20.0455［45.5,49.5）70。1591[49.5,53.5）80.1818[53.5，57。5）160.3636［57。5，61.5）50。1136［61。5,65.5)40。0909[65.5，69。5］20.0455合計(jì)441。00（2）從頻率分布表中可以看出60％左右的美國(guó)總統(tǒng)就任時(shí)的年齡在50歲至60歲之間，45歲以下以及65歲以上就任的總統(tǒng)所占的比例相對(duì)較?。}型二頻率分布直方圖的應(yīng)用例2為了了解高一年級(jí)學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試,將所得數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出頻率分布直方圖(如圖所示），圖中從左到右各小矩形的面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數(shù)為12。(1）第二小組的頻率是多少?樣本容量是多少？（2)若次數(shù)在110以上(含110次）為達(dá)標(biāo)，則該校全體高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約是多少？解（1）頻率分布直方圖是以面積的形式來(lái)反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小的，因此第二小組的頻率為eq\f(4，2＋4＋17＋15＋9＋3）＝0.08。因?yàn)榈诙〗M的頻率＝eq\f(第二小組的頻數(shù)，樣本容量），所以樣本容量＝eq\f(第二小組的頻數(shù)，第二小組的頻率）＝eq\f（12,0.08)＝150.（2)由直方圖可估計(jì)該校全體高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為eq\f(17＋15＋9＋3，2＋4＋17＋15＋9＋3)×100％＝88％.反思與感悟1。頻率分布直方圖的性質(zhì):(1)因?yàn)樾【匦蔚拿娣e＝組距×eq\f(頻率,組距）＝頻率,所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率．這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組內(nèi)的頻率大?。?2）在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1。（3）eq\f(頻數(shù)，相應(yīng)的頻率)＝樣本容量．2．頻率分布直方圖反映了樣本在各個(gè)范圍內(nèi)取值的可能性，由抽樣的代表性利用樣本在某一范圍內(nèi)的頻率，可近似地估計(jì)總體在這一范圍內(nèi)的可能性．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示是總體的一個(gè)樣本頻率分布直方圖，且在[15，18）內(nèi)頻數(shù)為8。（1)求樣本在［15,18）內(nèi)的頻率；(2)求樣本容量；(3)若在［12,15)內(nèi)的小矩形面積為0.06，求在[18,33)內(nèi)的頻數(shù)．解由樣本頻率分布直方圖可知組距為3.(1)由樣本頻率分布直方圖得樣本在［15，18）內(nèi)的頻率等于eq\f(4,75）×3＝eq\f（4,25)。(2)樣本在[15，18)內(nèi)頻數(shù)為8，由（1）可知,樣本容量為eq\f（8,\f(4，25））＝8×eq\f（25,4)＝50。（3）∵在[12，15)內(nèi)的小矩形面積為0。06，∴樣本在[12,15）內(nèi)的頻率為0.06，故樣本在[15，33）內(nèi)的頻數(shù)為50×（1－0。06)＝47,又在[15,18）內(nèi)頻數(shù)為8，故在[18,33）內(nèi)的頻數(shù)為47－8＝39.題型三頻率分布與數(shù)字特征的綜合應(yīng)用例3已知一組數(shù)據(jù)：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128(1）填寫(xiě)下面的頻率分布表：分組頻數(shù)頻率［121，123）[123,125）［125，127)［127，129）［129，131]合計(jì)（2)作出頻率分布直方圖;(3)根據(jù)頻率分布直方圖或頻率分布表求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．解（1)分組頻數(shù)頻率[121,123)20。1［123,125）30。15[125，127）80。4[127,129）40。2［129,131］30.15合計(jì)201（2）（3)在[125,127）中的數(shù)據(jù)最多，取這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)值作為眾數(shù)的近似值，得眾數(shù)126，事實(shí)上,眾數(shù)的精確值為125.（2)圖中虛線(xiàn)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)是125＋2×eq\f(5，8)＝126。25，事實(shí)上中位數(shù)為125。5.使用“組中值"求平均數(shù)：eq\x\to(x）＝122×0.1＋124×0.15＋126×0。4＋128×0。2＋130×0.15＝126。3，平均數(shù)的精確值為eq\x\to（x）＝125。75.反思與感悟1。利用頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)字特征:(1)眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點(diǎn)；（2）中位數(shù)左右兩側(cè)小矩形的面積相等；(3)平均數(shù)等于每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．2．利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為估計(jì)值,與實(shí)際數(shù)據(jù)可能不一致．跟蹤訓(xùn)練3某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30、0。40、0。15、0。10、0。05。求:（1)高一參賽學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)．(2）高一參賽學(xué)生的平均成績(jī)．解（1）由圖可知眾數(shù)為65，又∵第一個(gè)小矩形的面積為0。3，∴設(shè)中位數(shù)為60＋x，則0.3＋x×0.04＝0。5，得x＝5，∴中位數(shù)為60＋5＝65。（2)依題意,eq\x\to(x)＝55×0.3＋65×0。4＋75×0.15＋85×0。1＋95×0.05＝67，∴平均成績(jī)約為67分．1．用樣本頻率分布估計(jì)總體頻率分布的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是(）A．總體容量越大，估計(jì)越精確B．總體容量越小，估計(jì)越精確C．樣本容量越大，估計(jì)越精確D．樣本容量越小,估計(jì)越精確答案C解析由用樣本估計(jì)總體的性質(zhì)可得．2．頻率分布直方圖中，小矩形的面積等于(）A．組距 B．頻率C．組數(shù) D．頻數(shù)答案B解析根據(jù)小矩形的寬及高的意義，可知小矩形的面積為一組樣本數(shù)據(jù)的頻率．3．某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是［17。5，30］,樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20），[20，22.5），[22.5，25），［25，27.5），[27。5，30］．根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是(）A．56 B．60C．120 D．140答案D解析設(shè)所求人數(shù)為N,則N＝2.5×（0.16＋0.08＋0.04）×200＝140，故選D.4．某中學(xué)舉辦電腦知識(shí)競(jìng)賽，滿(mǎn)分為100分，80分以上為優(yōu)秀(含80分）．現(xiàn)將高一兩個(gè)班參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成5組,繪制成頻率分布直方圖如下圖所示．已知圖中從左到右的第一、三、四、五小組的頻率分別為0。30、0.15、0.10、0。05，而第二小組的頻數(shù)是40,則參賽的人數(shù)是________，成績(jī)優(yōu)秀的頻率是________．答案1000。15解析設(shè)參賽的人數(shù)為n,第二小組的頻率為1－(0.30＋0。15＋0.10＋0。05)＝0.4，依題意eq\f（40，n）＝0.4,∴n＝100，優(yōu)秀的頻率是0.10＋0.05＝0。15.1。頻率分布是指一個(gè)樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍內(nèi)所占比例的大