第二章線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解

現(xiàn)代控制理論

第二章線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解準備知識A1準備知識A2一.線性定常連續(xù)系統(tǒng)齊次方程的解(零輸入響應(yīng))二.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣三.線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解準備知識A1

1.利用狀態(tài)和狀態(tài)方程來定義系統(tǒng)的線性性質(zhì).用符號表示狀態(tài)和輸入激勵出輸出和狀態(tài),并稱其為輸入-狀態(tài)-輸出對.定義:一個系統(tǒng),當且僅當對于任何兩個容許對

和任何實數(shù)和所構(gòu)成的輸入---狀態(tài)---輸出對.

也是容許的,則稱該系統(tǒng)是線性的,否則該系統(tǒng)是非線性的.簡而言之,滿足迭加原理的系統(tǒng)為線性系統(tǒng).2.對定義的討論

(1)若設(shè)并有則如果是線性系統(tǒng)的話,按定義,則.從而,如果系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的話,則必有當時系統(tǒng)響應(yīng)亦為零—這也是線性系統(tǒng)的一個必要條件.(2)式(1)中,若稱式(1)的關(guān)系為可加性。若則稱式(1)的關(guān)系為齊次性。(3)式(1)中,若設(shè),及假定則或所以系統(tǒng)的響應(yīng)對是由兩個狀態(tài)-輸入對所激勵稱由激勵的響應(yīng)為零輸入響應(yīng),只是由產(chǎn)生。稱由激勵的響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng),只是由產(chǎn)生。這樣對于線性系統(tǒng)來講,可以獨立地考慮其零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),而系統(tǒng)的全部響應(yīng),則是它們的和.根據(jù)線性系統(tǒng)的性質(zhì):若則傳函法描述是零狀態(tài)響應(yīng)

3.對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)方程來講零輸入響應(yīng)為:--------齊次方程零狀態(tài)響應(yīng)為:--------非齊次方程.線性系統(tǒng)的響應(yīng)可以分解為.定義:[零輸入響應(yīng)]:

線性系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)定義為只有初始狀態(tài)作用即,而無輸入作用即時的系統(tǒng)響應(yīng).注意:

數(shù)學上,零輸入響應(yīng)就是無輸入自治狀態(tài)方程(齊次方程)的狀態(tài)解.

物理上,零輸入響應(yīng)代表系統(tǒng)狀態(tài)的自由運動，特點是響應(yīng)形態(tài)只由系統(tǒng)矩陣所決定，不受外部輸入的影響.定義:[零狀態(tài)響應(yīng)]:

線性系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)定義為只有輸入作用,即而無初始狀態(tài)作用,即時,系統(tǒng)的響應(yīng).注意:數(shù)學上,零狀態(tài)響應(yīng)即為零初始狀態(tài)下的強迫方程的狀態(tài)解.物理上,零狀態(tài)響應(yīng)代表系統(tǒng)狀態(tài)由輸入u所激勵的強迫運動準備知識A2不加證明地給出以下定理和定義.

(1)定理1.的全體解的集合,形成在實數(shù)域上的n維向量空間.(2)定義1.矩陣函數(shù)中,當且僅當n個列分別是的n個線性無關(guān)解時,稱為的基本矩陣,即,且非奇.

(3)定理2.每一個基本矩陣,對(-∞,∞)中所有的t而言,是非奇的.(4)定義2.設(shè)是的任一基本矩陣,對所有(-∞,∞)中的稱是的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.一.線性定常連續(xù)系統(tǒng)齊次方程的解(零輸入響應(yīng))1.討論

顯然是矩陣微分方程,在解該方程之前先觀察純量微分方程的解,其中在解時,先假定解代入方程得到如果所求的解是方程的真實解，那么上述方程對任意t都成立，因此使t的冪次項的各系數(shù)相等就可得到:顯然,從而方程的解可寫為其中指數(shù)函數(shù)仿上述純量微分方程的解法,對于矩陣微分方程其中,則稱是按矩陣A定義的矩陣指數(shù)函數(shù),并可證明,若A是nn

的方陣時，則有：并對于有限時間是絕對收斂的.結(jié)論：[零輸入響應(yīng)]線性定常連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng),即系統(tǒng)齊次方程的解,并具有如下形式:推論:(1).零輸入響應(yīng)的運動特性.

對于線性定常連續(xù)系統(tǒng),其零輸入響應(yīng)是由其齊次方程解的屬性決定的，狀態(tài)空間中x(t)隨時間演化軌道(幾何表征)，屬于由偏離系統(tǒng)平衡狀態(tài)的初始狀態(tài)引起的自由運動.一個典型的例子是:人造衛(wèi)星在末級火箭脫落后的運行軌道,以脫落時刻的運行狀態(tài)為初始狀態(tài)的自由運動即零輸入響應(yīng).

(2).零輸入響應(yīng)的形態(tài).

對線性定常連續(xù)系統(tǒng),零輸入響應(yīng)即自由運動軌跡的形態(tài),當且僅當由系統(tǒng)的矩陣指數(shù)函數(shù)唯一地決定.不同的系統(tǒng)矩陣A,導致不同形態(tài)的零輸入響應(yīng),即自由運動軌道.

表明即A系統(tǒng)矩陣,包含了零輸入響應(yīng)即自由運動形態(tài)的全部信息.(3).零輸入響應(yīng)趨向平衡狀態(tài)x=0的屬性.對于線性定常連續(xù)系統(tǒng),零輸入響應(yīng),即自由運動軌跡最終趨向系統(tǒng)平衡狀態(tài)x=0的條件是:當且僅當矩陣指數(shù)函數(shù)最終趨向零,即稱上述屬性為系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.該式也是線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件.(4).零輸入響應(yīng)的計算.根據(jù)解,則零輸入響應(yīng)計算的核心是計算矩陣指數(shù)函數(shù)。

(5).零輸入響應(yīng)表達式的更一般形式.

對線性定常連續(xù)系統(tǒng),通常習慣地取初始時間。由于線性時不變系統(tǒng)的分析只與相對時間有關(guān),這種處理也不失一般性.但若因某種需要,將初始時間取為，此時,零輸入響應(yīng)更有一般的形式：

(6).零輸入響應(yīng)的幾何表征.

對線性定常連續(xù)系統(tǒng),齊次方程解的表達式表明:在時刻狀態(tài)點,幾何上對應(yīng)于狀態(tài)空間中由初始狀態(tài)點,經(jīng)線性變換導出一個變換點.基于此,可推知,零輸入響應(yīng)隨時間t的演化過程,幾何上即為狀態(tài)空間中由初始狀態(tài)點出發(fā)和由各個時刻變換點構(gòu)成的一條軌跡.

2.解的性質(zhì)(矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì))矩陣指數(shù)函數(shù)在線性系統(tǒng)分析中具有重要意義,為此可基于定義,給出的性質(zhì).性質(zhì)：

3．齊次方程的拉普拉斯解法.同樣先考慮純量微分方程將方程兩端作拉氏變換則將這種方法推廣到矩陣微分方程的解對兩邊取拉氏變換，則有

或即從而由于所以從而一般形式明顯地指出了的一種算法.二．狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1.概念推論1.對線性定常系統(tǒng)是的一個基本矩陣。證明：設(shè),若是一個基本矩陣,則有,將代入，并利用的微分性質(zhì)得到,且非奇異。故是線性定常連續(xù)系統(tǒng)一個基本矩陣。

推論2.對線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可由基本矩陣表出

推論3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的唯一性對線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是唯一的，且在按定義確定時，與所選擇的無關(guān)。推論4.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的形式。對的情形下，對的情形下，推論5.零輸入響應(yīng)的形式。根據(jù)零輸入響應(yīng)的幾何表征，顯然是將初始狀態(tài)從轉(zhuǎn)移到t時刻x(t)。而則是x(0)到x(t)的轉(zhuǎn)移.故稱是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì).3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的算法

(1)按定義計算

(2)如果A是對角陣,

則

(3)若A的特征值互異,即互異,則可通過變換,使,從而,而其中從而

(4)三．線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解

1.零狀態(tài)響應(yīng)考慮連續(xù)線性定常系統(tǒng)，令系統(tǒng)的初始狀態(tài)相應(yīng)狀態(tài)方程結(jié)論[零狀態(tài)響應(yīng)]：連續(xù)線性定常系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),即上述方程的解具有如下表達式：當時討論：（1）的數(shù)學特征即易證：稱矩陣指數(shù)函數(shù)和輸入作用函數(shù)的影響在時序上是對偶的，這種對偶在數(shù)學上稱為卷積分。（2）的幾何特征若令則零狀態(tài)響應(yīng)顯然是t時刻輸入作用的等價狀態(tài)，從而零狀態(tài)響應(yīng)是（等價狀態(tài)）以為變換陣導出的變換點，在幾何上代表狀態(tài)空間中各個時刻t輸入作用等價狀態(tài)的變換點構(gòu)成的一條軌道。（3）零狀態(tài)響應(yīng)的運動屬性

是隨時間t演化的軌跡，在屬性上屬于輸入驅(qū)動下的強迫運動。輸入是導致零狀態(tài)響應(yīng)的唯一激勵。（4）零狀態(tài)響應(yīng)對任意狀態(tài)點的可達屬性對零狀態(tài)響應(yīng)，如果對任意指定的狀態(tài)空間的狀態(tài)點都存在一個輸入和有限時間，使成立，那么稱具有能達性，顯然能達性取決于A,B屬性。（5）零狀態(tài)響應(yīng)相對于任意初始時刻的表達式若更為一般地取初始時刻，則零狀態(tài)響應(yīng)為零