高中數(shù)學(xué)人教A版本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 綜合學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測2

綜合學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(一)一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．在等比數(shù)列{an}中，S4＝1，S8＝3，則a17＋a18＋a19＋a20的值是eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742929)(B)A．14 B．16C．18 D．20[解析]∵S4＝1，S8＝3，∴a1·eq\f(1－q4,1－q)＝1，a1·eq\f(1－q8,1－q)＝3，∴1＋q4＝3，即q4＝2，∴a17＋a18＋a19＋a20＝a1q16(1＋q＋q2＋q3)＝q16·eq\f(a11－q4,1－q)＝16.2．若1＋2＋22＋…＋2n>128，n∈N*，則n的最小值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742930)(B)A．6 B．7C．8 D．9[解析]1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1.∵2n＋1－1>128＝27，∴n＋1>7，n>6.又∵n∈N*，∴n＝7.3．(2023·河南八市質(zhì)檢)已知集合A＝{x||x＋1|≤2}，B＝{x|y＝lg(x2－x－2)}，則A∩?RB＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742931)(C)A．[－3，－1) B．[－3，－1]C．[－1,1] D．(－1,1][解析]因?yàn)锳＝{x||x＋1|≤2}＝{x|－3≤x≤1}，B＝{x|lg(x2－x－2)}＝{x|x2－x－2>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以?RB＝{x|－1≤x≤2}，所以A∩?RB＝{x|－1≤x≤1}．4．已知a>b>0，c≠0，則下列不等式中不恒成立的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742932)(B)A．a(chǎn)c2>bc2 B．eq\f(a－b,c)>0C．(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))>4 D．a(chǎn)2＋b2＋2>2a＋2b[解析]∵c≠0，∴c2>0，又∵a>b，∴ac2>bc2；∵a>b，∴a－b>0，又c≠0，∴c>0時eq\f(a－b,c)>0，c<0時，eq\f(a－b,c)<0；∵a>b>0，∴(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，∵a>b>0，∴a2＋b2＋2－2a－2b＝(a－1)2＋(b－1)2故A，C，D恒成立，B不恒成立．5．(2023·東北三省四市聯(lián)考)已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，則△ABC的面積為eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742933)(C)A．eq\f(1,2) B．1C．eq\r(3) D．2[解析]因?yàn)閎2＋c2－a2＝2bccosA＝bc，所以cosA＝eq\f(1,2)，因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)，所以△ABC的面積為eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，故選C．6．(2023·北京理，5)已知x，y∈R，且x>y>0，則eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742934)(C)A．eq\f(1,x)－eq\f(1,y)>0 B．sinx－siny>0C．(eq\f(1,2))x－(eq\f(1,2))y<0 D．lnx＋lny>0[解析]解法1：因?yàn)閤>y>0，選項(xiàng)A，取x＝1，y＝eq\f(1,2)，則eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝1－2＝－1<0，排除A；選項(xiàng)B，取x＝π，y＝eq\f(π,2)，則sinx－siny＝sinπ－sineq\f(π,2)＝－1<0，排除B；選項(xiàng)D，取x＝2，y＝eq\f(1,2)，則lnx＋lny＝ln(x＋y)＝ln1＝0，排除D．故選C．解法2：因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上單調(diào)遞減，且x>y>0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y<0，故選C．7．已知數(shù)列{an}，滿足an＋1＝eq\f(1,1－an)，若a1＝eq\f(1,2)，則a2023＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742935)(B)A．eq\f(1,2) B．2C．－1 D．1[解析]易知a2＝2，a3＝－1，a4＝eq\f(1,2)，a5＝2，∴數(shù)列{an}的周期為3，而2023＝671×3＋2，∴a2023＝a2＝2.8．(2023·浙江理，3)在平面上，過點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影，由區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≤0，,x＋y≥0，,x－3y＋4≥0))中的點(diǎn)在直線x＋y－2＝0上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則|AB|＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742936)(C)A．2eq\r(2) B．4C．3eq\r(2) D．6[解析]作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，過點(diǎn)C，D分別作直線x＋y－2＝0的垂線，垂足分別為A，B，則四邊形ABDC為矩形，又C(2，－2)．D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝eq\r(2＋12＋－2－12)＝3eq\r(2).故選C．9．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))(n∈N*)，若an＋an＋1＝eq\r(11)－3，則n的值是eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742937)(B)A．12 B．9C．8 D．6[解析]∵an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，∴an＋an＋1＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)＋eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1)＝eq\r(n＋2)－eq\r(n)＝eq\r(11)－3＝eq\r(11)－eq\r(9)，∴n＝9.10．已知△ABC中，∠A＝30°，AB、BC分別是eq\r(3)＋eq\r(2)、eq\r(3)－eq\r(2)的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)，則△ABC的面積等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742938)(D)A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(\r(3),2)或eq\r(3) D．eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)[解析]依題意得AB＝eq\r(3)，BC＝1，易判斷△ABC有兩解，由正弦定理，得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，eq\f(\r(3),sinC)＝eq\f(1,sin30°)，即sinC＝eq\f(\r(3),2).又0°<C<180°，因此有C＝60°或C＝120°.當(dāng)C＝60°時，B＝90°，△ABC的面積為eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(\r(3),2)；當(dāng)C＝120°時，B＝30°，△ABC的面積為eq\f(1,2)AB·BC·sinB＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×sin30°＝eq\f(\r(3),4).綜上所述，選D．11．(2023·廣州市檢測)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2＋a7＋a12＝24，則S13＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742939)(C)A．52 B．78C．104 D．208[解析]由等差數(shù)列的性質(zhì)得a2＋a7＋a12＝3a7＝24，∴a7∴S13＝13a7＝104，故選12．(2023·福建文，5)若直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)過點(diǎn)(1,1)，則a＋b的最小值等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742940)(C)A．2 B．3C．4 D．5[解析]由已知得，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，a>0，b>0，則a＋b＝(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b＝2時取等號．[點(diǎn)評]一個小題涉及到直線的方程與基本不等式，難度又不大，這是高考客觀題命題的主要方向．平時就要加強(qiáng)這種小綜合交匯訓(xùn)練．二、填空題(本大題共4個小題，每個小題4分，共16分．將正確答案填在題中橫線上)13．等比數(shù)列{an}和等差數(shù)列{bn}中，a5＝b5,2a5－a2a8＝0，則b3＋b7＝\x(導(dǎo)學(xué)號54742941)[解析]∵2a5－a2a8＝2a5－aeq\o\al(2,5)＝0，an≠0，∴a5＝2，∴b3＋b7＝2b5＝2a514．在△ABC中，∠A＝eq\f(π,3)，BC＝3，AB＝eq\r(6)，則∠C＝eq\f(π,4).eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742942)[解析]由正弦定理得eq\f(3,sin\f(π,3))＝eq\f(\r(6),sinC)，∴sinC＝eq\f(\r(2),2)，∵AB<BC，∴C<A，∴C＝eq\f(π,4).15．已知變量x、y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0,x＋3y－3≥0,y－1≤0))，若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y(其中a>0)僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值，則a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742943)[解析]作出可行域如圖(包括邊界)當(dāng)直線z＝ax＋y經(jīng)過A點(diǎn)，位于直線l1與x＋2y－3＝0之間時，z僅在點(diǎn)A(3,0)處取得最大值，∴－a<－eq\f(1,2)，∴a>eq\f(1,2).16．已知點(diǎn)(1，t)在直線2x－y＋1＝0的上方，且不等式x2＋(2t－4)x＋4>0恒成立，則t的取值集合為{t|3<t<4}.eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742944)[解析]∵(1，t)在直線2x－y＋1＝0的上方，∴t>3，∵不等式x2＋(2t－4)x＋4>0恒成立，∴Δ＝(2t－4)2－16<0，∴0<t<4，∴3<t<4.三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本題滿分12分)和為114的三個數(shù)是一個公比不為1的等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，也是一個等差數(shù)列的第1項(xiàng)，第4項(xiàng)，第25項(xiàng)，求這三個數(shù).eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742945)[解析]由題意，設(shè)這三個數(shù)分別是eq\f(a,q)，a，aq，且q≠1，則eq\f(a,q)＋a＋aq＝114①令這個等差數(shù)列的公差為d，則a＝eq\f(a,q)＋(4－1)·d.則d＝eq\f(1,3)(a－eq\f(a,q))，又有aq＝eq\f(a,q)＋24×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a,q)))②由②得(q－1)(q－7)＝0，∵q≠1，∴q＝7代入①得a＝14，則所求三數(shù)為2,14,98.18．(本題滿分12分)(2023·貴陽市第一中學(xué)月考)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)sin2x－cos2(x＋eq\f(π,4)).eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742946)(1)若x∈(0，π)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f(eq\f(B,2))＝0，b＝1，求△ABC面積的最大值．[解析](1)由題意可知，f(x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1＋cos2x＋\f(π,2),2)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1－sin2x,2)＝sin2x－eq\f(1,2).由2kπ－eq\f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(π,4)≤x≤kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z.又因?yàn)閤∈(0，π)，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，eq\f(π,4)]和[eq\f(3π,4)，π)．(2)由f(eq\f(B,2))＝sinB－eq\f(1,2)＝0，得sinB＝eq\f(1,2)，由題意知B為銳角，所以cosB＝eq\f(\r(3),2).由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得1＋eq\r(3)ac＝a2＋c2≥2ac，即ac≤2＋eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時等號成立．因?yàn)镾△ABC＝eq\f(1,2)acsinB≤eq\f(2＋\r(3),4)，所以△ABC面積的最大值為eq\f(2＋\r(3),4).19．(本題滿分12分)為了防止洪水泛濫，保障人民生命財產(chǎn)安全，去年冬天，某水利工程隊(duì)在河邊選擇一塊矩形農(nóng)田，挖土以加固河堤，為了不影響農(nóng)民收入，挖土后的農(nóng)田改造成面積為10000m2的矩形魚塘，其四周都留有寬2m的路面，問所選的農(nóng)田的長和寬各為多少時，才能使占有農(nóng)田的面積最小.eq\x(導(dǎo)學(xué)號[解析]設(shè)魚塘的長為xm，寬為ym，則農(nóng)田長為(x＋4)m，寬為(y＋4)m，設(shè)農(nóng)田面積為S.則xy＝10000，S＝(x＋4)(y＋4)＝xy＋4(x＋y)＋16＝10000＋16＋4(x＋y)≥10016＋8eq\r(xy)＝10016＋800＝10816.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝100時取等號．所以當(dāng)x＝y(tǒng)＝100時，Smin＝10816此時農(nóng)田長為104m，寬為20．(本題滿分12分)(2023·浙江文，17)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋eq\f(1,2)b2＋eq\f(1,3)b3＋…＋eq\f(1,n)bn＝bn＋1－1(n∈N*).eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742948)(1)求an與bn；(2)記數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.[分析]等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的遞推關(guān)系式；數(shù)列求和和運(yùn)算求解能力，推理論證能力．解答本題(1)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求an；利用遞推關(guān)系求bn.(2)根據(jù)(1)問得到新的數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯位相減法進(jìn)行數(shù)列求和．[解析](1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n.當(dāng)n＝1時，b1＝b2－1，因?yàn)閎1＝1，所以b2＝2.當(dāng)n≥2時，eq\f(1,n)bn＝bn＋1－bn，整理得eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(n＋1,n)，由累乘法得：bn＝n.①，又∵bn＝1，符合①式，∴bn＝n(2)由(1)知，anbn＝n·2n，所以Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2，所以Tn＝(n－1)2n＋1＋2.21．(本題滿分12分)(2023·河南高考適應(yīng)性測試)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知向量m＝(cosB,2cos2eq\f(C,2)－1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝\x(導(dǎo)學(xué)號54742949)(1)求角C的大??；(2)若點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，且滿足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(7)，c＝2eq\r(3)，求△ABC的面積．[解析](1)∵m＝(cosB，cosC)，n＝(c，b－2a)，m·n∴ccosB＋(b－2a)cosC＝0，在△ABCsinCcosB＋(sinB－2sinA)cosC＝0，∴sinA＝2sinAcosC．又∵sinA≠0，∴cosC＝eq\f(1,2)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3).(2)由eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，知eq\o(CD,\s\up6