第八章組合變形

第八章組合變形§8-1組合變形的概念在前幾章我們分別介紹了四種基本變形：軸向拉壓變形和剪切擠壓變形

——第2章；

FF

F

F

軸向拉壓變形強度條件§8-1組合變形的概念在前幾章我們分別介紹了四種基本變形：軸向拉壓變形和剪切擠壓變形

——第2章；

剪切擠壓變形剪切強度條件鉚釘FF§8-1組合變形的概念在前幾章我們分別介紹了四種基本變形：軸向拉壓變形和剪切擠壓變形

——第2章；

剪切擠壓變形擠壓強度條件鉚釘FF§8-1組合變形的概念在前幾章我們分別介紹了四種基本變形：圓軸的扭轉(zhuǎn)變形——第3章；

扭轉(zhuǎn)變形強度條件MM§8-1組合變形的概念在前幾章我們分別介紹了四種基本變形：細長梁的彎曲變形——

第4、5、6章；

彎曲變形強度條件§8-1組合變形和疊加原理在前幾章我們分別介紹了四種基本變形：1)軸向拉壓變形和剪切擠壓變形

——2；2)圓軸的扭轉(zhuǎn)變形

——3；3)細長梁的彎曲變形----4、5、6。

在實際外載作用下，構件的變形并不只是上述幾種單純的基本變形，而往往是由二種或二種以上的基本變形組合而成的組合變形。

在現(xiàn)實工程中，大多數(shù)構件在外載荷作用下,往往是組合變形的情形。如下圖所示：一、組合變形舉例扭轉(zhuǎn)與彎曲MeF

工程實例1混凝土框架邊梁扭轉(zhuǎn)與彎曲框架邊梁工程實例2斜拉橋橋塔壓縮與彎曲qF1F2工程實例3廠房牛腿壓縮與彎曲qF1F21.拉伸或壓縮與彎曲的組合本章重點:工程中常見的組合變形2.偏心壓縮（壓縮與彎曲的組合）本章重點:工程中常見的組合變形xyzFFMzMy3.扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合本章重點:工程中常見的組合變形MeF橫向力§8-2

拉伸或壓縮與彎曲的組合P桿件受橫向力和軸向力的共同作用時FN軸向拉力一、表現(xiàn)形式（a）拉伸或壓縮與彎曲組合平面內(nèi)力偶§8-2

拉伸或壓縮與彎曲的組合桿件受力偶和軸向力的共同作用時FN軸向壓力一、表現(xiàn)形式M（b）拉伸或壓縮與彎曲組合xyzFφFN=FcosφFS=Fsinφ軸向力橫向力§8-2

拉伸或壓縮與彎曲的組合一、表現(xiàn)形式（c）拉伸或壓縮與彎曲組合桿件在xy平面內(nèi)作用斜向集中力時§8-2

拉伸或壓縮與彎曲的組合二、拉伸或壓縮與彎曲組合的特點

作用在桿件上的外力既有軸向力,還有橫向力或軸線平面內(nèi)力偶。受力特點變形特點

桿件既發(fā)生軸向拉伸或壓縮變形，也發(fā)生彎曲變形。三、解決組合變形問題的基本方法

構件在小變形和服從胡克定理的條件下，力的獨立性原理是成立的。即所有載荷作用下的內(nèi)力、應力、應變等是各個單獨載荷作用下的值的疊加?；痉椒ǎB加法

三、解決組合變形問題的基本方法

疊加原理的成立要求:小變形使用疊加原理的前提：即:內(nèi)力、應力、應變等與外力之間成線性關系。三、解決組合變形問題的基本方法

疊加原理的理解：

若要求桿件在的作用下，求某截面B點處的應力、應變，按照疊加法如何理解？三、解決組合變形問題的基本方法

疊加原理的理解：各個單獨載荷作用下的值的疊加：三、解決組合變形問題的基本方法

疊加原理的理解：

疊加法的本質(zhì)就是將組合變形分解為幾種基本變形：軸向拉壓變形、扭轉(zhuǎn)變形、彎曲變形等等；

分別考慮各個基本變形時構件的內(nèi)力、應力、應變等；最后進行疊加。如何運用疊加原理

計算拉伸或壓縮與彎曲組合危險點的強度？=四、拉伸或壓縮與彎曲組合計算舉例思路：求起重機圓柱任意橫截面的危險應力。內(nèi)力分析應力分析應力疊加外力分解外力分析+==1.外力分析求起重機圓柱任意橫截面的危險應力。四、拉伸或壓縮與彎曲組合計算舉例+==+=2.外力分解求起重機圓柱任意橫截面的危險應力。四、拉伸或壓縮與彎曲組合計算舉例=3.內(nèi)力分析（軸力單獨作用時）求起重機圓柱任意橫截面的危險應力。FN=F四、拉伸或壓縮與彎曲組合計算舉例=3.內(nèi)力分析（力偶單獨作用時）求起重機圓柱任意橫截面的危險應力。=FlM四、拉伸或壓縮與彎曲組合計算舉例求起重機圓柱任意橫截面的危險應力。四、拉伸或壓縮與彎曲組合計算舉例4.應力分析（軸力單獨作用時）FN=F求起重機圓柱任意橫截面的危險應力。=FlM四、拉伸或壓縮與彎曲組合計算舉例5.應力分析（力偶單獨作用時）+=+=6.應力疊加組合外力分析：將外力向桿件形心簡化；五、應用疊加法的步驟總結§8-2

拉伸或壓縮與彎曲的組合外力分解：使每個外力對應一種基本變形；內(nèi)力分析：求每個外力分量對應的內(nèi)力；應力分析：求每個內(nèi)力分量對應的應力；應力疊加：將所有分量應力進行疊加；強度校核：將危險點的應力進行強度校核。下面我們以一個具體的案例進行說明§8-2

拉伸或壓縮與彎曲的組合關于拉（壓）彎組合有沒有更具體的案例？例題8.1鑄鐵框架如圖.材料的許用拉應力[t]=30MPa,許用壓應力[c]=160MPa.試按立柱的強度確定壓力機的許可壓力F。150y50150z0z1z50350FFO例題8.1鑄鐵框架如圖.材料的許用拉應力[t]=30MPa,許用壓應力[c]=160MPa.試按立柱的強度確定壓力機的許可壓力F。350FF解題思路：外力分析外力分解1外力分解2內(nèi)力分析內(nèi)力分析應力分析應力分析應力疊加后強度條件確定F例題8.1鑄鐵框架如圖.材料的許用拉應力[t]=30MPa,許用壓應力[c]=160MPa.試按立柱的強度確定壓力機的許可壓力F。150y50150z0z1z50350FFO解：1.立柱橫截面外力分析FM向立柱形心簡化例題8.1鑄鐵框架如圖.材料的許用拉應力[t]=30MPa,許用壓應力[c]=160MPa.試按立柱的強度確定壓力機的許可壓力F。350FF解：2.立柱橫截面外力分解FM350FF350FM+=例題8.1鑄鐵框架如圖.材料的許用拉應力[t]=30MPa,許用壓應力[c]=160MPa.試按立柱的強度確定壓力機的許可壓力F。150y50150z0z1z50O350FF3.立柱橫截面內(nèi)力分析（軸力單獨作用時）nnFNnnF例題8.1鑄鐵框架如圖.材料的許用拉應力[t]=30MPa,許用壓應力[c]=160MPa.試按立柱的強度確定壓力機的許可壓力F。150y50150z0z1z50O350F4.立柱橫截面內(nèi)力分析（力偶單獨作用時）nnMnnMMy

5.立柱橫截面應力分析yz0z1zσt軸向拉力FN對應的應力FNnnOF

5.立柱橫截面應力分析yz0z1z彎矩My對應的應力MynnOM

6.立柱橫截面危險點的應力nnMyFNyz0z1zMyFN+=OFM

nnMyFNyz0z1zMyFN+=OFM7.求許可壓力F例8.2最大吊重為W=8kN的起重機

如圖所示，若AB桿為工字鋼，材料為Q235鋼,

[σ]=100MPa，試選擇工字鋼型號。解：

1)畫出AB梁

的受力簡圖：2)

由ΣMA=0：

2.5Fy-4W=0Fy=4W/2.5=12.8kN

Fx=(2.5/0.8)·Fy=40kNABCWFXAYAFxFyABCD80025001500W4)從內(nèi)力圖上知危險截面位于C處左側，

有:Mmax=-12kN·m

FN=Fx=-40kNM3)畫AB梁的內(nèi)力圖

(M圖和FN圖)：ABCWFXAYAFxFy=12.8kN=40kNN

40kN2.5m1.5m1.5W=12kNm5)先初算預選工字鋼型號：例8.2

最大吊重為W=8kN的起重機

如圖所示，若AB桿為工字鋼，材料為Q235鋼,

[σ]=100MPa，試選擇工字鋼型號。從內(nèi)力圖上知危險截面位于C處左側，有:Mmax=-12kN·m

FN=Fx=-40kNzMmaxσmax拉σmax壓=Mmax/Wz=Mmax/WzC截面左邊下緣各點有σmax=σM+σN=Mmax/Wz+FN/A

在初算時可以首先

只考慮彎曲正應力σM

來初選工字鋼型號，而先不考慮軸壓力的影響:即令

Mmax/Wz

≤[σ]=100MPaWz≥12×103/(100×106)=12×10-5m3=120cm3MN

40kN1.5W=12kNm例8.2

W=8kN，

[σ]=100MPa，

試選擇工字鋼型號。5)先初算預選工字鋼型號：MN

40kN1.5W=12kNm例8.2

W=8kN，

[σ]=100MPa，

試選擇工字鋼型號。5)先初算預選工字鋼型號：Wz

≥120cm3

可查P352附表4得:Wz=141cm3接近120cm3初選16號工字鋼:A=26.1cm2再校核總的最大正應力:σmax=σM+σN=Mmax/Wz+FN/A=12×103/(141×10-6)+40×103/(26.1×10-4)=100.43×106

Pa=100.43MPa拉伸或壓縮與彎曲的組合強度計算公式：同方向的應力代數(shù)值的疊加例題小結習題8.3CAB習題8.3

求AC梁的最大正應力30oWxFAAC梁的軸向壓力：CAB習題8.3

求AC梁的最大正應力30oWxFAAC梁的軸向壓力：彎矩方程：壓彎組合:Mmax

為正彎矩

FN

為壓力zMmaxσmax壓σmax拉=Mmax/Wz=Mmax/Wz=FN/AσN壓CAB習題8.3

求AC梁的最大正應力30oWxFAAC梁的軸向壓力：壓彎組合：習題8.3

求AC梁的最大正應力查表得：求正應力極值：正應力最大：故滿足強度要求

求AC梁的最大正應力習題8.31.定義：外力作用線與桿的軸線平行但不重合時，將引起軸向壓縮和平面彎曲兩種基本變形。一、偏心壓縮*§8-3偏心壓縮和截面核心zyxFozyxFo偏心壓縮舉例B點的應力：Bzyx軸向壓力產(chǎn)生的應力+Mz產(chǎn)生的應力+My產(chǎn)生的應力：F1.軸向壓力產(chǎn)生的應力B軸向壓力產(chǎn)生的應力+Mz產(chǎn)生的應力+My產(chǎn)生的應力：B點的應力：BzyxF2.Mz產(chǎn)生的應力BzB點的應力：Bzyx軸向壓力產(chǎn)生的應力+My產(chǎn)生的應力+Mz產(chǎn)生的應力：F3.My產(chǎn)生的應力ByB點的應力：BzyBzy

橫截面上離中性軸最遠的點應力最大，故應先確定中性軸的位置，設中性軸上各點的坐標為y0，z0，于是有：Bzy

橫截面上離中性軸最遠的點應力最大，故應先確定中性軸的位置，設中性軸上各點的坐標為y0，z0，于是有：設中性軸與y軸、z軸的截距分別為ay

、az

：Bzy設中性軸與y軸、z軸的截距分別為ay

、az

：

上式表明ay

與yF、az

與zF符號相反，所以中性軸與偏心壓力F的作用點分別位于坐標原點（截面形心）的兩則。中性軸壓拉Bzy設中性軸與y軸、z軸的截距分別為ay

、az

：中性軸壓拉討論：1、中性軸與F力作用點總是位于截面形心o

的兩側；2、中性軸將截面分成受壓和受拉兩部分；Bzy設中性軸與y軸、z軸的截距分別為ay

、az

：中性軸壓拉討論：3、作中性軸的平行線與截面相切D1，D2即為最大拉應力和最大壓應力所在的點。D1D24、當中性軸與圖形相切或遠離圖形時,整個圖形上將只有拉應力或只有壓應力。Bzy中性軸壓拉D1D2By中性軸zBy中性軸zBzy設中性軸與y軸、z軸的截距分別為ay

、az

：中性軸截面核心：當外力作用點位于包括截面形心的一個區(qū)域內(nèi)時，就可以保證中性軸不穿過橫截面（整個截面上只有拉應力或壓應力），此區(qū)域稱為截面核心。Bzy設中性軸與y軸、z軸的截距分別為ay

、az

：中性軸截面核心的確定：當外力作用在截面核心的邊界上時，與此相應的中性軸正好與截面的周邊相切。截面核心的邊界就由此關系確定。具體步驟如下：2)求得偏心力的作用點

yF，zF，這些點的連線就是截面核心的周界線。截面核心的確定：1)作若干條與截面邊界相切的中性軸，分別求出其截距ay

、az

，然后代入下式O1①

zy1)以任意一根與截面相切的直線①為中性軸則其對應的偏心力作用點1的坐標為其截矩為O1①

zy2)同樣的方法將與截面相切的直線②,③,…看成中性軸，求出對應的偏心力作用點2，3，…的坐標。3)連接1，2，3，…點所得到的封閉曲線即為截面核心的邊界，該邊界包圍的面積即為截面核心。O12345①②y③④⑤z得力F作用點a的坐標：例8.3求圖示矩形截面的截面核心。設中性軸①AB邊重合，則有yzADCBhb①a例8.3求圖示矩形截面的截面核心。yzADCBhb①a同理當中性軸②與BC邊重合，則有力F作用點b的坐標為：②b例8.3求圖示矩形截面的截面核心。yzADCBhb①a②b同理當中性軸與AD邊重合，則有力F作用點的坐標為：當中性軸與CD邊重合，則有力F作用點的坐標為：截面核心形狀分析：yzADCBhb①a②b注意中性軸①、②都過B點。設中性軸③也過B點。③力F的作用點與中性軸的關系：如果要求中性軸始終通過一個固定點，則外力作用點移動的軌跡是直線。故截面核心形狀為菱形例8.4求直徑為d

的圓形截面的截面核心。解：建立坐標如圖所示。作一條與圓截面相切于A點的直線①，將直線①看成中性軸，則：zy①Aod于是1點的坐標為

由于圓關于圓心極對稱，于是截面核心，也應為關于圓心極對稱的截面，所以截面核心是以O為圓心，d/8為半徑的圓截面。①Aozyd例8.4求直徑為d

的圓形截面的截面核心。1yzP思考題：求圖示桿在力P作用下的最大拉應力，并指明所在位置。設橫截面的高為h，寬為b。解：最大拉應力發(fā)生在后背面上各點處FlaS將力F

向圓桿右端截面的形心簡化得橫向力F

（引起平面彎曲）力偶矩M=Fa

（引起扭轉(zhuǎn)）圓桿為彎曲與扭轉(zhuǎn)局面組合變形FM=Fa§8-4扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合laSFM=Fa§8-4扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合研究對象圓截面桿受力特點桿件同時承受轉(zhuǎn)矩和橫向力作用變形特點發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲兩種基本變形畫內(nèi)力圖確定危險截面laSFM=FaSFM=Fa扭矩圖彎矩圖固定端S截面為危險截面SF扭矩圖彎矩圖固定端S截面為危險截面二、應力分析1243M=FaT3124M1243固定端S截面為危險截面確定危險點：T3124M1243危險截面上的危險點為1

和3

點最大扭轉(zhuǎn)切應力發(fā)生在截面周邊上的各點處。危險截面S上的最大彎曲正應力發(fā)生在1

、3

處二、應力分析T3124M1243危險點1、3應力狀態(tài)分析1S1243M=FaFT3124M1243危險點1、3應力狀態(tài)分析3S1243M=FaF三、強度分析11.主應力計算1從上往下看三、強度分析1.主應力計算12.相當應力計算1第三強度理論：若為塑性材料2.相當應力計算1第四強度理論：該公式適用于圖示的平面應力狀態(tài)。是危險點的正應力,

是危險點的切應力。且橫截面不限于圓形截面。討論

該公式適用于彎扭組合變形；拉（壓）與扭轉(zhuǎn)的組合變形；以及拉（壓）扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形。1.12.對于圓形截面桿1第三強度理論：對圓形截面：彎扭組合變形時,相當應力表達式可改寫為2.對于圓形截面桿1第四強度理論：對圓形截面：彎扭組合變形時,相當應力表達式可改寫為以上兩式只適用于彎扭組合變形下的圓截面桿。第三強度理論：第四強度理論：塑性材料的圓截面軸彎扭組合變形

式中W

為抗彎截面系數(shù)，M、T

為軸危險面的彎矩和扭矩按第四強度理論有：扭彎組合問題的解題步驟：1)外力分析：所有外力向截面形心簡化并分解。2)內(nèi)力分析：畫每個外力分量對應的內(nèi)力圖，確定其危險截面。3)應力分析：按強度理論建立強度條件:按第三強度理論得：(8.5)(8.7)例題傳動軸如圖所示.在A處作用一個外力偶矩Me=1kN·m,皮帶輪直徑D=300mm,皮帶輪緊邊拉力為F1,松邊拉力為F2.且F1=2F2,l=200mm,軸的許用應力[]=160MPa.試用第三強度理論設計軸的直徑。zF1F2xyABl/2l/2解:將力向軸的形心簡化

軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和垂直縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的彎曲。CF=3F2MeMeMeC+T=1kN·m中間截面為危險截面+1kN·mF=3F2Me=1kN·m,l=200mm,[]=160MPa.扭矩圖彎矩圖MeMeC習題8.120.2P習題8.12 手搖鉸車如圖所示，軸的直徑d=30mm，材料為Q235鋼,[σ]=80MPa,卷簡直徑D=360mm,試按第三強度理論求鉸車最大起吊重量P。解：1)畫出AB軸簡化力學模型:2)畫AB軸的內(nèi)力圖,

M圖和T圖：ABT=P·D/2P

畫受力圖：MeMT0.18P習題8.12[σ]=80MPa,d=30mmABT=0.18PPMeMTMmax=0.2PT=0.18P3)為扭彎組合變形,

按第三強度理論有:(8.5)=10.15P×104≤80×106∴P≤788NENDyzMy此時危險點是最上和最下的點MzM（合彎矩）D2D1D1點有最大的拉應力D2點有最大的壓應力α2α1例8.5圖的說明FF’Me是通過拉力F和F’傳遞的例8.5某傳動軸AB的直徑為35mm，材料為45鋼，許用應力[σ]=85Mpa。軸是由P=2.2kW的電動機通過皮帶輪C帶動，轉(zhuǎn)速為n=966r/min。皮帶輪C的直徑為D=132mm，皮帶拉力約為F+F’=600N。齒輪E的節(jié)圓直徑為d1=50mm，F(xiàn)n為作用與齒輪上的法向力。試校核軸的強度。CEBA