第五章樁基礎(chǔ)的計(jì)算與分析

第五章樁基礎(chǔ)的計(jì)算與分析5.1概述（略）5.2豎直荷載下樁基礎(chǔ)的受力分析5.2.1豎向荷載下單樁受力的性狀在實(shí)際工程中，樁基通常是由一群樁所組成。而群樁分析的理論很大程度取決于單樁的受力分析。因而許多學(xué)者對(duì)單樁工作機(jī)理進(jìn)行了研究，并提出許多預(yù)估的方法。目前，大體上可歸納為四種方法，即：荷載傳遞法；彈性理論法；剪切位移法；有限單元法。1.荷載傳遞法荷載傳遞法首先是由Seed和Reese在1995年提出。此后，Kezdl(1957)、佐藤悟（1965），Coyle和Reese（1966）、Holloway(1975)以及Vijayvergiya(1977)等相繼在此基礎(chǔ)上有所發(fā)展。這些方法的基本概念是把樁視作由許多彈性單位組成，每一單元與土體之間（包括樁尖）都用非線性彈簧聯(lián)系，如圖11.1所示。這些非線性彈簧表示樁側(cè)摩阻力（或樁尖阻力）與剪切位移（或樁尖位移）之間的關(guān)系，通常統(tǒng)稱為荷載傳遞函數(shù)或t-s曲線。在樁上取一單元體，由單元體的靜力平衡條件可得：?jiǎn)卧猲荷載傳遞法的計(jì)算圖式式中--樁截面周長(zhǎng)，--樁側(cè)壁摩阻力?？紤]到單元的彈性應(yīng)變量隨深度z值得增加而減小，于是有對(duì)式（11.2）求導(dǎo)，并與式（11.1）聯(lián)合，則有式（11.3）式傳遞函數(shù)法的基本微分方程，樁身的豎向位移s的求解取決于樁土之間的傳遞函數(shù)曲線（即曲線）。Vijayvergiya(1977)對(duì)樁測(cè)、樁底分別提出相應(yīng)的傳遞函數(shù)表達(dá)式：其中（粘土）（砂土）式中—樁單元的位移—位移為z時(shí)，樁側(cè)的摩阻力；—樁側(cè)摩阻力達(dá)到時(shí)的樁單元的臨界位移值；在粘土或砂土中，=0.51~0.97cm；—樁身范圍內(nèi)土的不排水抗剪強(qiáng)度平均值；—地表至樁尖范圍內(nèi)土的豎向有效應(yīng)力的平均值；—樁身范圍內(nèi)土的不排水抗剪強(qiáng)度平均值；—土的側(cè)壓力系數(shù)；—土的豎向有效應(yīng)力；—樁間土的摩擦角

樁尖傳遞函數(shù)，如圖11.2（c）所示。式中—樁尖位移值；—位移為s時(shí)，樁尖的阻力；—樁尖阻力達(dá)到時(shí)的臨界位移值，B為樁徑或?qū)挾取獦都庾畲笞枇?，可按下式?jì)算：（粘土）（砂土）式中—分別為承載力系數(shù)；—樁尖粘土的不排水抗剪強(qiáng)度；—樁尖處土的豎向有效應(yīng)力。一旦樁土間的傳遞函數(shù)確定后，就可求得在豎向荷載下樁側(cè)摩阻力，樁身軸力分布以及樁身各截面處的位移。求解方法通常采用變形協(xié)調(diào)法和矩陣位移法。（1）變形協(xié)調(diào)法該法是在離散成許多單元的樁的底部，假設(shè)有某一位移值，然后根據(jù)樁身的軸向變形與樁側(cè)土變形相協(xié)調(diào)的關(guān)系，可逐段地向上遞推而求出樁段各點(diǎn)（包括樁頂）處的相應(yīng)軸力、樁側(cè)壓力。若樁底假設(shè)不同的位移值，于是就可獲得一組相應(yīng)的軸力、位移以及樁側(cè)和樁底的阻力。2）矩陣位移法矩陣位移法實(shí)質(zhì)上是桿件系統(tǒng)的有限單元法。對(duì)已經(jīng)離散了的每個(gè)樁單元（圖5.3），可建立軸力之間的關(guān)系。若樁頂上作用一個(gè)豎向力Q，樁段劃分的長(zhǎng)度不一，分別以示之，則對(duì)整根樁可寫出分段點(diǎn)的力和位移方程組：式中—土作用在樁段結(jié)點(diǎn)上的集中摩阻力（kg或t）列向量，其值為(參見圖5.4)也可寫成—樁的總剛度矩陣；—分別為樁身、樁底直徑；—樁身各結(jié)點(diǎn)位移列向量,其值為—外荷載列向量上式也可寫成：式中—土的剛度矩陣，即由和組成的對(duì)角矩陣。圖5.3單樁矩陣位移法的計(jì)算圖式位移位移位移位移位移圖5.4樁側(cè)摩阻力、樁尖阻力與位移的關(guān)系曲線由于傳遞函數(shù)呈非線性特性，可用迭代法計(jì)算式（5.7），其步驟如下：1）根據(jù)已知的傳遞函數(shù)曲線，假設(shè)各結(jié)點(diǎn)的初始剛度和（即假定各結(jié)點(diǎn)初始位移）2)按式（11.7）算出相應(yīng)的位移；3)若與的差值超過容許值，則根據(jù)和;從圖5.4求出和，并代入式（5.7）算出第二次迭代計(jì)算所得的位移；4)重復(fù)上述計(jì)算過程，直到前后兩次計(jì)算所得位移的差值小于容許誤差為止；5)將最后求得的位移值，代入式（5.6）后，可求出各結(jié)點(diǎn)處的軸力和摩阻力.從上述計(jì)算可見，荷載傳遞法分析單樁的性狀，其關(guān)鍵在于正確確定荷載的傳遞曲線。眾所周知，樁的靜再試驗(yàn)既費(fèi)工又昂貴，因而近年來有人通過樁、土間傳遞函數(shù)的研究來分析和估算樁的承載力，以減少樁的靜載試驗(yàn)工作量。文獻(xiàn)[11]介紹華南地區(qū)在試樁時(shí)，通過預(yù)埋在樁內(nèi)的電測(cè)元件，測(cè)定樁身各量測(cè)截面的應(yīng)變，從而算出樁側(cè)摩阻力、樁尖阻力隨位移變化的關(guān)系。實(shí)測(cè)到的荷載傳遞曲線可近似地用雙曲線方程來描述，但為實(shí)用起見，可將曲線簡(jiǎn)化為彈性-全塑模型，樁尖曲線則簡(jiǎn)化為彈性-硬化模型（如圖5.6），并用五個(gè)參數(shù)來表示。按該模型計(jì)算求得的樁頂處的P—s曲線與實(shí)測(cè)的試樁結(jié)果較好吻合。文獻(xiàn)[5]根據(jù)上海和我國(guó)沿海軟土地區(qū)大量試樁與精力觸探的對(duì)比資料，發(fā)現(xiàn)觸探探頭阻力與軟土地區(qū)各類土的（最大樁側(cè)摩阻力）、（最大樁尖阻力）有較好的關(guān)系；（淤泥質(zhì)粘土、亞粘土）（淤泥質(zhì)粘土、亞粘土）（輕亞粘土、粉砂）（軟塑、硬塑的粘土、亞粘土）圖5.6荷載傳遞的雙折線表示P(kN)計(jì)算值實(shí)測(cè)值圖5.7樁的實(shí)測(cè)與計(jì)算的P-s曲線（a）樁軸向力實(shí)測(cè)值分布圖（b）

式中—觸探探頭阻力，以表示；—樁尖以上（3.75~8.0）d范圍內(nèi)探頭阻力的平均值；—樁尖以下（1.0~2.75）d范圍內(nèi)探頭阻力的平均值。而傳遞系數(shù)建議用拋物線方程表示，即；式中其它符號(hào)與式（5.4）、（5.5）說明相同。通過與軟土地區(qū)16根（樁長(zhǎng)18~27m）實(shí)測(cè)試樁資料進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果說明用建議的傳遞函數(shù)計(jì)算所得的樁頂P-s曲線與實(shí)測(cè)值較為接近。2.彈性理論法彈性理論法的基本假定是，樁被插入在一個(gè)理想均質(zhì)的各項(xiàng)同性的彈性半空間體內(nèi)，其彈性模量和泊松比，不是因樁的存在而變化；樁的周圍粗糙而樁底平滑。由于樁與土之間保持彈性接觸，因此具有樁身位移等于毗鄰?fù)廖灰频南嗳輻l件。在計(jì)算中，認(rèn)為樁與土的徑向變形甚小，可不計(jì)，只考慮樁在豎向荷載下的豎向變形。把受荷的樁以及樁周圍的土分成若干小段，現(xiàn)分布取樁周圍的土體（圖5.8b）、樁身（圖5.8c）作為分離體進(jìn)行分析。單元n單元n圖5.8彈性理論法的計(jì)算圖式（1）土的位移方程（按圖5.8b建立）由單元處的摩阻力對(duì)樁端點(diǎn)所引起的豎向位移為：式中—單元j處單位摩阻力對(duì)樁段點(diǎn)所產(chǎn)生的豎向位移量，或稱為豎向位移影響系數(shù)，于是所有n個(gè)單元的樁側(cè)、樁底阻力對(duì)i點(diǎn)所產(chǎn)生的位移：同理，可寫出所有單元對(duì)樁底所產(chǎn)生的位移量為：式中—分別為豎向位移影響系數(shù)。這樣，土的位移方程可方便地寫出：式中—土的位移矢量，—樁周阻力（包括樁側(cè)和樁底）的列向量，

—土的豎向位移柔度矩陣，即（2）樁身位移方程（按圖5.8c建立）把樁身的微分方程式（5.3）改寫成為：并用有限差分法形式，寫出點(diǎn)2到n-1的表達(dá)式，即對(duì)于樁段點(diǎn)1，寫出差分表達(dá)式時(shí)，會(huì)引入虛結(jié)點(diǎn)位移，為此，要利用樁頂處應(yīng)變的邊界條件，于是的表達(dá)式把上式代入式（5.17），消去，則點(diǎn)1的差分表達(dá)式為同理，利用非等間距的差分公式以及使用高階級(jí)數(shù)的差分展開式，于是點(diǎn)n和樁底（b點(diǎn)）的差分表達(dá)式：于是，整根樁的位移方程為：式中—樁身位移列向量—樁身系數(shù)矩陣，其值為其中（3）單樁的差分方程把樁土交界面處毗連點(diǎn)的位移相容條件代入式（5.21）,便可獲得單樁的差分方程：式中—單位陣;其它符號(hào)說明同前。解方程組（式5.22），求出，即獲得樁側(cè)摩阻力和樁底阻力；再利用式（5.15）和式（5.2）分別求出樁段的位移和軸力。均質(zhì)土中不同比值情況下的樁側(cè)摩阻力的分布情況；對(duì)于K值大的不可壓縮樁，沿樁身的分布比較均勻，且與土的泊松比值關(guān)系不大。（4）彈性理論法的若干改進(jìn)計(jì)算方法改進(jìn)用方程式（5.22）求解時(shí)，樁的分段長(zhǎng)度必需相同，因?yàn)榻⑹剑?.7）時(shí)，為了簡(jiǎn)便，采用了等間距的差分形式，若采用矩陣位移法，可求解非均質(zhì)土中分段長(zhǎng)度不等情況下的樁。先按圖5.3和式（5.6）建立樁身位移方程，得改寫土的位移方程式（5.15），得式中—系數(shù)矩陣，其值為：根據(jù)變形相容條件，把上式代入式（5.23）后得：解上式求得樁段各點(diǎn)的集中摩阻力后，就不難獲得值以及位移。應(yīng)當(dāng)指出，樁頂荷載Q并不是作用在樁段結(jié)點(diǎn)1處（圖5.3），為了使式（5.25）符合實(shí)際情況，在分段時(shí)，應(yīng)盡量使長(zhǎng)度縮小。樁-土間的滑移眾所周知，樁土之間的摩阻力是有限的，當(dāng)樁上荷載足夠大時(shí)，樁土間摩阻力得到充分地發(fā)揮，以至于樁土間產(chǎn)生滑移喪失支撐能力。對(duì)此，方便的做法是先按式（5.25）計(jì)算，然后檢查所求出的各結(jié)點(diǎn)的摩阻力，是否超過某一指定的極限值；若，則在式（5.25）等式左邊的矩陣中第i行的主對(duì)角元素充以一個(gè)大數(shù)（如），而在相應(yīng)的右端項(xiàng)中第i行充以的數(shù)，再作一輪計(jì)算，直到計(jì)算得的摩阻力均小于為止。非均質(zhì)土的考慮為了把均質(zhì)土中已有的分析公式應(yīng)用到非均質(zhì)土的情況，Poulos近似地假定土體內(nèi)的應(yīng)力與原均質(zhì)體中的分布情況相同，而計(jì)算土位移時(shí)所用到土的模量與該點(diǎn)所在的位置有關(guān)。于是i點(diǎn)土的位移計(jì)算式變成樁身范圍內(nèi)土的位移方程：式中符號(hào)見式（5.15）說明。由于樁的位移方程式（5.23）保持不變，則按照位移相容條件，聯(lián)合式（5.27），（5.23）后便可求得樁身各結(jié)點(diǎn)的軸力，位移和摩阻力，Poulos曾經(jīng)對(duì)支撐在較硬土層中的樁進(jìn)行分析，結(jié)果表明：樁尖土層模量愈大，則軸力的傳遞作用就愈不明顯。對(duì)于樁尖以上若干土層的情況，Poulos建議也可取加權(quán)平均模量來代替，即式中—分別是土層i的模量和厚度—樁身長(zhǎng)度L范圍內(nèi)的土層個(gè)數(shù)。非均質(zhì)土處理的另一途徑是，先用Mindlin應(yīng)力公式積分后求得計(jì)算點(diǎn)i處的豎向應(yīng)力，然后運(yùn)用熟知的分層總和法公式計(jì)算該點(diǎn)的位移量（不考慮土的側(cè)脹）。該方法基于下述假設(shè)：1）地基土非線性性質(zhì)只對(duì)土體的位移有較大的影響，而對(duì)土中應(yīng)力，特別是對(duì)豎向應(yīng)力影響不大；2）考慮到樁基分析中，計(jì)算點(diǎn)離地面較深，而且前勘察部門一般只提供壓縮模量，很少提供土的彈性模量；3）分層總和法計(jì)算變形公式有較長(zhǎng)的使用歷史，并積累著與實(shí)測(cè)變形對(duì)比的資料。采用這一途徑進(jìn)行單樁分析，只需對(duì)前述土的位移方程式（5.24）中的豎向位移影響系數(shù)作適當(dāng)?shù)男薷模剑?.23）和式（5.25）依舊不變。有限深度的近似處理前面土的位移柔度矩中的元素（見式5.15）僅適用于無限深的土體。對(duì)于有限厚度H的土層，層內(nèi)任一點(diǎn)的豎向位移影響系數(shù)，可近似地按下式計(jì)算：式中—在無限土體介質(zhì)中，單元j上的單位摩阻力引起i點(diǎn)處的豎向位移影響系數(shù)；—在無限土體介質(zhì)中，單元j上單位摩阻力對(duì)地表下H深度處點(diǎn)的豎向位移影響系數(shù)（在點(diǎn)的正下方）。綜上可見，彈性理論法的優(yōu)點(diǎn)是考慮了實(shí)際土體的連續(xù)性。就這點(diǎn)而言，它可以考慮樁與樁之間相互影響的群樁分析，比傳遞函數(shù)法要合理些。但用彈性理論法時(shí)，計(jì)算土的豎向位移柔度矩陣較為費(fèi)時(shí)，另外，如何正確選擇土的兩個(gè)重要指標(biāo)值還有待進(jìn)一步解決。3.剪切位移法本方法是把樁身和樁尖變形分別計(jì)算。對(duì)于樁身的部分，由于樁上荷載的作用使周圍土體發(fā)生剪切變形，而剪應(yīng)力又通過樁側(cè)周圍連續(xù)環(huán)形土單位向四周傳播，如圖5.13所示。其結(jié)果在樁尖水平面處產(chǎn)生如形狀那樣的變形(見圖5.12).而柱底部分，則按一般彈性理論方法計(jì)算其變形，如形狀。然后考慮兩個(gè)變形相容條件，求解樁的軸力、位移和摩阻力等。樁上層土下層土圖5.12上層和下層土各自的變形形狀圖5.13樁身的變形模型（a）及土單元的應(yīng)力（b）(1)樁側(cè)土的位移方程受荷樁身周圍土的變形可理想地視作為同心圓柱體（圖5.13a）。這一假定的正確性已被Cooke（1974）樁的實(shí)驗(yàn)結(jié)果所證實(shí)。此后Frank（1974,1975）和Baguelin等人（1975）用有限單元分析也證實(shí)這一假定的合理性。從圓柱體內(nèi)取一微分體（圖5.13a），根據(jù)彈性理論可寫出豎向平衡微分方程式：由于樁受荷后，樁身附近處的剪應(yīng)力的增加遠(yuǎn)大于豎向應(yīng)力因而略去項(xiàng)后，方程近似的變?yōu)椋河梅蛛x變量法可求得該方程的解為：式中—分別表示樁側(cè)土表面處的剪應(yīng)力和樁的半徑。由彈性理論幾何方程，剪切變形表達(dá)式為略去軸向應(yīng)變和徑向應(yīng)變。再根據(jù)軸對(duì)稱課題的物理方程，則有：把式（5.32），（5.34）代入式（5.33），略去項(xiàng)，則得：兩邊積分后求得地表下任一深度z處的水平面上的位移：式中—分別為土的徑向和豎向位移；—樁身范圍內(nèi)的土的剪切模量；—離樁軸線的水平距離；—剪切變形可忽略的范圍（離樁軸線的水平距離），Randolph(1978)建議可取,L為樁長(zhǎng)。圖5.14某一深度處，樁側(cè)外豎向位移隨水平徑向距離的變化圖5.15計(jì)算圖式圖5.14中：或（2）樁底土的位移方程由于樁尖猶如一個(gè)剛性壓塊，Randolph(1979)建議Boussi-Nesq公式求解，即對(duì)于剛性壓塊，ω取0.79，于是式中—分別指樁底標(biāo)高以下土的泊松比和剪切模量。（3）可壓縮性樁的解析表達(dá)式由于樁身位移s和土的位移w相等，故樁身位移方程式（5.3）又可寫成式中上式為常系數(shù)齊次線性微分方程，其通解為：式中—待定常數(shù)；而樁身軸力方程式（5.12）可寫成：合并式（5.40），（5.41）得：或簡(jiǎn)寫成若討論長(zhǎng)度為l的樁段，如圖5.15所示?？煞謩e寫出該段頂部和底部處的位移和軸力方程：頂部：底部：消去：式中—變換矩陣，其值為：（均質(zhì)土情況）由式（5.43）可見，在均質(zhì)土（剪切模量不隨深度變化）情況，如果已知樁段底部（或樁段頂部）的位移和軸力，就可通過變換矩陣求得該樁段頂部（或底部）的位移和軸力。這樣，就不需要或減少對(duì)樁身的離散程度，以節(jié)省計(jì)算時(shí)間。5.2.2豎向荷載下群樁受力的性狀1.彈性理論法群樁基礎(chǔ)的計(jì)算是基于單根樁分析的基礎(chǔ)上，以彈性理論的應(yīng)力疊加原理，把在彈性介質(zhì)中二根樁的分析結(jié)果，通過引入一個(gè)“共同作用系數(shù)”，而擴(kuò)展到一組群樁中去。（1）二根樁的共同作用分析——共同作用系數(shù)現(xiàn)考慮彈性介質(zhì)中二根截面和所受荷載都相同的樁。同單根樁一樣，把樁分成若干小段，如圖5.18。按照單根樁的分析公式（5.22）或（5.25），求得單根樁上各樁段上的軸力和位移后，把單根樁樁頂位移和樁頂荷載取式中—影響系數(shù)，它與等因素有關(guān)（H為土層的厚度，其它符號(hào)同前）；—單根樁在樁頂單位荷載作用下的樁頂位移。出；或用下式表示它們之間的關(guān)系：圖.5.18兩根樁情況下彈性理論法的分析這樣，對(duì)于二根樁的情況，不難寫出：式中，—位移影響矩陣，其中元素分別表示第一根和第二根樁上第j單元上的剪應(yīng)力對(duì)第一根（或第二根）樁上第i單元的位移影響系數(shù)。上述分析結(jié)果，可方便地用一個(gè)“共同作用系數(shù)”來表示：式中s—表示兩樁的中心距離。這樣，當(dāng)由四根樁所構(gòu)成的一個(gè)方形樁群時(shí)，樁群的位移量為：式中—在每根樁上的荷載；—與間距有關(guān)的共同作用系數(shù)?！c間距

有關(guān)的共同作用系數(shù)對(duì)于由n根相同的樁的樁群，則其中任一跟樁k的沉降量為：式中—與樁k和樁j間距有關(guān)的共同作用系數(shù)，并且是對(duì)樁j的幾何尺寸而言的。對(duì)群樁中所有的樁，寫出式（5.46），便得到n個(gè)位移方程式。另有豎向荷載平衡條件，可得：式中—作用在樁群上的總荷載于是，根據(jù)樁頂上承臺(tái)板的特性（剛性的或有限剛度的），寫出樁頂平面處的變形協(xié)調(diào)條件，就可解出作用在各根樁頂上的荷載和位移。應(yīng)當(dāng)指出，對(duì)于有限可壓縮土層的情況、大直徑樁尖以及土的不同泊松比等情況，需要對(duì)值進(jìn)行修正，考慮如下:從上可見，群樁受力分析的要點(diǎn)是，先建立在樁頂處（包括土）的樁頂荷載與其位移之間的關(guān)系式；然后，根據(jù)豎向靜力平衡條件以及樁頂標(biāo)高處樁頂（包括土）位移與基礎(chǔ)板位移的協(xié)調(diào)條件，求解實(shí)際作用在樁頂上的荷載和位移值。（2）樁、筏基礎(chǔ)的共同作用分析與前面一樣，先考察帶有圓形帽板的二根樁，如圖5.28所示。帽板的直徑，并分成個(gè)圓環(huán)，圓環(huán)下的豎向壓力認(rèn)為是均勻分布。于是按圖5.28右圖和式（5.13）、（5.14），可寫出樁1上樁段處的位移計(jì)算式，即樁1樁2圖5.28樁、筏基礎(chǔ)的計(jì)算圖式式中—分別是樁1、樁2上第j單元處的剪應(yīng)力對(duì)i點(diǎn)所引起的位移；—分別是樁1、樁2底面壓力對(duì)i點(diǎn)所產(chǎn)生的位移；—分別是樁帽第k環(huán)板下壓力對(duì)i點(diǎn)所產(chǎn)生的豎向位移可用Boussinesq公式求解。為了把上述兩根樁的結(jié)果推廣到一組m根樁的情況中，這里也引用一個(gè)“共同作用系數(shù)”，其含義是：于是，利用疊加原理，可寫出第i根樁頂產(chǎn)生的沉降量：式中—分別是作用在由帽板i、j樁上的荷載；—帽板樁i、j之間的共同作用系數(shù)；—單位荷載下單根有帽板樁的變形，—單位荷載下單根無帽板樁的變形；—考慮樁帽的影響系數(shù)。式（5.52）給出樁頂荷載與位移的m個(gè)方程；對(duì)于矩形筏板，可以寫出式中—作用板面結(jié)點(diǎn)上的已知荷載；—筏板的剛度矩陣，—筏板與樁、土接觸面之間的接觸壓力;—筏板的結(jié)點(diǎn)位移整個(gè)接觸面積上n個(gè)結(jié)點(diǎn)中，有m個(gè)結(jié)點(diǎn)為樁。那么。由m個(gè)結(jié)點(diǎn)的樁、個(gè)結(jié)點(diǎn)面積上的接觸力對(duì)結(jié)點(diǎn)所產(chǎn)生變形表達(dá)式為：有樁節(jié)點(diǎn)處的m個(gè)變形表達(dá)式：無樁結(jié)點(diǎn)處的個(gè)變形表達(dá)式：式中—第j結(jié)點(diǎn)處單位均布荷載對(duì)結(jié)點(diǎn)i所產(chǎn)生變形量，用Boussinesq公式計(jì)算；—單位荷載作用下，第j根單樁對(duì)i結(jié)點(diǎn)所產(chǎn)生的變形量；其它符號(hào)同前說明。于是，按照板底接觸面上的變形條件，即把由式（5.54）和（5.55）聯(lián)合而成的n個(gè)表達(dá)式代入式（5.53）中，解出未知的接觸壓力{R}(包括樁頂作用力和土反力)。再代入式（5.53）求出板面結(jié)點(diǎn)上的位移{S}。（3）上部結(jié)構(gòu)與樁、筏基礎(chǔ)的共同作用分析設(shè)有如圖5.32所示的上部結(jié)構(gòu)，則上部結(jié)構(gòu)的位移{U}和荷載{P}的平衡方程為圖5.32在柱底處的凝聚荷載和凝聚剛度

式中—上部結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。用分塊形式把上式寫成：式中—指上部結(jié)構(gòu)與筏基接觸點(diǎn)的位移列向量。展開式（5.57）后為：展開式（5.58）移項(xiàng)后，得上式代入式（5.59），得或簡(jiǎn)寫成式中—上部結(jié)構(gòu)通過凝聚后為等效的邊界荷載列向量；—上部結(jié)構(gòu)通過凝聚后的等效的邊界剛度，即圖5.32中的。把和疊加到樁、筏基礎(chǔ)上，于是即得到上部結(jié)構(gòu)與樁筏基礎(chǔ)共同作用的方程式，即修改式（5.53）后為：把式（5.54）、（5.55）代入上式，先后求出{R}、{S}。把上部結(jié)構(gòu)與筏板面相接觸點(diǎn)的位移從中取出,代入式（5.60）就可求得整個(gè)上部結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移。2.剪切位移法（1）兩根樁的共同作用分析—?jiǎng)偠认禂?shù)值圖5.33兩根樁情況，剪切位移法的分析考慮如圖5.33所示的兩根樁情況，在某一深度z處1,2兩點(diǎn)的位移，根據(jù)圖5.14可寫成式中—在單根樁情況下，由點(diǎn)1的剪應(yīng)力而引起在該處的位移；—在兩根樁的情況下，由于點(diǎn)2處的剪應(yīng)力引起鄰近樁第1點(diǎn)處的位移量。上式可用矩陣形式表示：或由于兩根樁的尺寸、所受荷載都相同，則有如下關(guān)系：于是上式寫成：或式中s為兩樁中心距；應(yīng)當(dāng)指出，物理意義是指在兩根相同尺寸樁的情況下，樁側(cè)土的剛度；而是單根樁時(shí)樁側(cè)土的剛度。（2）群樁樁頂柔度矩陣的建立對(duì)圖5.34所示的四根樁群，由于樁側(cè)土具有剪切剛度G，樁土之間的共同作用可理想地作為一組連接樁身且與固定點(diǎn)相連的水平彈簧，而樁側(cè)土的阻力僅僅與該土阻力所作用水平標(biāo)高處的樁身位移有關(guān)。群樁樁頂柔度矩陣可按下述步驟計(jì)算：（a）按單樁的情況考慮設(shè)柱底處的軸力，則按式（5.38）可求得樁底處位移為：土層Ⅰ土層Ⅱ樁圖5.34群樁的剪切位移法的分析利用式（5.43）求出第Ⅰ樁段頂部（點(diǎn)2）的柔度。同理，再算出樁頂處的柔度。式中字母“F”記作樁頂處的柔度；圖5.34四根樁截面尺寸相同，則。（b）按兩根樁（如考慮A、B樁）的情況，則由于B樁的存在，在A樁底部所產(chǎn)生的位移為：式中s—A、B兩樁的中心距。（c）再考慮A、C樁情況，同上述步驟便可得到：樁頂?shù)娜岫染仃嘯F]：式中—樁頂位移的列向量;—樁頂荷載的列向量。5.3側(cè)向荷載作用下單樁受力分析5.3.1側(cè)向荷載下單樁受力分析單樁受力性狀主要取決于水平方向地基土作用力與其位移之間的關(guān)系。關(guān)系表達(dá)式不同，就得到不同的計(jì)算方法。1.國(guó)內(nèi)常用計(jì)算方法簡(jiǎn)介—“m”法、“c”值法樁的計(jì)算方法都基于地基梁的基本方程。地基梁的微分方程可寫成：式中—水平向地基反力系數(shù)，通過各種試驗(yàn)方法求得；—樁的直徑或?qū)挾?。目前，我?guó)采用的地基系數(shù)的幾種不同分布形式如圖5.40所示。地基系數(shù)與深度z的一般表達(dá)式為：式中、—分別為深度z和第一位移零點(diǎn)處(z=t)的地基系數(shù)；—隨土的類別而變的一個(gè)指數(shù)。圖5.40水平向地基系數(shù)隨深度的變化假定，則由此假定而進(jìn)行樁的內(nèi)力計(jì)算方法，通常稱作為“m”法；若假定隨深度呈拋物線型增加，即，則由此而得的為“C”值法。應(yīng)該指出，圖5.40中的幾種地基系數(shù)雖雖深度z變化，但與水平向x的位移大小無關(guān)，因此它們?nèi)詫儆诰€性計(jì)算范疇。微分方程式（5.72)只有在分布形式簡(jiǎn)單的情況下才有解析表達(dá)式。把一根樁分成n段（每段長(zhǎng)度不一），并在各分段結(jié)點(diǎn)上施加一個(gè)剛度為的水平彈簧，以反映周圍土的影響?，F(xiàn)以矩陣位移法（n=3）為例說明求解過程(5.42)。由于每個(gè)結(jié)點(diǎn)有二個(gè)自由度（水平位移u和轉(zhuǎn)角θ），它的矩陣方程為：式中—結(jié)點(diǎn)位移列向量—作用在節(jié)點(diǎn)上的荷載列向量—樁的總剛度矩陣（2n+2)(2n+2),是由各樁段剛度矩陣（見式（10.1）集合而成；—彈簧反力列向量，它與彈簧的水平位移有如下關(guān)系：；；；。其中（表示按“m”法計(jì)算），或（表示按“C”值法計(jì)算）。把~的關(guān)系式代入法（5.74），解出或，再利用靜力平衡條件，解得樁身內(nèi)各點(diǎn)彎矩值。圖5.42矩陣位移法的分析圖式2.p—y曲線法現(xiàn)場(chǎng)原形觀測(cè)和室內(nèi)試驗(yàn)表明，水平荷載作用下土的水平位移Matlook和Ingram（1970）通過在湖泊和海洋軟粘土所做兩根足尺樁的靜載試驗(yàn)，提出如圖5.43所示的p—y曲線，并已被美國(guó)石油協(xié)會(huì)準(zhǔn)則（API-RP2A)所采納。圖5.43軟粘土的p-y曲線土的極限阻力為：式中—侵水容重—土的不排水抗剪強(qiáng)度；—樁的直徑；—經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，J=0.5（軟粘土）。而式中—土的側(cè)向阻力（單位：力/長(zhǎng)度）；—在三軸不排水剪切試驗(yàn)中，在最大偏差應(yīng)力一半時(shí)所對(duì)應(yīng)的軸向應(yīng)變。對(duì)循環(huán)荷載，土的極限阻力取計(jì)。近年來，有些學(xué)者根據(jù)足尺樁試驗(yàn)實(shí)測(cè)到的數(shù)據(jù)反算地基土的p—y曲線；也有的把軟粘土與硬粘土的p—y曲線合并成一條能考慮樁剛度效應(yīng)的新的p—y曲線。一旦p—y曲線確定后，則用割線剛度迭代法解式（5.74）（此刻，地基系數(shù)），具體方法與式（5.6）類同。3.彈性理論法圖5.42表示一根插在彈性介質(zhì)中的樁。它被看作是寬為d、長(zhǎng)為L(zhǎng)的一根矩形豎直狹條，表示樁的抗彎剛度。在半無限彈性體內(nèi)部，由一個(gè)水平力集中力P所引起的水平位移u已被Mindlln所解得；于是，j點(diǎn)處