第6講正弦量及其表示

電工電子技術

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2137388761交流電的概念

(AlternatingCurrent,AC)大小和方向都隨時間按一定規(guī)律作周期性變化且在一個周期內平均值為零的電壓、電流稱為交流電。如正弦波、方波、三角波、鋸齒波等。Tut第3章正弦交流電路uTt2

如果在電路中電動勢的大小與方向均隨時間按正弦（或余弦）規(guī)律變化，由此產(chǎn)生的電流、電壓大小和方向也是正弦（或余弦）的，這樣的電路稱為正弦交流電路。

正弦交流電的優(yōu)越性：便于傳輸:利用變壓器可方便升壓降壓；便于運算:同頻率正弦量的加減及對時間的導數(shù)和積分仍是同頻率正弦量；有利于電器設備的運行:因為變化平穩(wěn)。等等。正弦交流電路

因此，在生產(chǎn)和生活中普遍應用正弦交流電。ωt3不同的是：直流電路在穩(wěn)定狀態(tài)下電流、電壓的大小和方向是不隨時間變化的，所以其值要么恒大于0，要么恒小于0，如圖所示。

tI,UO而正弦電壓和電流是按正弦規(guī)律周期性變化的，其波形如圖示。

tu,iO–

+uiR–

+uiR正半周負半周因此，在正半周時，其實際方向與參考方向一致，其值為正。而在負半周時，由于的參考方向與實際方向相反，所以為負值。+實際方向正弦交流電的方向與直流電路一樣，交流電路進行計算時，也要首先規(guī)定物理量的參考方向，然后才能用數(shù)學表達式來描述。43.1正弦量及其表示1.正弦量2.波形描述術語3.1.1正弦量三要素隨時間按正弦和余弦規(guī)律變化的電壓、電流和電勢統(tǒng)稱為正弦量。ImT2iO角頻率：決定正弦量變化快慢幅值：決定正弦量的大小幅值、角頻率、初相角稱為正弦量的三要素。初相角：決定正弦量起始位置幅值必須大寫,下標加m。53.頻率與周期周期T：正弦量變化一次所需的時間（s）角頻率：正弦量1秒鐘轉過的電角度（rad/s）頻率f：正弦量1秒鐘變化的次數(shù)（Hz）T*無線通信頻率：

30kHz~30GMHz*電網(wǎng)頻率：我國50Hz，美國

、日本60Hz*高頻爐頻率：200~300kHZ*中頻爐頻率：500~8000HziO正弦電路中所有物理量的角頻率相同。6

給出了觀察正弦波的起點或參考點。:4.相位與相位差

相位：初相位：

表示正弦量在t=0時的相位。

反映正弦量變化進程的電角度。iO7如：若電壓超前電流

兩同頻率的正弦量之間的初相位之差。相位差：

uiuiωtO8電流超前電壓電壓與電流同相

電流超前電壓

電壓與電流反相uiωtuiOuiωtui90°OuiωtuiOωtuiuiO9②不同頻率的正弦量比較無意義。

①兩同頻率的正弦量之間的相位差為常數(shù)，與計時的選擇起點無關。注意:tO103.1.2正弦量的有效值及應用1.周期量的有效值定義Riuut0Tu0Tt與交流熱效應相等的直流定義為交流電的有效值。則有交流直流有效值必須大寫

112.有效值的實用計算及應用設i=Imsin(t+)則由三角恒等式得同理：注意：交流電壓、電流表測量數(shù)據(jù)為有效值交流設備名牌標注的電壓、電流均為有效值12已知：頻率初相位課堂練習1問:i的幅值、頻率、初相位為多少？答：幅度，133.1.3正弦量的相量表示法正弦量的表示法：ii1i2已知：求：i解：i=i1+i2wsinA)60(80+=t1iiwsinA)30(602－t=三角函數(shù)表示波形表示相量表示i1i2O14在前面介紹了用三角函數(shù)和波形表達正弦量，但這種表示其計算非常煩瑣和麻煩。用相量表示正弦量，在正弦穩(wěn)態(tài)計算中，可以避免三角的煩瑣演算和解微分方程的麻煩，即把求解微分方程的問題轉化為求解代數(shù)方程。

相量（phasor）為什么能表示正弦量，則要從復數(shù)談起。151.相量的數(shù)學基礎（1）復數(shù)（復矢量）的表示形式

代數(shù)式I=a+jbj——虛數(shù)單位（數(shù)學中的文字符號為i）a=Re[I]，Re[]—取實算子；b=Im[I]，Im[]—取虛算子。指數(shù)式

I=│I│ej矢量圖│I│稱復數(shù)I的模；稱輻角。

16（2）旋轉因子ej90°=cos90°+jsin90°ej90°——90°的旋轉因子。（3）復數(shù)的計算四則運算：加、減運算——相量用代數(shù)式表示乘、除演算——相量用指數(shù)式表示兩復數(shù)相等的條件：對代數(shù)式：實部、虛部分別相等。對指數(shù)式：模相等，輻角相同。1jj=1×j其幾何意義為ejωt——以ω為角速度的旋轉因子。實軸=0+j172.正弦量的相量表示（1）指數(shù)與三角的關系（歐拉公式）ej=cos+jsine-j=cos-jsinej（t+）=cos(t+)+jsin(t+)在該式兩邊同乘以Um得Umej（t+）=Umcos(t+)+jUmsin(t+)Umsin(t+)Um

sin(t+)=Im[Umej（t+）]18u=Um

sin(t+)ω若:有向線段長度=ω有向線段以速度

按逆時針方向旋轉則:該旋轉有向線段每一瞬時在縱軸上的投影即表示相應時刻正弦量的瞬時值。有向線段與橫軸夾角=初相位u0xyOOUmej（t+）

193.相量符號

包含幅度與相位信息。1.描述正弦量的有向線段稱為相量(phasor)。若其幅度用最大值表示，則用符號：有效值最大值（2）正弦量的相量表示2.在實際應用中，幅度更多采用有效值，則用符號：20

落后于超前落后？解:(1)相量式(2)相量圖例:

將u1、u2

用相量表示+1+j21同頻率正弦波的相量畫在一起，構成相量圖。例：同頻率正弦波相加--平行四邊形法則22①相量是表示正弦量的復數(shù)，正弦量是時間的函數(shù)，二者之間并不相等注意:？=②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。③只有同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上。

正變換反變換23⑤相量的書寫方式

模用最大值表示，則用符號：④相量的兩種表示形式

相量圖:

把相量表示在復平面的圖形實際應用中，模多采用有效值，符號：可不畫坐標軸如：已知則或相量式:24[例

]若已知i1=I1msin(t+1)=100sin(t+45)A，

i2=I2

msin(t+2)=60

sin(t30)A，求i=i1

+

i2。[解]正弦電量(時間函數(shù))所求正弦量變換相量(復數(shù))相量結果反變換相量運算(復數(shù)運算)于是得正弦電量的運算可按下列步驟進行，首先把25？正誤判斷1.已知：？有效值？3.已知：復數(shù)瞬時值j45?？最大值？？負號2.已知：4.已知：課堂練習226例3-1:圖示電路是三相四線制電源，已知三個電源的電壓分別為：試求uAB，并畫出相量圖。NCANB+–++-+–––解:(1)用相量法計算：

27(2)相量圖由KVL定律可知28（3）正弦量微分與積分的相量同理可導出積分的相量i→I.i=Im[Iejt].29波形圖瞬時值相量圖小結：正弦量的四種表示法Ti相量303．2電路約束的相量形式元件約束（VCR）結構約束（KCL、KVL）相量形式時域形式電路約束數(shù)域？？313.2.1元件VCR的相量形式（1）相量模型要等式成立，只要相應電路模型為1.電阻元件將uR、iR代入式u=Ri得由正弦函數(shù)等于旋轉復矢量取虛部，uR、iR可表示為32（2）限流與移相特性

∴U=RI

u=iu=

itiu（3）波形圖相量圖結果表明，電阻在交流電路中只有限流作用沒有移相功能。332.電容元件（1）相量模型

==由正弦函數(shù)等于旋轉復矢量取虛部，uc、ic可表示為34所以要等式成立，只要相應電路模型為=35（2）限流與移相特性∴U=XcIu=i-90°=Xc—具有與電阻相同的作用，即限流作用，但又不是電阻，故引用容抗來描述電容的限流特性，單位為Ω。Bc—具有與電導相同的作用，即導流作用，但又不是電導，故引用容納來描述電容的導流特性，單位為S?；?6它表明電壓滯后電流90°，它揭示電容器件的移相特性。（3）波形圖及相量圖tiu

iuu-i=

-90°IU超前所以電容C具有隔直通交的作用XC直流：XC，電容C視為開路交流：f容抗XC是頻率的函數(shù)37（1）相量模型3.電感元件==由正弦函數(shù)等于旋轉復矢量取虛部，uL、iL可表示為38所以=要等式成立，只要相應電路模型為39（2）限流與移相特性∴U=XLI=XL—具有與電阻相同的作用，即限流作用，但又不是電阻，故引用感抗來描述電感的限流特性，單位為Ω。BL—具有與電導相同的作用，即導流作用，但又不是電導，故引用感納來描述電感的導流特性，單位為S。或u=i+90°40它表明電壓超前電流90°，它揭示電感的器件的移