高中數(shù)學(xué)人教A版1第二章圓錐曲線與方程橢圓 課時(shí)提升作業(yè)十一

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)十一橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2023·聊城高二檢測(cè))過(guò)橢圓x2+2y2=4的左焦點(diǎn)F作傾斜角為π3A.67 B.167 C.716 【解析】選B.橢圓的方程可化為x24+所以F(-2,0).又因?yàn)橹本€AB的斜率為3,所以直線AB的方程為y=3x+6.由y=3x+6,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-122x1·x2=87所以|AB|=(1+k2為過(guò)橢圓x2a2 【解析】選D.由AB過(guò)橢圓中心,則yA+yB=0,故S△AFB=12(yA-yB)·c=12|2yA|·c=|y3.(2023·濟(jì)寧高二檢測(cè))如果橢圓x236+y=0 +2y-4=0+3y-12=0 +2y-8=0【解析】選D.設(shè)這條弦的兩端點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),斜率為k,則x兩式相減再變形得x1+x又弦中點(diǎn)為(4,2),故k=-12故這條弦所在的直線方程為y-2=-12整理得x+2y-8=0.4.(2023·衡水高二檢測(cè))如果AB是橢圓x2a2+y2b為() 【解析】選C.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),中點(diǎn)M(x0,y0),由點(diǎn)差法,x12a2+y1(x1-所以kAB·kOM=y2-y1x2-x1【補(bǔ)償訓(xùn)練】橢圓x216+為()A.916 B.932 C.964【解析】選B.設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),則x1(x1+又因?yàn)橄抑悬c(diǎn)為M(-1,2),所以x1+x2=-2,y1+y2=4,所以-2(x1所以k=y1-y5.(2023·鄭州高二檢測(cè))在區(qū)間[1,5]和[2,4]上分別取一個(gè)數(shù),記為a,b,則方程x2a2+yA.12 B.1532 C.1732 【解析】選B.因?yàn)閤2a2+y所以a>b>0,a<2b,它對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示:則方程x2a2+y2P=S陰影S矩形=1二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2023·南昌高二檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,離心率為22.過(guò)F1的直線l交C于A,B兩點(diǎn),且△ABF2的周長(zhǎng)為16,那么橢圓C的方程為【解析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)在x軸上,可設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).因?yàn)閑=22,所以c所以橢圓方程為x216+答案:x216+7.(2023·沈陽(yáng)高二檢測(cè))橢圓x24+y23=1上有n個(gè)不同的點(diǎn)P1,P2,P3,…,Pn,橢圓的右焦點(diǎn)為F,數(shù)列{|PnF|}是公差大于【解題指南】|P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3,|PnF|=|P1F|+(n-1)d,再由數(shù)列{|PnF|}是公差大于1100【解析】|P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3,|PnF|=|P1F|+(n-1)d.若d=1100,n=201,d>1答案:2008.(2023·長(zhǎng)春高二檢測(cè))已知橢圓C:x2a2+y2b【解題指南】由余弦定理解三角形,結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)(對(duì)稱性)求出點(diǎn)A(或B)到右焦點(diǎn)的距離,進(jìn)而求得a,c.【解析】在△ABF中,由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF|cos∠ABF,又|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=45解得|AF|=6.在△ABF中,|AB|2=102=82+62=|BF|2+|AF|2,故△ABF為直角三角形.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F′,連接AF′,BF′,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,四邊形AFBF′為矩形,則其對(duì)角線|FF′|=|AB|=10,且|BF|=|AF′|=8,即焦距2c=10,又據(jù)橢圓的定義,得|AF|+|AF′|=2a,所以2a=|AF|+|AF′|=6+8=14.故離心率e=ca=2c2a答案:5三、解答題(每小題10分,共20分)9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P到兩點(diǎn)(0,-3),(0,3)的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C.(1)求C的方程.(2)設(shè)直線y=kx+1與C交于A,B兩點(diǎn),k為何值時(shí)OA→⊥【解析】(1)設(shè)P(x,y),由橢圓的定義知,點(diǎn)P的軌跡C是以(0,-3),(0,3)為焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2的橢圓,它的短半軸長(zhǎng)b=22-(3)2(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),其坐標(biāo)滿足y消去y,并整理,得(k2+4)x2+2kx-3=0.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-2kk2+4,x1x若OA→⊥OB→,則x1x2+y因?yàn)閥1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,所以x1x2+y1y2=-3k2+4-3k2所以k=±12當(dāng)k=±12時(shí),x1+x2=?417,x1x2=-所以|AB|=(=(1+而(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=42172+4×所以|AB|=54×410.(2023·煙臺(tái)高二檢測(cè))設(shè)橢圓x2a2+y2b(1)求橢圓的方程.(2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點(diǎn).若AC→·DB→+【解析】(1)設(shè)F(-c,0),由ca=33,知a=過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為x=-c,代入橢圓方程有(-c)2a2+y2b2又a2-c2=b2,從而a=3,c=1,所以橢圓方程為x23+(2)設(shè)點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直線CD的方程為y=k(x+1),由方程組y=k(x+1),x23+y22=1,所以x1+x2=-6k22+3k2,x1因?yàn)锳(-3,0),B(3,0),所以AC→·DB→+AD→·CB→=(x1+3,y1)·(3-x2,-y2)+(x2+3,y=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+2k由已知得6+2k2+12一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2023·濟(jì)南高二檢測(cè))若直線ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒(méi)有公共點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)(a,b)的直線與橢圓x29+ D.需根據(jù)a,b的取值來(lái)確定【解題指南】根據(jù)直線ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒(méi)有公共點(diǎn),可推斷點(diǎn)(a,b)是以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn),根據(jù)圓的方程和橢圓方程可知圓x2+y2=4內(nèi)切于橢圓,進(jìn)而可知點(diǎn)P是橢圓內(nèi)的點(diǎn),進(jìn)而判斷可得答案.【解析】選C.因?yàn)橹本€ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒(méi)有公共點(diǎn),所以原點(diǎn)到直線ax+by+4=0的距離d=4a2+b2因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)半軸為3,短半軸為2,所以圓x2+y2=4內(nèi)切于橢圓,所以點(diǎn)P是橢圓內(nèi)的點(diǎn),所以過(guò)點(diǎn)P(a,b)的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)數(shù)為2.2.橢圓ax2+by2=1與直線y=1-x交于A,B兩點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為32,則aA.32 B.22 C.32 【解析】選A.把y=1-x代入橢圓ax2+by2=1,得ax2+b(1-x)2=1,整理得(a+b)x2-2bx+b-1=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2ba+b,y1+y2=2-所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為ba+b所以過(guò)原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率k=aa+bba+b=ab=32二、填空題(每小題5分,共10分)3.(2023·石家莊高二檢測(cè))過(guò)橢圓x25+y2【解析】右焦點(diǎn)為(1,0),故直線為y=2(x-1).由4x2+5所以x=0或x=53從而A(0,-2),B53所以|AB|=259+1009=又O到AB的距離d=25=2所以S△AOB=12·|AB|·d=12×553×答案:54.(2023·青島高二檢測(cè))已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F2(c,0),若橢圓上存在點(diǎn)P使【解析】由正弦定理及asin∠PF1ca=sin∠PF在△PF1F2中,設(shè)|PF2|=x,則|PF1|=2a-x.則上式為ca=2a-xx,即cx+ax=2a2又a-c<x<a+c,所以a-c<2a由a-c<2a2a+c,得a2由2a2a+c<a+c,得a2c2+2ac-a2>0,即e2+2e-1>0,解得e>-1+2或e<-1-2(舍).又0<e<1,所以e的取值范圍為(2-1,1).答案:(2-1,1)三、解答題(每小題10分,共20分)5.(2023·北京高二檢測(cè))已知橢圓G:x24+y2=1,過(guò)點(diǎn)(m,0)作圓x2+y2=1的切線(1)求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率.(2)將|AB|表示為m的函數(shù),并求|AB|的最大值.【解析】(1)由已知得a=2,b=1,所以c=a2-b所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),(3,0),離心率為e=ca=3(2)由題意知,|m|≥1.當(dāng)m=1時(shí),切線l的方程為x=1,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1,32),(1,-32),此時(shí)|AB|=當(dāng)m=-1時(shí),同理可得|AB|=3.當(dāng)|m|>1時(shí),設(shè)切線l的方程為y=k(x-m).由y=k(x-m),x24+y2=1得(1+4k2)x設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1+x2=8k2m1+4k2,x由l與圓x2+y2=1相切,得|km|即m2k2=k2+1.所以|AB|=(=(=(=43當(dāng)m=±1時(shí),|AB|=3,所以|AB|=43因?yàn)閨AB|=43|m|m2+3所以|AB|的最大值為2.6.(2023·四川高考)已知橢圓E:x2a2+y(1)求橢圓E的方程.(2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O且斜率為12的直線l【解題指南】(1)利用點(diǎn)在橢圓上,列出方程,解出b的值,從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)利用橢圓的幾何性質(zhì),數(shù)形結(jié)合,利用根與系數(shù)的關(guān)系,進(jìn)行計(jì)算.【解析】