常微分方程初值問題的數(shù)值解法

常微分方程初值問題的數(shù)值解法第一頁，共六十二頁，2022年，8月28日實際問題中遇到的微分方程通常很復(fù)雜，多數(shù)情況下無法求出解的解析表達(dá)式，即使求出解，也常常由于計算量太大而不實用。然而實際問題本身又往往只要求給出其解在一系列點上的近似值，這就要依靠數(shù)值解法。其中稱為李氏常數(shù)。從而保證上面的初值問題的解存在并且唯一。所謂數(shù)值解法，就是對于解存在的區(qū)間上一系列的點，不妨假定第二頁，共六十二頁，2022年，8月28日上面給定的初值問題的數(shù)值解法有個基本特點，稱作“步進(jìn)式”，即求解的過程是按照節(jié)點的排列次序一步步地向前推進(jìn)。描述這類算法，只須在已知的前提下給出計算的遞推公式。逐個求出的近似值。稱為給定的微分方程初值問題的數(shù)值解。相鄰兩個節(jié)點的間距稱為步長。一般我們總假定，即節(jié)點間是等距的。第三頁，共六十二頁，2022年，8月28日其中為的已知函數(shù)，是給定的常數(shù)，求(1.1)、(1.2)的數(shù)值解。一、方法（一）、方法給定初值問題(1.1)(1.2)方法是解初值問題（1.1）、(1.2)最簡單的數(shù)值解法。由于它的精確度不高，實際計算中已不被采用，然而它在某種程度上卻反映了數(shù)值解法的基本思想。第四頁，共六十二頁，2022年，8月28日這種方法是借助于幾何直觀得到的。由于表示解的曲線通過點，并且在該點處以為切線斜率，于是設(shè)想在附近，曲線可以用該點處的切線近似代替，切線方程為第五頁，共六十二頁，2022年，8月28日圖6.1第六頁，共六十二頁，2022年，8月28日也就是說，時，可用近似代替，記這個值為，即于是給出了一種當(dāng)時，獲得函數(shù)值的近似值的方法。重復(fù)上面的作法，在處，就可以得到的近似值第七頁，共六十二頁，2022年，8月28日依此下去，當(dāng)已經(jīng)得到，則這就是著名的方法的計算格式。

由于方法是用一條折線近似地代替曲線，所以方法也叫折線法。一種計算格式，當(dāng)在計算時，僅僅用到它前一步的信息，稱它為單步法?？梢姺椒ň褪菃尾椒ā５诎隧?，共六十二頁，2022年，8月28日將方程(1.1)在區(qū)間上求積分，便得到(1.4)式中右端的積分，可以用數(shù)值積分法計算它的近似值。例如，使用左矩形公式則有（二）改進(jìn)的方法(1.4)上式右端就是用方法得到的，即第九頁，共六十二頁，2022年，8月28日一般地有這就是公式(1.3)。由此可見，方法也可以看成用矩形公式近似計算某個相應(yīng)的定積分而得到的。因此可以說，方法之所以精確度不高，正是由于它在計算定積分時，采用矩形公式的緣故。倘若使用較為精確的梯形公式來計算(1.4)式中右端的積分，即第十頁，共六十二頁，2022年，8月28日將它代入(1.4)式的右端，便得到的近似值，用同樣的方法可以得到。一般地有，(1.5)第十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日這就是改進(jìn)的Euler方法的計算格式。值得注意的是，Euler方法與改進(jìn)的Euler方法在計算上有一個明顯的區(qū)別，Euler方法中是由已知的或已經(jīng)算出的量來表達(dá)的，得到它不需要解方程，這類方法通常稱為顯示方法；而在改進(jìn)的Euler方法中，未知數(shù)也隱含在方程右端之中，對于每一個的值都需要通過解方程才能得到，這類方法通常稱為隱式格式。在多數(shù)情況下，要從隱式格式(1.5)中解出是很困難的。因此，通常采用如下的迭代方法來求解。即先用Euler方法算出一個結(jié)果，作為(1.5)式的初值，進(jìn)行迭代，其計算格式為第十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日(1.6)由可知，當(dāng)時，迭代格式收斂。也就是說，只要取得充分小，就可能保證迭代序列第十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日收斂，而且越小，收斂得越快。容易看出，改進(jìn)的方法雖然提高了精度，然而每一步的計算量卻增加很大，每迭代一次，都要重新計算函數(shù)值，而且迭代需要反復(fù)進(jìn)行若干次。為了簡化算法，通常只迭代一次。具體地講，先用方法求得一個初步的近似值，稱為預(yù)估值，再將它代入(1.5)式中作一次校正，這樣處理后，計算格式為(1.7)第十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日稱它為預(yù)估校正格式?？捎闷渲械牡谝皇剿愠鲆粋€預(yù)估值，再代入第二式做校正。例1用方法和預(yù)估校正法求解初值問題取步長。解分別使用格式與預(yù)估校正格式計算，格式的具體形式為第十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日計算結(jié)果見下表。預(yù)估校正格式格式第十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日1.73211.73791.78481.01.41421.41641.43510.51.67331.67821.71780.91.34161.34341.35820.41.61251.61531.64980.81.26491.26621.27740.31.54921.55251.58030.71.18321.18411.19180.21.48321.48601.50900.61.09541.09591.10000.1準(zhǔn)確解預(yù)校方法方法準(zhǔn)確解預(yù)校方法方法上面給出的初值問題有解析解，按該式算出的準(zhǔn)確值與近似值一起列在上表中，通過比較可以看出方法的精度是較低的。第十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日二、展開法與截斷誤差利用展開法可以得到初值問題的任意高精度的計算格式。設(shè)初值問題有解，且，足夠光滑，則在點處的展開式為展開法（一）第十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日其中值問題中的函由于足夠光滑，則當(dāng)時，，式中的各階導(dǎo)數(shù)可由初數(shù)來表達(dá)，即第十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日我們在式右端截取項，即舍去余項，則算得的近似值，即此式稱為階的公式。第二十頁，共六十二頁，2022年，8月28日（二）局部截斷誤差及其“階”這個截斷誤差被稱為是階的，即當(dāng)時，是關(guān)于的階無窮小量。在考察計算公式的精度時，我們常常假定第步的結(jié)果是精確的，即，在這一前提下，來估計第步計算結(jié)果的誤差，即，這一誤差稱為局部截斷誤差。例如，階的公式的第步的局部截斷誤差為第二十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日定義1如果一種方法的局部截斷誤差是階的，則稱該方法是階的。由定義1，階公式是階方法，當(dāng)時，式變?yōu)檫@正是格式，故知格式是一階方法，其局部截斷誤差為，即為二階的。第二十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日例2證明改進(jìn)的格式是2階方法。對于方法的“階”和局部截斷誤差的“階”,我們可以這樣來理解：如果式的局部截斷誤差是階的，這說明公式的前步的計算結(jié)果都是精確的，即式右端關(guān)于次的多項式與左端的在處的級數(shù)的次數(shù)不超過的項，完全重合，而兩端超過次的項不重合。因此，我們稱此方法為階的。第二十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日將左端的與右端的在處作展開，有證明設(shè)是初值問題、的精確解，即有，由改進(jìn)的格式有第二十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日將它們代入式，并將右端稍加整理，有可見，該式兩端的前三項，即的次數(shù)不超過的項完全重合，而從的次方的項開始就不重合了。于是，由定義可知，改進(jìn)的格式是階方法，而其局部截斷誤差是階的。第二十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日解直接求導(dǎo)數(shù)，有例用展開法求解例中的初值問題。第二十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日1.26941.26490.31.18321.18320.21.09541.09540.1用階公式，取步長，部分計算結(jié)果列于表中。表中表示準(zhǔn)確值，與比較，可見用階公式得到的數(shù)值解是令人非常滿意的。第二十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日三、方法方法（簡稱方法）是一種構(gòu)造高精度計算公式的方法。前面我們看到，用展開法確實可以得到高精度的計算公式。然而，方法每提高一階，都要增加很大的計算導(dǎo)數(shù)的工作量，而方法，避開了導(dǎo)數(shù)的計算，采用了另外一種構(gòu)造格式的途徑。第二十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日首先，從微分中值定理及方程得。這里稱為方程的積分曲線在區(qū)間上的平均斜率。由此可見，只要對此平均斜率提供一種算法，就可以得到一個相應(yīng)的計算公式。下面，我們來觀察格式和改進(jìn)的格式，將它們分別寫成方法的基本思想(一)第二十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日前一式是用點處的斜率的平均值來代替平均斜率的，后一式是用兩點上的斜率的平均值來代替平均斜率的。我們已經(jīng)知道格式是1階方法，而改進(jìn)的格式是2階方法。由此看來，如果在區(qū)間內(nèi)多預(yù)報幾個點的斜率值，然后將它們加權(quán)平均，以代替上述的平均斜率，就可以構(gòu)造出更高階的計算公式來。因此，方法的關(guān)鍵就在于選擇哪些點上的斜率值，以及如何構(gòu)造它們的線性組合。第三十頁，共六十二頁，2022年，8月28日與格式與改進(jìn)的格式可以改寫成下面的形式級公式（二）第三十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日舍去誤差項，便得到顯然，若在區(qū)間內(nèi)取個不同的點，記積分曲線在這個點上的斜率分別為，于是我們可以設(shè)第三十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日這就是所謂的級階的公式。其中都是待定系數(shù)，并且有待定系數(shù)可用比較系數(shù)的方法求得。即將中的和各都在處展成級數(shù)，然后令兩端關(guān)于別的不超過次的同次項的系數(shù)相等，便可求得這些待定系數(shù)。下面以為例，說明待定系數(shù)的求法。當(dāng)時，由式有第三十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日將式中的與、分別在處作展開，有第三十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日稱為修正的梯形公式。注意，這里用到了二元展開式。將上面的三個展開式代入中，并令兩端的次數(shù)不超過的項的系數(shù)相等，于是得到若取，則可算得，這時，由式得第三十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日稱為修正的矩形公式。以上兩個公式，都是在及的前提之下構(gòu)造出來的。因此，它們都是級階的公式。若取，則可算得，由式得第三十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日注意，在上面求待定系數(shù)的方程組中，有一個自由參數(shù)，故級階的公式有無窮多個。但是，在這些級公式中，不可能存在高于階的方法。下面，我們給出級公式可以達(dá)到的最高階數(shù)：第三十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)級階公式依照級階公式的構(gòu)造過程，我們可以得到更高級高階的公式，其中最常用的就是標(biāo)準(zhǔn)的級階公式，其形式為：例用標(biāo)準(zhǔn)級階公式求解例中給出的初值問題，取。（三）第三十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日解計算公式如下：第三十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日1.7320511.7321401.7378691.051.6124521.6125131.6164740.841.4832401.4832811.4859650.631.341641.3416671.3433600.421.1832161.1832921.1840960.2111100(精確值)(4階R-K方法)(2階R-K方法)將計算結(jié)果列于表。第四十頁，共六十二頁，2022年，8月28日將表與表的結(jié)果相比較，盡管這里步長放大了，但計算的精度卻很高，從而出可以看出選擇方法的重要意義。第四十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日四、線性多步法

前面介紹的幾種方法都是單步法，即在計算時，僅用到它前面一步得到信息。設(shè)想，當(dāng)通過單步法已經(jīng)算出，如何充分地利用這些信息，在計算時獲得較高精度，這就是多步法的基本思想。

假定仍討論本章開始給出的一階微分方程的初值問題第四十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日與其等價的積分方程是前面我們曾使用梯公式，計算式右端的積分，而得到了改進(jìn)的方法。其實，這也可以理解為是用插值點和的線性插值函數(shù)代替函數(shù)而得到的。由于通常插多項式的次數(shù)越高越精確，所以使我們試圖用高次插值多項式代替，來得到高精度的計算方法。

第四十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日今取和為插值節(jié)點，這時的插值多項式為

第四十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日用代替，便得到的近似值，即

令，并注意到則得

第四十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日第四十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日上式中右端的用代替，就有顯然，這是一個隱式方法，稱式為內(nèi)插公式。第四十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日上面之所以得到的是隱式方法，其原因在于選用了作為插值節(jié)點。例如我們?nèi)『妥鳛椴逯倒?jié)點。這時的插值多項式成為第四十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日用上式代替式右端積分中的，也將得到的近似值，與推導(dǎo)隱式方法的過程類似，可得到如下的顯式公式：我們稱式為外插公式。在討論它們的截斷誤差時，不僅要假定，還要假定‘和，容易證明它們的截斷誤差均為。第四十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日可以單獨使用外插公式，用它每計算一個的值，只需要計算一次的值，計算量小于方法，而它們的截斷誤差為同階。但該方法的明顯不足是開始的幾個值和不能用它算，必須采用其它方法。通常把上面給出的兩個公式聯(lián)合使用，即用外插