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第二章單度線性系統(tǒng)自由振動§2-1無阻尼自由振動1力學(xué)與數(shù)學(xué)模型kmx(t)1力學(xué)與數(shù)學(xué)模型復(fù)擺1力學(xué)與數(shù)學(xué)模型EI從《材料力學(xué)》知,簡支梁跨中受到力P作用時,跨中撓度為:1力學(xué)與數(shù)學(xué)模型T質(zhì)量m:滑輪:廣義數(shù)學(xué)模型為:式中:M──廣義質(zhì)量K──廣義剛度X──廣義位移2微分方程的解──以廣義數(shù)學(xué)模型說明或稱為固有頻率或圓頻率積分常數(shù)C和α由初始條件確定:3自由振動的特征量(1)固有頻率ωn,周頻率f,周期T(2)振幅(3)周期性:x(t+T)=x(t)(4)
初相位α其中固有頻率ωn的求解最重要4求固有頻率ωn的幾種常用方法(1)建立運動微分方程(2)利用串并聯(lián)關(guān)系求合成剛度(a)并聯(lián)(b)串聯(lián)(c)并聯(lián)并聯(lián):位移相等串聯(lián):力相等X1與X2為彈簧變形4求固有頻率ωn的幾種常用方法(3)對于垂直振動系統(tǒng),有(4)能量法其中(1)與(4)用得最多(5)能量折算法求彈簧等效質(zhì)量例已知:m,R和k,純滾動。求:固有頻率ωn解:動能定理兩邊求導(dǎo):例已知:均質(zhì)滑輪,M,m,r和k,繩索不可伸長,且與滑輪間無相對滑動。求系統(tǒng)固有頻率ωn解:系統(tǒng)動能:
系統(tǒng)勢能:
由
例已知:無重直角曲桿,m,k1,k2,a,b。求ωnO《直角曲桿》解:《物塊m》O例已知:無重直角曲桿,m,k1,k2,a,b。求ωnO《直角曲桿》解:《物塊m》實際系統(tǒng),振動不會永遠(yuǎn)下去,振幅會逐漸衰減,直至振動停止,表明有阻力,設(shè)阻力與速度的一次方成正比,即§2-2有阻尼自由振動1阻尼mC為阻尼系數(shù),力學(xué)模型如圖。2
運動微分方程及其解(1)
大阻尼及臨界阻尼情況2
幾種情況這時系統(tǒng)不發(fā)生振動,這里不作討論。2
幾種情況C、D或A、α由初始條件確定。(2)
小阻尼情況即衰減振動周期Td大于無阻尼時的振動周期Tn。表明有阻尼時頻率下降。一般,由于ζ<<1,故有阻尼對系統(tǒng)的周期和固有頻率影響不大,但對振幅的影響卻很大。如:ζ=0.02時
即頻率下降了0.02%,而振幅一個周期后下降了12%,10個周期后則下降到原來的28.45%。
當(dāng)ζ=0.05時,頻率僅下降0.
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