高中數學人教A版第三章概率單元測試 全國一等獎

章末綜合測評(三)概率(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．下列事件中，隨機事件的個數為()①在學校明年召開的田徑運動會上，學生張濤獲得100米短跑冠軍；②在體育課上，體育老師隨機抽取一名學生去拿體育器材，抽到李凱；③從標有1,2,3,4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡垼?號簽；④在標準大氣壓下，水在4℃時結冰．A．1 B．2C．3 D．4【解析】①在明年運動會上，可能獲冠軍，也可能不獲冠軍．②李凱不一定被抽到．③任取一張不一定為1號簽．④在標準大氣壓下水在4℃時不可能結冰，故①②③是隨機事件，④是不可能事件．【答案】C2．下列說法正確的是()A．甲、乙二人比賽，甲勝的概率為eq\f(3,5)，則比賽5場，甲勝3場B．某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%，前9個病人沒有治愈，則第10個病人一定治愈C．隨機試驗的頻率與概率相等D．天氣預報中，預報明天降水概率為90%，是指降水的可能性是90%【解析】概率只是說明事件發(fā)生的可能性大小，其發(fā)生具有隨機性．故選D.【答案】D3．給甲、乙、丙三人打電話，若打電話的順序是任意的，則第一個打電話給甲的概率是()\f(1,6) \f(1,3)\f(1,2) \f(2,3)【解析】給三人打電話的不同順序有6種可能，其中第一個給甲打電話的可能有2種，故所求概率為P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故選B.【答案】B4．在區(qū)間[－2,1]上隨機取一個數x，則x∈[0,1]的概率為()\f(1,3) \f(1,4)\f(1,2) \f(2,3)【解析】由幾何概型的概率計算公式可知x∈[0,1]的概率P＝eq\f(1－0,1－－2)＝eq\f(1,3).故選A.【答案】A5．1升水中有1只微生物，任取0.1升化驗，則有微生物的概率為()A． B．C． D．【解析】本題考查的是體積型幾何概型．【答案】A6．從1,2，…，9中任取兩數，其中：①恰有一個偶數和恰有一個奇數；②至少有一個奇數和兩個數都是奇數；③至少有一個奇數和兩個數都是偶數；④至少有一個奇數和至少有一個偶數．在上述事件中，是對立事件的是()A．① B．②④C．③ D．①③【解析】①中兩事件是同一事件；②中兩事件可能同時發(fā)生；③中兩事件互斥，并且一定有一個事件發(fā)生，因此是對立事件；④中兩事件可能同時發(fā)生．故選C.【答案】C7．某人從甲地去乙地共走了500m，途中要過一條寬為xm的河流，他不小心把一件物品丟在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，則能找到，已知該物品能找到的概率為eq\f(4,5)，則河寬為()A．100m B．80mC．50m D．40m【解析】設河寬為xm，則1－eq\f(x,500)＝eq\f(4,5)，所以x＝100.【答案】A8．從一批羽毛球中任取一個，如果其質量小于4.8g的概率是，質量不小于4.85g的概率是，那么質量在[,范圍內的概率是()A． B．C． D．【解析】記“取到質量小于g”為事件A，“取到質量不小于g”為事件B，“取到質量在[,范圍內”為事件C.易知事件A，B，C互斥，且A∪B∪C為必然事件．所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋P(C)＝1，即P(C)＝1－－＝.【答案】B9．如圖1，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點，若在矩形ABCD內部隨機取一個點Q，則點Q取自△ABE內部的概率等于()圖1\f(1,4) \f(1,3)\f(1,2) \f(2,3)【解析】點E為邊CD的中點，故所求的概率P＝eq\f(△ABE的面積,矩形ABCD的面積)＝eq\f(1,2).【答案】C10．將區(qū)間[0,1]內的均勻隨機數x1轉化為區(qū)間[－2,2]內的均勻隨機數x，需要實施的變換為()A．x＝x1*2 ＝x1*4＝x1*2-2 ＝x1*4-2【解析】由題意可知x＝x1*(2+2)-2=4x1－2【答案】D11．先后拋擲兩顆骰子，設出現的點數之和是12,11,10的概率依次是P1，P2，P3，則()A．P1＝P2＜P3 B．P1＜P2＜P3C．P1＜P2＝P3 D．P3＝P2＜P1【解析】先后拋擲兩顆骰子的點數共有36個基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，并且每個基本事件都是等可能發(fā)生的．而點數之和為12的只有1個：(6,6)；點數之和為11的有2個：(5,6)，(6,5)；點數之和為10的有3個：(4,6)，(5,5)，(6,4)，故P1＜P2＜P3.【答案】B12．在5件產品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，則下列選項中以eq\f(7,10)為概率的事件是()A．恰有1件一等品 B．至少有一件一等品C．至多有一件一等品 D．都不是一等品【解析】將3件一等品編號為1,2,3,2件二等品編號為4,5，從中任取2件有10種取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率為P1＝eq\f(6,10)，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率為P2＝eq\f(3,10)，其對立事件是“至多有一件一等品”，概率為P3＝1－P2＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).【答案】C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)．13．一個袋子中有5個紅球，3個白球，4個綠球，8個黑球，如果隨機地摸出一個球，記A＝{摸出黑球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出綠球}，D＝{摸出紅球}，則P(A)＝________；P(B)＝________；P(C∪D)＝________.【解析】由古典概型的算法可得P(A)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,20)，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(4,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(9,20).【答案】eq\f(2,5)eq\f(3,20)eq\f(9,20)14．在區(qū)間(0,1)內任取一個數a，能使方程x2＋2ax＋eq\f(1,2)＝0有兩個相異實根的概率為________．【解析】方程有兩個相異實根的條件是Δ＝(2a)2－4×1×eq\f(1,2)＝4a2－2>0，解得|a|>eq\f(\r(2),2)，又a∈(0,1)，所以eq\f(\r(2),2)<a<1，區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))的長度為1－eq\f(\r(2),2)，而區(qū)間(0,1)的長度為1，所以方程有兩個相異實根的概率為eq\f(1－\f(\r(2),2),1)＝eq\f(2－\r(2),2).【答案】eq\f(2－\r(2),2)15．甲、乙兩組各有三名同學，他們在一次測驗中的成績的莖葉圖如圖2所示，如果分別從甲、乙兩組中各隨機選取一名同學，則這兩名同學的成績相同的概率是________.圖2【解析】由題意可知從甲、乙兩組中各隨機選取一名同學，共有9種選法，其中這兩名同學的成績相同的選法只有1種，故所求概率P＝eq\f(1,9).【答案】eq\f(1,9)16．甲乙兩人玩猜數字游戲，先由甲心中任想一個數字記為a，再由乙猜甲剛才想的數字，把乙猜的數字記為b，且a，b∈{0,1,2，…，9}．若|a－b|≤1，則稱甲乙“心有靈犀”．現任意找兩人玩這個游戲，則二人“心有靈犀”的概率為________．【解析】此題可化為任意從0～9中取兩數(可重復)共有10×10＝100種取法．若|a－b|≤1分兩類，當甲取0或9時，乙只能猜0、1或8、9共4種，當甲取2～8中的任一數字時，分別有3種選擇，共3×8＝24種，所以P＝eq\f(24＋4,10×10)＝eq\f(7,25).【答案】eq\f(7,25)三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進行統計，結果如下：日期12345678910天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴日期11121314151617181920天氣陰晴晴晴晴晴陰雨陰陰日期21222324252627282930天氣晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估計西安市在該天不下雨的概率；(2)西安市某學校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)2天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率．【解】(1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數是26，以頻率估計概率，4月份任選一天，西安市不下雨的概率為eq\f(26,30)＝eq\f(13,15).(2)稱相鄰的兩個日期為“互鄰日期對”(如，1日與2日，2日與3日等)．這樣，在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個，其中后一天不下雨的有14個，所以晴天的次日不下雨的頻率為eq\f(7,8).以頻率估計概率，運動會期間不下雨的概率為eq\f(7,8).18．(本小題滿分12分)對某班一次測驗成績進行統計，如下表所示：分數段[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]概率(1)求該班成績在[80,100]內的概率；(2)求該班成績在[60,100]內的概率．【解】記該班的測試成績在[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]內依次為事件A，B，C，D，由題意知事件A，B，C，D是彼此互斥的．(1)該班成績在[80,100]內的概率是P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.(2)該班成績在[60,100]內的概率是P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝＋＋＋＝.19．(本小題滿分12分)小王、小李兩位同學玩擲骰子(骰子質地均勻)游戲，規(guī)則：小王先擲一枚骰子，向上的點數記為x；小李后擲一枚骰子，向上的點數記為y.(1)在直角坐標系xOy中，以(x，y)為坐標的點共有幾個？(2)規(guī)定：若x＋y≥10，則小王贏；若x＋y≤4，則小李贏，其他情況不分輸贏．試問這個游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由.【解】(1)由于x，y取值為1,2,3,4,5,6，則以(x，y)為坐標的點有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36個，即以(x，y)為坐標的點共有36個．(2)滿足x＋y≥10的點有：(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6個，所以小王贏的概率是eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，滿足x＋y≤4的點有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6個，所以小李贏的概率是eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，則小王贏的概率等于小李贏的概率，所以這個游戲規(guī)則公平．20．(本小題滿分12分)某校夏令營有3名男同學A，B，C和3名女同學X，Y，Z，其年級情況如下表：一年級二年級三年級男同學ABC女同學XYZ現從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同)．(1)用表中字母列舉出所有可能的結果；(2)設M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學”，求事件M發(fā)生的概率．【解】(1)從6名同學中隨機選出2人參加知識競賽的所有可能結果為{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15種．(2)選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學的所有可能結果為{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6種．因此，事件M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).21．(本小題滿分12分)一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數字1,2,3，這三張卡片除標記的數字外完全相同．隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數字依次記為a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的數字滿足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的數字a，b，c不完全相同”的概率．【解】(1)由題意知，(a，b，c)所有的可能為(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種．設“抽取的卡片上的數字滿足a＋b＝c”為事件A，則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種．所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).因此，“抽取的卡片上的數字滿足a＋b＝c”的概率為eq\f(1,9).(2)設“抽取的卡片上的數字a，b，c不完全相同”為事件B，則事件eq\x\to(B)包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種．所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9).因此，“抽取的卡片上的