高中數(shù)學(xué)人教A版第三章概率單元測(cè)試 全國一等獎(jiǎng)

章末綜合測(cè)評(píng)(三)概率(時(shí)間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為()①在學(xué)校明年召開的田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，學(xué)生張濤獲得100米短跑冠軍；②在體育課上，體育老師隨機(jī)抽取一名學(xué)生去拿體育器材，抽到李凱；③從標(biāo)有1,2,3,4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，恰?號(hào)簽；④在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時(shí)結(jié)冰．A．1 B．2C．3 D．4【解析】①在明年運(yùn)動(dòng)會(huì)上，可能獲冠軍，也可能不獲冠軍．②李凱不一定被抽到．③任取一張不一定為1號(hào)簽．④在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下水在4℃時(shí)不可能結(jié)冰，故①②③是隨機(jī)事件，④是不可能事件．【答案】C2．下列說法正確的是()A．甲、乙二人比賽，甲勝的概率為eq\f(3,5)，則比賽5場(chǎng)，甲勝3場(chǎng)B．某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%，前9個(gè)病人沒有治愈，則第10個(gè)病人一定治愈C．隨機(jī)試驗(yàn)的頻率與概率相等D．天氣預(yù)報(bào)中，預(yù)報(bào)明天降水概率為90%，是指降水的可能性是90%【解析】概率只是說明事件發(fā)生的可能性大小，其發(fā)生具有隨機(jī)性．故選D.【答案】D3．給甲、乙、丙三人打電話，若打電話的順序是任意的，則第一個(gè)打電話給甲的概率是()\f(1,6) \f(1,3)\f(1,2) \f(2,3)【解析】給三人打電話的不同順序有6種可能，其中第一個(gè)給甲打電話的可能有2種，故所求概率為P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故選B.【答案】B4．在區(qū)間[－2,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈[0,1]的概率為()\f(1,3) \f(1,4)\f(1,2) \f(2,3)【解析】由幾何概型的概率計(jì)算公式可知x∈[0,1]的概率P＝eq\f(1－0,1－－2)＝eq\f(1,3).故選A.【答案】A5．1升水中有1只微生物，任取0.1升化驗(yàn)，則有微生物的概率為()A． B．C． D．【解析】本題考查的是體積型幾何概型．【答案】A6．從1,2，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)；②至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)．在上述事件中，是對(duì)立事件的是()A．① B．②④C．③ D．①③【解析】①中兩事件是同一事件；②中兩事件可能同時(shí)發(fā)生；③中兩事件互斥，并且一定有一個(gè)事件發(fā)生，因此是對(duì)立事件；④中兩事件可能同時(shí)發(fā)生．故選C.【答案】C7．某人從甲地去乙地共走了500m，途中要過一條寬為xm的河流，他不小心把一件物品丟在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，則能找到，已知該物品能找到的概率為eq\f(4,5)，則河寬為()A．100m B．80mC．50m D．40m【解析】設(shè)河寬為xm，則1－eq\f(x,500)＝eq\f(4,5)，所以x＝100.【答案】A8．從一批羽毛球中任取一個(gè)，如果其質(zhì)量小于4.8g的概率是，質(zhì)量不小于4.85g的概率是，那么質(zhì)量在[,范圍內(nèi)的概率是()A． B．C． D．【解析】記“取到質(zhì)量小于g”為事件A，“取到質(zhì)量不小于g”為事件B，“取到質(zhì)量在[,范圍內(nèi)”為事件C.易知事件A，B，C互斥，且A∪B∪C為必然事件．所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋P(C)＝1，即P(C)＝1－－＝.【答案】B9．如圖1，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于()圖1\f(1,4) \f(1,3)\f(1,2) \f(2,3)【解析】點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，故所求的概率P＝eq\f(△ABE的面積,矩形ABCD的面積)＝eq\f(1,2).【答案】C10．將區(qū)間[0,1]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)x1轉(zhuǎn)化為區(qū)間[－2,2]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)x，需要實(shí)施的變換為()A．x＝x1*2 ＝x1*4＝x1*2-2 ＝x1*4-2【解析】由題意可知x＝x1*(2+2)-2=4x1－2【答案】D11．先后拋擲兩顆骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和是12,11,10的概率依次是P1，P2，P3，則()A．P1＝P2＜P3 B．P1＜P2＜P3C．P1＜P2＝P3 D．P3＝P2＜P1【解析】先后拋擲兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)共有36個(gè)基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，并且每個(gè)基本事件都是等可能發(fā)生的．而點(diǎn)數(shù)之和為12的只有1個(gè)：(6,6)；點(diǎn)數(shù)之和為11的有2個(gè)：(5,6)，(6,5)；點(diǎn)數(shù)之和為10的有3個(gè)：(4,6)，(5,5)，(6,4)，故P1＜P2＜P3.【答案】B12．在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，則下列選項(xiàng)中以eq\f(7,10)為概率的事件是()A．恰有1件一等品 B．至少有一件一等品C．至多有一件一等品 D．都不是一等品【解析】將3件一等品編號(hào)為1,2,3,2件二等品編號(hào)為4,5，從中任取2件有10種取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率為P1＝eq\f(6,10)，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率為P2＝eq\f(3,10)，其對(duì)立事件是“至多有一件一等品”，概率為P3＝1－P2＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).【答案】C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)．13．一個(gè)袋子中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球，4個(gè)綠球，8個(gè)黑球，如果隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記A＝{摸出黑球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出綠球}，D＝{摸出紅球}，則P(A)＝________；P(B)＝________；P(C∪D)＝________.【解析】由古典概型的算法可得P(A)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,20)，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(4,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(9,20).【答案】eq\f(2,5)eq\f(3,20)eq\f(9,20)14．在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取一個(gè)數(shù)a，能使方程x2＋2ax＋eq\f(1,2)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根的概率為________．【解析】方程有兩個(gè)相異實(shí)根的條件是Δ＝(2a)2－4×1×eq\f(1,2)＝4a2－2>0，解得|a|>eq\f(\r(2),2)，又a∈(0,1)，所以eq\f(\r(2),2)<a<1，區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))的長度為1－eq\f(\r(2),2)，而區(qū)間(0,1)的長度為1，所以方程有兩個(gè)相異實(shí)根的概率為eq\f(1－\f(\r(2),2),1)＝eq\f(2－\r(2),2).【答案】eq\f(2－\r(2),2)15．甲、乙兩組各有三名同學(xué)，他們?cè)谝淮螠y(cè)驗(yàn)中的成績的莖葉圖如圖2所示，如果分別從甲、乙兩組中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，則這兩名同學(xué)的成績相同的概率是________.圖2【解析】由題意可知從甲、乙兩組中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有9種選法，其中這兩名同學(xué)的成績相同的選法只有1種，故所求概率P＝eq\f(1,9).【答案】eq\f(1,9)16．甲乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中任想一個(gè)數(shù)字記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，且a，b∈{0,1,2，…，9}．若|a－b|≤1，則稱甲乙“心有靈犀”．現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則二人“心有靈犀”的概率為________．【解析】此題可化為任意從0～9中取兩數(shù)(可重復(fù))共有10×10＝100種取法．若|a－b|≤1分兩類，當(dāng)甲取0或9時(shí)，乙只能猜0、1或8、9共4種，當(dāng)甲取2～8中的任一數(shù)字時(shí)，分別有3種選擇，共3×8＝24種，所以P＝eq\f(24＋4,10×10)＝eq\f(7,25).【答案】eq\f(7,25)三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)隨機(jī)抽取一個(gè)年份，對(duì)西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：日期12345678910天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴日期11121314151617181920天氣陰晴晴晴晴晴陰雨陰陰日期21222324252627282930天氣晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估計(jì)西安市在該天不下雨的概率；(2)西安市某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)晴天開始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動(dòng)會(huì)，估計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率．【解】(1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26，以頻率估計(jì)概率，4月份任選一天，西安市不下雨的概率為eq\f(26,30)＝eq\f(13,15).(2)稱相鄰的兩個(gè)日期為“互鄰日期對(duì)”(如，1日與2日，2日與3日等)．這樣，在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對(duì)有16個(gè)，其中后一天不下雨的有14個(gè)，所以晴天的次日不下雨的頻率為eq\f(7,8).以頻率估計(jì)概率，運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率為eq\f(7,8).18．(本小題滿分12分)對(duì)某班一次測(cè)驗(yàn)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如下表所示：分?jǐn)?shù)段[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]概率(1)求該班成績?cè)赱80,100]內(nèi)的概率；(2)求該班成績?cè)赱60,100]內(nèi)的概率．【解】記該班的測(cè)試成績?cè)赱60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]內(nèi)依次為事件A，B，C，D，由題意知事件A，B，C，D是彼此互斥的．(1)該班成績?cè)赱80,100]內(nèi)的概率是P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.(2)該班成績?cè)赱60,100]內(nèi)的概率是P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝＋＋＋＝.19．(本小題滿分12分)小王、小李兩位同學(xué)玩擲骰子(骰子質(zhì)地均勻)游戲，規(guī)則：小王先擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)記為x；小李后擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)記為y.(1)在直角坐標(biāo)系xOy中，以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)共有幾個(gè)？(2)規(guī)定：若x＋y≥10，則小王贏；若x＋y≤4，則小李贏，其他情況不分輸贏．試問這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說明理由.【解】(1)由于x，y取值為1,2,3,4,5,6，則以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36個(gè)，即以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)共有36個(gè)．(2)滿足x＋y≥10的點(diǎn)有：(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6個(gè)，所以小王贏的概率是eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，滿足x＋y≤4的點(diǎn)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6個(gè)，所以小李贏的概率是eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，則小王贏的概率等于小李贏的概率，所以這個(gè)游戲規(guī)則公平．20．(本小題滿分12分)某校夏令營有3名男同學(xué)A，B，C和3名女同學(xué)X，Y，Z，其年級(jí)情況如下表：一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)男同學(xué)ABC女同學(xué)XYZ現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽(每人被選到的可能性相同)．(1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果；(2)設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事件M發(fā)生的概率．【解】(1)從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15種．(2)選出的2人來自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6種．因此，事件M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).21．(本小題滿分12分)一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同．隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率．【解】(1)由題意知，(a，b，c)所有的可能為(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種．設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”為事件A，則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種．所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率為eq\f(1,9).(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，則事件eq\x\to(B)包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種．所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9).因此，“抽取的卡片上的