數(shù)值分析四版緒論

歡迎你學習數(shù)值分析數(shù)理系王亞紅科學計算的重要性?科學計算是工程實踐的重要工具?科學計算是繼理論與實驗后另一科學研究手段課外閱讀基礎性，實用性，邊緣性科學計算的國家戰(zhàn)略與發(fā)展(1)?1983年一個由美國著名數(shù)學家拉克斯(P.Lax)為首的不同學科的專家委員會向美國政府提出的報告之中，強調“科學計算是關系到國家安全、經濟發(fā)展和科技進步的關鍵性環(huán)節(jié)，是事關國家命脈的大事?！?1984年美國政府大幅度地增加對科學計算經費的支持,新建成五個國家級超級計算中心（分別在普林斯頓大學、圣地亞哥、伊里諾大學、康奈爾大學、匹茲堡大學），配備當時最高性能的計算機，建立NSF-net新網絡。?80年代中期我國將“大規(guī)?？茖W與工程計算”列入國家資助重大項目。大型科學計算被列為國家”八五”重點基礎項目.課外閱讀?1987年起美國NSF把“科學與工程計算”，“生物工程”“全局性科學”作為三大優(yōu)先資助的領域.?1990年美國國家研究委員會發(fā)表《振興美國數(shù)學：90年代的計劃》的報告，建議對由計算引發(fā)的數(shù)學給予特殊的鼓勵和資助.?1991年以美國總統(tǒng)倡議的形式提出了“高性能計算與通信HPCC計劃”，這是為了保持和提高美國在計算和網絡的所有先進領域中的領導地位而制定的.其發(fā)展的關鍵技術是可擴展的大規(guī)模并行計算.?1995年美國為了確保核庫存的性能安全性、可靠性和更新需要而實施的“加速戰(zhàn)略計算創(chuàng)新ASCI計劃”.科學計算的國家戰(zhàn)略與發(fā)展(2)課外閱讀戰(zhàn)略計算?這是因為美國克林頓總統(tǒng)在1995年8月11日宣布：“美國決定謀求真正的“零當量”全面禁止試驗核武器條約”。?這并不意味著核競賽的結束，恰恰相反是核武器計劃新時代的開始，要求通過逼真的建模和模擬計算來取代傳統(tǒng)的反復試驗的工程處理方法，這主要依賴于先進的數(shù)值計算和模擬能力。?1995年8月22日（即美國總統(tǒng)宣布決定后的11天），能源部DOE就采購世界上最快的一臺計算機（速度超過萬億次運算）交付圣地亞哥實驗室（96年12月安裝）。?1998年7月30-31日，美國DOE/FNS共同聯(lián)合組織召開了關于“先進科學計算”的全國會議，會議強調科學模擬的重要性，希望應用科學模擬來攻克復雜的科學與工程難題。課外閱讀

研究使用計算機求解各種科學與工程計算問題的數(shù)值方法（近似方法），對求得的解的精度進行評估，以及如何在計算機上實現(xiàn)求解等。數(shù)值分析課程中所講述的各種數(shù)值方法在科學與工程計算、信息科學、管理科學、生命科學等交叉學科中有著廣泛的應用。課外閱讀課外閱讀應用問題舉例今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。《九章算術》1、一個兩千年前的例子課外閱讀線性方程組的數(shù)值方法！課外閱讀2、天體力學中的Kepler方程x是行星運動的軌道，它是時間t的函數(shù)非線性方程的數(shù)值解法!課外閱讀全球定位系統(tǒng)：在地球的任何一個位置,至少可以同時收到4顆以上衛(wèi)星發(fā)射的信號.

3.全球定位系統(tǒng)(GlobalPositioningSystem,GPS)課外閱讀表示地球上一個接收點R的當前位置，衛(wèi)星Si的位置為，則得到下列非線性方程組課外閱讀非線性方程組的數(shù)值方法!記為其中課外閱讀4.已經測得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度（M）46674195014221634水溫（oC）7.044.283.402.542.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計出其它深度（如500米，600米，1000米…）處的水溫.插值法!課外閱讀5.用比較簡單的函數(shù)代替復雜的函數(shù)誤差為最小，即距離為最?。ㄔ诓煌亩攘恳饬x下）函數(shù)逼近!課外閱讀6.人口預測

左側表格給出的是中國1900年到2000年的人口數(shù)，我們的目標是預測未來的人口數(shù)（數(shù)據(jù)量較大時）19505519619606620719708299219809870519901143332000126743課外閱讀曲線擬合!課外閱讀7.鋁制波紋瓦的長度問題建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機器將一塊平整的鋁板壓制而成的.假若要求波紋瓦長4英尺,每個波紋的高度(從中心線)為1英寸,且每個波紋以近似2π英寸為一個周期.求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長度L.課外閱讀這個問題就是要求由函數(shù)f(x)=sinx給定的曲線從x=0到x=48英寸間的弧長L.由微積分學我們知道,所求的弧長可表示為:上述積分稱為第二類橢圓積分,它不能用普通方法來計算.數(shù)值積分!課外閱讀8.生物化學反應的例子

A，B，C是三種蛋白質，其反應如下：課外閱讀通過建?？梢缘玫饺缦路匠探M

A：B：C：

常微分方程的數(shù)值方法!課外閱讀G:GoogleMatrix,“theworld’slargestmatrixcomputation”.4,300,000,000x:PageRankvector“The$25,000,000,000Eigenvector”9.Google搜索引擎課外閱讀London,England:Millennium('Wobbly')Bridge(1998-2002,NormanFosterandPartnersandArupAssociates)…thenaturalmodesandfrequenciesofastructurearethesolutionofaneigenvalueproblemthatisquadraticwhendampingeffectsareincludedinthemodel.(F.Tisseur,K.Meerbergen,ThequadraticEigenvalueProblem,SiREV43,2000,pp.235-286)課外閱讀

矩陣特征值問題的數(shù)值方法!課外閱讀Ch1緒論1.數(shù)值分析課程介紹;2.學習要求與參考資料;3.計算方法中的基本概念:誤差,誤差估計,算法的穩(wěn)定性;4.數(shù)值運算中盡可能避免誤差危害的的幾個原則.1.計算方法課程介紹隨著計算機和計算方法的飛速發(fā)展，幾乎所有學科都走向定量化和精確化，從而產生了一系列計算性的學科分支，如計算物理、計算化學、計算生物學、計算地質學、計算氣象學和計算材料學等，計算數(shù)學中的數(shù)值計算方法則是解決“計算”問題的橋梁和工具。我們知道，計算能力是計算工具和計算方法的效率的乘積，提高計算方法的效率與提高計算機硬件的效率同樣重要?？茖W計算已用到科學技術和社會生活的各個領域中。理論,實驗,計算科學研究的手段數(shù)值計算方法，是一種研究并解決數(shù)學問題的數(shù)值近似解方法，是在計算機上使用的解數(shù)學問題的方法，簡稱計算方法。在科學研究和工程技術中都要用到各種計算方法。例如，在航天航空、地質勘探、汽車制造、橋梁設計、天氣預報和漢字字樣設計中都有計算方法的蹤影。計算方法既有數(shù)學類課程中理論上的抽象性和嚴謹性，又有實用性和實驗性的技術特征，計算方法是一門理論性和實踐性都很強的學科。在70,80年代，大多數(shù)學校僅在數(shù)學系的計算數(shù)學專業(yè)和計算機系開設計算方法這門課程。隨著計算機技術的迅速發(fā)展和普及，現(xiàn)在計算方法課程幾乎已成為所有理工科學生的必修課程。計算方法的計算對象是微積分、線性代數(shù)、常(偏)微分方程中的數(shù)學問題。內容包括：插值和擬合、數(shù)值微分和數(shù)值積分、非線性方程(組)求根、求解線性方程組的直接法和迭代法、矩陣特征值和特征向量的計算、常微分方程數(shù)值解、偏微分方程數(shù)值解等問題。

數(shù)值分析的特點:面向計算機,根據(jù)計算機的特點提供實際可行的有效算法;有可靠的理論分析,分析算法的收斂性,數(shù)值穩(wěn)定性,誤差分析等;有好的計算復雜性:時間復雜性好,空間復雜性好;有數(shù)值實驗.例

解n=25時的線性方程組用Cramer法則求解，即

設計算k階行列式所需的乘法次數(shù)為mk,則容易推出于是,利用Cramer法則和Laplace展開定理求解一個n階線性方程組,所需乘法次數(shù)就大于在一個百億次計算機上，要做n=25時的線性方程組,則至少需要然而,如果改用高斯消去法,所需5830次乘除法,可在不到一秒鐘之內完成這一計算任務.因此，在應用或構造算法時，還應考慮如何計算，才能即快又省。

計算方法、硬件對計算能力同等重要。例如：從50年代初到90年代中期，計算機經過幾代更新，運算速度從千次/秒到幾千億次/秒，大致上提高了8個數(shù)量級（1億倍），同一時期求解工程中大量出現(xiàn)的橢圓型微分方程的算法提高了12個數(shù)量級（1萬億倍）。以三維問題，每個方向上取100個網點的有限元方程的算法，50年代初流行的Gauss消去法大約1018個運算量，而90年代最快速的多重網格迭代法只需106個運算量。2.學習“數(shù)值分析”課程的要求注意掌握各種方法的基本原理;注意各種方法的構造方法;重視各種方法的誤差分析;做一定量的習題和練習;注意與實際問題相聯(lián)系.學習參考書1.李紅《數(shù)值分析學習輔導習題解析》,武漢:華中科技大學出版2.封建湖車明剛《計算方法典型題分析解集》,西安:西北工業(yè)大學出版3.林成森《數(shù)值計算方法》,北京:科學出版社4.JohnH.Mathews《數(shù)值方法》(英文第3版),北京:電子工業(yè)出版社3.計算方法中的基本概念誤差的來源

現(xiàn)實世界

研究對象測量數(shù)據(jù)數(shù)學模型的建立數(shù)值計算方法程序設計測量誤差模型誤差截斷誤差(方法誤差)舍入誤差上機計算求得結果誤差的分類

通過對實際問題進行抽象、簡化得到的數(shù)學模型，與實際現(xiàn)象之間必然存在誤差，這種誤差稱之為模型誤差。一般數(shù)學問題包含若干參量，他們的值往往通過觀測得到，而觀測難免不帶誤差，這種誤差稱之為觀測誤差。一般數(shù)學問題難以求解，往往要通過近似替代，簡化為較易求解的問題，簡化引起的誤差稱之為截斷誤差。由于實際計算是按有限位數(shù)進行的，所以數(shù)值解的每一步都可能產生誤差，這種誤差稱之為舍入誤差。關于截斷誤差

模型誤差、觀測誤差、舍入誤差我們從字面上不難理解他們的意義，截斷誤差的意義似乎不是那么直觀。舉的一個例子，求sinx的值時，我們有，

用計算機求值時，我們不可能計算右端無窮多項，只能截取有限項，若計算到項的話，截斷誤差便為.在數(shù)值分析中，截斷誤差是我們最要關心的誤差，它是評價算法精確性重要的一個方面。

記準確數(shù)為，近似數(shù)為，絕對誤差

絕對誤差限

相對誤差

相對誤差限

數(shù)值運算的誤差估計計算,如果每個的近似值為則A的近似值為誤差限為相對誤差限為的絕對值如果很大,就可能很大.例 求積分由可得算法1：

算法2：誤差分析的重要性首先給出兩種算法的初始值：

兩種算法與真實值的比較00.18230.18230.18232210.088500.088390.088392220.057500.058040.058038930.045830.043140.043138740.020850.034310.034306950.095750.028470.02846846-0.31210.024330.024324971.7030.021230.02123268-8.3920.018810.0188369

在上表中，是算法1計算的值，是算法2計算的值，而是真實值的一個近似。從上表我們不難直觀的得出結論：隨著n的增大，算法1計算出來的值是越來越偏離真實值，我們說，算法1是不穩(wěn)定的。

定義

對于某個算法，若輸入數(shù)據(jù)的誤差在計算過程中迅速增長而得不到控制，則稱該算法是數(shù)值不穩(wěn)定的，否則，稱該算法是數(shù)值穩(wěn)定的。

例序列滿足遞推關系若計算到時誤差有多大?這個計算過程穩(wěn)定嗎?分析差之毫厘失之千里數(shù)值不穩(wěn)定的算法舍入誤差的影響

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性會是一個非常重要的話題。4.避免誤差危害的若干原則數(shù)值運算總是在一個預先設計好的算法中進行的，所謂算法就是一個有限的基本運算序列。這個序列預定了怎樣從輸入數(shù)據(jù)去計算出問題的解。由于運算是在計算機上進行的，而計算機的字長有限，因而產生舍入誤差。為減小舍入誤差的影響，設計算法時應遵循以下一些原則：要避免除數(shù)絕對值遠遠小于被除數(shù)的絕對值的除法要避免兩相近數(shù)相減要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)注意簡化計算步驟，減少運算次數(shù)避免相近的兩數(shù)相減(會耗失許多有效數(shù)字,可以用數(shù)學公式化簡后再做).

例

各有五位有效數(shù)字的23.034與22.993相減.23.034-22.993=0.0410.041只有兩位有效數(shù)字,有效數(shù)字的耗失,說明準確度減小,因此,在計算時需要加工計算公式,以免這種情況發(fā)生.

例

當x較大時,計算