MATLA數(shù)值數(shù)組及向量化運(yùn)算

第3章數(shù)值數(shù)組及向量化運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)掌握數(shù)組的創(chuàng)建方法掌握數(shù)組的標(biāo)識(shí)與尋訪掌握數(shù)組的運(yùn)算了解“非數(shù)”NaN和“空”數(shù)組掌握關(guān)系操作和邏輯操作教學(xué)重點(diǎn)數(shù)組的創(chuàng)建方法數(shù)組的標(biāo)識(shí)與尋訪關(guān)系操作和邏輯操作教學(xué)內(nèi)容3.1數(shù)值計(jì)算的特點(diǎn)和地位3.2一、二維數(shù)值數(shù)組的創(chuàng)建和尋訪3.3數(shù)組運(yùn)算和向量化編程3.4“非數(shù)”NaN和“空”數(shù)組3.5關(guān)系操作和邏輯操作3.1數(shù)值計(jì)算的特點(diǎn)和地位符號(hào)計(jì)算可以對(duì)包含變量字符，參數(shù)字符和數(shù)字的表達(dá)式進(jìn)行推理，運(yùn)算，并給出符號(hào)結(jié)果。缺點(diǎn)：有很多問題無法解，有很多問題求解時(shí)間過長(zhǎng)。symstx ft=t^2*cos(t)sx=int(ft,t,0,x)ft=t^2*cos(t)sx=x^2*sin(x)-2*sin(x)+2*x*cos(x)符號(hào)計(jì)算解法：dt=0.05;t=0:dt:15;Ft=t.^2.*cos(t);Sx=dt*cumtrapz(Ft);

plot(t,Sx,'.k','MarkerSize',12)xlabel('x'),ylabel('Sx'),gridon

數(shù)值計(jì)算解法：ezplot(sx,[0,15])例3.1-2已知求(1)符號(hào)計(jì)算解法symst;ft=exp(-sin(t));sx=int(ft,t,0,4)Warning:Explicitintegralcouldnotbefound.sx=int(1/exp(sin(t)),t=0..4)(2)數(shù)值計(jì)算解法delt=0.01;x=0:delt:4;y=exp(-sin(x));sx=delt*cumtrapz(y);plot(x,y,'r','LineWidth',6);holdon;plot(x,sx,'.b','MarkerSize',15);plot(x,ones(size(x)),'k');3.2數(shù)值數(shù)組的創(chuàng)建和尋訪3.2.1一維數(shù)組的創(chuàng)建3.2.2二維數(shù)組的創(chuàng)建3.2.3二維數(shù)組元素的標(biāo)識(shí)和尋訪3.2.4數(shù)組操作技法綜合(1)冒號(hào)生成法：

array=a:inc:b<向量>a--數(shù)組的第一個(gè)元素

inc--采樣點(diǎn)之間的間隔,即步長(zhǎng).最后一個(gè)元素不一定等于b,其大小為b’=a+inc*fix((b-a)/inc);步長(zhǎng)可以省略,默認(rèn)為1;inc可以取正或負(fù)數(shù),但要注意當(dāng)取正時(shí),要保證b>a,數(shù)組最后一個(gè)元素不超過b,取負(fù)時(shí)b<a,最后一個(gè)元素不小于b.特點(diǎn):

等差數(shù)列3.2.1

一維數(shù)組的創(chuàng)建和尋訪

1.遞增/遞減一維數(shù)組的創(chuàng)建:abInc<0b’abinc>0b’(2)線性(或?qū)?shù))定點(diǎn)采樣法在設(shè)定的總點(diǎn)數(shù)下,均勻采樣生成一維行數(shù)組．格式為：

x=linspace(a,b,n)特點(diǎn)：方便對(duì)數(shù)組的元素的總個(gè)數(shù)進(jìn)行控制，最后一個(gè)元素肯定是設(shè)定之值．a(chǎn)數(shù)組初始值b數(shù)組最后值n數(shù)組總個(gè)數(shù)增量的計(jì)算inc=(b-a)/(n-1)等效于:x=a:(b-a)/(n-1):b

1.遞增/遞減一維數(shù)組的創(chuàng)建:

x=logspace(a,b,n)3.2.1

一維數(shù)組的創(chuàng)建和尋訪

2.其他類型一維數(shù)組的創(chuàng)建:(1)逐個(gè)元素輸入法：

如：array=[2,pi/2,sqrt(3),3+5i]使用場(chǎng)合及特點(diǎn)使用場(chǎng)合:數(shù)據(jù)元素比較少并都已知.如對(duì)少量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理可用此種方法.x=[1,2,3,4,5]'行向量列向量

2.其他類型一維數(shù)組的創(chuàng)建:(2)運(yùn)用MATLAB函數(shù)生成法：MATLAB特殊形式數(shù)組生成函數(shù)見表3.2-1：均勻分布隨機(jī)數(shù)組rand(1,n),

全1數(shù)組ones(1,n)指令含義指令含義diag產(chǎn)生對(duì)角形數(shù)組(二維以下)rand產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)組eye產(chǎn)生單位數(shù)組(二維以下)randn產(chǎn)生正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)組magic產(chǎn)生魔方數(shù)組(二維以下)zeros產(chǎn)生全0數(shù)組ones產(chǎn)生全1數(shù)組3.一維數(shù)組的子數(shù)組尋訪和賦值

x=[012345]; x(3) x([123]),x([123]') x(4:6)=x([1,2,3])%x(4:6)=[0,1,2] x(3:end)%end表示最后一個(gè)下標(biāo)

x(3:-1:1) x(find(x>2))

注意:數(shù)組的第一個(gè)元素為x(1),與C語言中第一個(gè)元素為x[0]不同3.2.2二維數(shù)組的創(chuàng)建創(chuàng)建二維數(shù)組與創(chuàng)建一維數(shù)組的方式類似。在創(chuàng)建二維數(shù)組時(shí)，整個(gè)輸入數(shù)組以方括號(hào)[]為其首尾。用逗號(hào)(,)或者空格(_)區(qū)分同一行的不同元素，用分號(hào)(;)或者回車（Enter）區(qū)分不同行。1.小規(guī)模數(shù)組的直接輸入法2.中規(guī)模數(shù)組的數(shù)組編輯器創(chuàng)建法3.中規(guī)模數(shù)組的M文件創(chuàng)建法例3.2.4利用Ｍ文件創(chuàng)建和保存數(shù)組1.編寫M文件并運(yùn)行AM=[100,101,102;103,104,105;106,107,108]，保存為文件名MyMatrix.m2.在命令窗中輸入MyMatrix3.2.2二維數(shù)組的創(chuàng)建4.利用MATLAB函數(shù)創(chuàng)建數(shù)組指令含義指令含義diag產(chǎn)生對(duì)角形數(shù)組(二維以下)rand產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)組eye產(chǎn)生單位數(shù)組(二維以下)randn產(chǎn)生正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)組magic產(chǎn)生魔方數(shù)組(二維以下)zeros產(chǎn)生全0數(shù)組ones產(chǎn)生全1數(shù)組【例3.2-5】標(biāo)準(zhǔn)數(shù)組產(chǎn)生的演示。ones(2,4)ans=11111111

randn('state',0)randn(2,3)ans=-0.43260.1253-1.1465-1.66560.28771.1909D=eye(3)D=100010001diag(D)ans=1113.2.3二維數(shù)組元素的標(biāo)識(shí)和尋訪數(shù)組名(行下標(biāo)m,列下標(biāo)n)數(shù)組的第m行n列的元素.A=[1,2,3;4,5,6]A(2,3)=61)全下標(biāo)標(biāo)識(shí)2)單下標(biāo)標(biāo)識(shí)只用一個(gè)下標(biāo)來指定元素在數(shù)組中的位置－將數(shù)組中所有的元素按照從上到下(列),從左到右的方法從１開始編號(hào),其編號(hào)就是單下標(biāo)．A(4)=2

|1①2④3⑦|A=|4②5⑤6⑧||7③8⑥9⑨|A(:)—按單下標(biāo)方式列出全部元素，組成列向量。A(:)=[1,4,7,2,5,8,3,6,9]'A=1234563)邏輯1標(biāo)識(shí)法A=[1,2,3,4,5];L=logical([1,0,1,0,1])A(L)ans=[1,3,5]【例3.2-6】數(shù)組標(biāo)識(shí)與尋訪A=zeros(2,6) A=

000000000000A(:)=1:12A=135791124681012A(2,4) ans=8A(8)ans=8A(:,[1,3])ans=1526A(:,4:end)ans=791181012

A(2,1:2:5)=[-1,-3,-5]A=1357911

-14-38-512B=A([1,2,2,2],[1,3,5])B=159-1-3-5-1-3-5-1-3-5L=A<3L=100000101010A(L)=NaNA=

NaN357911

NaN4NaN8NaN12A([1,2,5,6]')ans=12563.2.4數(shù)組操作技法綜合【例3.2-7】數(shù)組操作函數(shù)reshape,diag,repmat的用法；空陣[]

刪除子數(shù)組的用法。a=1:8 A=reshape(a,4,2)A=reshape(A,2,4)a=12345678A=15263748A=13572468D1=repmat(B,2,4) %D1=10101010040404041010101004040404D1([1,3],:)=[]%刪除1,3行

D1=0404040404040404b=diag(A) b=14B=diag(b)B=10043.2.4數(shù)組構(gòu)作技法綜合【例3.2-8】函數(shù)flipud,fliplr,rot90對(duì)數(shù)組的操作體現(xiàn)著“矩陣變換”。A=reshape(1:9,3,3)A=147258369B=flipud(A)B=369258147C=fliplr(A) %C=741852963D=rot90(A,2)%逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)D=9638527413.3數(shù)組運(yùn)算1.函數(shù)關(guān)系數(shù)值計(jì)算模型的分類個(gè)別的，無規(guī)律的數(shù)據(jù)集所執(zhí)行的函數(shù)關(guān)系運(yùn)算；一組有規(guī)律數(shù)據(jù)需要反復(fù)所執(zhí)行的函數(shù)關(guān)系運(yùn)算；一組有規(guī)律數(shù)據(jù)按矩陣運(yùn)算法則執(zhí)行的函數(shù)關(guān)系運(yùn)算。3.3.1數(shù)組運(yùn)算的由來和規(guī)則對(duì)一般編程，后兩種運(yùn)算程序包含一重或多重循環(huán)體。2.提高程序執(zhí)行性能的三大措施JIT(justintime)-Accelerator;數(shù)組運(yùn)算；向量或矩陣運(yùn)算。3.3.1數(shù)組運(yùn)算的由來和規(guī)則3.數(shù)組運(yùn)算規(guī)則數(shù)組運(yùn)算是指每個(gè)對(duì)應(yīng)元素之間的運(yùn)算，比如對(duì)應(yīng)元素相加，相減，相乘，相除等，而矩陣運(yùn)算則服從線性代數(shù)中的矩陣運(yùn)算規(guī)則．?dāng)?shù)組運(yùn)算符是.opr,opr運(yùn)算符為+,-,*,/,\,^,

'

矩陣運(yùn)算則沒有在操作符左邊加.

,matlab中矩陣的運(yùn)算是按照線性代數(shù)中的定義進(jìn)行的。詳細(xì)的數(shù)組運(yùn)算符意義見表3.3-1．?dāng)?shù)組的加減法數(shù)組加減法為數(shù)組元素的加減法，與矩陣加減法相同。利用運(yùn)算符“+”和“-”實(shí)現(xiàn)該運(yùn)算。需要注意的是相加或相減的兩個(gè)數(shù)組必須有相同的維數(shù)，或者是數(shù)組與數(shù)值相加減。數(shù)組的乘除法數(shù)組乘除為元素的乘除，通過運(yùn)算符“.*”和“./”來實(shí)現(xiàn)。運(yùn)算時(shí)需要兩個(gè)數(shù)組有相同的維數(shù)，或者數(shù)組與數(shù)值相乘除。數(shù)組的乘方數(shù)組乘方用符號(hào)“.^”實(shí)現(xiàn)。數(shù)組乘方運(yùn)算以三種方式進(jìn)行。底為數(shù)組，指數(shù)為標(biāo)量的形式。這種形式的結(jié)果是將數(shù)組的每個(gè)元素進(jìn)行指數(shù)相同的乘方。返回的結(jié)果為與底維數(shù)相同的數(shù)組，結(jié)果數(shù)組的每個(gè)元素為底中相應(yīng)元素的乘方。底為標(biāo)量，指數(shù)為數(shù)組的形式。該形式返回的結(jié)果為數(shù)組，維數(shù)與指數(shù)數(shù)組相同。結(jié)果數(shù)組的每個(gè)元素以標(biāo)量為底，以指數(shù)數(shù)組相應(yīng)元素為指數(shù)做乘方的結(jié)果。底和指數(shù)都是數(shù)組的形式。此時(shí)兩個(gè)數(shù)組需要有相同的維數(shù)。返回結(jié)果為一個(gè)數(shù)組，維數(shù)與前面兩個(gè)數(shù)組相同，每個(gè)元素為底數(shù)數(shù)組和指數(shù)數(shù)組相應(yīng)元素做乘方的結(jié)果。函數(shù)f(.)的數(shù)組運(yùn)算規(guī)則函數(shù)數(shù)組運(yùn)算規(guī)則的定義

x11x12…x1n

x21x22…x2n

對(duì)于(m*n)數(shù)組X＝

…………=[xij]mxn

xm1xm2…xmn

函數(shù)f(.)的數(shù)組運(yùn)算規(guī)則是指：

f(X)=[f(xij)]mxn也就是對(duì)數(shù)組中每個(gè)元素都實(shí)施同樣的操作．名稱含義名稱含義名稱含義acos反余弦asinh反雙曲正弦csch雙曲余割acosh反雙曲余弦atan反正切sec正割acot反余切atan2四象限反正切sech雙曲正割acoth反雙曲余切atanh反雙曲正切sin正弦acsc反余割cos余弦sinh雙曲正弦acsch反雙曲余割cosh雙曲余弦tan正切asec反正割cot余切tanh雙曲正切asech反雙曲正割coth雙曲余切asin反正弦csc余割

三角函數(shù)和雙曲函數(shù)4.

數(shù)組運(yùn)算符和數(shù)組運(yùn)算函數(shù)

指數(shù)函數(shù)名稱含義名稱含義名稱含義exp指數(shù)(ex)log10常用對(duì)數(shù)pow2２的冪log自然對(duì)數(shù)log2以２為底對(duì)數(shù)sqrt平方根

復(fù)數(shù)函數(shù)名稱含義名稱含義名稱含義abs?；蚪^對(duì)值conj復(fù)數(shù)共軛real復(fù)數(shù)實(shí)部angle相角(弧度)imag復(fù)數(shù)虛部

坐標(biāo)變換函數(shù)名稱含義名稱含義cart2sph直角坐標(biāo)變球坐標(biāo)pol2cart極坐標(biāo)變直角坐標(biāo)cart2pol直角坐標(biāo)變極坐標(biāo)sph2cart球坐標(biāo)變直角坐標(biāo)

圓整函數(shù)與求余函數(shù)名稱含義名稱含義ceil向＋∞圓整函數(shù)rem求余數(shù)fix向０圓整函數(shù)round向最近整數(shù)圓整函數(shù)floor向－∞圓整函數(shù)sign符號(hào)函數(shù)-(-1),+(1)

0(0)mod模除求余clearvr=[0.89,1.20,3.09,4.27,3.62,7.71,8.99,7.92,9.70,10.41];ir=[0.028,0.040,0.100,0.145,0.118,0.258,0.299,0.257,0.308,0.345];

L=length(vr);fork=1:L

r(k)=vr(k)/ir(k);end sr=0; fork=1:L

sr=sr+r(k);endrm=sr/L非向量化程序3.3.2數(shù)組運(yùn)算與向量化編程向量化編程r=vr./irrm=mean(r)

【例3.3-1】歐姆定律：，其中

r,u,i

分別是電阻(歐姆)、電壓（伏特）、電流（安培）。驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)：據(jù)電阻兩端施加的電壓，測(cè)量電阻中流過的電流，然后據(jù)測(cè)得的電壓、電流計(jì)算平均電阻值。（測(cè)得具體數(shù)據(jù)見程序）。3.3.2數(shù)組運(yùn)算與向量化編程clearx=-5:0.1:5;y=(-2.5:0.1:2.5)';

N=length(x);M=length(y);forii=1:Mforjj=1:NZ0(ii,jj)=sin(abs(x(jj)*y(ii)));endend非向量化程序【例3.3-2】用間距為0.1的水平線和垂直線均勻分割的矩形域，在所有水平線和垂直線交點(diǎn)上計(jì)算函數(shù)y=sin|xy|的值，并圖示。[X,Y]=meshgrid(x,y);Z=sin(abs(X.*Y));

向量化程序norm(Z-Z0)

ans=0比較兩個(gè)數(shù)組是否相等(2范數(shù)接近eps)surf(X,Y,Z)xlabel('x')ylabel('y')shadinginterpview([190,70])繪制二元函數(shù)圖形按IEEE規(guī)定,0/0,∞/∞,0*∞等運(yùn)算都會(huì)產(chǎn)生非數(shù),在matlab中記為nan.它具有以下性質(zhì)：1)nan參與運(yùn)算所得結(jié)果也是nan，即具有傳遞性．2)非數(shù)沒有大小概念，不能比較兩個(gè)非數(shù)的大小．功能：真實(shí)記述0/0,∞/∞,0*∞運(yùn)算的后果;避免可能因以上運(yùn)算而造成的程序執(zhí)行的中斷;在數(shù)據(jù)可視化中,用來裁減圖形．3.4“非數(shù)”和“空”數(shù)組3.4.1非數(shù)NaN【例3.4-1】非數(shù)的產(chǎn)生和性質(zhì)演示(1)

非數(shù)的產(chǎn)生a=0/0,b=0*log(0),c=inf-inf(2)

非數(shù)的傳遞性0*a,sin(a);(3)

非數(shù)的屬性判斷class(a),isnan(a)isnan唯一能正確判斷非數(shù)的指令3.4.2“空”數(shù)組空數(shù)組的功能：空數(shù)組沒參與運(yùn)算時(shí),計(jì)算結(jié)果中的空可以合理地解釋所得結(jié)果的含義(如在某數(shù)組中尋找滿足一定條件的數(shù)據(jù),結(jié)果沒有,得到空數(shù)組,表示沒有滿足條件的元素);a=[1,2,3];f_array=find(a<0)f_array=Emptymatrix:1-by-0運(yùn)用空數(shù)組對(duì)其他非空數(shù)組賦值,可以改變數(shù)組的大小,但不能改變數(shù)組的維數(shù)．A=reshape(-4:5,2,5)

A=-4-2024-3-1135

size(A)ans=25A(:,[2,4])=[]A=-404-315

size(A)ans=23ndims(A)ans=2運(yùn)用空數(shù)組對(duì)其他非空數(shù)組賦值,可以改變數(shù)組的大小,但不能改變數(shù)組的維數(shù)．A=rand(2,3,2,4)；size(A)ans=2324ndims(A)ans=4A(:,:,[1,2],:)=[]A=Emptyarray:2-by-3-by-0-by-4size(A)ans=2304ndims(A)ans=43.4.2“空”數(shù)組（1）創(chuàng)建”空”數(shù)組的幾種方法a=[]b=ones(2,0),c=zeros(2,0),d=eye(2,0)f=rand(2,3,0,4);array3=1:-5;（2）空數(shù)組的屬性【例3.4-3】關(guān)于“空”數(shù)組的算例。class(a)isnumeric(a) isempty(a)%空數(shù)組的判斷ans=doubleans=1ans=1whichandims(a)size(a)aisavariable.ans=2ans=003.5關(guān)系操作和邏輯操作3.5.1關(guān)系操作3.5.2邏輯操作3.5.3常用邏輯函數(shù)

matlab的約定1)在所有關(guān)系表達(dá)式和邏輯表達(dá)式中,作為輸入的任何非0數(shù)都被看作邏輯真,只有0才被認(rèn)為是邏輯假.2)所有關(guān)系表達(dá)式和邏輯表達(dá)式的計(jì)算結(jié)果,即輸出,是一個(gè)由0和１作成的邏輯數(shù)組.其中１表示真,0表示假.3)邏輯數(shù)組是一種特殊的數(shù)值數(shù)組,它表示著對(duì)事物的判斷結(jié)論“真”與”假“3.5關(guān)系操作和邏輯操作3.5.1關(guān)系操作指令含義指令含義<小于>=大于等于<=小于等于==等于>大于~=不等于說明：1)標(biāo)量可以與任何維數(shù)的數(shù)組進(jìn)行比較,比較在此標(biāo)量和數(shù)組每個(gè)元素之間進(jìn)行,因此比較結(jié)果為與被比較數(shù)組同維的數(shù)組.2)數(shù)組進(jìn)行比較時(shí),兩數(shù)組必須是同維的,結(jié)果也得到一個(gè)同維的數(shù)組．

|2,4,6||1,3,5|A=|3,5,7|B=|4,6,8||1,8,9||2,7,9||1,1,1||0,0,1|A>B=|0,0,0|A>5=|0,0,1||0,1,0||0,1,1|A=[246;357;189]find(A>5)=>ans=[6,7,8,9]'%得到數(shù)組下標(biāo),單下標(biāo)A(find(A>5))=>ans=[8,6,7,9]'A(find(A>5))=5;%A(A>5)=5A=245355155【例3.5-2】關(guān)系運(yùn)算應(yīng)用。求近似極限,修補(bǔ)圖形缺口sin(t)/t,

t∈[-2π,2π]t=-2*pi:pi/10:2*pi;y=sin(t)./t;%在t=0處產(chǎn)生非數(shù)tt=t+(t==0)*eps;

%處理分母為０的點(diǎn)yy=sin(tt)./tt;subplot(2,1,1),plot(t,y);axis([-7,7,-0.5,1.2]);xlabel('t'),ylabel('y'),title('殘缺圖形');subplot(2,1,2),plot(tt,yy);axis([-7,7,-0.5,1.2]);xlabel('t'),ylabel('yy'),title('完整圖形')tt=t;tt(find(tt==0))=eps;tt(tt==0)=eps;3.5.2邏輯操作說明：1)標(biāo)量可以與任何維的數(shù)組運(yùn)算.邏輯運(yùn)算在標(biāo)量與數(shù)組每個(gè)元素間進(jìn)行,因此運(yùn)算結(jié)果是與參與運(yùn)算的數(shù)組維數(shù)相同的數(shù)組.2)數(shù)組之間也可以進(jìn)行邏輯運(yùn)算，參與運(yùn)算的必須維數(shù)相同.此時(shí)運(yùn)算在兩數(shù)組同位置上的元素之間進(jìn)行.因此運(yùn)算結(jié)果是與參與運(yùn)算的數(shù)組維數(shù)相同的數(shù)組．指令

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~xor含義與或非異或