現(xiàn)代控制理論第二版 王孝武 第4章

第4章控制系統(tǒng)穩(wěn)定性

對于非線性、時變、多輸入多輸出控制系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的研究，經(jīng)典控制理論無能為力。只有利用俄羅斯科學家李亞普諾夫（A.M.Lyapunov）的穩(wěn)定性理論來分析和研究。A.M.Lyapunov于1892年出版專著《運動系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般問題》，使得Lyapunov穩(wěn)定性理論已經(jīng)成為控制理論的最重要的幾個柱石之一。本章的主要內(nèi)容為1.引言2.李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義3.李亞普諾夫第二法5.線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性4.線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性6.有界輸入-有界輸出穩(wěn)定7.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析4.1引言

李亞普諾夫?qū)⒎€(wěn)定性問題的研究歸納為兩種方法。第一種方法是求出線性化以后的常微分方程的解，從而分析原系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

第二種方法不需要求解微分方程的解，而能夠提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息。

對于非線性、時變、多輸入多輸出系統(tǒng)來說，第二種方法特別重要。李亞普諾夫第二法又稱為直接法。這種方法是基于一種廣義能量函數(shù)及其隨時間變化的特性來研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的。以下通過一個例子來說明。例4-1一個彈簧－質(zhì)量－阻尼器系統(tǒng)，如下圖示。系統(tǒng)的運動由如下微分方程描述。令（1）選取狀態(tài)變量則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（2）在任意時刻，系統(tǒng)的總能量（3）顯然，當時，而當時而總能量隨時間的變化率為可見，只有在時，。在其他各處均有，這表明系統(tǒng)總能量是衰減的，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。Lyapunov第二法是研究系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的。4.2李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義一：范數(shù)向量的范數(shù)定義為m×n矩陣A的范數(shù)定義為如果平衡點xe不在坐標原點，可以通過非奇異線性變換，使

xe=0，因此，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問題都可以歸結(jié)為原點的穩(wěn)定性問題。二：平衡狀態(tài)定義為滿足狀態(tài)4.2.1穩(wěn)定的定義定義對于任意給定的實數(shù)ε>0，都存在對應實數(shù)δ(ε,t0)

，則稱平衡狀態(tài)xe為Lyapunov意義下穩(wěn)定的。如果δ與t0無關(guān)，則稱為Lyapunov意義下一致漸近穩(wěn)定。非線性時變系統(tǒng)使得從滿足的任意初始狀態(tài)x0出發(fā)的軌線x(t)，都有：（對于所有t≥t0）4.2.2漸近穩(wěn)定對于任意給定的實數(shù)ε>0，δ>0，都存在實數(shù)T(ε,δ,t0)，則稱平衡狀態(tài)xe為Lyapunov意義下漸近穩(wěn)定。如果T與t0無關(guān)，則稱為Lyapunov意義下一致漸近穩(wěn)定。的任意初始狀態(tài)x0出發(fā)的軌線x(t)，都有：使得從滿足（對于所有t≥t0+T(ε,δ,t0)）Lyapunov意義下穩(wěn)定漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定4.2.3大范圍漸近穩(wěn)定如果從狀態(tài)空間中的任意初始狀態(tài)x0出發(fā)的軌線x(t)，都有：則稱平衡狀態(tài)xe為Lyapunov意義下大范圍漸近穩(wěn)定或全局漸近穩(wěn)定。如果與t0無關(guān)，則稱為Lyapunov意義下一致漸近穩(wěn)定。如果只有從平衡點xe的某個領(lǐng)域內(nèi)的初始狀態(tài)x0出發(fā)的軌線x(t)才有：則稱平衡狀態(tài)xe為Lyapunov意義下局部范圍漸近穩(wěn)。不穩(wěn)定4.2.4不穩(wěn)定對于任意的實數(shù)，存在一個實數(shù)，不論取的多么小，在滿足不等式的所有初始狀態(tài)中，至少存在一個初始狀態(tài)，由此出發(fā)的軌線，滿足稱為Lyapunov意義下不穩(wěn)定二：標量函數(shù)的正定性、負定性1：正定性設(shè)有標量函數(shù)V(x)，對域S中的所有非零狀態(tài)x，總有V(x)

>0，且當x=0時，有V(x)=0，則稱標量函數(shù)V(x)在域S內(nèi)是正定的2：負定性設(shè)有標量函數(shù)V(x)，對域S中的所有非零狀態(tài)x，總有V(x)<0，且當x=0時，有V(x)=0，則稱標量函數(shù)V(x)在域S內(nèi)是負定的。此時–V(x)是正定的3：正半定性和負半定性設(shè)有標量函數(shù)V(x)，對域S中的某些非零狀態(tài)x及x=0，有V(x)=0，而對于S中的其余狀態(tài)有V(x)>0，則稱標量函數(shù)V(x)在域S內(nèi)是正半定的。如果-V(x)是正半定的，則V(x)是負半定的4：賽爾維斯特準則：對于二次型函數(shù)V(x)=xTQx，若Q的所有主子式大于零，則Q是正定的，V(x)也是正定的；或者Q的特征值均為正值，則Q是正定的，V(x)也是正定的。例如：是正定的。例如：是半負定的。例如：是負定的。例如：是半正定的。例如：是不定的。（7）定理4-1

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為在平衡狀態(tài)的某鄰域內(nèi)，標量函數(shù)具有連續(xù)一階偏導數(shù)，并且滿足：1）為正定；2）為負定。則為一致漸近穩(wěn)定的。如果，，則是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。其中稱為廣義能量函數(shù)（energy-likefunction），又稱為Lyapunov函數(shù)。4.3李亞普諾夫第二法例4-2

系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。解而將狀態(tài)方程代入上式，化簡后得選取Lyapunov函數(shù)，顯然是正定的，即滿足可見，是負定的，即滿足因此，是一致漸近穩(wěn)定的。當，有，故系統(tǒng)是一致大范圍漸近穩(wěn)定的。定理4-2

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為在平衡狀態(tài)的某鄰域內(nèi)，標量函數(shù)具有連續(xù)一階偏導數(shù)，并且滿足：1）為正定；2）為半負定；3）除了平衡狀態(tài)外，還有的點，但是不會在整條狀態(tài)軌線上有則為一致漸近穩(wěn)定的。如果，，則是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。例4-3

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中，a

為大于零的實數(shù)。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為選取Lyapunov函數(shù)：顯然它是正定的，即滿足而將狀態(tài)方程代入上式，化簡后得可見，當和任意的時，有，而和任意時，。又因為，只要變化就不為零，因此在整條狀態(tài)軌線上不會有。因此，是一致漸近穩(wěn)定的。當，有，故系統(tǒng)是一致大范圍漸近穩(wěn)定的。定理4-3

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為在平衡狀態(tài)的某鄰域內(nèi)，標量函數(shù)具有連續(xù)一階偏導數(shù)，并且滿足：1）為正定；2）為半負定；則為一致穩(wěn)定的。如果，，則是大范圍一致穩(wěn)定的。因為≤0則系統(tǒng)可能存在閉合曲線（極限環(huán)），在上面恒有，則系統(tǒng)可能收斂到極限環(huán)，而不收斂到平衡點。因此是一致穩(wěn)定的。例4-4

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中，k

為大于零的實數(shù)。分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為選取Lyapunov函數(shù)：顯然它是正定的，即滿足而由定理4-3可知，為Lyapunov意義下一致穩(wěn)定。定理4-4

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

在的某鄰域內(nèi)，標量函數(shù)具有連續(xù)一階偏導數(shù)，并且滿足：1）為正定；2）為正定或半正定；則為不穩(wěn)定的。例4-5

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為選取Lyapunov函數(shù)：顯然它是正定的，即滿足而由定理4-4可知，是不穩(wěn)定的。

應該指出：Lyapunov第二法給出的結(jié)果是系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件。到目前為止，人類還沒有找到構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的一般方法。因此，對于某個系統(tǒng)來說，找不到合適的Lyapunov函數(shù)，既不能說系統(tǒng)穩(wěn)定，也不能說系統(tǒng)不穩(wěn)定，只能說無法提供有關(guān)該系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息（即：inconclusive—沒有得出結(jié)論）。4.4線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性對線性時變系統(tǒng)，其相應的齊次狀態(tài)方程為由第2章介紹的方法求出其解為由此可判別齊次以及非齊次系統(tǒng)的穩(wěn)定性，如果收斂則都穩(wěn)定；如果發(fā)散，則都不穩(wěn)定。首先介紹矩陣正定性的定義：對于方陣當它的所有主子式均大于零時，則Q是正定的。即：對線性定常系統(tǒng)，可以用Lyapunov第二法。

如果方陣Q是正定的，則－Q

就是負定的。負定的矩陣主子式負正相間。Lyapunov函數(shù)為狀態(tài)變量的二次型函數(shù)，即如果P為維正定的對稱常數(shù)矩陣，則為正定的。令，其中Q為正定實數(shù)矩陣，且滿足如果給定Q陣，能夠推出P

為正定的，則系統(tǒng)在為穩(wěn)定的。并且線性定常系統(tǒng)為穩(wěn)定，就一定是大范圍一致漸近穩(wěn)定。（注1：線性定常系統(tǒng)，可以判斷A的特征值是否全部具有負實部，既可以判別其穩(wěn)定性。）（注2：因為是線性定常系統(tǒng)，則Q為正定時，P陣或者為正定、或者為負定，不會是不定的。）例4-6

線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為為簡單起見，可以令Q

陣為單位矩陣I。解得有可見，P為正定的矩陣，故為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。4.5線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（8）系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為假設(shè)G

為維非奇異常數(shù)陣，是唯一的平衡狀態(tài)。選取Lyapunov函數(shù)（9）式中，P

為正定的對稱常數(shù)，因此是正定的。的差分為若要在處漸近穩(wěn)定，要求為負定的。所以其中Q為正定。給定一個正定對稱常數(shù)陣Q，求P

陣，并驗證其正定性。（10）例4-7

線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判別其穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為為簡單起見，可以令Q

陣為單位矩陣I。解得P的各階主子式均大于零，即可見，P為正定的矩陣，故為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。4.6有界輸入-有界輸出穩(wěn)定4.6.1有界輸入-有界輸出穩(wěn)定BoundedInputBoundedOutput(BIBO)Stable定義：對于初始松弛系統(tǒng)，任何有界輸入，其輸出也是有界的，稱為BIBO系統(tǒng)。如果輸入有界，是指≤如果輸出有界，是指≤可以取如果≤于是≤≤≤定理4-5

由方程描述的線性定常系統(tǒng)。為初始松弛系統(tǒng)。其輸出向量的解為（11）BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個常數(shù)K3，有≤或者對于的每一元素，都有≤其中，a

為一個非負的實數(shù)，而系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)為例4-8線性定常系統(tǒng)方程為分析系統(tǒng)是否BIBO穩(wěn)定。解可見，只有當時，才有有限值存在，系統(tǒng)才是BIBO穩(wěn)定的。4.6.2BIBO穩(wěn)定與平衡狀態(tài)穩(wěn)定性之間的關(guān)系對于線性定常系統(tǒng)（12）平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性由A的特征值決定。而BIBO的穩(wěn)定性是由傳遞函數(shù)的極點決定的。

的所有極點都是A的特征值，但A的特征值并不一定都是的極點?？赡艽嬖诹銟O點對消。所以，處的漸近穩(wěn)定就包含了BIBO穩(wěn)定，而BIBO穩(wěn)定卻可能不是處的漸近穩(wěn)定。那么在什么條件下，BIBO穩(wěn)定才有平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定呢？結(jié)論是：如果（12）式所描述的線性定常系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定，且系統(tǒng)是既能控又能觀測的，則系統(tǒng)在處是漸近穩(wěn)定的。4.7非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析4.7.1用Lyapunov第二法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性到目前為止，尚沒有構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的一般性方法。往往都是根據(jù)經(jīng)驗，用試湊法。以下是兩種比較有效的方法。1.克拉索夫斯基法（12）非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中和均為n維向量。為非線性多元函數(shù)，對各都具有連續(xù)的偏導數(shù)。構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下（13）其中

W

為正定對稱常數(shù)矩陣（14）而（15）其中稱為雅可比矩陣（16）其中（17）如果是負定的，則是負定的。而是正定的，故是一致漸近穩(wěn)定的。如果，，則是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。為簡便，通常取，這時例4-10

非線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為試分析的穩(wěn)定性。解雅可比矩陣選擇W=I

則檢驗的各階主子式：并且時，有顯然，是負定的，故是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。2變量梯度法設(shè)連續(xù)時間非線性時不變系統(tǒng)Xe=0為系統(tǒng)孤立平衡狀態(tài)，(1)設(shè)V(x)的梯度為(2)設(shè)梯度▽V(x)對應于有勢場，則旋度rot▽V(x)=0，即(3)由(4)由(2),(3)定出▽V(x)(5)(6)判斷V(x)計算結(jié)果的正定性

3：阿塞爾曼法設(shè)系統(tǒng)的動態(tài)方程為：其中f（xi）為非線性單值函數(shù)，f（0）=0，故x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。阿塞爾曼指出：若以線性函數(shù)取代非線性函數(shù)，即令f（xi）=kxi，可對線性化后的系統(tǒng)建立李雅普諾夫函數(shù)V（x），若dV（x）/dt在k1≤k≤k2區(qū)間內(nèi)是負定的，則當非線性函數(shù)不超過上述區(qū)間時，非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。例

設(shè)f(x1)如圖所示，判斷x=0的穩(wěn)定性解：令f(x1)=2x1

線性化后的系統(tǒng)方程為

令得Q為正定對稱陣認為非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)就是V（x），則根據(jù)負定的要求，穩(wěn)定時要求根據(jù)負定的要求，穩(wěn)定時要求只要非線性特性在此范圍內(nèi)，系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的